Что такое косинус синус тангенс и котангенс?

14 ответов на вопрос “Что такое косинус синус тангенс и котангенс?”

  1. A.Dolorida Ответить

    Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
    Острый угол — меньший 90 градусов.
    Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

    Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
    Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

    Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
    Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
    Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
    Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

    Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

    Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

    Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

    Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

    Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

    Давайте докажем некоторые из них.
    Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
    С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла  катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
    Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
    Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

    Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
    Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
    Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
    Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

    С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
    Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
    Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от  до .

























    Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

  2. Babon1990 Ответить

    Приветствую Вас дорогие учащиеся.
    Сейчас рассмотрим что же такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?
    Это тема не сложная, главное это запомнить правила. И так начнем:
    Вспомним, что такое прямоугольный треугольник?
    Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.
    Определение:
    Синус (sin(a)) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе;
    Косинус (cos(a)) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе;
    Тангенс (tg(a)) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету;
    Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;
    tg(a)=sin(a)/cos(a)
    Котангенс (ctg(a)) — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
    Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;
    ctg(a)=cos(a)/sin(a)
    Рассмотрим на примере:
    Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
    sin(a)=BC/AB
    cos(a)=AC/AB
    tg(a)=BC/AC
    ctg(a)=AC/BC
    Найти sin(a); cos(a); tg(a); ctg(a)
    Отношение сторон в прямоугольном треугольнике
    Аналогично рассуждаем относительно угла B.
    sin(b)=AC/AB
    cos(b)=BC/AB
    tg(b)=AC/BC
    ctg(b)=BC/AC
    Найти sin(b); cos(b); tg(b); ctg(b)
    Отношение сторон в прямоугольном треугольнике
    Пример:
    Найти тангенс угла С (tg(C)) треугольника ABC.
    Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ
    Вступайте в группу вконтакте
    На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
    Рекомендуем подписаться на наш канал на youtube нашего сайта TutoMath.ru, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

  3. stasjk Ответить


    Начало

    Поиск по сайту

    ТОПы

    Учебные заведения

    Предметы

    Проверочные работы

    Обновления

    Новости

    Переменка
    Отправить отзыв

  4. tauRUS9292 Ответить


    Начало

    Поиск по сайту

    ТОПы

    Учебные заведения

    Предметы

    Проверочные работы

    Обновления

    Новости

    Переменка
    Отправить отзыв

  5. serega190659 Ответить

    Рассмотрим окружность, центр которой совпадает с центром координат, а радиус равен ОА:

    Повернув радиус ОА против часовой стрелки, получим некий угол АОВ. Такой угол называется положительным (на рисунке выделен синим цветом).
    Повернув радиус ОА по часовой стрелке, получим угол АОК. Такой угол называется отрицательным (на рисунке выделен желтым цветом).
    Теперь возьмем некий положительный угол АОВ, полученный поворотом радиуса ОА против часовой стрелки на некоторый угол α (закрашен желтым цветом):

    Синусом угла AOB (или α) называют отношение ординаты точки В (отрезок ОК=ВС) к длине радиуса ОВ:
    sin AOB = ВC/OB
    sin α = ВC/OB
    Косинусом угла AOB (или α) называют отношение абсциссы точки В (отрезок ОС) к длине радиуса ОВ:
    cos AOB = ОC/OB
    cos α = ОC/OB
    Тангенсом угла АОВ называют отношение синуса этого угла к его косинусу:
    tg α = (sin α)/(cos α)
    Котангенсом угла АОВ называют отношение косинуса этого угла к его синусу:
    ctg α = (cos α)/(sin α)
    Поскольку, в формулах тангенса и котангенса присутствует деление, то тангенс и котангенс не всегда можно определить, поскольку на ноль делить нельзя.
    Тангенс угла невозможно определить, когда косинус этого угла принимает нулевое значение, – это все углы 90°+180°·n или π/2+π·n, где n-любое целое число.
    Котангенс угла невозможно определить, когда синус этого угла принимает нулевое значение, – это все углы 0°+180°·n или π·n, где n-любое целое число.
    Нетрудно заметить, что рассматриваемый нами угол α, является центральным острым углом прямого треугольника СОВ – его вершина совпадает с началом координат, а величина меньше 90°. При этом, один из катетов (ОС) треугольника СОВ расположен на оси абсцисс.

    В таком случае, противоположный углу α катет ВС является ординатой лежащей на окружности вершины В, а прилежащий катет ОС – абсциссой вершины В, при этом гипотенуза ОВ будет радиусом окружности.
    Учитывая изложенное обстоятельство, определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α прямоугольного треугольника СОВ будут формулироваться следующим образом:
    Синусом угла α (sin α) называют отношение противолежащего к углу α катета к гипотенузе: ВС/ОВ;
    Косинусом угла α (cos α) называют отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе: ОС/ОВ;
    Тангенсом угла α (tg α) называют отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему: ВС/ОС;
    Котангенсом угла α (ctg α) называют отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему: ОС/ВС;
    Обратите внимание на важное обстоятельство – тригонометрические величины sin, cos, tg, ctg не зависят от величины радиуса окружности (длины гипотенузы прямоугольного треугольника), а зависят только от величины угла α. Поэтому, в тригонометрии считают, что рассматриваемый угол α является центральным углом окружности с радиусом, равным условной единице (так называемая окружность с единичным радиусом): r=1.
    В таком случае, для вершины В, расположенной на окружности с единичным радиусом, можно сказать, что:
    sin α = YB
    cos α = XB
    tg α = YB/XB
    ctg α = XB/YB
    Следует запомнить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для “стандартных” углов, которые будут встречаться наиболее часто в дальнейшем:
    α = 0°
    sin α = 0
    cos α = 1
    tg α = 0
    ctg α – не существует
    α = 30°(π/6)
    sin α = 1/2
    cos α = √3/2
    tg α = √3/3
    ctg α = √3
    α = 45°(π/4)
    sin α = √2/2
    cos α = √2/2
    tg α = 1
    ctg α = 1
    α = 60°(π/3)
    sin α = √3/2
    cos α = 1/2
    tg α = √3
    ctg α = √3/3
    α = 90°(π/2)
    sin α = 1
    cos α = 0
    tg α – не существует
    ctg α = 0

  6. givlax Ответить

    Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30°, 45°, 60°. Если угол выходит за пределы 90°, то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.
    Если известно значение синуса для α, можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.
    В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45°, мы сможем определить значение синуса 30°, воспользовавшись правилом из тригонометрии.
    Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.
    Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α. Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
    Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π2+2π·z рад), где z- любое целое число.
    Изобразим данные формулы на рисунке:

    Для каждой группы соответствуют свои значения.
    Пример 1

  7. 1Nigretos Ответить

    Синус и косинус определены для любого угла α, так как мы всегда можем определить абсциссу и ординату точки, которая получается в результате поворота начальной точки на угол α. А тангенс и котангенс определены не для любого угла. Тангенс не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) или (0, −1), а это имеет место при углах 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад). Действительно, при таких углах поворота выражение tgα=y/x не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на нуль. Что же касается котангенса, то он не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит к в точку с нулевой ординатой (1, 0) или (−1, 0), а это имеет место для углов 180°·k, k∈Z (π·k рад).
    Итак, синус и косинус определены для любых углов поворота, тангенс определен для всех углов, кроме 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад), а котангенс – для всех углов, кроме 180°·k, k∈Z (π·k рад).
    В определениях фигурируют уже известные нам обозначения sin, cos, tg и ctg, они используются и для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота (иногда можно встретить обозначения tan и cot, отвечающие тангенсу и котангенсу). Так синус угла поворота 30 градусов можно записать как sin30°, записям tg(−24°17′) и ctgα отвечают тангенс угла поворота −24 градуса 17 минут и котангенс угла поворота α. Напомним, что при записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, косинус угла поворота в три пи рад обычно обозначают cos3·π.
    В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.
    Также скажем, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике согласуются с только что данными определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота величиной от 0 до 90 градусов. Это мы обоснуем в последнем пункте этой статьи.

  8. zloy1980 Ответить

    В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
    Первое свойство – знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α. Второе свойство – периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и -α.

    Знаки тригонометрических функций по четвертям

    Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: “угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти”. Что это такое?
    Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A0(1, 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α, попадем в точку A1(x, y). В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A1(x, y), угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.
    Для наглядности приведем иллюстрацию.

    Угол α=30° лежит в первой четверти. Угол -210° является углом второй четверти. Угол 585° – угол третьей четверти. Угол -45° –  это угол четвертой четверти.
    При этом углы ±90°, ±180°, ±270°, ±360° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.
    Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.
    Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус – это ордината точки A1(x, y). Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной – отрицательна.
    Косинус – это абсцисса точки A1(x, y). В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

    Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс – отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки – отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.

    Важно помнить!

  9. Onizuka-kun Ответить

    В статье подробно рассказывается об основных тригонометрических тождествах. Эти равенства устанавливают связь между sin, cos, tg, ctg заданного угла. При известной одной функции можно через нее найти другую.
    Тригонометрические тождества для рассмотрения в денной статье. Ниже покажем пример их выведения с объяснением.
    sin2α+cos2α=1tg α=sin αcos α, ctg α=cos αsin αtg α·ctg α=1tg2α+1=1cos2α, 1+ctg2α=1sin2α

    Связь между sin и cos одного угла

    Поговорим о важном тригонометрическом тождестве, которое считается основой основ в тригонометрии.
    sin2α+cos2α=1
    Заданные равенства tg2α+1=1cos2α, 1+ctg2α=1sin2α выводят из основного путем деления обеих частей на sin2α и cos2α. После чего получаем tg α=sin αcos α, ctg α=cos αsin α и tg α·ctg α=1 – это следствие определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
    Равенство sin2α+cos2α=1 является основным тригонометрическим тождеством. Для его доказательства необходимо обратиться к теме с единичной окружностью .
    Пусть даны координаты точки А(1,0), которая после поворота на угол αстановится в точку А1. По определению sin и cos точка А1 получит координаты (cos α, sin α). Так как А1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворят условию x2+y2=1 этой окружности. Выражение cos2α+sin2α=1 должно быть справедливым. Для этого необходимо доказать основное тригонометрическое тождество для всех углов поворота α.
    В тригонометрии выражение sin2α+cos2α=1 применяют как теорему Пифагора в тригонометрии. Для этого рассмотрим подробное доказательство.
    Используя единичную окружность, поворачиваем точку А с координатами (1,0) вокруг центральной точки О на угол α. После поворота точка меняет координаты и становится равной А1(х,у). Опускаем перпендикулярную прямую А1Н на Ох из точки А1.

    На рисунке отлично видно, что образовался прямоугольный треугольник ОА1Н. По модулю катеты ОА1Н и ОН равные, запись примет такой вид: |А1H|=|у|,|ОН|=|х|. Гипотенуза ОА1 имеет значение равное радиусу единичной окружности, |ОА1|=1. Используя данное выражение, можем записать равенство по теореме Пифагора: |А1Н|2 +|ОН|2 =|ОА1|2. Это равенство запишем как |y|2+|x|2=12, что означает y2+x2=1.
    Используя определение sin α=y и cosα=x, подставим данные угла вместо координат точек и перейдем к неравенству sin2α+cos2α=1.
    Основная связь между sin и cos угла возможна через данное тригонометрическое тождество. Таким образом, можно считать sin угла с известным cos и наоборот. Чтобы выполнить это, необходимо разрешать sin2α+cos2=1 относительно sin и cos, тогда получим выражения вида sin α=±1-cos2α и cos α=±1-sin2α соответственно. Величина угла αопределяет знак перед корнем выражения. Для подробного выяснения необходимо прочитать раздел вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.
    Чаще всего основную формулу применяют для преобразований или упрощений тригонометрических выражений. Имеется возможность заменять сумму квадратов синуса и косинуса на 1. Подстановка тождества может быть как в прямом, так и обратном порядке: единицу заменяют на выражение суммы квадратов синуса и косинуса.

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить комментарий для VideoAnswer Отменить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *