Александров п с что такое неэвклидова геометрия?

8 ответов на вопрос “Александров п с что такое неэвклидова геометрия?”

  1. mirazg Ответить

    Смотреть что такое “НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ” в других словарях:

    НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — в букв, понимании – все геометрические системы, отличные от геометрии Эвклида, не признающие ее аксиому о параллельных и утверждающие, что через точку, лежащую вне данной прямой, проходит бесконечно много прямых, параллельных данной прямой (Н. И … Философская энциклопедия
    Геометрия Лобачевского — (1) евклидова геометрия; (2) геометрия Римана; (3) геометрия Лобачевского Геометрия Лобачевского (гип … Википедия
    Геометрия Римана — Не следует путать с Риманова геометрия. Геометрия Римана (эллиптическая геометрия)  одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой… … Википедия
    Неевклидова геометрия — Неевклидова геометрия  в буквальном понимании  любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим… … Википедия
    Сферическая геометрия — Большой круг всегда делит сферу на две равные половины. Центр большого круга совпадает с центром сферы … Википедия
    НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ — в буквальном понимании все геометрич. системы, отличные от геометрии Евклида; однако обычно термин Н. г. применяется лишь к геометрич. системам (отличным от геометрии Евклида), в к рых определено движение фигур, причем с той же степенью свободы,… … Математическая энциклопедия
    МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия
    Эрлангенская программа —         единая точка зрения на различные геометрии (например, евклидову, аффинную, проективную), сформулированная впервые Ф. Клейном на лекции, прочитанной в 1872 в университете г. Эрланген (Германия) и напечатанной в том же году под названием… … Большая советская энциклопедия
    математическая наука — математика наука о количественных зависимостях. арифметика изучает свойства целых и рациональных чисел. теория чисел. геометрия. планиметрия. стереометрия. топология. начертательная геометрия. неэвклидова геометрия. гиперболическая геометрия.… … Идеографический словарь русского языка
    Александров — I Александров         Александр Васильевич [1(13).4.1883, с. Плахино Рязанской губернии, 8.7.1946, Берлин], русский советский композитор и хоровой дирижёр, народный артист СССР (1937), генерал майор (1943), доктор искусствоведения (1940). Член… … Большая советская энциклопедия

  2. uraniuszzz Ответить

    Формы контроля и критерии оценивания приведены в Приложении 4 к рабочей программе.
    Таблица П.3.1
    Вид работы
    Примерное содержание (перечень вопросов)
    СРС, час.
    Рекомендации
    Раздел 1. «Числовые множества»
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Эволюция использования систем счисления»
    2
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Операции над множествами»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Итого по разделу
    6 часов
    Раздел 2. «Корни, степени, логарифмы»
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Извлечение корня из комплексного числа»
    6
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Логарифмирование комплексного числа»
    6
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Итого по разделу
    12 часов
    Раздел 3. «Тригонометрические основы»
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Рациональная тригонометрия»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Функции секанс и косеканс»
    2
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Формулы тройного угла»
    2
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Формулы для кратных углов»
    2
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Формулы понижения степени»
    2
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Тригонометрические функции комплексного аргумента»
    8
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Итого по разделу
    20 часов
    Раздел 4. «Прямая и плоскость»
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Физический смысл использования векторов»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Элементы неевклидовой геометрии»
    8
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Итого по разделу
    12 часов
    Раздел 5. «Прямая и плоскость»
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Физический смысл скалярного произведения»
    2
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Физический смысл векторного произведения»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Физический смысл смешанного произведения»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «N-мерные пространства»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Итого по разделу
    14 часов
    Раздел 6. «Функции»
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Алгебраические кривые. Кардиоида»
    6
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Алгебраические кривые. Конхоида Никомеда»
    6
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Алгебраические кривые. Лемниската Жероно»
    6
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Итого по разделу
    18 часов
    Раздел 7. «Уравнения и неравенства»
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Редко используемые функции. Синус-верзус»
    2
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Редко используемые функции. Косинус-верзус»
    2
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Редко используемые функции. Экскосеканс»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Редко используемые функции. Гаверсинус»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Итого по разделу
    12 часов
    Раздел 8. «Начало математического анализа»
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Неберущиеся интегралы»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Производные высших порядков»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Кратный интеграл»
    6
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Итого по разделу
    14 часов
    Раздел 9. «Тела и поверхности»
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Тело вращения. Тор»
    2
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Многогранник Гиперкуб»
    2
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Использование 3D графики»
    2
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Итого по разделу
    6 часов
    Раздел 10. «Теория вероятности и математическая статистика»
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Вероятностные парадоксы»
    6
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Статистические парадоксы»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Самостоятельное изучение темы
    Самостоятельное изучение вопроса: «Кот Шредингера»
    4
    Использование информационных ресурсов, а также работа с рекомендуемой литературой
    Итого по разделу
    14 часов
    Итого всего СРС
    128 часов
    Приложение 4
    к рабочей программе дисциплины
    «Математика»

  3. Mr.Bapcuk Ответить

    (P. Alexandrof) — ученик Академии художеств. Принят в 1802 г., выпущен с аттестатом 1 апреля 1815 г. и оставлен при академии. Его литографии: 1—13.13 листов в альбоме: “Souvenirs|de Saint Petersbourg,| collection de Lithographies | representant des sujets nationaux, | des équipages de ville et de voyages, | dessinés par divers Artistes. | St. Petersbourg, | de la lithographie d’Alexandre Pluchart, imprimeur Libraire. | 1825 (в малый лист в длину).
    Здесь помещен перечень всех листов, находящихся в этом альбоме:
    “Table | de trente-six dessins lithographiés | pour les Souvenirs de St. Petersbourg, en 1824”.
    1. Vue de l’amirauté imperiale…
    2. Vue de la Bourse, à Vasili-Ostroff.: O. Herrmann f. 1823.
    3. L’Empereur Alexandre I-er à Ochta, trait historique.
    4. Un traineau de ville, à 2 chevaux, d’après Mr. A. Orlowsky, dito.
    5. Un Droschki de Seigneur, à 2 chevaux; dito.
    6. Traineau chargé d’un glaçon de la Neva. Подпись на рис. “Aлександров”.
    7. Un Marchand de bois à brûler, sur un Rospouski, dito.
    8. Un portefaix transportant des sacs de farines, en hiver, dito.
    9. Un Feldjäger portant des Dépêches officieles, en été.
    10. L’interieur d’un Cabaret pour les Cochers, costumes d’hiver.
    11. Traineaux de louage, Marchand de Poissons, etc. dito.
    12. Cochers, Marchand de pains, de Blinis, etc., dito. Подпись на рис. “Александров 1823”.
    13. Vue de la Colonnade du Chateau imperial, à Tsarsco-Selo. Подпись на рис. “С. Kollmann”.
    14. Des voyageurs dejeûnant à un Relais de poste, en été.; С. Kollman.
    15. Droschki d’Elégans, à un cheval. Александров, 1823.
    16. Vue pitoresque d’un village russe, en hiver.
    17. Fête et Danse villageoises, in été.
    18. Le Marché aux Cochons gelés, d’après A. Orlovski. Подпись на рис. “Александров 1823”.
    19. Le Marché au foin, d’après A. Orlowski. Такая же подпись.
    20. Des Postillons revenant d’une course avec leurs chevaux.
    21. Voyageurs eu Britschka, à 3 chevaux, en été.
    22. Courrier extraordinaire, à 3 chevaux, d’après A. Orlowski.
    23. Voyageurs en Kibitka, grand traineau à 3 chevaux; dito.
    24. Télègue d’été, à 3 chevaux, d’après Swebach.
    25. Droschki bourgeois, dito.
    26. Un traineau à 1 cheal. Монограмма “П.А.”.
    27. Petite Restauration ambulante, et Boutique de Tabac. Монограмма “П.А.”.
    28. Voiturier rafraîchissant son cheval. Подпись: “Aлек.”.
    29. Voiturier en route transportant des Marchandises. Подпись: “Алек.”.
    30. Chariot attelé de 6 chevaux pour transporter le Granit. Монограмма “П.А.”.
    31. Balançoire de jeunes villageoises. Монограмма “П.A.”.
    32. Landau à 4 chevaux, par Desarnod. Подпись: “A. Desarnod”.
    33. Voiture finoise cassée: П.А.
    34. Traineau de famille, à 3 chevaux. Монограмма “18 П.А. 24”.
    35. Traineau bourgeois à 2 chevaux; на картинке монограмма: П.А.
    36. L’Isvoschtchik et le Bouteschnik. Ha картинке монограмма: П.А.
    14—18. Пять литографий в лист, в длину, в альбоме: “Nouvelle collection (de) quarante six vues de Saint-petersbourg et de ses environs, Dessinées d’après nature par divers Artistes, accompagnés d’un plan de la ville, divisée par carrés de renvois, pour s’orienter facilement | à l’usage des étrangers | à St. Petersbourg | se trouve au salon littéraire français chez Alexandre Pluchart, imprimeur-libraire, éditeur | grande morskoy, maison kossikoffsky, № 69—1827. Следует план, объяснение плана и оглавление рисунков; здесь помещается перечень всех рисунков:
    1. Porte triomphale.
    2. Nouveau Pont à l’Entrée de la Promenade.
    3. Chateau imperial de Catherinehoff: A.
    4. Pont de chaines, vis-à-vis le Château imperial.
    5. Le Pavillon des Lions.
    6. Pavillon voresque dans le Jardin des Enfans.
    7. Vauxhall de Caterinehoff.
    8. Maisons russes, Café et Restauration à Caterinehoff.
    9. Fabrique de Mr. Baerd.
    10. Pont Egyptien sur la Fontanka.
    11. Le grand Theatre imperial.
    12. Le Palais imperial, vue prise de la PetiteMillone.
    13. Le Palais imperial.
    14. Chancelleries de l’Etat-Major.
    15. L’Amirauté.
    16. Catherine IIde, à Pierre I-er.
    17. Le Quai anglais, près du Senat-Dirigeant.
    18. Pont d’Isaac et nouvelle Eglise.
    19. L’Académie des Arts.
    20. La Bourse.
    21. La Forteresse.
    22. Le Palais imperial, sur le Quai de la Cour.
    23. L’Arcade de l’Hermitage.
    24. Theatre imperial de l’Hermitage, près de l’Hotel de France.
    25. Le Palais de marbre.
    26. Le Jardin d’été.
    27. Palais de Pierre I-er au jardin d’Eté.
    28. Le Palais de S. A. I. le Grand Duc Michel. Монограмма “А”.
    29. Nouveau Pont en chaînes, près du Jardin d’été.
    30. L’Arsenal.
    31. Palais de la Tauride.
    32. L’Eglise de Casan.
    33. L’Hotel de Ville et l’Eglise catholique, с монограммой: 1824
    34. Vue de l’Eglise Catholique.
    35. Les Grandes Boutiques; 1824, с предыдущей монограммой.
    36. Bibliotheque imperiale.
    37. Le Pont d’Anitschkoff.
    38. L’Hopital des Pauvres.
    39. Campagne de S.E.D. Narischkin, с подписью “Aлек.”.
    40. Campagne du C-te de Laval.
    41. Palais d’Jélaguine.
    42. Le Palais imperial a Kamenoi Ostroff.
    43. Vue de la Collonade de Cameron à Tsarscoi-Selo.
    44. Vue de l’Eglise catholique à Tsarscoi-Selo.
    45. The Residence of John Booker Esq.
    46. Бега. Orlowsky 1824 (Course de Chevaux). (E. Тевяшев).
    {Ровинский}
    Источник: Александров, П.

  4. Viktoriy_a Ответить

    См. также в других словарях:

    Геометрия Лобачевского — (1) евклидова геометрия; (2) геометрия Римана; (3) геометрия Лобачевского Геометрия Лобачевского (гип … Википедия
    Геометрия Римана — Не следует путать с Риманова геометрия. Геометрия Римана (эллиптическая геометрия)  одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой… … Википедия
    Неевклидова геометрия — Неевклидова геометрия  в буквальном понимании  любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим… … Википедия
    Сферическая геометрия — Большой круг всегда делит сферу на две равные половины. Центр большого круга совпадает с центром сферы … Википедия
    НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ — в буквальном понимании все геометрич. системы, отличные от геометрии Евклида; однако обычно термин Н. г. применяется лишь к геометрич. системам (отличным от геометрии Евклида), в к рых определено движение фигур, причем с той же степенью свободы,… … Математическая энциклопедия
    Эрлангенская программа —         единая точка зрения на различные геометрии (например, евклидову, аффинную, проективную), сформулированная впервые Ф. Клейном на лекции, прочитанной в 1872 в университете г. Эрланген (Германия) и напечатанной в том же году под названием… … Большая советская энциклопедия
    Псевдосфера — (поверхность Бельтрами) поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название п … Википедия
    Александров — I Александров         Александр Васильевич [1(13).4.1883, с. Плахино Рязанской губернии, 8.7.1946, Берлин], русский советский композитор и хоровой дирижёр, народный артист СССР (1937), генерал майор (1943), доктор искусствоведения (1940). Член… … Большая советская энциклопедия
    Александров Павел Сергеевич — [р. 25.4(7.5). 1896, Богородск, ныне Ногинск Московской области], советский математик, академик АН СССР (1953; член корреспондент 1929), Герой Социалистического Труда (1969). В 1917 окончил Московский университет, с 1929 профессор там же.… … Большая советская энциклопедия
    МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия

  5. patron94 Ответить

    Смотреть что такое “НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ” в других словарях:

    НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, самодостаточная геометрия, которая использует набор аксиом, отличных от АКСИОМ Евклидовой ГЕОМЕТРИИ, в частности, не включает постулата о параллельных прямых. Пятый постулат Евклида представляет собой утверждение, что если… … Научно-технический энциклопедический словарь
    Геометрия Лобачевского — (1) евклидова геометрия; (2) геометрия Римана; (3) геометрия Лобачевского Геометрия Лобачевского (гип … Википедия
    Геометрия Римана — Не следует путать с Риманова геометрия. Геометрия Римана (эллиптическая геометрия)  одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой… … Википедия
    Неевклидова геометрия — Неевклидова геометрия  в буквальном понимании  любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим… … Википедия
    Сферическая геометрия — Большой круг всегда делит сферу на две равные половины. Центр большого круга совпадает с центром сферы … Википедия
    НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ — в буквальном понимании все геометрич. системы, отличные от геометрии Евклида; однако обычно термин Н. г. применяется лишь к геометрич. системам (отличным от геометрии Евклида), в к рых определено движение фигур, причем с той же степенью свободы,… … Математическая энциклопедия
    МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия
    Эрлангенская программа —         единая точка зрения на различные геометрии (например, евклидову, аффинную, проективную), сформулированная впервые Ф. Клейном на лекции, прочитанной в 1872 в университете г. Эрланген (Германия) и напечатанной в том же году под названием… … Большая советская энциклопедия
    математическая наука — математика наука о количественных зависимостях. арифметика изучает свойства целых и рациональных чисел. теория чисел. геометрия. планиметрия. стереометрия. топология. начертательная геометрия. неэвклидова геометрия. гиперболическая геометрия.… … Идеографический словарь русского языка
    Александров — I Александров         Александр Васильевич [1(13).4.1883, с. Плахино Рязанской губернии, 8.7.1946, Берлин], русский советский композитор и хоровой дирижёр, народный артист СССР (1937), генерал майор (1943), доктор искусствоведения (1940). Член… … Большая советская энциклопедия

  6. qazqaz.05 Ответить

    Другие книги автора:

    КнигаОписаниеГодЦенаТип книги
    Введение в теорию множеств и общую топологию. Учебное пособиеКнига является введением в современные разделы общей топологии. Первые три главы представляют собой изложение фактов теории множеств с так называемой “наивной” точки зрения. В главах 4-6 дается… — Лань, Учебники для ВУЗов. Специальная литература Подробнее…2010541бумажная книга
    Энциклопедия элементарной математики в 5 томах. Том 1. АрифметикаПроисхождение систем счисления. Понятия множества, группы, кольца и поля; теоретические основы арифметики. Элементы теории чисел. Устный и письменный счёт; вспомогательные средства вычислений… — ЁЁ Медиа, – Подробнее…19511676бумажная книга
    Энциклопедия элементарной математики в 5 томах. Том 3. Функции и пределыПредлагаемая читателю книга третья «Энциклопедии элементарной математики» завершает первый большой раздел этого издания, посвященный систематическому изложению тех элементов математической науки, на… — ЁЁ Медиа, – Подробнее…19511817бумажная книга
    Энциклопедия элементарной математики в 5 томах. Том 5. ГеометрияВоспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1951 года (издательство “Государственное издательство технико-теоретической литературы” ) — ЁЁ Медиа, – Подробнее…19511985бумажная книга
    Очерк основных понятий топологииНастоящее издание представляет собой значительно расширенный перевод книги проф. П. С. Александрова “Простейшие основные понятия топологии”, вышедший в 1932 г. на немецком языке. Кроме некоторых… — ЁЁ Медиа, – Подробнее…19361762бумажная книга
    Мемуар о компактных топологических пространствахКнига посвящена основам общей топологии. Она является одним из первых систематических изложений теории компактных топлогических пространств — Физматлит, – Подробнее…2009511бумажная книга
    Очерк основных понятий топологииНастоящее издание представляет собой значительно расширенный перевод книги проф. П. С. Александрова`Простейшие основные понятия топологии`, вышедший в 1932 г. на немецком языке. Кроме некоторых… — ЁЁ Медиа, Подробнее…19361982бумажная книга
    Энциклопедия элементарной математики в 5 томах. Том 5Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1951 года (издательство`Государственное издательство технико-теоретической литературы`). В — ЁЁ Медиа, Подробнее…19512233бумажная книга
    Энциклопедия элементарной математики в 5 томах. Том 3Предлагаемая читателю книга третья Энциклопедии элементарной математики завершает первый большой раздел этого издания, посвященный систематическому изложениютех элементов математической науки, на… — ЁЁ Медиа, Подробнее…19512044бумажная книга
    Энциклопедия элементарной математики в 5 томах. Том 1Происхождение систем счисления. Понятия множества, группы, кольца и поля; теоретические основы арифметики. Элементы теории чисел. Устный и письменный счёт; вспомогательные средства вычислений… — ЁЁ Медиа, Подробнее…19511885бумажная книга
    Введение в теорию множеств и общую топологию. Учебное пособие368 стр. Книга является введением в современные разделы общей топологии. Первые три главы представляют собой изложение фактов теории множеств с так называемой наивной точки зрения. В главах 4 6… — Лань, (формат: 84×108/32, 368 стр.) Учебники для вузов. Специальная литература Подробнее…2010541бумажная книга
    Введение в общую теорию множеств и функцийВниманию читателей предлагается классическое учебное пособие, написанное выдающимся советским математиком, академиком АН СССР П. С. Александровым и посвященное общим вопросам теории множеств и… — URSS, Физико-математическое наследие: математика (основания математики и логика) Подробнее…2017663бумажная книга
    Что такое неэвклидова геометрияВ настоящей книге, написанной выдающимся математиком, академиком П. С. Александровым (1896-1982), излагаются основы неэвклидовой геометрии. Цель автора – ввести читателяв главные, наиболее… — URSS, Школьная программа Подробнее…2017220бумажная книга
    Что такое неэвклидова геометрия. 3-е издание72 стр. В настоящей книге, написанной выдающимся математиком, академиком П. С. Александровым (1896-1982), излагаются основы неэвклидовой геометрии. Цель автора ввести читателя в главные, наиболее… — URSS, (формат: 60×90/16мм, 72 стр.) Физико-математическое наследие: математика (история математики) Подробнее…2010220бумажная книга
    Введение в теорию группНастоящая книга, написанная выдающимся ученым-математиком, академиком АН СССР П. С. Александровым, в доступной форме знакомит читателя с одним из основных понятий современной алгебры – элементами… — URSS, Физико-математическое наследие: математика (алгебра) Подробнее…2018284бумажная книга

  7. solalex1 Ответить

    НЕЕВКЛИ́ДОВЫ ГЕОМЕ́ТРИИ, гео­мет­рич. сис­те­мы, от­лич­ные от гео­мет­рии Евк­ли­да; од­на­ко обыч­но тер­мин «Н. г.» при­ме­ня­ет­ся лишь к гео­мет­рич. сис­те­мам (от­лич­ным от гео­мет­рии Евк­ли­да), в ко­то­рых оп­ре­де­ле­но дви­же­ние фи­гур, при­чём с той же сте­пе­нью сво­бо­ды, что и в евк­ли­до­вой гео­мет­рии (см. Гео­мет­рия, Пя­тый по­сту­лат). При этом сте­пень сво­бо­ды дви­же­ния фи­гур в евк­ли­до­вой плос­ко­сти ха­рак­те­ри­зу­ет­ся тем, что ка­ж­дая фи­гу­ра без из­ме­не­ния рас­стоя­ний ме­ж­ду её точ­ка­ми мо­жет быть пе­ре­ме­ще­на так, что­бы лю­бая вы­бран­ная её точ­ка за­ня­ла лю­бое за­ра­нее за­дан­ное по­ло­же­ние; кро­ме то­го, ка­ж­дая фи­гу­ра мо­жет вра­щать­ся во­круг лю­бой сво­ей точ­ки. В евк­ли­до­вом трёх­мер­ном про­стран­ст­ве ка­ж­дая фи­гу­ра мо­жет быть пе­ре­ме­ще­на так, что­бы лю­бая вы­бран­ная её точ­ка за­ня­ла лю­бое за­ра­нее за­дан­ное по­ло­же­ние; по­ми­мо это­го, ка­ж­дая фи­гу­ра мо­жет вра­щать­ся во­круг лю­бой оси, про­хо­дя­щей че­рез лю­бую её точ­ку.
    Сре­ди Н. г. осо­бое зна­че­ние име­ют Ло­ба­чев­ско­го гео­мет­рия и Ри­ма­на гео­мет­рия, ко­то­рые ча­ще все­го под­ра­зу­ме­ва­ют­ся, ко­гда го­во­рят о Н. г. Гео­мет­рия Ло­ба­чев­ско­го – пер­вая гео­мет­рич. сис­те­ма, от­лич­ная от гео­мет­рии Евк­ли­да, и пер­вая бо­лее об­щая тео­рия, вклю­чаю­щая евк­ли­до­ву гео­мет­рию как пре­дель­ный слу­чай. Гео­мет­рия Ри­ма­на, от­кры­тая позд­нее, в не­ко­то­рых от­но­ше­ни­ях про­ти­во­по­лож­на гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го, но вме­сте с тем яв­ля­ет­ся её до­пол­не­ни­ем. Ис­сле­до­ва­ние гео­мет­рий Евк­ли­да, Ло­ба­чев­ско­го и Ри­ма­на по­зво­ли­ло вы­яс­нить осо­бен­но­сти ка­ж­дой из них, а так­же их свя­зи друг с дру­гом и с др. гео­мет­рич. сис­те­ма­ми.
    Гео­мет­рия Ло­ба­чев­ско­го стро­ит­ся на ос­но­ве тех же ак­си­ом, что и евк­ли­до­ва, за ис­клю­че­ни­ем од­ной ак­сио­мы о па­рал­лель­ных. Имен­но, со­глас­но ак­сио­ме о па­рал­лель­ных евк­ли­до­вой гео­мет­рии, че­рез точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, про­хо­дит толь­ко од­на пря­мая, ко­то­рая ле­жит в од­ной плос­ко­сти с пря­мой и не пе­ре­се­ка­ет её; в гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го при­ни­ма­ет­ся, что та­ких пря­мых не­сколь­ко (за­тем до­ка­зы­ва­ет­ся, что их бес­ко­неч­но мно­го).
    В гео­мет­рии Ри­ма­на при­ни­ма­ет­ся ак­сио­ма: ка­ж­дая пря­мая, ле­жа­щая в од­ной плос­ко­сти с дан­ной пря­мой, пе­ре­се­ка­ет эту пря­мую. Эта ак­сио­ма про­ти­во­ре­чит час­ти сис­те­мы ак­си­ом евк­ли­до­вой гео­мет­рии (с ис­клю­че­ни­ем ак­сио­мы о па­рал­лель­ных). Т. о., сис­те­ма ак­си­ом, ле­жа­щая в ос­но­ве гео­мет­рии Ри­ма­на, от­ли­ча­ет­ся от сис­те­мы ак­си­ом евк­ли­до­вой гео­мет­рии не толь­ко за­ме­ной од­ной ак­сио­мы о па­рал­лель­ных иным ут­вер­жде­ни­ем, но и не­ко­то­ры­ми др. ак­сио­ма­ми. Раз­лич­ны­ми в этих гео­мет­ри­ях яв­ля­ют­ся ак­сио­мы, ко­то­рые слу­жат для обос­но­ва­ния т. н. от­но­ше­ний по­ряд­ка гео­мет­рич. эле­мен­тов. Суть со­сто­ит в сле­дую­щем: в евк­ли­до­вой гео­мет­рии и в гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го по­ря­док то­чек на пря­мой яв­ля­ет­ся ли­ней­ным, т. е. по­доб­ным по­ряд­ку в мно­же­ст­ве дей­ст­ви­тель­ных чи­сел; в гео­мет­рии Ри­ма­на по­ря­док то­чек на пря­мой яв­ля­ет­ся цик­ли­че­ским, т. е. по­доб­ным по­ряд­ку в мно­же­ст­ве то­чек на ок­руж­но­сти. Кро­ме то­го, в гео­мет­риях Евк­ли­да и Ло­ба­чев­ско­го ка­ж­дая пря­мая, ле­жа­щая в дан­ной плос­ко­сти, раз­де­ля­ет эту плос­кость на две час­ти; в гео­мет­рии Ри­ма­на пря­мая не раз­де­ля­ет плос­кость на две час­ти, т. е. лю­бые две точ­ки плос­ко­сти, не ле­жа­щие на дан­ной пря­мой, мож­но со­еди­нить в этой плос­ко­сти не­пре­рыв­ной ду­гой, не пе­ре­се­кая дан­ную пря­мую (то­по­ло­гич. мо­де­лью плос­ко­сти Ри­ма­на слу­жит про­ек­тив­ная плос­кость). Тре­бо­ва­ния ак­си­ом, оп­ре­де­ляю­щих дви­же­ние фи­гур, для всех трёх гео­мет­рий оди­на­ко­вы.
    При­ме­ры тео­рем Н. г.
    1) В гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го сум­ма внут­рен­них уг­лов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка мень­ше двух пря­мых; в гео­мет­рии Ри­ма­на эта сум­ма боль­ше двух пря­мых (в евк­ли­до­вой гео­мет­рии она рав­на двум пря­мым).
    2) В гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го пло­щадь тре­уголь­ни­ка вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой $$S=R^2(π-α-β-γ),\tag1$$где $α,\; β,\; γ$ – внут­рен­ние уг­лы тре­уголь­ни­ка, $R$ – не­ко­то­рая по­сто­ян­ная, ко­то­рая оп­ре­де­ля­ет­ся вы­бо­ром еди­ни­цы из­ме­ре­ния пло­ща­дей. В гео­мет­рии Ри­ма­на спра­вед­ли­ва фор­му­ла$$S=R^2(α+β+γ-π)\tag2$$при ана­ло­гич­ном зна­че­нии сим­во­лов. В евк­ли­до­вой гео­мет­рии за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду пло­ща­дью тре­уголь­ни­ка и сум­мой его уг­лов нет.
    3) В гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го ме­ж­ду сто­ро­на­ми и уг­ла­ми тре­уголь­ни­ка су­ще­ст­ву­ет ряд за­ви­си­мо­стей, на­при­мер:$$\text{ch}\frac{a}{R}=\text{ch}\frac{b}{R}\text{ch}\frac{c}{R}-\text{sh}\frac{b}{R}\text{sh}\frac{c}{R}\text{cos}\:\alpha,\tag3$$где $\text{sh, ch}$ – ги­пер­бо­ли­че­ские си­нус и ко­си­нус (см. Ги­пер­бо­ли­че­ские функ­ции), $a, b, c$ – сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, $α, β, γ$ – про­ти­во­ле­жа­щие им уг­лы, $R$ – по­сто­ян­ная, оп­ре­де­ляе­мая вы­бо­ром мас­шта­ба. Для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка (с ги­по­те­ну­зой $c$ и пря­мым уг­лом $γ$) име­ет ме­сто ра­вен­ст­во$$\text{ch}\frac{c}{R}=\text{ctg}\:\alpha\;\text{ctg}\:\beta.\tag4$$
    При не­ко­то­ром со­гла­со­ва­нии ли­ней­но­го мас­шта­ба и еди­ни­цы из­ме­ре­ния пло­ща­дей по­сто­ян­ная $R$ в фор­му­лах (1), (3), (4) од­на и та же. Чис­ло $R$ на­зы­ва­ет­ся ра­диу­сом кри­виз­ны плос­ко­сти (или про­стран­ст­ва) Ло­ба­чев­ско­го. Это чис­ло при дан­ном мас­шта­бе вы­ра­жа­ет оп­ре­де­лён­ный от­ре­зок в плос­ко­сти (про­стран­ст­ве) Ло­ба­чев­ско­го, ко­то­рый так­же на­зы­ва­ют ра­диу­сом кри­виз­ны. Ес­ли мас­штаб ме­ня­ет­ся, то ме­ня­ет­ся чис­ло $R$, но ра­ди­ус кри­виз­ны, как от­ре­зок, ос­та­ёт­ся не­из­мен­ным. Ес­ли ра­ди­ус кри­виз­ны при­нять за мас­штаб­ный от­ре­зок, то $R=1.$
    В гео­мет­рии Ри­ма­на су­ще­ст­ву­ют сход­ные ра­вен­ст­ва: $$\cos\frac a R=\cos\frac b R\cos\frac c R+\sin\frac b R\sin\frac c R\cos\alpha,\tag5$$(для про­из­воль­но­го тре­уголь­ни­ка) и $$\cos \frac c R=\text{ctg}\: \alpha\; \text{ctg}\: \beta\tag6$$(для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка) при ана­ло­гич­ном зна­че­нии сим­во­лов. Чис­ло $R$ на­зы­ва­ют ра­диу­сом кри­виз­ны плос­ко­сти (или про­стран­ст­ва) Ри­ма­на. Из фор­мул (4) и (6) сле­ду­ет, что в ка­ж­дой из Н. г. ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка оп­ре­де­ля­ет­ся его уг­ла­ми; бо­лее то­го, в Н. г. сто­ро­ны лю­бо­го тре­уголь­ни­ка оп­ре­де­ля­ют­ся его уг­ла­ми, т. е. не су­ще­ст­ву­ет по­доб­ных тре­уголь­ни­ков, кро­ме рав­ных. В евк­ли­до­вой гео­мет­рии нет фор­мул, ана­ло­гич­ных фор­му­лам (4) и (6), и нет ни­ка­ких др. фор­мул, вы­ражаю­щих ли­ней­ные ве­ли­чи­ны че­рез уг­ло­вые. При за­ме­не $R$ на $R_i$, где $i$ – мни­мая еди­ни­ца, фор­му­лы (1), (3), (4) пре­вра­ща­ют­ся в фор­му­лы (2), (5), (6); во­об­ще, при за­ме­не $R$ на $R_i$ все мет­рич. фор­му­лы гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го (со­хра­няю­щие при этой за­ме­не гео­мет­рич. смысл) пе­ре­хо­дят в со­от­вет­ст­вую­щие фор­му­лы гео­мет­рии Ри­ма­на. При $R→∞$ и те и дру­гие да­ют в пре­де­ле фор­му­лы евк­ли­до­вой гео­мет­рии (ли­бо те­ря­ют смысл). Стрем­ле­ние к бес­ко­неч­но­сти ве­ли­чи­ны $R$ оз­на­ча­ет, что мас­штаб­ный от­ре­зок яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­но ма­лым по срав­не­нию с ра­диу­сом кри­виз­ны (как с от­рез­ком). То об­стоя­тель­ст­во, что при этом фор­му­лы Н. г. пе­ре­хо­дят в пре­де­ле в фор­му­лы евк­ли­до­вой гео­мет­рии, оз­на­ча­ет, что для ма­лых (по срав­не­нию с ра­диу­сом кри­виз­ны) не­евк­ли­до­вых фи­гур со­от­но­ше­ния ме­ж­ду их эле­мен­та­ми ма­ло от­ли­ча­ют­ся от евк­ли­до­вых.
    В ка­ж­дой из Н. г. диф­фе­рен­ци­аль­ные свой­ст­ва плос­ко­сти ана­ло­гич­ны диф­фе­рен­ци­аль­ным свой­ст­вам по­верх­но­стей евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва (см. Диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия); в не­евк­ли­до­вой плос­ко­сти мо­гут быть вве­де­ны внут­рен­ние ко­ор­ди­на­ты $u, v$, так что диф­фе­рен­ци­ал $ds$ ду­ги кри­вой, со­от­вет­ст­вую­щий диф­фе­рен­циа­лам $du, dv$ ко­ор­ди­нат, оп­ре­де­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом$$ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2.\tag7$$
    Пусть, в ча­ст­но­сти, в ка­че­ст­ве ко­ор­ди­на­ты $u$ про­из­воль­ной точ­ки $M$ бе­рёт­ся дли­на пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из $M$ на фик­си­ро­ван­ную пря­мую, а в ка­че­ст­ве ко­ор­ди­на­ты $v$ – рас­стоя­ние от фик­си­ро­ван­ной точ­ки $O$ этой пря­мой до ос­но­ва­ния ука­зан­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра; величины $u, v$  следует брать со зна­ком, по­доб­но обыч­ным де­кар­то­вым ко­ор­ди­на­там. То­гда фор­му­ла (7) для плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го бу­дет иметь вид$$ds^2=du^2+\text {ch}^2\! \left( \frac u {R}\right )\!dv^2,\tag8$$а для плос­ко­сти Ри­ма­на$$ds^2=du^2+\text {cos}^2 \!\left( \frac u {R}\right )\!dv^2,\tag9$$$R$ (ра­ди­ус кри­виз­ны) – та же по­сто­ян­ная, ко­то­рая вхо­дит в пре­ды­ду­щие фор­му­лы. Пра­вые час­ти (8) и (9) суть мет­рич. фор­мы по­верх­но­стей евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва, имею­щих со­от­вет­ст­вен­но по­сто­ян­ную от­ри­ца­тель­ную кривизну $K=-1/R^2$ (как, напр., псев­до­сфе­ра) и по­сто­ян­ную по­ло­жи­тель­ную кри­виз­ну $K=1/R^2$ (как, напр., сфе­ра). По­это­му внут­рен­няя гео­мет­рия дос­та­точ­но ма­лой час­ти плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го сов­па­да­ет с внут­рен­ней гео­мет­ри­ей на со­от­вет­ст­вую­щей час­ти по­верх­но­сти по­сто­ян­ной от­ри­ца­тель­ной кри­виз­ны. Ана­ло­гич­но, внут­рен­няя гео­мет­рия дос­та­точ­но ма­лых час­тей плос­ко­сти Ри­ма­на реа­ли­зу­ет­ся на по­верх­но­стях по­сто­ян­ной по­ло­жи­тель­ной кри­виз­ны (по­верх­но­стей, ко­то­рые реа­ли­зу­ют гео­мет­рию всей плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го, в евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве нет). При за­ме­не $R$ на $R_i$ мет­рич. фор­ма (8) пе­ре­хо­дит в мет­рич. фор­му (9). Т. к. мет­ри­че­ская фор­ма оп­ре­де­ля­ет внут­рен­нюю гео­мет­рию по­верх­но­сти, то при та­кой за­ме­не и др. мет­рич. со­от­ноше­ния гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го пе­ре­хо­дят в мет­рич. со­от­но­ше­ния гео­мет­рии Ри­ма­на (что уже бы­ло от­ме­че­но вы­ше). При $R=∞$ ка­ж­дое из ра­венств (8) и (9) да­ёт $ds^2=du^2+dv^2$, т. е. мет­рич. фор­му евк­ли­до­вой плос­ко­сти.
    Трёх­мер­ные не­евк­ли­до­вы про­стран­ст­ва по сво­им диф­фе­рен­ци­аль­ным свой­ст­вам от­но­сят­ся к чис­лу ри­ма­но­вых про­странств в ши­ро­ком смыс­ле (см. Ри­ма­но­во про­стран­ст­во) и вы­де­ля­ют­ся сре­ди них пре­ж­де все­го тем, что име­ют по­стоян­ную ри­ма­но­ву кри­виз­ну (см. Ри­ма­но­ва гео­метрия­). Как в дву­мер­ном, так и в трёх­мерном слу­чае по­сто­ян­ст­во кри­виз­ны обес­пе­чи­ва­ет од­но­род­ность про­стран­ст­ва, т. е. воз­мож­ность дви­же­ния фи­гур в нём, при­чём с той же сте­пе­нью сво­бо­ды, как на евк­ли­до­вой плос­ко­сти или в евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве. Про­стран­ст­во Ло­ба­чев­ско­го име­ет от­ри­ца­тель­ную кри­виз­ну, рав­ную $–1/R^2$, про­стран­ст­во Ри­ма­на – по­ло­жи­тель­ную кри­виз­ну, рав­ную $1/R^2$ ($R$ – ра­ди­ус кри­виз­ны). Евк­ли­до­во про­стран­ст­во за­ни­ма­ет про­ме­жу­точ­ное по­ло­же­ние и яв­ля­ет­ся про­стран­ст­вом ну­ле­вой кри­виз­ны.
    Про­стран­ст­ва по­сто­ян­ной кри­виз­ны мо­гут иметь весь­ма раз­но­об­раз­ное строе­ние в смыс­ле то­по­ло­гии. Сре­ди всех про­странств по­сто­ян­ной от­ри­ца­тель­ной кри­виз­ны про­стран­ст­во Ло­ба­чев­ско­го од­но­знач­но вы­де­ля­ет­ся дву­мя свой­ст­ва­ми: оно пол­но (в смыс­ле пол­но­ты мет­рич. про­стран­ст­ва) и то­по­ло­ги­че­ски эк­ви­ва­лент­но обыч­но­му евк­ли­до­ву про­стран­ст­ву. Про­стран­ст­во Ри­ма­на сре­ди всех про­странств по­ло­жи­тель­ной кри­виз­ны од­но­знач­но вы­де­ля­ет­ся свой­ст­вом то­по­ло­ги­че­ской эк­ви­ва­лент­но­сти про­ек­тив­но­му про­стран­ст­ву. Ана­ло­гич­ны­ми ус­ло­вия­ми вы­де­ля­ют­ся мно­го­мер­ные про­стран­ст­ва Ло­ба­чев­ско­го и Ри­ма­на сре­ди мно­го­мер­ных про­странств по­сто­ян­ной ри­ма­но­вой кри­виз­ны.
    Пусть на про­ек­тив­ной плос­ко­сти вве­де­ны про­ек­тив­ные од­но­род­ные ко­ор­ди­на­ты ($x_1,\: x_2,\: x_3$) и за­да­на не­ко­то­рая оваль­ная ли­ния 2-го по­ряд­ка, обо­зна­чае­мая даль­ше бу­к­вой $k$, напр. $x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$. Ка­ж­дое про­ек­тив­ное пре­об­ра­зо­ва­ние про­ек­тив­ной плос­ко­сти на се­бя, ко­то­рое ос­тав­ля­ет на мес­те ли­нию $k$, на­зы­ва­ет­ся ав­то­мор­физ­мом от­но­си­тель­но $k$. Ка­ж­дый ав­то­мор­физм ото­бра­жа­ет внут­рен­ние точ­ки ли­нии $k$ так­же во внут­рен­ние её точ­ки. Мно­же­ст­во всех ав­то­мор­физ­мов от­но­си­тель­но ли­нии $k$ со­став­ля­ет груп­пу. Пусть рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко точ­ки про­ек­тив­ной плос­ко­сти, ле­жа­щие внут­ри $k$; хор­ды ли­нии $k$ на­зы­ва­ют­ся «пря­мы­ми». Пусть две фи­гу­ры счи­та­ют­ся рав­ны­ми, ес­ли од­на из них пе­ре­во­дит­ся в дру­гую не­ко­то­рым ав­то­мор­физ­мом. Т. к. ав­то­мор­физ­мы со­став­ля­ют груп­пу, то име­ют ме­сто осн. свой­ст­ва ра­вен­ст­ва фи­гур: ес­ли фи­гу­ра $A$ рав­на фи­гу­ре $B$, то $B$ рав­на $A$; ес­ли фи­гу­ра $A$ рав­на фи­гу­ре $B$, а $B$ рав­на фи­гу­ре $C$, то $A$ рав­на $C$. В по­лу­чае­мой т. о. гео­мет­рич. тео­рии бу­дут со­блю­де­ны тре­бо­ва­ния всех ак­сиом евк­ли­до­вой гео­мет­рии, кро­ме ак­сио­мы о па­рал­лель­ных: вме­сто этой по­след­ней ак­сио­мы со­блю­да­ет­ся ак­сио­ма о па­рал­лель­ных Ло­ба­чев­ско­го. Тем са­мым по­лу­ча­ет­ся ис­тол­ко­ва­ние (дву­мер­ной) гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го при по­мощи объ­ек­тов про­ек­тив­ной плос­ко­сти или, как го­во­рят, про­ек­тив­ная мо­дель гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го; ли­нию $k$ на­зы­ва­ют аб­со­лю­том этой мо­де­ли. Ав­то­мор­физ­мы от­но­си­тель­но $k$ иг­ра­ют роль дви­же­ний. По­это­му гео­мет­рию Ло­ба­чев­ско­го мож­но рас­смат­ри­вать как тео­рию, изу­чаю­щую свой­ст­ва фи­гур и свя­зан­ные с фи­гу­ра­ми ве­ли­чи­ны, ко­то­рые ос­та­ются не­из­мен­ны­ми при ав­то­мор­физ­мах; ко­ро­че го­во­ря, гео­мет­рию Ло­ба­чев­ско­го мож­но рас­смат­ри­вать как тео­рию ин­ва­ри­ан­тов груп­пы ав­то­мор­физ­мов от­но­си­тель­но оваль­но­го аб­со­лю­та. Гео­мет­рия Ри­ма­на (дву­мер­ная) до­пус­ка­ет сход­ное ис­тол­ко­ва­ние; имен­но, она яв­ля­ет­ся тео­ри­ей ин­ва­ри­ан­тов от­но­си­тель­но ну­ле­во­го аб­со­лю­та$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=0.\tag{10}$$
    При этом в ка­че­ст­ве то­чек и пря­мых мо­де­ли бе­рут­ся все точ­ки и пря­мые про­ек­тив­ной плос­ко­сти; ав­то­мор­физ­мы оп­ре­де­ля­ют­ся чис­то ал­геб­раи­че­ски как линей­ные пре­об­ра­зо­ва­ния, ко­то­рые пе­ре­во­дят урав­не­ние (10) в урав­не­ние то­го же ви­да. Евк­ли­до­ву гео­мет­рию так­же мож­но рас­смат­ри­вать как тео­рию ин­ва­ри­ан­тов не­ко­то­рой груп­пы про­ек­тив­ных пре­об­ра­зо­ва­ний, имен­но, груп­пы ав­то­мор­физ­мов от­но­си­тель­но вы­ро­ж­ден­но­го аб­со­лю­та $x_1^2+x_2^2=0,\; x_3=0$.
    Рас­смот­рен­ные мо­де­ли от­но­сят­ся к дву­мер­ным гео­мет­ри­ям; про­ек­тив­ные мо­де­ли выс­ших раз­мер­но­стей стро­ят­ся ана­ло­гич­но. Со­от­вет­ст­вен­но ха­рак­те­ру урав­не­ний аб­со­лю­тов, гео­мет­рия Ло­ба­чев­ско­го на­зы­ва­ет­ся ги­пер­бо­ли­че­ской, гео­мет­рия Ри­ма­на – эл­лип­ти­че­ской, гео­мет­рия Евк­ли­да – па­ра­бо­ли­че­ской. Н. г. при­ме­ня­ют­ся в ма­те­ма­ти­ке (тео­рии ана­ли­тич. функ­ций, тео­рии групп и др.) и др. нау­ках (напр., в тео­рии от­но­си­тель­но­сти).

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *