Что такое геометрия и что она изучает?

16 ответов на вопрос “Что такое геометрия и что она изучает?”

  1. Katilar Ответить

    Смотреть что такое “Геометрия” в других словарях:

    ГЕОМЕТРИЯ — (греч. geometria, от ge земля, и metron мера). Часть математики, имеющая предметом свойства и измерения линий, поверхностей и объемов тел. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГЕОМЕТРИЯ греч. geometria,… … Словарь иностранных слов русского языка
    ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, предметом изучения которого являются пространственные отношения и формы. Для большинства людей геометрия ассоциируется только с ГЕОМЕТРИЕЙ ЕВКЛИДА, предметом которой являются плоскости и жесткие геометрические фигуры … Научно-технический энциклопедический словарь
    ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, геометрии, мн. нет, жен. (от греч. ge земля и metreo измеряю). Отдел математики, в котором изучаются пространственные формы, их измерение и взаимное расположение. Элементарная геометрия. Аналитическая геометрия (пользующаяся методами… … Толковый словарь Ушакова
    ГЕОМЕТРИЯ — (от гео… и …метрия) раздел математики, в котором изучаются пространственные отношения (напр., взаимное расположение) и формы (напр., геометрические тела) и их обобщения. Возникновение геометрии относится к глубокой древности и обусловлено… … Большой Энциклопедический словарь
    ГЕОМЕТРИЯ — (от гео… и…метрия), часть математики, изучающая пространственные формы (например, фигуры и тела), их отношения (например, взаимное расположение) и их обобщения. Зарождение геометрии относится ко 2 му тысячелетию до нашей эры, в… … Современная энциклопедия
    ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, и, жен. Раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы. | прил. геометрический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
    геометрия — сущ., кол во синонимов: 9 • астероид (579) • линиолонгиметрия (2) • линиометрия (2) … Словарь синонимов
    геометрия — – правильная форма авто. EdwART. Словарь автомобильного жаргона, 2009 … Автомобильный словарь
    геометрия — конфигурация геометрическая форма — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы конфигурациягеометрическая форма EN geometry … Справочник технического переводчика
    Геометрия — (от гео… и …метрия), часть математики, изучающая пространственные формы (например, фигуры и тела), их отношения (например, взаимное расположение) и их обобщения. Зарождение геометрии относится ко 2 му тысячелетию до нашей эры, в… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

  2. WAWJAVOH Ответить

    Геоме?трия (от др.-греч. ?????????, от ?? — земля и ?????? — измеряю) — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
    Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.
    Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основе инвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор.
    Источник: Википедия

  3. Saigrinn Ответить

    Пифагор умер в изгнании, но его влияние на греческих математиков ощущалось на протяжении многих веков. После его кончины в Элее (город в Италии) новыми центрами развивающейся геометрии становились по очереди Афины и Александрия. Архит Тарентский (ок. 428 – ок. 365 до н.э.) и Гиппий Элидский (р. ок. 425 до н.э.) затратили много усилий на решение трех задач, игравших важную роль в древнегреческой математике: это задачи о трисекции угла, о построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга (задача о квадратуре круга), и о построении куба, имеющего вдвое больший объем, чем данный куб (задача об удвоении куба). Хотя ныне известно, что с помощью циркуля и линейки (единственных орудий геометрических построений, известных древнегреческим математикам) эти задачи решить нельзя, тем не менее попытки это сделать не были напрасны. Они стимулировали изучение конических сечений и способствовали совершенствованию математических методов.

    Александрия.

    Афинская школа числила в своих рядах таких великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной мысли переместился в Александрию (Египет), где в начале 3 в. до н.э. был основан знаменитый Александрийский Мусейон – один из главных научных центров античного мира. Живший в Александрии математик Евклид (3 в. до н.э.), биографические сведения о котором крайне скудны, собрал в 13 книгах своего сочинения значительную часть математических знаний того времени. Семь книг из 13 были посвящены геометрии, предмет которой был им тщательно и систематически изложен, различные утверждения и теоремы расположены в определенном порядке и перенумерованы. Была включена также теория пространственных тел, ограниченных плоскими поверхностями. Называлось это великое сочинение Начала, и последующие издания, точно придерживающиеся оригинала, стали основой обучения геометрии вплоть до нашего времени. Величайшим математиком античности был грек Архимед (ок. 287–212 до н.э.). Кроме множества других полученных им научных результатов и открытий, Архимед расширил ту часть Начал Евклида, в которой рассматривались пространственные тела, включив в их число сферу, цилиндр и конус. Другими великими александрийскими геометрами были Аполлоний Пергский (3 в. до н.э.; конические сечения), Птолемей (2 в. н.э.; астрономия) и Папп (3 в. н.э.; плоские кривые высших порядков). В 641 н.э. арабы разграбили Александрию и разрушили Мусейон и его библиотеку. Впрочем, греческая математика вступила в период застоя еще в начале 4 в. н.э, после кончины Паппа. См. также ДРЕВНЯЯ ГРЕЦИЯ.

    Средневековье.

    После падения Александрии большинство работ древнегреческих математиков были рассеяны или утрачены. Некоторые из них, в том числе Начала Евклида, были переведены и изучались арабами и индийцами. И хотя эти народы породили нескольких великих математиков, среди которых наиболее известны индийские математики Ариабхата (ок. 476 – ок. 550) и Бхаскара II (ок. 1114–1185), все же их самой большой заслугой следует считать сохранение геометрии в период Средневековья.
    После падения Римской империи в 5 в. наука в Европе долгое время находилась почти в полном забвении. В 12 и 13 вв. Начала были переведены с греческого и арабского на латынь и современные европейские языки, а геометрия вошла в программу монастырских школ. Первый из этих переводов был выполнен Аделардом Батским в 1120.

    Новое время.

    За последние 300 лет доказательная геометрия была существенно расширена, а по своим методам и степени общности результатов она стала заметно отличаться от элементарной геометрии (т.е. геометрии, изложенной в Началах). Французский математик Ж.Дезарг (1593–1662) в связи с развитием учения о перспективе занялся исследованием свойств геометрических фигур в зависимости от их проекций. Тем самым он заложил основу проективной геометрии, которая изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при различных проекциях. В 19 в. это направление получило существенное развитие. Проективная геометрия, конические сечения и новая геометрия треугольников и окружностей составили содержание современной т.н. чистой геометрии.
    Тесно связанная с проективной, начертательная геометрия была введена французским математиком Г.Монжем (1746–1818). Эта новая область геометрии была связана с представлением изображений геометрических фигур на плоскости и определением геометрическими средствами расстояний, углов и линий пересечения. Начертательная геометрия представляет собой основу технического черчения.
    В 1637 Р.Декарт (1596–1650), французский философ и математик, опубликовал свою Геометрию – первый труд по аналитической геометрии, позволивший применить в геометрии мощные алгебраические методы. Геометрические задачи всех видов теперь могли решаться в рамках единого подхода; кроме того, благодаря новым методам стала возможной постановка и решение новых задач, о которых древние не могли даже помыслить, но которые ныне находятся в самом центре математики и математической физики.
    Со времен первого появления Начал математики тщетно пытались доказать пятый постулат Евклида: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, ей параллельную. В 19 в. было доказано, что можно построить непротиворечивую геометрию, используя все аксиомы и постулаты Евклида и отрицание постулата о параллельных, а это означало, что искомого доказательства пятого постулата не существует. Любая такая непротиворечивая геометрия получила название неевклидовой геометрии. Около 1830 Я.Бойяи (1802–1860) и Н.И.Лобачевский (1792–1856) независимо друг от друга построили геометрию, использовавшую постулат, согласно которому через точку, лежащую вне прямой, можно провести много прямых, ей параллельных. В 1854 Б.Риман (1826–1866) сформулировал постулат, согласно которому через точку вне прямой невозможно провести ни одной параллельной, что дало начало т.н. римановой геометрии. Неевклидова математика расширилась и стала включать в себя тригонометрию, аналитическую и дифференциальную геометрии, охватив не только планиметрию, но и стереометрию, а также геометрию пространств размерности больше трех (геометрию гиперпространств). Евклидова и обе неевклидовы геометрии одинаково хорошо служат для описания той ограниченной области пространства, в которой мы живем, хотя геометрия Евклида проще по форме. В то же время при переходе к римановой геометрии некоторые современные физические теории существенно упрощаются. См. также МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ.

    ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ПЛАНИМЕТРИЯ

    Аксиомы и постулаты.

    Существует набор исходных посылок, называемых аксиомами и постулатами, на которых базируется вся структура геометрии.

    Аксиомы.

    Аксиомы – это утверждения, принимаемые за истинные без доказательств. Аксиомы обычно подразделяются на две группы: общие, относящиеся ко всей математике, и геометрические.
    К числу общих аксиом относятся следующие.
    1. Равные одному и тому же равны между собой.
    2. Если к равным прибавляются равные, то суммы будут равны.
    3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
    4. Если равные умножить на равные, то произведения будут равны.
    5. Если равные разделить на равные, то частные будут равны. Деление на нуль запрещается.
    6. Одинаковые степени равных, а также корни одинаковой степени из равных равны.
    7. Целое больше любой своей части.
    8. Целое равно сумме своих частей.
    К числу геометрических аксиом относятся следующие.
    1. Через любые две данные точки можно провести только одну прямую.
    2. Геометрическую фигуру можно перемещать в пространстве, не изменяя ни ее размеров, ни ее формы.
    3. Геометрические фигуры, которые совпадают после наложения, конгруэнтны (т.е. равны).
    4. Прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

    Постулаты.

    Следующие постулаты касаются построений и принимаются за истинные без доказательств.
    1. Через любые две данные точки можно провести прямую.
    2. Прямая может быть продолжена бесконечно или же ограничена в любой своей точке.
    3. Окружность может быть описана вокруг любой данной точки как центра и с любым радиусом.
    4. Все прямые углы равны.
    5. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, ей параллельную.

    Некоторые геометрические фигуры, построения и заключения.

    Многие термины, используемые для описания фигур в геометрии, настолько фундаментальны, что определить их не представляется возможным. Все попытки сделать это приводили лишь к замене одних терминов другими, столь же неопределимыми, или к простому описанию некоторых свойств фигур. Например, термин «точка» не поддается определению.

    Линии.

    Термин «линия» (или «кривая» в широком смысле слова) не имеет определения, хотя мысленно линию можно представить как след движущейся точки. Бесчисленные попытки определить прямую линию (рис. 1,а) не имели успеха. Многие из этих попыток апеллировали к физическому эксперименту, например, «прямая – это туго натянутая линия». Чаще других приводится описание прямой, предложенное Архимедом: «Прямая – это кратчайшее расстояние между двумя точками». Это «определение», однако, лишь заменяет неопределяемое понятие прямизны столь же неопределяемым понятием расстояния. Предполагается, что прямая бесконечна, т.е. ее можно неограниченно продолжить в обе стороны. Часть прямой называется отрезком. Ломаная (рис. 1,б) состоит из прямолинейных отрезков. Кривой (рис. 1,в) называется линия, никакая часть которой не является прямой.

    Как показано на рис. 1,г, 1,д и 1,е, прямые могут быть параллельными, перпендикулярными и наклонными. Параллельные прямые – это прямые, расстояние между которыми всюду одинаково. На рис. 1,г показано, как построить прямую, параллельную данной прямой L и отстоящую от нее на заданное расстояние. Берется окружность, радиус которой равен данному расстоянию. Проводятся две дуги с центрами в двух различных точках прямой L. Прямая, касательная к обеим дугам, и есть та прямая, которую требовалось построить.
    На рис. 1,д показано, как построить прямую, проходящую через точку Р и перпендикулярную прямой L. Порядок, в котором делаются засечки дугами, указаны номерами [первыми следует провести (в любой последовательности) либо дугу 1, либо дугу 1ў]. Для проведения дуг 2 и 2ў циркуль устанавливается в точки пересечения прямой L дугами 1 и 1ў соответственно, радиусы остаются те же самые. Прямая, проходящая через точку Р и точку пересечения дуг 2 и 2ў, есть искомый перпендикуляр. Перпендикуляр – это кратчайшая линия, которую можно провести от точки до прямой, на которую он опущен, и расстояние от точки до прямой по определению равно длине перпендикуляра, опущенного из нее на прямую.

    Углы.

    Углом называется фигура, образованная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла, а полупрямые – сторонами угла. Если стороны угла перпендикулярны друг другу, то образуемый ими угол называется прямым (рис. 2,а). Углы меньше прямого называются острыми (рис. 2,б), а углы больше прямого – тупыми (рис. 2,в). Развернутым называется угол, обе стороны которого лежат на одной прямой (рис. 2,г); такой угол равен двум прямым углам. Биссектрисой угла называется прямая, проходящая через его вершину и делящая угол пополам. Углы можно измерять количественно, если определить единицу измерения угла (угол в один градус) как 1/180 развернутого угла. Таким образом, прямой угол содержит 90°, а угол на рис. 2,д содержит больше 180°, но меньше 360°.

    На рис. 2,е, 2,ж, 2,з и 2,и показано, как соотносятся между собой углы некоторых фигур. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого (рис. 2,е). Вертикальные углы равны. Дополнительные углы в сумме составляют 90° (рис. 2,ж), а смежные углы в сумме дают 180° (рис. 2,з). Если прямая пересекает две параллельные прямые, как на рис. 2,и, то углы E, B, C и H равны, и углы F, A, D и G также равны между собой. Углы между параллельными (углы А, В, С, D на рисунке) называются внутренними, а углы, лежащие вне параллельных – внешними. Тот факт, что параллельные образуют с пересекающей их прямой равные углы, используется при вычерчивании параллельных прямых (рис. 2,м).
    На рис. 2,к показано, как с помощью циркуля и линейки разделить пополам данный угол: прямая VA – биссектриса угла. На рис. 2,л показано, как удвоить данный угол.
    Традиционно в элементарной геометрии выполнялись лишь геометрические построения, которые можно осуществить, используя только циркуль и линейку без делений. Общего подхода к таким построениям не существует, и успех почти целиком зависит от настойчивости и изобретательности. Так, например, может показаться, что задача о разделении угла на три равные части, т.н. трисекция угла, достаточно легка, поскольку сходная с ней задача деления угла пополам решается довольно просто. Однако на протяжении веков все усилия как любителей, так и профессионалов осуществить трисекцию угла неизменно оканчивались неудачей. Правда, эту задачу удалось решить, используя некоторые плоские кривые высших порядков, например, конхоиду и квадратриссу, а Архимед показал, как можно было бы решить задачу о трисекции угла с помощью линейки с двумя отметинами (рис. 2,н). В предложенном им решении задачи на ребре линейки откладывается расстояние МР, равное радиусу ON. Линейка кладется так, чтобы ее край проходил через точку N, тогда точка М попадает на продолжение прямой OL, а точка P – на окружность. Задача о трисекции угла эквивалентна поиску геометрического построения, позволяющего находить корни уравнения x3 – 2 = 0. В 1837 вопрос о трисекции был окончательно решен французским математиком П.Ванцелем, давшим строгое доказательство невозможности точной трисекции угла в общем случае с помощью циркуля и линейки.

    Треугольники.

    Треугольником называется плоская фигура, ограниченная тремя прямыми. У треугольника могут быть три неравные стороны (разносторонний треугольник), две равные стороны (равнобедренный треугольник) или три равные стороны (равносторонний треугольник) (рис. 3,а, 3,б, 3,в). В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон (углы a и b на рис. 3,б), равны; в равностороннем треугольнике все углы равны.

    Прямоугольным называется треугольник (рис. 3,г), у которого один из углов прямой. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой; две стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Некоторые соотношения между длинами сторон прямоугольного треугольника мы приведем в обозначениях, указанных на рис. 3,д. Знаменитая теорема Пифагора гласит; квадрат длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов длин катетов, или c2 = a2 + b2.
    Длина перпендикуляра h, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное длин отрезков, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу:

    Углы внутри треугольника называются внутренними; углы, которые образуются, если стороны треугольника продлить за их вершины, называются внешними (рис. 3,е). Сумма внутренних углов треугольника равна развернутому углу. Любой внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не имеющих с ним общей вершины (РD = РA + РB).
    Отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, на рис. 3,ж отрезок АО составляет 2/3 от длины отрезка АС. Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника (треугольник, вырезанный из однородного по толщине и плотности материала и подвешенный в этой точке, будет находиться в равновесии). Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из одной из его вершин на противоположную сторону (или ее продолжение). Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (рис. 3,з); биссектрисы всех углов треугольника также пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности (рис. 3,и) и равноудалена от всех сторон треугольника.
    Прямая, пересекающая треугольник и параллельная одной из его сторон, делит две другие стороны на пропорциональные отрезки. На рис. 3,к a/b = e/c = f/d. Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные длинам сторон, образующих угол. На рис. 3,л, если РA = РB, то c/a = d/b.
    Два треугольника (любые фигуры) называются равными (или конгруэнтными), если они переводятся друг в друга преобразованиями движения. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками. Можно доказать три признака равенства треугольников: два треугольника равны, если 1) две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника; 2) сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ним углам другого треугольника; и 3) три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника. Если треугольники можно перевести друг в друга преобразованием движения, не выводящим их из плоскости, в которой оба они лежат, то они называются собственно конгруэнтными; если же один из треугольников необходимо перевернуть, то треугольники называются несобственно конгруэнтными.
    Преобразование одной фигуры в другую называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Две фигуры подобны, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.
    Если два треугольника подобны (рис. 3,м), то их углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Пропорциональным делителем, изображенным на рис. 3,н, пользуются для того, чтобы увеличить или уменьшить чертеж в требуемое число раз.
    Площадь любого треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную в ней высоту:

    Если треугольник равносторонний, то его площадь равна , где а – длина стороны. Если а, b, c – длины сторон треугольника, то его площадь определяется по формуле

    вывод которой приписывают Герону (s – полупериметр).

    Четырехугольники.

    Четырехугольником является всякая плоская фигура, ограниченная четырьмя прямыми (рис. 4). Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны имеют равную длину. Ромб (рис. 4,г) – это параллелограмм, все стороны которого равны, а прямоугольник (рис. 4,д) – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Диагонали параллелограмма (рис. 4,ж) в точке пересечения делятся пополам; в прямоугольнике диагонали равны. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – непараллельны. Параллельные стороны называются основаниями. Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее оснований: A = h [(b + d)/2]. Площадь параллелограмма A = bh. Один из методов определения площади четырехугольника состоит в разбиении фигуры на два треугольника с помощью диагонали и в вычислении суммы площадей образовавшихся треугольников.

    Интересным приложением свойств параллелограмма служит шарнирный пантограф (рис. 4,з), используемый для перечерчивания чертежей и других графических изображений в большем или меньшем масштабе. Пантограф представляет собой шарнирный механизм, имеющий форму параллелограмма, закрепленный в вершине А, со звеном DC, продленным до точки Р. Прямая РА пересекает звено СВ в точке Р ў. Звено СВ всегда параллельно звену DA, следовательно, треугольники PDA и PCP ў подобны. Поэтому CP ў = DAЧPC/PD, а эта величина постоянна, поэтому точка Р ў звена СВ также лежит на прямой, соединяющей точки Р и А. Из двух рассмотренных выше подобных треугольников следует, что отношение РА/Р ўА также постоянно. Следовательно, в любом положении пантографа перемещение точки Р ў пропорционально перемещению точки Р. Если точка Р движется по контуру какой-либо фигуры, то точка Р ў, в которой находится острие карандаша, повторяет без искажений этот контур в уменьшенном масштабе. Отношение масштабов оригинала и копии равно РА/Р ўА = PD/CD.

    Многоугольники.

    Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Выпуклый многоугольник называется правильным, если все стороны и углы его равны. Расстояние от центра правильного многоугольника до какой-либо его стороны равно радиусу вписанной в него окружности (обозначен на рис. 5,а буквой а). Площадь правильного многоугольника равна произведению половины радиуса на периметр:


    В табл. 1 приведены названия и формулы для площадей некоторых правильных многоугольников (s означает длину стороны).
    Таблица 1. НАЗВАНИЯ И ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
    Число сторон
    Название многоугольника
    Площадь правильного многоугольника
    3
    Треугольник
    0,433s2
    4
    Четырехугольник
    1,000s2
    5
    Пятиугольник
    1,720s2
    6
    Шестиугольник
    2,598s2
    7
    Семиугольник
    3,634s2
    8
    Восьмиугольник
    4,828s2
    9
    Девятиугольник
    6,182s2
    10
    Десятиугольник
    7,694s2
    n
    n-угольник
    …….
    Древние греки научились строить правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 15 сторонами. И сами греки, и многие после них безуспешно пытались разработать методы построения других многоугольников. В 1796 К.Гаусс, которому тогда было всего 19 лет, обнаружил, что правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки только в том случае, если число сторон n равно простому числу вида или произведению простых чисел такого вида. В этой формуле t – любое целое число. Таким образом, построение с помощью циркуля и линейки правильных 7-, 9-, 11- и 13-угольников невозможно. Гаусс построил правильный 17-угольник, и из его работы следовало, что могут быть построены правильные 257-угольник и 65537-угольник.

    Окружность.

    Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки, называемой центром и лежащей в той же плоскости, что и кривая. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Различные термины, используемые при изучении окружности, представлены на рис. 6,а и 6,б.

    Концентрическими называются окружности, имеющие общий центр (рис. 6,в). Угол называется центральным углом окружности, если его вершина совпадает с центром окружности, а стороны – с ее радиусами. Например, угол АОВ на рис. 6,в – центральный угол обеих концентрических окружностей. Окружность делится на 360 равных долей, и число градусов в центральном угле, опирающемся на дугу окружности, равно числу 1/360 долей окружности, укладывающихся в этой дуге.
    На рис. 6,г А – центральный угол, а В – вписанный угол (т.е. угол, вершина которого лежит на окружности), опирающийся на ту же дугу окружности, что и центральный угол А. Согласно одной из теорем геометрии вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Например,

    Следовательно, вписанный угол С, опирающийся на половину окружности, – прямой.
    Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр. Отношение длины окружности к диаметру приближенно равно 3,14159265 (p); площадь круга можно также записать в виде A = p r2, где r – радиус. История точного определения числа p (читается «пи») очень интересна сама по себе.
    В 1882 немецкий математик Ф.Линдеман (1852–1939) доказал, что древняя проблема квадратуры круга, геометрически эквивалентная построению отрезка , неразрешима, так как число p не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.

    Примеры элементарных геометрических доказательств.

    Утверждения элементарной геометрии распадаются на две группы: на теоремы, в которых доказательство утверждения предъявляется в явном виде, и задачи, в которых излагается способ построения, а затем проверяется его правильность. В качестве примера теоремы рассмотрим следующее доказательство.
    Утверждение: в равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных стороны, равны.
    Дано: треугольник АВС с равными сторонами АВ и АС.
    Требуется доказать: РB = РC.

    Шаги
    Обоснование
    1. Построить биссектрису AD угла ВАС.
    Биссектриса угла может быть построена.
    2. АВ = АС.
    По предположению.
    3. AD = AD.
    Тождество.
    4.
    По построению.
    5. Следовательно, треугольник ADB равен треугольнику ADC.
    По второму признаку равенства треугольников: две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника равны двум сторонам и заключенному между ними углу другого треугольника.
    6. Следовательно,
    Соответствующие углы равных треугольников равны.
    Рассмотрим пример задачи на построение.
    Задача: построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность.
    Дано: Окружность с центром О.

    Шаги
    Обоснование
    1. Из точки О проводим любой радиус ОС.
    Две точки определяют прямую.
    2. Из точки С как из центра радиусом ОС опишем дугу, пересекающую окружность в точке F.
    Построение.
    3. Проведем OF и CF.
    Две точки определяют прямую.
    4. Треугольник OCF равносторонний.
    По построению.
    5. Углы в треугольнике OCF равны.
    По доказанной ранее теореме.
    6. Следовательно, угол COF равен 1/3 развернутого угла, или 1/6 двух развернутых углов.
    Сумма углов треугольника равна развернутому углу.
    7. Следовательно, дуга CF составляет 1/6 полной окружности.
    Центральный угол измеряется стягивающей его дугой.
    8. Следовательно, хорда CF является стороной правильного шестиугольника.
    В одной и той же окружности равные дуги имеют равные хорды.

    СТЕРЕОМЕТРИЯ

    Плоскость.

    Плоскость (рис. 7,а) определяется: 1) тремя точками; 2) двумя пересекающимися прямыми; 3) двумя параллельными прямыми; и 4) прямой и точкой, лежащей вне ее. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
    На рис. 7,б изображены две параллельные плоскости А и В. Если пересечь их третьей плоскостью С, то линии пересечения будут параллельны.

    Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Его величина измеряется углом, полученным от пересечения этих плоскостей плоскостью, перпендикулярной к ним (рис. 7,в). Фигура, образованная тремя или более плоскостями, которые пересекаются в одной точке, называется многогранным углом (рис. 7,г).

    Многогранник.

    Это фигура, ограниченная со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости. Декарт и Эйлер доказали, что любой выпуклый многогранник обладает замечательным свойством, состоящим в том, что сумма числа его граней и вершин равна числу его ребер плюс два. Если все грани выпуклого многогранника – конгруэнтные правильные многоугольники, то многогранник называется правильным.

    Призма.

    Призмой (рис. 8) называется многогранник, у которого две грани лежат в параллельных плоскостях и имеют форму конгруэнтных многоугольников, а остальные грани имеют форму параллелограммов. Параллелепипед (рис. 8,в) – это призма, основаниями которой служат параллелограммы. Площадь боковой поверхности любой призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Объем равен произведению площади основания на высоту.

    Пирамида.

    Пирамидой (рис. 9) называется многогранник, основанием которого служит плоский многоугольник, а боковые грани имеют форму треугольников с общей вершиной. Площадь боковой поверхности правильной прямой пирамиды равна 1/2 произведения периметра основания на высоту боковой грани s (рис. 9). Объем любой пирамиды равен 1/3 произведения площади основания на высоту h.

    Цилиндр и конус.

    Цилиндром (или цилиндрической поверхностью) (рис. 10,а) называется поверхность, порожденная прямой Е, называемой образующей, которая движется параллельно самой себе по некоторой фиксированной кривой D, называемой директрисой. Если образующая, двигаясь по директрисе, всегда проходит через одну и ту же точку А, называемую вершиной (рис. 10,г), то получаемая в результате движения поверхность называется конусом. Призма – частный случай цилиндра, а пирамида – частный случай конуса. Формулы для площадей боковой поверхности и объемов призмы и пирамиды применимы, соответственно, к цилиндру и конусу.

    Сфера.

    Сферой называется замкнутая поверхность, все точки которой равноудалены от одной точки, называемой центром. Если плоскость пересекает сферу, то линия пересечения имеет форму окружности. Наибольшая окружность (называемая большим кругом) получается, когда секущая плоскость проходит через центр сферы. Параллели, соответствующие различным широтам, – малые круги Земли, экватор и все меридианы – большие круги. Часть пространства, ограниченная сферой и содержащая ее центр, называется шаром. Площадь поверхности сферы равна A = 4p r2, объем шара –

  4. Landardred Ответить

    ГЕОМЕТРИЯ
    – часть математики, первоначальным предметом к-рой являются пространственные отношения и формы тел. Г. изучает пространственные отношения и формы, отвлекаясь от прочих свойств реальных предметов (плотность, вес, цвет и т. д.). В последующем развитии предметом Г. становятся также идругие отношения и формы действительности, сходные с пространственными. В современном общем смысле Г. объемлет любые отношения и формы, к-рые возникают при рассмотрении однородных объектов, явлений, событий вне их конкретного содержания и к-рые оказываются сходными с обычными пространственными отношениями и формами. Напр., рассматривают расстояния между функциями, отвлекаясь от того, каковы специальные свойства этих функций и какие реальные процессы эти функции описывают (см., напр., Метрическое пространство, Функциональный анализ).
    Исторический очерк. Возникновение Г. относится к глубокой древности. Оно было обусловлено практик, потребностями (измерением земельных участков, объемов тел). Простейшие геометрия, сведения и понятия были известны еще древним египтянам (нач. 2-го тыс. до н. э.). Геометрич. утверждения формулировались тогда в виде правил, логич. доказательства к-рых либо отсутствовали, либо были примитивными. Начиная с 7 в. до н. э. и до 1 в. н. э., развитие Г. происходило в основном в Др. Греции. Здесь накапливались сведения о метрич. соотношениях в треугольниках, измерениях площадей и объемов, пропорциях и подобии фигур, конич. сечениях, задачах на построение. В то время появились уже сравнительно строгие логич. доказательства геометрич. утверждений. Собранием известных фактов Г. и их логической систематизацией явились “Начала” Евклида (ок. 300 до н. э.). В этом сочинении были сформулированы основные положения (аксиомы) Г., из к-рых при помощи логич. рассуждений выводились различные свойства простейших фигур на плоскости и в пространстве.
    Здесь впервые сложились основы аксиоматич. метода. Развитие астрономии и геодезии (1 – 2 вв. н. э.) привело к созданию плоской и сферич. тригонометрии.
    Дальнейшее развитие Г., вплоть до 17 в., происходило не столь интенсивно. Возрождение наук и искусств в Европе способствовало развитию Г. Теория перспективы, задача к-рой состояла в изображении тел на плоскости (см. Начертательная геометрия), была в центре внимания художников и архитекторов. Эта потребность привела к зарождению проективной геометрии – раздела Г., в к-ром изучаются свойства фигур, инвариантные относительно так наз. проективных преобразований.
    Совершенно новый подход к решению геометрнч. вопросов был предложен в 1-й пол. 17 в. Р. Декартом (R. Descartes). Им был создан метод координат, позволивший привлечь в Г. методы алгебры, а в последующем и анализа. Начиная с этого момента Г. бурно развивается. Появляется аналитическая геометрия, в к-рой методами алгебры исследуются кривые и поверхности, задаваемые алгебраич. уравнениями. Применение в 18 в. Л. Эйлером (L. Euler) и Г. Монжем (G. Monge) методов математич. анализа в Г. заложило основы классической дифференциальной геометрии. Ее ведущие разделы: теория кривых и теория поверхностей- интенсивно развивались и обобщались в работах К. Гаусса (С. Gauss) и др. геометров. В результате взаимодействия Г. с алгеброй и анализом в дальнейшем возникли специальные исчисления, удобные для использования в Г. и др. разделах математики ( векторное исчисление, тензорное исчисление, метод дифференциальных форм).
    Разделы Г., не опирающиеся на методы алгебры и анализа и оперирующие непосредственно с геометрич. образами, получили назв. синтетической геометрии.
    Предмет, основные разделы геометрии, связь с другими областями математики. Свои первоначальные шаги Г. делала как физич. наука, ее первые результаты описывали свойства физически наблюдаемых величин. Затем, до 2-й пол. 19 в., предметом Г. были отношения и формы тел пространства, свойства к-рого определялись аксиомами, сформулированными Евклидом (см. Евклидова геометрия). Пространство Евклида столь хорошо отражает простейшие физич. наблюдения, что до 19 в. оно как бы отождествлялось с физич. пространством. В 1826 Н. И. Лобачевский построил Г. (см. Лобачевского геометрия), в основу к-рой была положена система аксиом, отличающаяся от системы аксиом Евклида только аксиомой о параллельных прямых. В результате появилась логически непротиворечивая Г., существенно отличная от евклидовой. Стало ясно, что в математике возможно построение разнообразных пространств с содержательной Г. (см., напр., Неевклидовы геометрии). Наряду с этим сложилась идея многомерного пространства. Следующим новым шагом в Г. была идея Б. Римана (В. Riemann), к-рый в 1854 сформулировал обобщенное понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений и ввел пространства, измерение расстояний (метрика) в к-рых производится по нек-рому заданному закону “бесконечно малыми шагами”. Иными словами, задается определенная функция, к-рая выражает длину пути точки через диффередциалы координат при малом ее смещении. Развитие идеи Римана привело к дальнейшим разнообразным обобщениям способов задания метрики и рассмотрению Г. соответствующих пространств (см. Риманово пространство, Финслеррво пространство). При исследовании физич. пространства, различных меха-нич. систем или вообще систем каких-либо однородных физич. объектов выбор подходящего математич. пространства и сопоставление его элементов-объектам изучаемой системы зависят от характера этой .системы. Качество такого математич. моделирования проверяется опытом. Разные объекты или одни и те же объекты при разной детальности исследования могут требовать разных пространств. В общей физич. теории пространства-времени-тяготения (см. Относительности теория).используется одна из разновидностей римановой Г.
    Одним из стимулов развити-я и систематизации Г. явилась ее связь с теорией групп. Ф. Клейн (F. Klein) в эрлангенской программе(1872) так определил содержание Г.: дано многообразие и в нем группа преобразований. Требуется развить теорию инвариантов этой группы. Напр., теория инвариантов ортогональной группы определяет евклидову Г. В такую классификацию хорошо укладываются также аффинная геометрия, конформная геометрия, проективная геометрия. Но риманова Г. не может быть определена таким образом. В связи с этим Э. Картан (Е. Cartan) ввел пространства, в к-рых соответствующая группа преобразований действует только локально, в бесконечно малой окрестности; таковы римановы пространства и пространства с различной связностью. Групповой подход с точки зрения непрерывных групп преобразований был предложен С. Ли (S. Lie).
    Параллельно в конце 19 в. развивался логич. анализ основ Г. Выяснение непротиворечивости, минимальности и полноты систем аксиом Г. суммировано Д. Гильбертом (D. Hilbert) в книге “Основания геометрии” (1899) (см. Основания геометрии).
    Современное понимание пространства как непрерывной совокупности однородных объектов (явлений, состояний, фигур, функций) обусловлено глубокой взаимосвязью Г. с другими областями математики. Наиболее отчетливо эта связь проявилась в развитии Г. в 20 в., когда Г. стала широко разветвленной, а ее границы в связи с усилением единства математики стали менее четкими. Теперь пространство в математике понимается как множество, снабженное нек-рой структурой, т. е. нек-рыми отношениями между его элементами или подмножествами.
    Изучение простейшей весьма общей структуры, позволяющей говорить о непрерывности, привело к выделению из Г. большой самостоятельной части математики – топологии. Г. предполагает наличие более богатых структур. При использовании аналитич. аппарата дополнительные структуры (связности, метрики, конформные и симплектич. структуры и т. п.) задают обычно с помощью тензорных (в частности – векторных) или иных полей.
    Исследование ряда геометрич. структур относится и к другим частям математики. Это связано с преобладающим методом исследования. Так, алгебраическая геометрия изучает алгебраич. многообразия и связанные с ними алгебраич. и арифметич. проблемы. Алге-браизация геометрич. закономерностей позволяет строить Г. над произвольными полями (в том числе над конечными – конечные Г.). Эти разделы – части алгебры. Бесконечномерные пространства изучаются в функциональном анализе. Однако во всех этих областях математики остается полезным геометрич. способ мышления, при к-ром непосредственно оперируют наглядными образами, без перехода к исчислениям.
    Наиболее традиционным предметом Г. остаются пространства, являющиеся многообразиями с той или иной дополнительной структурой, многообразия различных фигур, в частности – подмногообразий в них и полей разного рода объектов на многообразиях. Многие разделы Г. можно’характеризовать типом пространств и типом объектов в них, являющихся предметом исследования. Напр., глобальная Г. дифференцируемых многообразий изучает многообразия с гладкими структурами, гладкие многообразия и гладкие поля на них, причем изучает их в целом, на полных многообразиях. Геометрия в целом изучает сходные вопросы для кривых и поверхностей при допущении негладкости и особенностей; она ведет свое начало от теории выпуклых тел, основы к-рой были заложены Г. Минковским (Н. Minkowski). В интегральной геометрии исследуются меры на совокупностях геометрич. объектов. Комбинаторная геометрия изучает расположения геометрич. фигур топологич. и метрич. средствами (напр., плот-нейшие упаковки и редчайшие покрытия) в евклидовом, гиперболич. и эллиптич. пространствах разного числа измерений.
    Развитие Г., ее приложения, развитие геометрич. восприятия абстрактных объектов в различных областях математики и естествознания свидетельствуют о важности Г. как одного из самых глубоких и плодотворных по идеям и методам средств познания действительности.
    Лит.: [1] Александров А. Д., Геометрия, БСЭ, 3 изд., т. 6; [2] Математика, ее содержание, методы и значение, М., 1956, т. 1, с. 5-69, 180-245; т. 2, с. 97-144; [3] Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; [4] Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; [5] Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., М.- Л., 1937; [6] Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; [7] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.- Л., 1948; [8] Об основаниях геометрии, М., 1956; [9] Ефимов Н. В., Высшая геометрия. 5 изд., М., 1971; [10] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.-Л., 1939.
    См. также лит. при статьях об отдельных геометрических дисциплинах. Э. Г. Позняк.

  5. Bandilis Ответить

    Геометрия – это школьный предмет, раздел математики. Геометрия изучает пространственные отношения и формы предметов. Геометрия (греч. geometria, от ge — Земля и metreo — мерю) , раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.
    Происхождение термина «Г. “, что буквально означает «землемерие» , можно объяснить следующими словами, приписываемыми древнегреческому учёному Евдему Родосскому (4 в. до н. э.) : «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития р. Нил, постоянно смывавшего границы» . Уже у древних греков Г. означала математическую науку, в то время как для науки об измерении Земли был введён термин геодезия. Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, Г. развилась не только из измерений Земли, но также из измерений объёмов и поверхностей при земляных и строительных работах и т. п.
    Первоначальные понятия Г. возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении «между» , «внутри» и т. п. Вторые выражаются в понятиях «больше» , «меньше» , в понятии о равенстве тел.
    Путём такого же отвлечения возникает понятие геометрического тела. Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств. При этом Г. , как свойственно математике вообще, совершенно отвлекается от неопределённости и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые ею отношения и формы абсолютно точными и определёнными. Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выражено, например, в определениях, данных Евклидом: «линия есть длина без ширины» , «поверхность есть то, что имеет длину и ширину» . Точка без всякого протяжения есть абстракция, отражающая возможность неограниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемый предел его бесконечного деления. Дальше возникает общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность.
    Г. в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением Г. как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в Г. , и есть пространственная форма; поэтому в Г. говорят, например, «шар» , а не «тело шарообразной формы» ; расположение и размеры определяются пространственными отношениями; наконец, преобразование, как его понимают в Г. , также есть некоторое отношение между двумя фигурами — данной и той, в которую она преобразуется.
    В современном, более общем смысле, Г. объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к Г. определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдалённым) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе Г. в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Г. в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики и её границы не являются точными.

  6. TYMERA Ответить

    Смотреть что такое “ГЕОМЕТРИЯ” в других словарях:

    ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, предметом изучения которого являются пространственные отношения и формы. Для большинства людей геометрия ассоциируется только с ГЕОМЕТРИЕЙ ЕВКЛИДА, предметом которой являются плоскости и жесткие геометрические фигуры … Научно-технический энциклопедический словарь
    ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, геометрии, мн. нет, жен. (от греч. ge земля и metreo измеряю). Отдел математики, в котором изучаются пространственные формы, их измерение и взаимное расположение. Элементарная геометрия. Аналитическая геометрия (пользующаяся методами… … Толковый словарь Ушакова
    ГЕОМЕТРИЯ — (от гео… и …метрия) раздел математики, в котором изучаются пространственные отношения (напр., взаимное расположение) и формы (напр., геометрические тела) и их обобщения. Возникновение геометрии относится к глубокой древности и обусловлено… … Большой Энциклопедический словарь
    ГЕОМЕТРИЯ — (от гео… и…метрия), часть математики, изучающая пространственные формы (например, фигуры и тела), их отношения (например, взаимное расположение) и их обобщения. Зарождение геометрии относится ко 2 му тысячелетию до нашей эры, в… … Современная энциклопедия
    ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, и, жен. Раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы. | прил. геометрический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
    геометрия — сущ., кол во синонимов: 9 • астероид (579) • линиолонгиметрия (2) • линиометрия (2) … Словарь синонимов
    геометрия — – правильная форма авто. EdwART. Словарь автомобильного жаргона, 2009 … Автомобильный словарь
    геометрия — конфигурация геометрическая форма — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы конфигурациягеометрическая форма EN geometry … Справочник технического переводчика
    Геометрия — (от гео… и …метрия), часть математики, изучающая пространственные формы (например, фигуры и тела), их отношения (например, взаимное расположение) и их обобщения. Зарождение геометрии относится ко 2 му тысячелетию до нашей эры, в… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
    Геометрия — (греч. geometria, от ge Земля и metreo мерю)         раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.          Происхождение термина «Г. , что… … Большая советская энциклопедия

  7. Mr_Android_Game_Channel Ответить

    Смотреть что такое “ГЕОМЕТРИЯ” в других словарях:

    ГЕОМЕТРИЯ — (греч. geometria, от ge земля, и metron мера). Часть математики, имеющая предметом свойства и измерения линий, поверхностей и объемов тел. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГЕОМЕТРИЯ греч. geometria,… … Словарь иностранных слов русского языка
    ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, геометрии, мн. нет, жен. (от греч. ge земля и metreo измеряю). Отдел математики, в котором изучаются пространственные формы, их измерение и взаимное расположение. Элементарная геометрия. Аналитическая геометрия (пользующаяся методами… … Толковый словарь Ушакова
    ГЕОМЕТРИЯ — (от гео… и …метрия) раздел математики, в котором изучаются пространственные отношения (напр., взаимное расположение) и формы (напр., геометрические тела) и их обобщения. Возникновение геометрии относится к глубокой древности и обусловлено… … Большой Энциклопедический словарь
    ГЕОМЕТРИЯ — (от гео… и…метрия), часть математики, изучающая пространственные формы (например, фигуры и тела), их отношения (например, взаимное расположение) и их обобщения. Зарождение геометрии относится ко 2 му тысячелетию до нашей эры, в… … Современная энциклопедия
    ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, и, жен. Раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы. | прил. геометрический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
    геометрия — сущ., кол во синонимов: 9 • астероид (579) • линиолонгиметрия (2) • линиометрия (2) … Словарь синонимов
    геометрия — – правильная форма авто. EdwART. Словарь автомобильного жаргона, 2009 … Автомобильный словарь
    геометрия — конфигурация геометрическая форма — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы конфигурациягеометрическая форма EN geometry … Справочник технического переводчика
    Геометрия — (от гео… и …метрия), часть математики, изучающая пространственные формы (например, фигуры и тела), их отношения (например, взаимное расположение) и их обобщения. Зарождение геометрии относится ко 2 му тысячелетию до нашей эры, в… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
    Геометрия — (греч. geometria, от ge Земля и metreo мерю)         раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.          Происхождение термина «Г. , что… … Большая советская энциклопедия

  8. leput Ответить

    Геоме?трия (от др. -греч. ?? — Земля и ?????? — «мерю» ) — раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения.
    Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом.
    Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.
    Женщина обучает детей геометрии. Иллюстрация из парижской рукописи Евклидовых «Начал» , начало XIV века.
    Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе» , 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.
    Ф. Клейн в «Эрлангенской программе» систематизировал все виды однородных геометрий; согласно ему геометрия изучает все те свойства фигур, которые инвариантны относительно преобразований из некоторой группы. При этом каждая группа задаёт свою геометрию. Так, изометрии (движения) задаёт евклидову геометрию, группа аффинных преобразований — аффинную геометрию.
    В честь геометрии назван астероид (376) Геометрия (англ.) русск. , открытый в 1893 году.

  9. Modigamand Ответить

    Смотреть что такое “ГЕОМЕТРИЯ” в других словарях:

    ГЕОМЕТРИЯ — (греч. geometria, от ge земля, и metron мера). Часть математики, имеющая предметом свойства и измерения линий, поверхностей и объемов тел. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГЕОМЕТРИЯ греч. geometria,… … Словарь иностранных слов русского языка
    ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, предметом изучения которого являются пространственные отношения и формы. Для большинства людей геометрия ассоциируется только с ГЕОМЕТРИЕЙ ЕВКЛИДА, предметом которой являются плоскости и жесткие геометрические фигуры … Научно-технический энциклопедический словарь
    ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, геометрии, мн. нет, жен. (от греч. ge земля и metreo измеряю). Отдел математики, в котором изучаются пространственные формы, их измерение и взаимное расположение. Элементарная геометрия. Аналитическая геометрия (пользующаяся методами… … Толковый словарь Ушакова
    ГЕОМЕТРИЯ — (от гео… и…метрия), часть математики, изучающая пространственные формы (например, фигуры и тела), их отношения (например, взаимное расположение) и их обобщения. Зарождение геометрии относится ко 2 му тысячелетию до нашей эры, в… … Современная энциклопедия
    ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ, и, жен. Раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы. | прил. геометрический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
    геометрия — сущ., кол во синонимов: 9 • астероид (579) • линиолонгиметрия (2) • линиометрия (2) … Словарь синонимов
    геометрия — – правильная форма авто. EdwART. Словарь автомобильного жаргона, 2009 … Автомобильный словарь
    геометрия — конфигурация геометрическая форма — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы конфигурациягеометрическая форма EN geometry … Справочник технического переводчика
    Геометрия — (от гео… и …метрия), часть математики, изучающая пространственные формы (например, фигуры и тела), их отношения (например, взаимное расположение) и их обобщения. Зарождение геометрии относится ко 2 му тысячелетию до нашей эры, в… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
    Геометрия — (греч. geometria, от ge Земля и metreo мерю)         раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.          Происхождение термина «Г. , что… … Большая советская энциклопедия

  10. Shakadal Ответить

    Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности.
    Геометрия как практическая наука зародилась в Древнем Египте несколько тысяч лет тому назад. Первоначально она была набором правил, которые помогали измерять площади, объёмы, решать задачи, возникавшие при сооружении оросительных каналов, грандиозных храмов, пирамид и т.д. Особенно важной была задача распределения земельных участков.
    Накопленные египтянами обширные знания о свойствах геометрических фигур заимствовали греки в период VII – V вв. до н.э. В Древнем Египте геометрия была сугубо прикладной наукой, а в Древней Греции она стала математической теорией. Имена великих геометров Древней Греции – Фалеса, Пифагора, Евклида, Архимеда и многих других – хорошо известны и в наши дни.
    В геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: массу, цвет, твердость и т.д. Поэтому в геометрии вместо «предмет» говорят «фигура» или «геометрическая фигура».
    Итак, фигура – это мысленный образ предмета, в котором сохраняются только его форма и размеры, и только они принимаются во внимание.
    Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.

    Точка и прямая

    Точка: древнегреческий геометр Евклид говорил, что «точка – это то, что не имеет частей». Можем добавить, что точка не имеет размеров.
    Основные свойства:
    Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
    Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
    Из точки не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
    Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
    Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
    Отрезок прямой, соединяющий две какие–нибудь точки, меньше всякой ломаной, соединяющей эти же точки.
    Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые.
    Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

    Отрезок

    Это часть прямой, которая лежит между двумя данными её точками.

    Основные свойства:
    Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
    Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
    Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
    Два отрезка, равные третьему, равны.

    Луч

    Это часть прямой имеющая начало.
    Основные свойства:
    На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
    От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

    Угол

    Это фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, стороны угла.
    Основные свойства:
    Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля.
    Развёрнутый угол равен 1800 .
    Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
    Сумма двух смежных углов равна 1800 .
    Два вертикальных угла равны между собой.

    Треугольник

    Это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.
    Основное свойство:
    Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
    В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
    В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
    Cумма углов треугольника равна 1800 .
    В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.
    Если два угла треугольника равны, то треугольники равнобедренные.
    В треугольнике:
    против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
    Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
    сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900 .
    Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 300 , равен половине гипотенузы
    Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300 .
    В любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороне.

    Окружность

    Это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
    Основные свойства:
    Если центральные углы равны, то и соответствующие им дуги равны.
    Если дуги равны, то и соответствующие им центральные углы равны.
    Любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.
    Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду этой окружности, делит хорду пополам.
    Окружность и прямая, а также две окружности могут пересечься не более чем в двух точках.
    Через любую точку окружности проходит единственная прямая, касающаяся окружности.
    Таким образом, Геометрия – это предмет для тех, кому, нравится фантазировать, рисовать и рассматривать картинки, замечать и делать выводы.
    Геометрия – необычайно важный и интересный предмет, и любой человек может найти в ней уголок по душе.
    Один мудрец сказал: «Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою».

  11. О_о я-переживу-2012 о_О Ответить

    Ученому принадлежит фοрмула для οпределения плοщади треугοльника через три егο стοрοны (неправильнο именуемая фοрмулοй Герοна). Древнегреческий математик дал (не впοлне исчерпывающую) теοрию пοлуправильных выпуклых мнοгοгранникοв (архимедοвы тела). Οсοбοе значение имеет «аксиοма Архимеда»: из неравных οтрезкοв меньший, будучи пοвтοрен дοстатοчнοе числο раз, превзοйдет бοльший. Эта аксиοма οпределяет так называемую архимедοвскую упοрядοченнοсть, кοтοрая играет важную рοль в сοвременнοй математике. Древнегреческий математик пοстрοил счисление, пοзвοляющее записывать и называть весьма бοльшие числа. Οн с бοльшοй тοчнοстью установил значение числа и указал пределы пοгрешнοсти.

    Декарт

    Упадοк античнοгο οбщества привел к сравнительнοму застοю в развитии геοметрии. Однакο οна прοдοлжала развиваться в Индии, в Средней Азии, в странах арабскοгο Вοстοка. Вοзрοждение наук и искусств в Еврοпе пοвлеклο дальнейший расцвет геοметрии. В науке принципиальнο нοвый шаг был сделан в первой пοлοвине XVII века Р. Декартοм, кοтοрый ввел метοд кοοрдинат, позволяющий связать науку с развивавшейся тοгда алгебрοй и зарοждающимся анализοм.
    Применение метοдοв этих дисциплин пοрοдилο другие виды геометрии: аналитическую, а пοтοм и дифференциальную. Наука перешла на качественнο нοвую ступень. В ней рассматривались уже гοраздο бοлее οбщие фигуры и испοльзуются существеннο нοвые метοды.

    Виды

    Аналитическая геοметрия изучает фигуры и преοбразοвания, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямοугοльных кοοрдинатах, испοльзуя при этοм метοды алгебры. Дифференциальная, вοзникшая в 18 веке, исследует уже любые дοстатοчнο гладкие кривые линии и пοверхнοсти, их семейства и преοбразοвания. Ее название связанο в οснοвнοм с метοдοм, исхοдящим из дифференциальнοгο исчисления.

    XVII-XIX века

    К первой пοлοвине XVII столетия οтнοсится зарοждение прοективнοй геοметрии в рабοтах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Οна вοзникла из задач изοбражения тел на плοскοсти. Ее первый предмет сοставляют те свοйства плοских фигур, кοтοрые сοхраняются при прοектирοвании с οднοй плοскοсти из любοй тοчки.
    Οкοнчательнοе οфοрмление и систематическοе излοжение этих нοвых направлений геοметрии были даны в начале XIX века Эйлерοм для аналитическοй, Мοнжем для дифференциальнοй, Ж. Пοнселе для прοективнοй геοметрии. Причем самο учение οб изοбражении (в прямοй связи с задачами черчения) былο еще раньше развитο и приведенο в систему Мοнжем в виде начертательнοй геοметрии. Вο всех этих нοвых дисциплинах οснοвы (аксиοмы, исхοдные пοнятия) науки οставались неизменными. Круг же изучаемых фигур и их свοйств, а также применяемых метοдοв расширялся.

    Лобачевский

    В развитии науки в XIX столетии нοвοй начинается новый этап. Появилась неевклидοва геοметрия (или Лοбачевскοгο). Независимο οт русского математика в 1832 ту же точку зрения сформулировал Я. Бοльяй. Лοбачевский рассматривал свοю геοметрию как вοзмοжную теοрию прοстранственных οтнοшений. Однакο οна οставалась гипοтетическοй, пοка не был выяснен ее реальный смысл и тем самым былο данο ее пοлнοе οбοснοвание.
    Перевοрοт в геοметрии, прοизведенный Лοбачевским, пο свοему значению не уступает ни οднοму из перевοрοтοв в естествοзнании. Неслучайно его называли «Кοперникοм геοметрии». В егο идеях были намечены три принципа, οпределившие нοвοе развитие дисциплины.
    Первый заключается в тοм, чтο лοгически мыслима не только евклидοва геοметрия, нο и другие разделы науки. Втοрοй принцип основан на пοстрοении нοвых теοрий путем видοизменения и οбοбщения οснοвных пοлοжений, сформулированных древнегреческим математиком. Третий же сοстοит в тοм, чтο истиннοсть геοметрическοй теοрии, в смысле сοοтветствия реальным свοйствам прοстранства, мοжет быть прοверена лишь физическим исследοванием, и не исключенο, чтο так они устанοвят нетοчнοсть евклидοвοй геοметрии. Сοвременная физика пοдтвердила этο.
    Οднакο οт этοгο не теряется математическая тοчнοсть евклидοвοй геοметрии. Она οпределяется лοгическοй сοстοятельнοстью (непрοтивοречивοстью) теории древнегреческого ученого. Тοчнο так же в οтнοшении любοй геοметрическοй теοрии нужнο различать их физическую и математическую истиннοсть. Первая сοстοит в прοверяемοм οпытοм сοοтветствии действительнοсти. Втοрая – в лοгическοй непрοтивοречивοсти.

    Что представляет собой в сοвременнοм понимании эта дисциплина? Геометрия — наука, которая οбъемлет разнοοбразные математические теοрии. Они истοрически слοжились на οснοве геοметрии в первοначальнοм ее значении и в свοих пοстрοениях исхοдят из анализа, οбοбщения и видοизменения ее пοнятий. Геοметрия в этοм οбщем смысле теснο переплетается с другими разделами математики и ее границы не являются тοчными.

  12. Fate Ответить

    Что такое “геометрия”? Как правильно пишется данное слово. Понятие и трактовка.
    геометрия
    раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются фигуры на плоскости; в стереометрии изучаются пространственные фигуры.
    ИСТОРИЯ
    Египет. Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянами стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство. Основным источником наших знаний о древнеегипетской геометрии является относящийся примерно к 1700 до н.э. папирус Ринда, названный по имени владельца, египтолога Ринда (этот папирус также называется папирусом Ахмеса) и хранящийся ныне в Лондоне в Британском музее. Папирус Ринда свидетельствует о том, что древних египтян интересовали главным образом практические аспекты геометрии и что при накоплении геометрических фактов египтяне почти всецело руководствовались интуицией, экспериментом и приближенными представлениями.
    Греция. Около 600 до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведения о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был Фалес (ок. 640 – ок. 546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике. Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора общепринятых утверждений, называемых аксиомами или постулатами. Этот метод дедуктивного рассуждения, которому предстояло стать доминирующим в геометрии и фактически – во всей математике, сохраняет свое фундаментальное значение и в наши дни. Одним из наиболее знаменитых учеников Фалеса был Пифагор (ок. 570 – ок. 500 до н.э.). Он много путешествовал, а потом поселился в Кротоне, в Италии, где основал общество, занимавшееся изучением арифметики, музыки, геометрии и астрономии. Пифагор и его последователи доказали много новых теорем о треугольниках, окружностях, пропорциях и некоторых трехмерных телах. Пифагор доказал также знаменитую теорему, носящую ныне его имя, согласно которой площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Пифагор умер в изгнании, но его влияние на греческих математиков ощущалось на протяжении многих веков. После его кончины в Элее (город в Италии) новыми центрами развивающейся геометрии становились по очереди Афины и Александрия. Архит Тарентский (ок. 428 – ок. 365 до н.э.) и Гиппий Элидский (р. ок. 425 до н.э.) затратили много усилий на решение трех задач, игравших важную роль в древнегреческой математике: это задачи о трисекции угла, о построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга (задача о квадратуре круга), и о построении куба, имеющего вдвое больший объем, чем данный куб (задача об удвоении куба). Хотя ныне известно, что с помощью циркуля и линейки (единственных орудий геометрических построений, известных древнегреческим математикам) эти задачи решить нельзя, тем не менее попытки это сделать не были напрасны. Они стимулировали изучение конических сечений и способствовали совершенствованию математических методов.
    Александрия. Афинская школа числила в своих рядах таких великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной мысли переместился в Александрию (Египет), где в начале 3 в. до н.э. был основан знаменитый Александрийский Мусейон – один из главных научных центров античного мира. Живший в Александрии математик Евклид (3 в. до н.э.), биографические сведения о котором крайне скудны, собрал в 13 книгах своего сочинения значительную часть математических знаний того времени. Семь книг из 13 были посвящены геометрии, предмет которой был им тщательно и систематически изложен, различные утверждения и теоремы расположены в определенном порядке и перенумерованы. Была включена также теория пространственных тел, ограниченных плоскими поверхностями. Называлось это великое сочинение Начала, и последующие издания, точно придерживающиеся оригинала, стали основой обучения геометрии вплоть до нашего времени. Величайшим математиком античности был грек Архимед (ок. 287-212 до н.э.). Кроме множества других полученных им научных результатов и открытий, Архимед расширил ту часть Начал Евклида, в которой рассматривались пространственные тела, включив в их число сферу, цилиндр и конус. Другими великими александрийскими геометрами были Аполлоний Пергский (3 в. до н.э.; конические сечения), Птолемей (2 в. н.э.; астрономия) и Папп (3 в. н.э.; плоские кривые высших порядков). В 641 н.э. арабы разграбили Александрию и разрушили Мусейон и его библиотеку. Впрочем, греческая математика вступила в период застоя еще в начале 4 в. н.э, после кончины Паппа.
    Средневековье. После падения Александрии большинство работ древнегреческих математиков были рассеяны или утрачены. Некоторые из них, в том числе Начала Евклида, были переведены и изучались арабами и индийцами. И хотя эти народы породили нескольких великих математиков, среди которых наиболее известны индийские математики Ариабхата (ок. 476 – ок. 550) и Бхаскара II (ок. 1114-1185), все же их самой большой заслугой следует считать сохранение геометрии в период Средневековья. После падения Римской империи в 5 в. наука в Европе долгое время находилась почти в полном забвении. В 12 и 13 вв. Начала были переведены с греческого и арабского на латынь и современные европейские языки, а геометрия вошла в программу монастырских школ. Первый из этих переводов был выполнен Аделардом Батским в 1120.
    Новое время. За последние 300 лет доказательная геометрия была существенно расширена, а по своим методам и степени общности результатов она стала заметно отличаться от элементарной геометрии (т.е. геометрии, изложенной в Началах). Французский математик Ж.Дезарг (1593-1662) в связи с развитием учения о перспективе занялся исследованием свойств геометрических фигур в зависимости от их проекций. Тем самым он заложил основу проективной геометрии, которая изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при различных проекциях. В 19 в. это направление получило существенное развитие. Проективная геометрия, конические сечения и новая геометрия треугольников и окружностей составили содержание современной т.н. чистой геометрии. Тесно связанная с проективной, начертательная геометрия была введена французским математиком Г. Монжем (1746-1818). Эта новая область геометрии была связана с представлением изображений геометрических фигур на плоскости и определением геометрическими средствами расстояний, углов и линий пересечения. Начертательная геометрия представляет собой основу технического черчения. В 1637 Р. Декарт (1596-1650), французский философ и математик, опубликовал свою Геометрию – первый труд по аналитической геометрии, позволивший применить в геометрии мощные алгебраические методы. Геометрические задачи всех видов теперь могли решаться в рамках единого подхода; кроме того, благодаря новым методам стала возможной постановка и решение новых задач, о которых древние не могли даже помыслить, но которые ныне находятся в самом центре математики и математической физики. Со времен первого появления Начал математики тщетно пытались доказать пятый постулат Евклида: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, ей параллельную. В 19 в. было доказано, что можно построить непротиворечивую геометрию, используя все аксиомы и постулаты Евклида и отрицание постулата о параллельных, а это означало, что искомого доказательства пятого постулата не существует. Любая такая непротиворечивая геометрия получила название неевклидовой геометрии. Около 1830 Я.Бойяи (1802-1860) и Н.И.Лобачевский (1792-1856) независимо друг от друга построили геометрию, использовавшую постулат, согласно которому через точку, лежащую вне прямой, можно провести много прямых, ей параллельных. В 1854 Б.Риман (1826-1866) сформулировал постулат, согласно которому через точку вне прямой невозможно провести ни одной параллельной, что дало начало т.н. римановой геометрии. Неевклидова математика расширилась и стала включать в себя тригонометрию, аналитическую и дифференциальную геометрии, охватив не только планиметрию, но и стереометрию, а также геометрию пространств размерности больше трех (геометрию гиперпространств). Евклидова и обе неевклидовы геометрии одинаково хорошо служат для описания той ограниченной области пространства, в которой мы живем, хотя геометрия Евклида проще по форме. В то же время при переходе к римановой геометрии некоторые современные физические теории существенно упрощаются.
    ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ПЛАНИМЕТРИЯ
    Аксиомы и постулаты. Существует набор исходных посылок, называемых аксиомами и постулатами, на которых базируется вся структура геометрии.
    Аксиомы. Аксиомы – это утверждения, принимаемые за истинные без доказательств. Аксиомы обычно подразделяются на две группы: общие, относящиеся ко всей математике, и геометрические. К числу общих аксиом относятся следующие.
    1. Равные одному и тому же равны между собой. 2. Если к равным прибавляются равные, то суммы будут равны. 3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны. 4. Если равные умножить на равные, то произведения будут равны. 5. Если равные разделить на равные, то частные будут равны. Деление на нуль запрещается. 6. Одинаковые степени равных, а также корни одинаковой степени из равных равны. 7. Целое больше любой своей части. 8. Целое равно сумме своих частей.

  13. VideoAnswer Ответить

Добавить комментарий для leput Отменить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *