Что такое фрактальная геометрия в искусстве определение?

14 ответов на вопрос “Что такое фрактальная геометрия в искусстве определение?”

  1. Thordifym Ответить

    Смотреть что такое “Фрактальная геометрия” в других словарях:

    Фрактальная геометрия природы — Бенуа Мандельброт фр. Benoit Mandelbrot Дата рождения: 20 ноября 1924 Место рождения: Варшава, Польша Гражданство … Википедия
    Фрактальная гомогенность — это такое свойство распределения массы, когда любые две геометрически одинаковые части распределения обладают одинаковыми массами. Концепция фрактальной гомогенности в общем случае может рассматриваться гораздо шире. Она применима к любому… … Википедия
    Фрактальная графика — Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… … Википедия
    Фрактал — Множество Мандельброта  классический образец фрактала … Википедия
    Фракталы — Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… … Википедия
    Мандельброт, Бенуа — Бенуа Мандельброт фр. Benoit B. Mandelbrot … Википедия
    Мандельброт — Мандельброт, Бенуа Бенуа Мандельброт фр. Benoit Mandelbrot Дата рождения … Википедия
    Мандельброт Б. — Бенуа Мандельброт фр. Benoit Mandelbrot Дата рождения: 20 ноября 1924 Место рождения: Варшава, Польша Гражданство … Википедия
    Мандельброт Бенуа — Бенуа Мандельброт фр. Benoit Mandelbrot Дата рождения: 20 ноября 1924 Место рождения: Варшава, Польша Гражданство … Википедия
    фрактал — В прошлом математики концентрировали внимание на множествах и функциях, для которых могут быть применены методы классических вычислений. Функции, которые не являются достаточно гладкими или регулярными, часто игнорировались как… … Справочник технического переводчика

  2. Hellshade Ответить

    В современном мире всё стремительно меняется. Это касается и самой «старой» науки – математики. Меня заинтересовало одно из открытий тридцатилетней давности – открытие фракталов – удивительно красивых и таинственных геометрических объектов.
    На уроках геометрии мы изучаем окружности, параллелограммы, треугольники, квадраты и т. д. Однако в природе большей частью объекты «неправильные» – шероховатые, зазубренные, изъеденные ходами и отверстиями. По этому поводу родоначальник фракталов Б. Мандельброт в своей книге «Фрактальная геометрия природы» замечает следующее:
    «Почему геометрию часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин заключается в её неприспособленности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака – не сферы, горы – не конусы, береговые линии – не окружности, древесная кора не гладкая, а молния распространяется не по прямой. В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько иррегулярны (от латинского неправильный, не подчинённый определённому положению, порядку) и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом – термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, – Природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно».
    В своей работе я уделил основное внимание различным определениям фрактала, классификации фракталов, связи фракталов, природы и искусства, а также построению фракталов в замечательной программе «Живая геометрия. »
    2. Исторический экскурс. Б. Мандельброт – основоположник фракталов.
    Основоположником фракталов является Бенуа Мандельброт. Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году. В 1936 году семья Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж (там уже жил дядя Бенуа – Франсуа Мандельброт, член группы математиков, известной под псевдонимом «Никола Бурбаки»). После войны Мандельброт стал студентом Сорбонны. В университете, по настоянию дяди, юный Бенуа внимательно проштудировал полузабытые разделы комплексного анализа, развитые в начале века Пьером Фату (1878 -1929) и Гастоном Жюли (1893 – 1978): они исследовали именно преобразования комплексной плоскости, и эти штудии весьма пригодились через 30 лет при поисках множества Мандельброта. Его вело провидение. Окончив университет, Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Но, получив докторскую степень, он ушел от академической науки. В 1958 году Мандельброт приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне. Работая в IBM, Бенуа Мандельброт занимался самыми разнообразными задачами. Трудился в области лингвистики, где переформулировал и уточнил эмпирический закон частотного распределения слов в тексте: теперь он называется закон Ципфа-Мандельброта. Работал над задачами теории игр, экономики, географии, астрономии, физики. Ему нравилось бросаться от одной темы к другой: он искал. Он всегда искал одно и то же, даже не осознавая точно, что именно ищет.
    Исследуя экономику, Мандельброт обнаружил, что произвольные, на первый взгляд, колебания цены могу следовать скрытому математическому порядку. Он занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течении дня казались случайными, но Мандельброт различил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Уже тогда, почти за двадцать лет до открытия множества Мандельброта, которое стало его своеобразным «автографом», Мандельброт увидел самоподобные фракталы там, где все остальные видели только деньги и ткани.
    Сегодня Бенуа Мандельброт – профессор Йельского университета, член американской Академии искусств и наук США. Он удостоен многочисленных почётных степеней и наград. Его последняя важная награда – премия Вольфа по физике.
    3. Определение фрактала.
    Nomen est numen
    Назвать значит понять.
    Формально определения фрактала не существует. Сам термин фрактал принадлежит Мандельброту. Я нашел несколько определений фрактала, данных Мандельбротом. Приведу их в порядке появления.
    Первое определение Мандельброта: «Термин фрактал образован от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как ломать, разламывать, т. е. создавать фрагменты неправильной формы. Таким образом, разумно – и как кстати! – будет предположить, что помимо значения «фрагментированный»(как, например, в словах фракция или рефракция), слово fractus должно иметь и значение «неправильный по форме»; примером сочетания обоих значений может служить слово фрагмент. Словосочетание «фрактальное множество» мы впоследствии определим строго, сочетание же «естественный (или природный фрактал)» я предлагаю применять более свободно для обозначения естественных структур, которые с той или иной целью могут быть представлены в виде фрактального множества. Например, броуновские кривые являются фрактальными множествами, а броуновское движение мы назовём природным фракталом. »
    Второе определение Б. Мандельброта: «Все фигуры, которые я исследовал и назвал фракталами, в моём представлении обладали свойством быть «нерегулярными», но самоподобными. »
    Третье определение Б. Мандельброта: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. »
    Приведу определения фракталов других учёных.
    Дж. Глейк: «Фракталы – это геометрические фигуры, полученные в результате дробления на части, подобные целому, или при одном и том же преобразовании, повторяющемся при уменьшающихся масштабах. »
    Джеф Проузис: «Фрактал – это объект, обладающий бесконечной сложностью, позволяющий вблизи рассмотреть не меньше деталей, чем издалека. Классический пример – Земля. Из космоса она выглядит как шар. Приближаясь к ней, мы обнаружим океаны, континенты, побережья и цепи гор. Позднее взору предстанут более мелкие детали: кусочек земли на поверхности гор, столь же сложный и неровный, как сама гора. Потом покажутся крошечные частички грунта, каждая из которых сама является фрактальным объектом.
    Автор книги считает, что «известное евангельское выражение: «Я есть Альфа и Омега, начало и конец, первый и последний» – безупречно сформулированное определение фрактала. »
    В 1922 году английский математик и метеоролог Льюис Фрай Ричардсон (1881-1953) опубликовал работу, посвящённую математическим моделям предсказания погоды. В ней он в частности, пародировал стихи Джонатана Свифта: «Блох больших кусают блошки
    Блошек тех – малютки-крошки,
    Нет конца тем паразитам,
    Как говорят, ad infinitum. »
    («Ad infinitum» в переводе с латыни – «до бесконечности»). Я считаю (особенно при взгляде на звезды Кох в виде окружностей), так же как и автор статьи в , что это четверостишие вполне может служить описанием фрактала, т. к. оно образное и бьёт в самую точку.
    «Фрактал – бесконечно самоподобная фигура,» – так говорят математик.
    Итак, фракталы – это геометрические фигуры с набором очень интересных особенностей, а именно: дробление на части, подобные целому, или одно и то же преобразование, повторяющееся при уменьшающемся масштабе.
    Важнейшие признаки фрактала: самоподобие и изломанность.
    В геометрии самоподобной называют ту фигуру, которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой. Самоподобными являются, например, правильный треугольник и квадрат.
    Изломанность фрактала понятна и визуально.
    В самом простом случае часть фрактала содержит информацию о всём фрактале.
    4. Классификация фракталов.
    4. 1 Геометрические фракталы.
    Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры и получается геометрический фрактал.
    Я в своей работе основное внимание уделил именно геометрическим фракталам , т. к. для детального изучения других видов у меня пока не хватает знаний.
    4. 2 Алгебраические фракталы.
    Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах.
    Наиболее известный алгебраический фрактал – удивительная фигура, известная во всём мире под именем «множество Мандельброта», которое до Мандельброта видели (не вычислили, не построили! Так что можно утверждать: фракталы были открыты экспериментально) и другие учёные (Р. Брукс, Дж. Мателски, Дж. Хаббард). Но первооткрывателем считают Мандельброта, потому что он увидел новую область знаний и исследований – фрактальную геометрию.
    Задаётся «множество Мандельброта» с помощью преобразования комплексной плоскости Z > Z+C. Авторы считают, что «по простоте предпосылок и богатству следствий и смыслов алгоритм Мандельброта Z >Z+C сравним с гениальной теоремой Пифагора a+b=c или с уникальной формулой Эйнштейна E=mc. »
    4. 3 Стохастические фракталы.
    Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты, очень похожие на несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т. д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности или поверхности моря.
    Существуют и другие классификации фракталов.
    5. Фракталы и природа.
    Природа – это сочетание самых простых математических идей.
    А. Эйнштейн.
    Человек – нелинейный фрактал
    Вселенной.
    Ю. Тихоплав.
    Удивительная простота фрактальных алгоритмов и потрясающее великолепие их форм сделали их фрактальную геометрию необычайно эффективным орудием для описания морфологических (морфология – комплекс наук, изучающих форму и строение животных и растительных организмов) свойств природы. Не случайно говорится: «Мудрость в простоте. » Принцип единого простого, задающего разнообразное сложное, можно проследить в устройстве всего мироздания. Этот принцип заложен в геноме человека и животных, когда одна клетка живого организма содержит всю информацию обо всём организме в целом.
    Форму фрактала имеют легкие человека, мозг, кровеносная система и др. На сегодняшний день исследования в области фракталов получили широкое применение в таком важном разделе медицины как кардиология.
    Итак, конец XX века ознаменовался не только открытием поразительно красивых и бесконечно разнообразных фракталов, но и осознанием фрактального характера геометрии природы.
    Если на заре естествознания Галилей (1564 – 1642) утверждал, что «книга природы раскрыта перед нами, но она написана не теми буквами, из которых состоит наш алфавит; её буквы – это треугольники, четырёхугольники, круги, шары», то к концу XX века стало ясно, что книга природы написана на языке фракталов. Причудливые очертания береговых линий и замысловатые извилины рек, изломанные поверхности горных хребтов и причудливые очертания облаков, раскидистые ветви деревьев и разветвлённые сети кровеных сосудов и нейронов, робкое мерцание свечи и вспенённые турбулентные (беспорядочные) потоки горных рек – всё это фракталы. Одни фракталы, типа облаков или бурных потоков, постоянно меняют свои очертания, другие, подобно деревьям или нейронным сетям, сохраняют свою структуру неизменной. Общим для обоих типов фрактальных структур является их самоподобие – основное свойство, обеспечивающее выполнение во фракталах основного закона – закона единства в многообразии мироздания. Что касается соответствия реальному миру, то фрактальная геометрия описывает весьма широкий класс природных процессов и явлений, и поэтому мы можем вслед за Б. Мандельбротом с полным правом говорить о фрактальной геометрии природы.
    6. Фракталы и искусство.
    Глубочайшее эмоциональное воздействие на людей оказывают фракталы, возникшие на самом гребне научно-технического прогресса XXв. Человеку, впервые созерцающему фантастические узоры, трудно поверить, что выполнила их не обладающая воображением «бесчувственная» вычислительная машина, следуя несложному математическому замыслу.
    Многообразие фракталов превосходит фантазию любого художника. Чего здесь только нет: листья «папоротника», расходящиеся причудливые узоры, невероятные изгибы и закрутки. Многоцветье, динамика и разрастание множеств поражает и завораживает. В этих современных математических картинах безраздельно властвует цвет, форма, богатейшая фантазия и тонкий композиционный расчёт. Все слито воедино. Компьютер, как мастистый и самобытный художник, создаёт прекрасные, радующее глаз, полотна.
    Существует множество программ для построения фракталов. Принцип работы многих из них одинаков. В соответствующую рамочку на главной панели вводится формула, а потом появляется фрактал. Или просто выбирается уже заложенная в программу формула, которая отвечает той или иной фигуре.
    Кроме плоских фракталов, с помощью компьютера можно строить и пространственные. Пространственные фрактальные рисунки ещё более красивы. Здесь и причудливые облака, и остроконечные горы, и замысловатые глубоководные впадины.
    Фракталам подвластны самые невероятные формы, ведь компьютерное искусство фрактальной геометрии не знает границ.
    Главное применение фракталов – современная компьютерная графика. С их помощью можно создавать плоские множества и поверхности очень сложной формы. Фрактальная геометрия незаменима при создании искусственных облаков, морей, горных ландшафтов.
    Именно алгоритмом Мандельброта пользуется природа, создавая свои шедевры – фракталы золотого сечения – от листа травы до биологической популяции. Поэтому не удивительно, что фракталы поразительно красивы. Своей красотой и разнообразием форм они поразили не только математиков. Устроенная в 1984 году Институтом Гёте выставка «Границы хаоса», представлявшая собой «портреты» фракталов, имела сенсационный успех и обошла весь мир.
    Впервые в истории науки результат математических расчетов демонстрировались широкой публике как произведения искусства.
    Ещё через два года представленные на выставке материалы были собраны в книге Петера Рихтера и Ханса-Отто Пайтгена «Красота фракталов», которая в 1993 году вышла в России.
    Рихтер и Пайтген были буквально потрясены красотой и разнообразием нелинейных фракталов. Они писали: «Мы обнаружили там фантастический мир, богатство форм которого контрастирует почти на грани абсурда с простой формулы Z > Z+C». Фрактальный бум охватил всю планету и стал одной из примет науки конца второго тысячелетия.
    При ближайшем рассмотрении оказывается, что вся символика различных религий и эзотерических школ также содержит элементы фрактальных конструкций, базирующихся на некоторой фундаментальной геометрической первооснове – изображении креста.
    Внешняя архитектурная сферо– кубо- пирамидальная форма евроазиатских христианских монастырей, буддийских храмов, исламских мечетей, египетских пирамид, пирамидальных конструкций цивилизации майя и т. д. , содержит в себе тот же фрактальный базис – трехмерный крест.
    7. Заключение.
    Фрактальная наука ещё очень молода, и ей предстоит большое будущее.
    Задачи, которые открываются перед новой областью математики – фрактальной геометрией , – сложны и многообразны.
    Но я убедился, что тем, кто занимается фракталами, открывается прекрасный, удивительный мир, в котором царят математика, природа и искусство.
    Я думаю, что после знакомства с моей работой, вы, как и я, убедитесь в том, что математика прекрасна и удивительна.
    В дальнейшем я собираюсь написать алгоритмы построения в программе «Живая геометрия» остальных известных геометрических фракталов, а так же придумать свои геометрические фракталы, и попробовать построить алгебраические нелинейные фракталы.

  3. AXILLES ADAMSON Ответить

    Действительно ли Вселенная бесконечна или просто очень велика? Есть ли у Вселенной центр? Есть ли у неё границы? Их нет, так же, как нет центра и границ у фрактала. Представьте себе, что всё вокруг – фрактал. И мы тоже часть этого фрактала.Бесконечное самоподобие.

    Расширяющаяся вокруг нас Вселенная – не единственная, нас могут окружать миллиарды других вселенных. Возможно, наш мир представляет собой лишь часть Мультимира -гипотетического множества всех возможных параллельных вселенных. Существуют гипотезы, что вселенные Мультимира могут быть с разными законами физики и разным количеством пространственных измерений.
    Большинство учёных признают, что Вселенная имеет фрактальную структуру: планетарные системы объединены в галактики, галактики в кластеры, кластеры всуперкластеры и так далее. Ранее учёные полагали, что распределение материи можно считать непрерывным, начиная с объектов размером около 200 миллионов световых лет. Данные о более чем 900 тысячах галактик и квазаров показали, что непрерывность отсутствует и при масштабе в 300 миллионов световых лет.
    Полученные выводы противоречат основам теории Большого Взрыва, согласно которой в первые моменты после рождения Вселенной материя была распределена равномерно и непрерывно.

    Ряд учёных полагают, что за время, прошедшее с момента Большого Взрыва, под действием гравитации фрактальные структуры вселенского масштаба не могли успеть образоваться.
    Сегодня не существует одной математической модели или теории, которая могла бы описать каждый аспект Вселенной. Теория бесконечной вложенности материи – фрактальная теория – это альтернативная философская и космологическая теория, не входящая в стандартные академические области науки. В настоящее время теории фрактальной Вселенной не существует. Как считают исследователи, опираясь на теорию относительности Эйнштейна, создание такой теории возможно. Если академическая наука признает, что материя во Вселенной распределена в виде фрактала, потребуется пересмотр практически всех существующих моделей Вселенной.
    Фракталы воплощают принцип повторения – копий, в изобилии присутствующих в природе. Это геометрические формы, которые выглядят одинаково при любой степени приближения. Фрактальная геометрия не есть «чистая» геометрическая теория. Это концепция, новый взгляд на хорошо известные вещи, перестройка восприятия, заставляющая исследователя по-новому видеть мир.
    То, что материя делится до бесконечности, утверждали ещё Аристотель, Декарт иЛейбниц. В каждой частице, какой бы малой она ни была, «есть города, населённые людьми, обработанные поля, и светит солнце, луна и другие звёзды, как у нас» – утверждал греческий философ Анаксагор в своём труде о гомеомериях в V веке до нашей эры.
    Основной постулат легендарной «Изумрудной Скрижали» Гермеса Трисмегиста гласит:«То, что находится внизу, аналогично тому, что находится вверху». Этот принцип принят за аксиому последователями герметической философии, которые утверждали аналогию между микро и макро мирами.

    Сакральные учения всех древних цивилизаций пронизывает идея существования гармоничной Вселенной. Египетская богиня истины и порядка Маат представляла собой воплощение принципа естественного порядка вещей. Греки, учившиеся у египтян, связали с цивилизацией слово «космос», переводимое как «вышивка» и выражающее гармонию и красоту «самоподобия». Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же элементы. Все они могут быть описаны в виде математических уравнений.
    Принципы сакральной геометрии, в основе которой лежат фракталы, «платоновы тела», спираль Золотого сечения, числоФи, в равной мере присущи и человеку, и цветку, и звёздам. Всё, что существует в реальном мире, является фракталом: кровеносная система, кроны и листья деревьев, облака и молекула кислорода.
    Исследования, связанные с фракталами, меняют привычные представления об окружающем нас мире. Фракталы заставляют пересмотреть наши взгляды на геометрические свойства объектов. Фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.
    Мы не можем описать камень, участок ландшафта, поверхность моря, скалу или границы острова с помощью прямых линий, кругов и треугольников. Здесь нам приходят на помощь фракталы. С помощью фракталов эти структуры можно моделировать, создавать, что и используется в различных компьютерных программах.

    Когда мы всматриваемся во фрактальную форму, то видим одну и ту же структуру независимо от степени увеличения. Такое подобие можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении горы, облака, береговые линии. Природа есть неразрывная паутина.
    Фрактальная геометрия – геометрия природы. Сама природа пользуется её достижениями и примеры этого можно найти повсюду: от спиралей раковины и цветков маргаритки до симметрии шестиугольных пчелиных сот. «Самоподобие» можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Все объекты во Вселенной взаимопроникают друг в друга.
    Фрактальная геометрия предопределяет формы молекул и кристаллов, которые составляют наши тела и Космос. Фактически она есть ключ к пониманию Вселенной.
    Фрактальная структура – это генетический код Вселенной.опубликовано econet.ru
    P.S. И помните, всего лишь изменяя свое потребление – мы вместе изменяем мир! © econet
    Присоединяйтесь к нам в Facebook , ВКонтакте, Одноклассниках

  4. Mr.BekA Ответить

    Работу выполнили ученицы 8 «Б» класса
    Токтулатова Дария и Ерина Вероника.
    МАОУ «СОШ №30 г. Йошкар-Олы».
    Научный руководитель: учитель математики
    Микубаева Эльвира Владимировна
    Фракталы и фрактальная геометрия.
    Слово “фрактал” — это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от ученых до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Наша работа посвящена данной актуальной теме, а именно фракталам.
    Цель нашей работы: изучение фракталов как самоподобные геометрические фигуры, рассмотрение их видов, применение в современном мире, нахождение фракталов среди обыденных вещей.
    Задачи: знакомство с историей возникновения и  развития фрактальной геометрии; с понятием фрактала, с различными видами фракталов; применение фракталов в науке и технике; изучение фрактальных объектов в природе,  создание собственного фрактального изображения.
    Данная работа затрагивает предметные области: математика, биология, география, физика. В результате проведения исследовательской работы мы  получили представление о фракталах, нашли ответы на интересующие вопросы.
    Фракталы и фрактальная геометрия.
    История возникновения.
    Проблема изучения самоподобных объектов, с необычными, с точки зрения классической математики свойствами, была рассмотрена еще в конце XIX – начале XX века в работах Жюлиа, Пуанкаре, Пеано, Кантора, Хаусдорфа и других известных ученых. Но именно Мандельброт был первым, кому удалось объединить разрозненные научные результаты и показать их практическую значимость.
    Термин фрактал  был впервые использован для описания самоподобных структур в работе франко-американского математика Бенуа Мандельброта “Фракталы” в 1975 году.
    Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Бенуа Мандельброта  “Фрактальная геометрия природы”. Мандельброт положил начало систематическому изучению фракталов. Своими яркими и фундаментальными работами он пробудил всеобщий интерес к фрактальной геометрии.
    Что такое фракталы?
    Фрактал — термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Такие  фигуры имеют  свои  особенности (дробление на части, подобное целому, или одно и то же преобразование, повторяющееся при уменьшающемся масштабе).
    Во фрактальной стpyктyрe любая произвольная точка пространства является точкой разветвления.
    На рисунке представлено фрактальное дерево, созданное с помощью компьютера английским ученым Майклом Бэтти . Каждая веточка дерева разделяется на две , чтобы в итоге создать фрактальный купол . Иллюстрация слева представляет шесть итераций или ветвлений . На тринадцатой итерации ( иллюстрация справа ) дерево приобретает уже более реалистические черты. Такое рекурсивное моделирование может генерировать различные разновидности деревьев с помощью изменения фрактального числа.
    В основном фракталы классифицируют по трём группам:
    Геометрические фракталы
    Алгебраические фракталы
    Стохастические фракталы
    Рассмотрим подробнее каждую из них.
    1.Геометрические фракталы
    Именно с них и начиналась история фракталов. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется аксиома – набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к ней применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру.  Рассмотрим 2 классических примера.
    Кривая Коха.     Кривая Коха была описана в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом (1870-1924) .
    Алгоритм построения
    Единичный отрезок делим на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без средней трети; в результате образуется ломанная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3; на следующем шаге повторяем описанную выше операцию для каждого из четырех получившихся звеньев; этот процесс продолжается неограниченно; предельная кривая и есть кривая Коха.
    Треугольник Серпиньского. В 1915 году польский математик Вацлав Серпиньский (1882-1969) придумал красивый фрактальный объект – треугольник Серпиньского (его еще называют салфеткой или решетом Серпиньского).
    Алгоритм построения
    Процесс построения начинается с равностороннего треугольника.   На 1-ом шаге делим стороны треугольника пополам и соединяем середины сторон отрезками. В результате получаем три новых равносторонних треугольника, соединенных вершинами. Далее применяем аналогичное преобразование к каждому из образованных треугольников. Продолжая этот процесс до бесконечности, получим фрактал – треугольник Серпиньского.
    Алгебраические фракталы
    Вторая большая группа фракталов – алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул. Алгебраические фракталы могут быть линейными и нелинейными. Линейные фракталы – это фракталы, определяемые линейными функциями, то есть уравнениями первого порядка. Значительно богаче и разнообразнее нелинейные фракталы – это фракталы, определяемые нелинейными функциями. Примерами алгебраических фракталов  являются Множество Мальдеьброта, Множество Жюлиа
    3.Стохастические фракталы
    Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. Получаются объекты очень похожие на природные – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.
    Типичным представителем этой группы фракталов является «плазма».
    Фракталы в природе
    Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения.
    Морские раковины, Молнии
    Лёд, морозные узоры, павлины, От увеличенного изображения листочка, до ветвей дерева – во всём можно обнаружить фракталы.
    Применение фракталов в науке и технике.
    Изучение фракталов открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Фракталы находят все большее и большее применение в науке.
    Это возможно потому, что фракталы позволяют
    намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования;
    описать нестабильные системы и процессы и,
    самое главное, предсказать будущее таких объектов
    С помощью теории фракталов стали объяснять   эволюцию галактик и  развитие клетки, возникновение гор и  образование облаков,  движение цен на бирже и развитие общества  и семьи.
    В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов. В биологии они применяются  для моделирования популяций, описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
    Также фрактальную геометрию используют для проектировании антенных устройств. Впервые это применено американским инженером Натаном Коэном.
    Одно  из наиболее мощных приложений фракталов лежит в компьютерной графике. Это фрактальное сжатие изображений. Существуют алгоритмы для сжатия изображения с помощью фракталов. Они  являются результатом работы исследователя Технологического института шт. Джорджия Майкла Барнсли.
    Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети.
    Фракталы широко применяются для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.
    Фракталы неисчерпаемы, как неисчерпаемы их приложения в науке, технике и искусстве. Но не следует забывать о том, что и фракталы — не более чем упрощенная модель реальности, которая не может претендовать на роль универсального ключа к описанию природы. Мы помним, что мир устроен не только причудливей, чем мы думаем, но и причудливей, чем мы можем предполагать. Литература:
    Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.
    Третьяков Ю.Д. Дендриты, фракталы и материалы // Соросовский образовательный журнал.
    Интернет ресурсы:
    http://www.fractals-main.ru/perelman_page0.html:
    http://lol54.ru/education/uvgsfeshshht_informative/28368-ogromnaja-podborka-fraktalov-fractals-176-sht..html
    .http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%F0%E0%EA%F2%E0%EB
    4.  http://3dfractal.ru/stati-o-fraktalah/31.html

  5. Ludinnapa Ответить

    AdFox_getCodeScript(1,pr1,’//ads.adfox.ru/216820/prepareCode?p1=buqyd&p2=ffwe&pct=c&pfc=a&pfb=a&plp=a&pli=a&pop=a&pr=’ + pr +’&pt=b&pd=’ + addate.getDate() + ‘&pw=’ + addate.getDay() + ‘&pv=’ + addate.getHours() + ‘&prr=’ + afReferrer + ‘&puid1=&puid2=&puid3=&puid4=&puid5=&puid6=&puid7=&puid8=&puid9=&puid10=&puid11=&puid12=&puid13=&puid14=&puid15=&puid16=&puid17=&puid18=&puid19=&puid20=&puid21=&puid22=&puid23=&puid24=&puid25=&puid26=&puid27=&puid28=&puid29=&puid30=&puid31=&puid32=&puid33=&puid34=&puid35=&dl=’+dl+’&pr1=’+pr1);
    AdFox_getCodeScript(1,pr1,’//ads.adfox.ru/216820/prepareCode?p1=buqyf&p2=ffwh&pct=a&pfc=a&pfb=a&plp=a&pli=a&pop=a&pr=’ + pr +’&pt=b&pd=’ + addate.getDate() + ‘&pw=’ + addate.getDay() + ‘&pv=’ + addate.getHours() + ‘&prr=’ + afReferrer + ‘&puid1=&puid2=&puid3=&puid4=&puid5=&puid6=&puid7=&puid8=&puid9=&puid10=&puid11=&puid12=&puid13=&puid14=&puid15=&puid16=&puid17=&puid18=&puid19=&puid20=&puid21=&puid22=&puid23=&puid24=&puid25=&puid26=&puid27=&puid28=&puid29=&puid30=&puid31=&puid32=&puid33=&puid34=&puid35=&dl=’+dl+’&pr1=’+pr1);

    AdFox_getCodeScript(1,pr1,’//ads.adfox.ru/216820/prepareCode?p1=buqyh&p2=ffwf&pct=a&pfc=a&pfb=a&plp=a&pli=a&pop=a&pr=’ + pr +’&pt=b&pd=’ + addate.getDate() + ‘&pw=’ + addate.getDay() + ‘&pv=’ + addate.getHours() + ‘&prr=’ + afReferrer + ‘&puid1=&puid2=&puid3=&puid4=&puid5=&puid6=&puid7=&puid8=&puid9=&puid10=&puid11=&puid12=&puid13=&puid14=&puid15=&puid16=&puid17=&puid18=&puid19=&puid20=&puid21=&puid22=&puid23=&puid24=&puid25=&puid26=&puid27=&puid28=&puid29=&puid30=&puid31=&puid32=&puid33=&puid34=&puid35=&dl=’+dl+’&pr1=’+pr1);
    AdFox_getCodeScript(1,pr1,’//ads.adfox.ru/216820/prepareCode?p1=brpxw&p2=ezay&pct=c&pfc=a&pfb=a&plp=a&pli=a&pop=a&pr=’ + pr +’&pt=b&pd=’ + addate.getDate() + ‘&pw=’ + addate.getDay() + ‘&pv=’ + addate.getHours() + ‘&prr=’ + afReferrer + ‘&puid1=&puid2=&puid6=&dl=’+dl+’&pr1=’+pr1);
    AdFox_getCodeScript(1,pr1,’//ads.adfox.ru/216820/prepareCode?p1=bsaap&p2=ewex&pct=a&pfc=a&pfb=a&plp=a&pli=a&pop=a&pr=’ + pr +’&pt=b&pd=’ + addate.getDate() + ‘&pw=’ + addate.getDay() + ‘&pv=’ + addate.getHours() + ‘&prr=’ + afReferrer + ‘&puid1=&puid2=&puid3=&puid4=&puid5=&puid6=&puid7=&puid8=&puid9=&puid10=&puid11=&puid12=&puid13=&puid14=&puid15=&puid16=&puid17=&puid18=&puid19=&puid20=&puid21=&puid22=&puid23=&puid24=&puid25=&puid26=&puid27=&puid28=&puid29=&puid30=&puid31=&puid32=&puid33=&puid34=&puid35=&dl=’+dl+’&pr1=’+pr1);
    AdFox_getCodeScript(1,pr1,’//ads.adfox.ru/216820/prepareCode?p1=btcpl&p2=ffpv&pct=a&pfc=a&pfb=a&plp=a&pli=a&pop=a&pr=’ + pr +’&pt=b&pd=’ + addate.getDate() + ‘&pw=’ + addate.getDay() + ‘&pv=’ + addate.getHours() + ‘&prr=’ + afReferrer + ‘&puid1=&dl=’+dl+’&pr1=’+pr1);
    AdFox_getCodeScript(1,pr1,’https://ads.adfox.ru/216820/prepareCode?p1=blzrv&p2=ewfz&pct=a&pfc=a&pfb=a&plp=a&pli=a&pop=a&pr=’ + pr +’&pt=b&pd=’ + addate.getDate() + ‘&pw=’ + addate.getDay() + ‘&pv=’ + addate.getHours() + ‘&prr=’ + afReferrer + ‘&dl=’+dl+’&pr1=’+pr1);
    AdFox_getCodeScript(1,pr1,’//ads.adfox.ru/216820/prepareCode?p1=brcjb&p2=favi&pct=a&pfc=a&pfb=a&plp=a&pli=a&pop=a&pr=’ + pr +’&pt=b&pd=’ + addate.getDate() + ‘&pw=’ + addate.getDay() + ‘&pv=’ + addate.getHours() + ‘&prr=’ + afReferrer + ‘&puid1=&dl=’+dl+’&pr1=’+pr1);
    AdFox_getCodeScript(1,pr1,’//ads.adfox.ru/216820/prepareCode?p1=bsxhx&p2=fezv&pct=a&pfc=a&pfb=a&plp=a&pli=a&pop=a&pr=’ + pr +’&pt=b&pd=’ + addate.getDate() + ‘&pw=’ + addate.getDay() + ‘&pv=’ + addate.getHours() + ‘&prr=’ + afReferrer + ‘&puid1=&puid2=&puid3=&puid4=&puid5=&puid6=&puid7=&puid8=&puid9=&puid10=&puid11=&puid12=&puid13=&puid14=&puid15=&puid16=&puid17=&puid18=&puid19=&puid20=&puid21=&puid22=&puid23=&puid24=&puid25=&puid26=&puid27=&puid28=&puid29=&puid30=&puid31=&puid32=&puid33=&puid34=&puid35=&dl=’+dl+’&pr1=’+pr1);
    AdFox_getCodeScript(1,pr1,’//ads.adfox.ru/216820/prepareCode?p1=burbc&p2=fiwp&pct=a&pfc=a&pfb=a&plp=a&pli=a&pop=a&pr=’ + pr +’&pt=b&pd=’ + addate.getDate() + ‘&pw=’ + addate.getDay() + ‘&pv=’ + addate.getHours() + ‘&prr=’ + afReferrer + ‘&puid1=&puid2=&puid3=&puid4=&puid5=&puid6=&puid7=&puid8=&puid9=&puid10=&puid11=&puid12=&puid13=&puid14=&puid15=&puid16=&puid17=&puid18=&puid19=&puid20=&puid21=&puid22=&puid23=&puid24=&puid25=&puid26=&puid27=&puid28=&puid29=&puid30=&puid31=&puid32=&puid33=&puid34=&puid35=&dl=’+dl+’&pr1=’+pr1);
    AdFox_getCodeScript(1,pr1,’//ads.adfox.ru/216820/prepareCode?p1=buxjw&p2=fjkb&pct=a&pfc=a&pfb=a&plp=a&pli=a&pop=a&pr=’ + pr +’&pt=b&pd=’ + addate.getDate() + ‘&pw=’ + addate.getDay() + ‘&pv=’ + addate.getHours() + ‘&prr=’ + afReferrer + ‘&puid1=&puid2=&puid3=&puid4=&puid5=&puid6=&puid7=&puid8=&puid9=&puid10=&puid11=&puid12=&puid13=&puid14=&puid15=&puid16=&puid17=&puid18=&puid19=&puid20=&puid21=&puid22=&puid23=&puid24=&puid25=&puid26=&puid27=&puid28=&puid29=&puid30=&puid31=&puid32=&puid33=&puid34=&puid35=&dl=’+dl+’&pr1=’+pr1);

  6. shipping Ответить


    Шахова Алевтина Бруновна
    (3 марта 2015 г. 21:17)
    Здравствуйте Игорь Владимирович, мы коллеги Марии Гавриловны, в конференции есть рубрика “Портреты” и в память о замечательном грамотном преподавателе черчения и геометрии Хоревой Марии Гавриловны можно было было бы дать описание ее биографии, что наверное в полной мере можете воспроизвести только Вы.
    Доклад очень интересный и познавательный для всех геометров. Спасибо.
    С уважением Шахова А.Б.

    Мокрецова Людмила Олеговна
    (4 марта 2015 г. 1:58)
    Добрый вечер, Игорь Владимирович! Давно ждала начала дискуссии по поводу достижений в области фрактальной геометрии.
    Большое спасибо за доклад, думаю , что ее место не только в в “инфографике”, но и в и моделировании любых пространственных форм. Нам надо серьезно заниматься фрактальной геометрией и разрабатывать методики ее преподавания.
    С уважением, Л.О.Мокрецова

    Дударь Елена Сергеевна
    (10 марта 2015 г. 13:10)
    Игорь Владимирович, спасибо за интересный доклад!
    Для желающих подробнее познакомиться с основами фрактальной геометрии автор любезно предоставил в оргкомитет электронные версии книг: В.К. Балханов «Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления» и монографию Билла Вильямса «Новые измерения в биржевой торговле…».
    С позволения автора привожу его отзывы о книгах, в которых в доступной форме изложен «очень сложный материал. Это просто музыкальность в области мысли и логики. Это действительно талантливо и заслуживает внимания».
    Елена С. Дударь

  7. Gavinralhala Ответить

    Отсюда видим главное отличие фрактальной геомет­рии: она не занимается изучением обычных объемных тел и, конечно, изменением их объема; аффинная геометрия также не занимается природой фрактальных форм. Мы воспользуемся только ее названием и будем в дальнейшем усовершенствовать математический аппарат в качестве инструмента для изучения физических явлений. Здесь истины ради следует сказать, что физическое начало изучения формообразования природных объектов поло­жил И. Кеплер (см. п. 1.2) в работе «О шестиугольных снежинках», на которую ученые не обращали внимание почти 400 лет. Теперь мы более сведущи и более подго­товлены, поэтому перед нами открываются большие воз -можности фрактального анализа.
    Сущность фрактального анализа заключается в том, что в нем рассматриваются совокупности точек в каче­стве основных объектов. Эта особенность аффинной гео­метрии согласуется с фундаментальной структурой фрактальной физики, в которой частицы, электроны, ядра представляются электрическими зарядами, а например, Галактика — как совокупность заряженных звезд типа Солнца. Положение существенно изменилось после того, как была установлена новой наукой о мироздании связь фрактальных структур и их размерностей с энергетиче­скими характеристиками системы. В последнее время были найдены формы описания всех эффектов взаимо­действий объектов единой, электромагнитной природы, для которых пространство основных состояний описыва­ется в терминах фракталов. При развитии теории фрак­талов обнаружены новые, неизвестные ранее закономер­ности.
    Действительно, фрактальная физика — это наука о ми­ре в целом — обнаружила и установила, что все явления и процессы имеют единое фундаментальное взаимодей­ствие, электромагнитное по своей сущности, и проявля­ются они в форме различных фрактальных, электриче­ских структур, которые могут быть и не самоподобны. Поэтому пространство взаимодействий физических объ­ектов описывается как евклидовой, так и аффинной гео­метриями. Такое различие связано с тем, что при анализе процессов микромира значения приращений простран­ства не следует, в отличие от евклидовой геометрии, вы­бирать произвольно. Мы знаем (см. Введение, п. 4), что микроструктура пространства образуется комбинациями элементарных электрических зарядов. Вот почему новая наука описывает адекватно реальности взаимодействия частиц микромира в аффинном пространстве, где отсут­ствует измерение длин и площадей. Кроме того, достиг­нутые фрактальной физикой результаты указывают на то, что фрактальная геометрия не знала о них и поэтому не могла изучать эти физические объекты ввиду своей огра –
    ниченности. Как это часто бывает, многие работы по фрактальной геометрии следует рассматривать скорее как конспективные заметки или краткие тезисы по вопросу определения фрактальной размерности разветвленных объектов, ибо в них не просматривается глубокой связи с энергетическими показателями взаимодействующих сис­тем. Прилагаемый список литературы дает возможность достаточно быстро войти в рассматриваемую проблему. Для читателей, желающих ознакомиться с первоначаль­ными понятиями и современной точкой зрения на теорию фракталов, имеются хорошие обзоры [30, 40].
    Новая физика использовала введенное геометрией по­нятие фрактальной размерности D и расширила ее при­менение для различных материальных объектов [3]. Фрактальная размерность выступает в качестве количе­ственной меры структурности этих объектов. Для опре­деления D вспомним понятия обычной евклидовой гео­метрии. Рассмотрим сплошной круговой или сферический объект массой М и радиусом R. Если объект круговой или сферический, то при увеличении радиуса объекта его масса увеличивается в R2 или в R3. Эту связь массы и длины мы можем записать в виде М ~ RE, где Е — раз­мерность (число координат) пространства. Объект назы­вается фрактальным, если он удовлетворяет соотношению М ~ RD, где D меньше пространственной размерности Е. Это указывает на то, что фрактальная геометрия описы­вает объекты с дробной размерностью пространства.
    Однако в реальных физических системах фрактальная размерность D выполняется не для любых масштабов длины, а ограничивается верхними и нижними пределами фрактальных объектов, которые являются не самоподоб­ными. Поэтому вводятся два совершенно различных значения размерности: локальное (справедливое для мас­штабов, меньших некоторого критического) и глобальное (справедливое для масштабов, больших критического). Эти размерности принципиально отличаются, поэтому в
    разных физических задачах нужно пользоваться разными определениями фрактальной размерности.
    Например, глобальная размерность (по-другому, внеш­няя размерность) кривой фрактального типа на плоскости изменяется от 1 до 2, где 1 — размерность прямой, 2 — размерность плоскости. Локальная (по-другому, внутрен­няя размерность) для этой кривой на плоскости изменя­ется от 1 до бесконечности. Эти размерности — глобаль­ная и локальная — совпадают только для тривиального случая гладкой кривой. Тогда становится понятным, что глобальная размерность фрактальной кривой изменяется от размерности гладкого объекта до размерности про­странства, а локальная — от размерности гладкого объ­екта до бесконечности.
    Теперь обсудим фрактальную размерность на примере регулярных, самоподобных фракталов. Рассмотрим сна­чала отрезок единичной длины, который разбит на N равных кусков длиной b, так что N = 1/b. По мере уменьше­ния b значение N растет линейно, что и следовало ожи­дать для одномерной кривой. Аналогично, если мы раз­делим квадрат единичной площади на N равных квадра­тиков со стороной b, то получим N = 1/b2 — ожидаемый для двумерного объекта результат. Можно утверждать, что в общем случае N = 1/bD, где D — размерность объ­екта. Следовательно, логарифмируя обе части этого ра­венства, можно выразить размерность в виде D = logN/log(l/b), которая не зависит от основания логариф­ма.
    Теперь применим эти соображения к так называемой кривой Коха (рис. 2.1).
    На рис. 2.1. представлены три стадии (а) — (в) форми­рования кривой Коха. На каждой стадии формирования этой кривой замена средней трети каждого сегмента про-изводится в направлении, которое увеличивает площадь под кривой. Мы видим, что при каждом уменьшении дли-ны b в три раза число сегментов увеличивается в четыре раза. Таким образом имеем N = 4 и b = 1/3, и фрак-
    тальная размерность треугольной кривой Коха равна D = ln4/ lnЗ = 1,2618… Это выражение является инвариантом, то есть остается неизменным для любого числа k-звеньев (сегментов) кривой, ибо D = ln4k/ln3k = 1,2618…

    Рис. 2.1. Формирование кривой Коха
    Здесь для удобства определения размерности исполь­зован натуральный логарифм. Ниже на конкретных при­мерах рассмотрим применение фракталов для описания физических объектов, что позволит уточнить понятия их глобальной и локальной размерностей и показать большие возможности фрактального анализа.

  8. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *