Что такое наклонная проведенная из данной точки к плоскости?

9 ответов на вопрос “Что такое наклонная проведенная из данной точки к плоскости?”

  1. Nenris Ответить

    Определение. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
    Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
    Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
    Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, не являющийся перпендикуляром к плоскости, с одним концом в данной точке, а с другим – на плоскости.
    Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
    Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной (рис.24)

    АС – наклонная,
    АВ – перпендикуляр,
    СВ – проекция наклонной
    С – основание наклонной,
    В – основание перпендикуляра
    Рис.24
    Теорема 2.10. О трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции,то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (рис.25)

    АВ- перпендикуляр плоскости α, АС- наклонная и с – прямая в плоскости, проходящая через основание С
    2.2.4. Перпендикулярные плоскости.
    Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам (рис.26)

    Рис.26
    Для обозначения перпендикулярности используют символ вида « ». То есть, если плоскости α и β перпендикулярны, то можно кратко записать

    Рис.27
    Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (рис.27)
    Если плоскости α и β перпендикулярны, то можно также сказать, что плоскость α перпендикулярна к плоскости β или плоскость β перпендикулярна к плоскости α. Поэтому перпендикулярные плоскости α и β часто называют взаимно перпендикулярными.
    В качестве примера перпендикулярных плоскостей можно привести плоскости стены и пола в комнате.
    На практике часто приходится определять, перпендикулярны ли две заданные плоскости. Для этого можно найти угол между заданными плоскостями, и если он будет равен 90о, то по определению плоскости будут перпендикулярными.
    Также существует признак перпендикулярности двух плоскостей, который часто используется для доказательства перпендикулярности двух плоскостей. В его формулировке участвуют перпендикулярные прямая и плоскость.

  2. Bagamand Ответить

    Стереометрия
    Глава 9. Прямые и плоскости в пространстве
    9.5. Наклонные и их проекции на плоскость. Угол наклонной с плоскостью
    Определение 1
    Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости.
    Определение 2
    Точка пересечения перпендикуляра (наклонной) с плоскостью называется основанием перпендикуляра (наклонной).
    Определение 3
    Отрезок, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра, проведенных к плоскости из одной и той же точки вне ее, называется проекцией наклонной на эту плоскость.
    Если из одной и той же точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и наклонные, то:
    1) две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
    2) из двух наклонных та больше, проекция которой больше;
    3) (обратная) равные наклонные имеют равные проекции;
    4) (обратная) большей наклонной соответствует большая проекция.
    Повернув прямоугольные треугольники вокруг общего их катета (перпендикуляра к плоскости) до совмещения их плоскостей, получим все наклонные (гипотенузы) и их проекции (другие катеты) в одной плоскости, где эти теоремы верны.
    Следствие
    Перпендикуляр к плоскости меньше всякой наклонной, проведенной к той же плоскости из той же точки вне ее (катет меньше гипотенузы).
    Определение 4
    Расстоянием точки от плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.
    Определение 5
    Углом между наклонной и плоскостью называется острый угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость.
    Теорема 5
    Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость является наименьшим из всех углов, образуемых данной наклонной с прямыми, лежащими в данной плоскости.

  3. Adoraron Ответить

    Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
    На рисунке 136 из точки А проведены к плоскости а перпендикуляр и наклонная Точка В — основание перпендикуляра, точка С — основание наклонной, — проекция наклонной на плоскость а.
    Так как расстояния от точек прямой до параллельной ей плоскости одинаковы, то расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой ее точки до этой плоскости.
    Т. 2.12. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (теорема о трех перпендикулярах).
    На рисунке 137 к плоскости а проведены перпендикуляр и наклонная . Прямая а, лежащая в плоскости а, перпендикулярна — проекции наклонной на плоскость а. По Т. 2.12 прямая а перпендикулярна наклонной Если было бы известно, что прямая а перпендикулярна наклонной то по Т. 2.12 она была бы перпендикулярна и ее проекции —
    Пример. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр (рис. 138). Найти расстояние от точки D до гипотенузы

  4. killrock Ответить

    Геометрия, 10 класс
    Урок №10. Перпендикуляр и наклонные
    Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.
    Определение перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной на плоскость;
    Доказательство теоремы о трех перпендикулярах;
    Определение угла между прямой и плоскостью.
    Глоссарий по теме
    Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
    Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
    Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
    Основная литература:
    Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.
    Дополнительная литература:
    Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
    Теоретический материал для самостоятельного изучения
    Рассмотрим плоскость ? и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости ?, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью ?. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости ?, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости ? какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости ?, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость ?.

    (Рис. 1)
    Рассмотрим прямоугольный треугольник АМН. Сторона АН — катет, а сторона AM — гипотенуза, поэтому АН < AM. Поэтому перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.
    Следовательно, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости ? наименьшим является расстояние до точки Н. Это расстояние, т. е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости ?, называется расстоянием от точки А до плоскости ?.
    Стоит отметить, что в случае двух параллельных плоскостей, расстоянием между ними будет расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости. Например, все точки потолка находятся на одинаковом расстоянии от пола. Если же прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью. Например, все точки прямой b равноудалены от потолка комнаты.
    Если мы имеем дело со скрещивающимися прямыми, то расстоянием между ними будет расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.
    Сформулируем теорему о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

    (Рис. 2)
    На рисунке 2: АН — перпендикуляр к плоскости ?, AM — наклонная, а — прямая, проведенная в плоскости ? через точку М перпендикулярно к проекции наклонной НМ. Докажем, что прямая а перпендикулярна наклонной AM.
    Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а перпендикулярна к НМ по условию. Так как прямая а, лежит в плоскости ?, а эта плоскость перпендикулярна отрезку AH, то прямая а перпендикулярна к этой плоскости. Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности прямая а перпендикулярна отрезку АМ. Теорема доказана.
    Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АН, НМ и AM.
    Справедлива также обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
    Введем теперь понятие проекции произвольной фигуры на плоскость. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.
    Обозначим буквой F какую-нибудь фигуру в пространстве. Если мы построим проекции всех точек этой фигуры на данную плоскость, то получим фигуру F1, которая называется проекцией фигуры F на данную плоскость (рис. 3).

    (Рис. 3)
    Докажем теперь, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая (рис. 4).
    Данную плоскость обозначим буквой ?. Произвольную прямую, не перпендикулярную к плоскости, обозначим буквой а. Из какой-нибудь точки М прямой а проведем перпендикуляр МН к плоскости ? и рассмотрим плоскость ?, проходящую через прямую a и перпендикуляр МН. Плоскости ? и ? пересекаются по некоторой прямой а1.
    Докажем, что эта прямая и является проекцией прямой а на плоскость ?. В самом деле, возьмем произвольную точку М1 прямой а и проведем в плоскости ? прямую М1Н1, параллельную прямой МН.
    Так как отрезок MH перпендикуляр к плоскости ? и отрезок MH параллелен М1Н1, то отрезок М1Н1 тоже перпендикулярен плоскости ?.
    Этим мы доказали, что проекция произвольной точки прямой а лежит на прямой а1.
    Аналогично доказывается, что любая точка прямой а1 является проекцией некоторой точки прямой а. Следовательно, прямая а1 — проекция прямой а на плоскость ?. Что и требовалось доказать.

    (Рис. 4)
    Теперь введем понятие угла между прямой и плоскостью.
    Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
    Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
    Пример 1. Докажем, что угол между ?0 между данной прямой AM и плоскостью ? является наименьшим из всех углов ?, которые данная прямая образует с прямыми, проведенными в плоскости ? через точку А.

    (Рис. 5)
    Обозначим буквой Н основание перпендикуляра (рис. 5), проведенного из точки М к плоскости ?.
    Рассмотрим произвольную прямую р в плоскости ?, проходящую через точку А и отличную от прямой АН.
    Угол между прямыми AM и р обозначим через ?.
    Докажем, что ? больше чем ?0.
    Из точки М проведем перпендикуляр MN к прямой р. Если точка N совпадает с точкой А, то ? равняется 90 градусам и поэтому ? больше чем ? 0. Рассмотрим случай, когда точки А и N не совпадают. Отрезок AM — общая гипотенуза прямоугольных
    треугольников ANM и АНМ, поэтому
    sin?=MN/AM

    Так как наклонная MN больше, чем перпендикуляр МН, то синус угла ? больше, чем синус угла ?0. Поэтому угол ? больше, чем угол ?0. Что и требовалось доказать.
    Тестовый вопрос №7. Прямая AM перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника ABC, точка H середина стороны BC. Найдите угол между прямой MH и плоскостью ABC, если AM = a, HB = a.
    Решение. Искомый угол – MHA.
    Рассмотрим треугольник ABC. Он равносторонний. Это означает, что его медиана так же является высотой и биссектрисой. Так как HB = a, следовательно, любая сторона треугольника имеет длину 2a. Рассмотрим треугольник AHB. Он прямоугольный, т.к. AH медиана и высота. По теореме Пифагора вычислим длину стороны AH: .
    Далее рассмотрим треугольник MHA, он прямоугольный, т.к. MA перпендикулярна плоскости ABC. Зная это мы можем выразить тангенс искомого угла: .. Отсюда делаем вывод, что искомый угол равен 30 градусов.
    Ответ: ?MHA = 30?.
    Тестовый вопрос №8. Из точки O к плоскости ? проведена наклонная, длина которой равна 17 см, проекция наклонной равна 15 см. На каком расстоянии от плоскости находится точка O?
    Решение. Нарисуем рисунок. OH – перпендикуляр, OM – наклонная, длина которой 17 см, MH – проекция наклонной, длина которой 15 см.
    Треугольник OHM – прямоугольный, т.к. OH – перпендикуляр. Поэтому OH – искомое расстояние. Найдем его по теореме Пифагора: сантиметров.

    Ответ: 8 сантиметров.

  5. popfan Ответить

    1. Проекция отрезка на прямую.

    Если через какую-нибудь точку, взятую вне прямой, провести прямую, перпендикулярную к ней, то отрезок от данной точки до прямой для краткости называют одним словом перпендикуляр.
    Отрезок СО – перпендикуляр к прямой АВ. Точка О называется основанием перпендикуляра СО (рис).

    Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает другую прямую, но не перпендикулярна к ней, то отрезок её от данной точки до точки пересечения с другой прямой называют наклонной к этой прямой.
    Отрезок ВС – наклонная к прямой АО. Точка С называется основанием наклонной (рис.).
    Если из концов какого-нибудь отрезка опустим перпендикуляры на произвольную прямую, то отрезок прямой, заключённый между основаниями перпендикуляров, называется проекцией отрезка на эту прямую.
    Отрезок А&#146В&#146 – проекция отрезка АВ на ЕС. Отрезок ОМ&#146 – также называется проекцией отрезка ОМ на ЕС.

    Проекцией отрезка КР, перпендикулярного к ЕС, будет точка К&#146 (рис.).

    2. Свойства перпендикуляра и наклонных.

    Теорема 1. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.
    Отрезок АС (рис.) является перпендикуляром к прямой ОВ, а АМ – одна из наклонных, проведённых из точки А к прямой ОВ. Требуется доказать, что АМ > АС.

    В ΔМАС отрезок АМ является гипотенузой, а гипотенуза больше каждого из катетов этого треугольника. Следовательно, АМ > АС. Так как наклонная АМ взята нами произвольно, то можно утверждать, что всякая наклонная к прямой больше перпендикуляра к этой прямой (а перпендикуляр короче всякой наклонной), если они проведены к ней из одной и той же точки.
    Верно и обратное утверждение, а именно: если отрезок АС (рис.) меньше всякого другого отрезка, соединяющего точку АС любой точкой прямой ОВ, то он является перпендикуляром к ОВ. В самом деле, отрезок АС не может быть наклонной к ОВ, так как тогда он не был бы самым коротким из отрезков, соединяющих точку А с точками прямой ОВ. Значит, он может быть только перпендикуляром к ОВ.
    Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, принимается за расстояние от данной точки до этой прямой.
    Теорема 2. Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции .
    Пусть ВА и ВС – наклонные, проведённые из точки В к прямой АС (рис.), причём АВ = ВС. Нужно доказать, что равны и их проекции.

    Для доказательства опустим из точки В перпендикуляр ВО на АС. Тогда АО и ОС будут проекции наклонных АВ и ВС на прямую АС. Треугольник АВС равнобедренный по условию теоремы. ВО – высота этого треугольника. Но высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является в то же время и медианой этого треугольника.
    Поэтому АО = ОС.
    Теорема 3 (обратная). Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой.
    Пусть АС и СВ – наклонные к прямой АВ (рис.). СО ⊥ АВ и АО = ОВ.
    Требуется доказать, что АС = ВС.

    В прямоугольных треугольниках АОС и ВОС катеты АО и ОВ равны. СО – общий катет этих треугольников. Следовательно, ΔAOС = ΔВОС. Из равенcтва треугольников вытекает, что АС = ВС.
    Теорема 4. Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.
    Пусть АВ и ВС – наклонные к прямой АО; ВО ⊥ АО и АО>СО. Требуется доказать, что АВ > ВС.
    1) Наклонные расположены по одну сторону перпендикуляра.
    Угол АСЕ внешний по отношению к прямоугольному треугольнику СОВ (рис.), а поэтому ∠АСВ > ∠СОВ, т. е. он тупой. Отсюда следует, что АВ > СВ.

    2) Наклонные расположены по обе стороны перпендикуляра. Для доказательства отложим на АО от точки О отрезок ОК = ОС и соединим точку К с точкой В (рис.). Тогда по теореме 3 имеем: ВК = ВС, но АВ > ВК, следовательно, АВ > ВС, т. е. теорема справедлива и в этом случае.
    Теорема 5 (обратная). Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.
    Пусть КС и ВС – наклонные к прямой КВ (рис.), СО ⊥ КВ и КС > ВС. Требуется доказать, что КО > ОВ.

    Между отрезками КО и ОВ может быть только одно из трёх соотношений:
    1) КО < ОВ, 2) КО = ОВ, 3) КО > ОВ.
    КО не может быть меньше ОВ, так как тогда по теореме 4 наклонная КС была бы меньше наклонной ВС, а это противоречит условию теоремы.
    Точно так же КО не может равняться ОВ, так как в этом случае по теореме 3 КС = ВС, что также противоречит условию теоремы.
    Следовательно, остаётся верным только последнее соотношение, а именно, что КО > ОВ.

  6. Weezy Ответить

    Поставим задачу определить, в каком случае прямая может считаться перпендикулярной к плоскости. Докажем предварительно следующее предложение.
    Теорема. Если прямая (АА1, черт. 15), пересекающаяся с плоскостью (МN), перпендикулярна к каким-нибудь двум прямым (ОВ и ОС), проведенным на этой плоскости через точку пересечения (O) данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой третьей прямой (ОD), проведённой на плоскости через ту же точку пересечения (О).

    Отложим на прямой АА1 произвольной длины, но равные отрезки ОА и ОА1 и проведём на плоскости какую-нибудь прямую, которая пересекала бы три прямые, исходящие из точки О, в каких-нибудь точках С, D и В. Эти точки соединим с точками А и А1. Мы получим тогда несколько треугольников. Рассмотрим их в такой последовательности.
    Сначала возьмём треугольники АСВ и А1СВ; они равны, так как у них СВ—общая сторона, АС=А1С, как наклонные к прямой АА1, одинаково удалённые от основания О перпендикуляра ОС; по той же причине АВ = А1В. Из равенства этих треугольников следует, что ∠ АВС = ∠ А1BС.
    После этого перейдём к треугольникам АОВ и А1ОВ; они равны, так как у них ОВ—общая сторона, АВ = А1В и ∠АВD = ∠А1ВD. Из равенства этих треугольников выводим, что АО = А1О.
    Теперь возьмём треугольники АОD и А1ОD; они равны, так как имеют соответственно равные стороны. Из их равенства выводим, что ∠АОD и ∠А1ОD , а так как эти углы смежные, то, следовательно, АА1 ⊥ ОD.
    Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она, пересекаясь с этой плоскостью, образует прямой угол с каждой прямой, проведённой на плоскости через точку пересечения. В этом случае говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой.
    Из предыдущей теоремы следует, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым, лежащим в данной плоскости и проходящим через точку пересечении данной прямой и плоскости.
    Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости. Точка пересечения прямой с плоскостью называется основанием перпендикуляра или наклонной.
    Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных. Когда из одной точки А (черт. 16) проведены к плоскости перпендикуляр АВ и наклонная АС, условимся называть, проекцией наклонной на плоскость Р отрезок ВС, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной.
    Для краткости термины “перпендикуляр” и “наклонная” употребляются вместо “отрезок перпендикуляра, ограниченный данной точкой и основанием перпендикуляра”, и “отрезок наклонной, ограниченный данной точкой и основанием наклонной.

    Таким образом, отрезок ВС есть проекция наклонной АС, отрезок ВD есть проекция наклонной АD и т. д.
    Теорема. Если из одной и той же точки (А, черт. 16), взятой вне плоскости (Р), проведены и этой плоскости перпендикуляр (AB) и какие-нибудь наклонные (АС, АD, АЕ, …), то:
    1) две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
    2) из двух наклонных та больше, проекция которой больше,
    Вращая прямоугольные треугольники ABC и ABD вокруг катета AB, мы можем совместить их плоскости с плоскостью \(\Delta\)ABE. Тогда все наклонные будут лежать в одной плоскости с перпендикуляром, а все проекции расположатся на одной прямой. Таким образом, доказываемые теоремы приводятся к аналогичным теоремам планиметрии.
    Замечание. Так как АВ есть катет прямоугольного треугольника, а каждая из наклонных АС, АD, АЕ, … есть гипотенуза, то перпендикуляр АВ меньше всякой наклонной; значит, перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, есть наименьший из всех отрезков, соединяющих данную точку с любой точкой плоскости, и потому он принимается за меру расстояния точки А от плоскости Р.
    Обратные теоремы. Если из одной и той же точки, взятой вне плоскости, проведены перпендикуляр и какие-нибудь наклонные, то:
    1) равные наклонные имеют равные проекции;
    2) из двух проекций та больше, которая соответствует большей наклонной.
    Доказательство – от противного.
    Приведём ещё следующую теорему о перпендикулярах, которая понадобится нам впоследствии.
    Теорема. Прямая (DЕ, черт. 17), проведённая на плоскости (Р) через основание наклонной (АС) перпендикулярно к её проекции (ВС), перпендикулярна и к самой наклонной.

    Отложим произвольные, но равные отрезки СD и СЕ и соединим прямолинейными отрезками точки А и В с точками D и E. Тогда будем иметь:
    ВD = ВЕ, как наклонные к прямой DЕ, одинаково удалённые от основания С перпендикуляра ВС;
    АD = АЕ, как наклонные к плоскости Р, имеющие равные проекции ВD и ВЕ.
    Вследствие этого \(\Delta\)АDЕ равнобедренный, и потому его медиана АС перпендикулярна к основанию DЕ.
    Эта теорема носит название теоремы о трёх перпендикулярах. Действительно, в ней говорится о связи, соединяющей следующие три перпендикуляра:
    1) АВ к плоскости Р,
    2) ВС к прямой DE и
    3) АС к той же прямой DE.
    Обратная теорема. Прямая (ОЕ, черт. 17), проведённая на плоскости (Р) через основание наклонной (АС) перпендикулярно к этой наклонной, перпендикулярна и к её проекции.
    Сделаем те же построения, что и при доказательстве прямой теоремы. Отложим произвольные, но равные отрезки СD и СЕ и соединим прямолинейными отрезками точки А и В с точками D и Е, тогда будем иметь:
    АD = АЕ, как наклонные к прямой DЕ, одинаково удалённые от основания С перпендикуляра АС;
    ВD = ВЕ, как проекции равных наклонных АD и АЕ.
    Вследствие этого \(\Delta\)ВDЕ равнобедренный, и потому его медиана ВС перпендикулярна к основанию DЕ.

  7. Voktilar Ответить

    Что такое наклонная к прямой? Сколько наклонных можно провести из одной точки к данной прямой? Как найти расстояние между основаниями наклонных?
    Определение.
    Наклонной, проведенной из точки A к прямой a, называется отличный от перпендикуляра отрезок,  соединяющий точку A с некоторой точкой на прямой a.
    рисунок 1
    Рисунок наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, начинают с изображения перпендикуляра (даже если в условии задачи о перпендикуляре не упоминается).
    Чтобы нарисовать наклонную, нужно соединить точку, из которой проводится наклонная, с любой точкой на данной прямой.
    На рисунке 1 AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a, AC — наклонная.
    Точка B — основание перпендикуляра, точка C — основание наклонной AC.
    Отрезок BC, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной, — проекция наклонной AC на прямую a.
    Из точки к прямой можно провести бесконечно много наклонных.
    Две наклонные проведенные из данной точки к данной прямой, могут быть расположены как по одну сторону от перпендикуляра, так и по разные стороны от него.
    рисунок 2
    На рисунке 2 наклонные AC и AD расположены по одну сторону от перпендикуляра AB.
    BC — проекция наклонной AC на прямую a,
    BD — проекция наклонной AD на прямую a.

  8. Moogulkis Ответить

    Определение.1. Перпендикуляр
    Определение.2. Наклонная
    Теорема.1. Перпендикуляр из точки вне прямой
    Теорема.2. Перпендикуляр из точки принадлежащей прямой
    Теорема.3. Основное свойство серединного перпендикуляра к отрезку
    Теорема.4. Следствие теоремы 3
    Определение 1. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения.
    Конец отрезка, лежащий на данной прямой, называется основанием перпендикуляра.

    Определение 2. Наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, называется отрезок, соединяющий данную точку с любой точкой прямой, неявляющейся основанием перпендикуляра, опущенного из этой же точки на данную прямую.
    На рисунке АН – перпендикуляр, АВ, АС, АТ – наклонные.
    Расстоянием между точками является длина отрезка, соединяющего эти точки.
    Точка называется равноудаленной от двух и более данных точек, если растояния от этой точки до каждой данной точки равны.
    Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра опущенного из донной точки на данную прямую.
    Точка называется равноудаленной от двух и более прямых, если растояния от этой точки до каждой прямой равны.
    Теорема 1. Из точки, не принадлежащей данной прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, причем только один.
    Теорема 2. Из данной точки прямой можно восстановить перпендикуляр, причем только один.
    Теорема 3. Любая точка перпендикуляра, проходящего через середину данного отрезка, равноудалена от его концов.

    Доказательство: Пусть AB – отрезок, C – его середина, и H – произвольная точка на серединном перпендикуляре. Тогда углы HCA и HCB прямые, HC = HC, AC = BC. Значит, треугольники ACH и BCH равны. Следовательно, их стороны AH и BH равны. Что и требовалось доказать.
    Теорема 4. Если данная точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на прямой, перпендикулярной данному отрезку и проходящей через его середину.

  9. ^твоЯ самая кайФовая дурЬ^ Ответить


    В результате несложных построений мы получили прямоугольный треугольник. В данном треугольнике угол АВС называется углом между наклонной и проекцией.
    Теорема о трёх перпендикулярах
    А теперь давайте нарисуем новый чертеж, на котором покажем перпендикуляр, наклонную, проекцию, а так же прямую, которая будет лежать на плоскости, и будет перпендикулярна наклонной и проекции.

    На этом рисунке мы указали три перпендикулярные прямые: m, a1, a.
    Если некоторая прямая m является перпендикулярной прямой к наклонной, то она будет перпендикулярна и к проекции этой наклонной.

    Чтобы понять задачу, старайтесь её всегда визуализировать, например, с помощью карандашей.
    Кроме специализированных задач, эта теорема Вам пригодиться, когда Вы будете решать задачи на сечения, или общей стереометрии:

    Предыдущий урок
    Следующий урок

Добавить комментарий для Voktilar Отменить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *