Что такое область значения и область определения функции?

15 ответов на вопрос “Что такое область значения и область определения функции?”

  1. Miranaya Ответить

    Условие: дана функция y=2sinx2-4, x?-3-1, -33. Вычислите область ее значений.
    Решение
    Данная функция является определенной для всех значений  x. Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных -3 и 3:
    limx>-3-0f(x)=limx>-32sinx2-4=2sin-32-4=-2sin32-4limx>-3+0f(x)=limx>-3(1)=-1?limx>-3-0f(x)?limx>-3+0f(x)
    Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента -3. При приближении к нему значения функции стремятся к -2sin32-4, а при стремлении x к -3 с правой стороны значения будут стремиться к -1.
    limx>3-0f(x)=limx>3-0(-1)=1limx>3+0f(x)=limx>3+01x-3=+?
    Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке 3. Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к -1, при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.
    Значит, вся область определения данной функции является разбитой на 3 интервала (-?; -3], (-3; 3], (3; +?).
    На первом из них у нас получилась функция y=2sinx2-4. Поскольку -1?sin x?1, получаем:
    -1?sinx2<1?-2?2sinx2?2?-6?2sinx2-4?-2
    Значит, на данном промежутке (-?; -3] множество значении функции – [-6;2].
    На полуинтервале (-3; 3] получилась постоянная функция y =-1. Следовательно, все множество ее значений в данном случае будет сводится к одному числу -1.
    На втором промежутке 3; +? у нас есть функция y=1x-3. Она является убывающей, потому что y'=-1(x-3)2<0. Она будет убывать от плюс бесконечности до 0, но самого 0 не достигнет, потому что:
    limx>3+01x-3=13+0-3=1+0=+?limx>+?1x-3=1+?-3=1+?+0
    Значит, множество значений исходной функции при x > 3 представляет собой множество 0; +?. Теперь объединим полученные результаты: E(y)=-6; -2?-1?0; +?.
    Ответ: E(y)=-6; -2?-1?0; +?.

  2. Забавная Ответить

    Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используется запись D(f). Однако нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения, например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках иногда встречаются записи вида D(sin) или D(arcsin). Их следует понимать как области определения синуса и арксинуса соответственно. Допустима и запись вида D(f), где f – функция синуса или арксинуса.
    Если мы хотим записать, что функция f определена на множестве значений x, то используем формулировку D(f)=X. Так, для того же арксинуса запись будет выглядеть как D(arcsin)= [?1, 1] (подробнее об области определения арксинуса мы расскажем далее.)

    Как найти области определения для основных элементарных функций

    Прочитав определения выше, легко понять, что понятие области определения очень важно для любой функции. Это ее неотъемлемая часть, которую задают вместе с самой функцией. То есть когда мы вводим какую-либо функцию, то мы сразу указываем и область ее определения. Обычно в рамках школьного курса основные функции изучаются последовательно: сначала прямые пропорциональности, затем линейные функции, потом y=x2 и т.д., а их области определения указываются в качестве основных свойств.
    В этом пункте мы расскажем, какие области определения имеют основные элементарные функции.

    Область определения постоянной функции

    Определение 3

  3. Мямлик Ответить

    Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.
    Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.
    Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).
    НАПРИМЕР у=5+х
    1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3
    2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)
    Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).
    НАПРИМЕР.
    1.у=1/х. (наз.гипербола)
    2. у=х^2. (наз. парабола)
    3.у=3х+7. (наз. прямая)
    4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)
    Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.

    Область определения функции

    Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).
    Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.
    1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
    2. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
    3. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
    4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел
    Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.

    Область значения функции

    Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).
    Рассмотрим Е (у) для 1.,2.,3.,4.
    1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
    2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел
    3. Е (у)=( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
    4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

    Рассмотрим примеры подробнее

    1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)
    Решение.
    1. Найдем D (у)//т.е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)
    3+х≠0
    х≠-3
    значит D (у) данной функции ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.
    2. Найдем Е (у)//т.е. какие значения может принимать у, при всех возможных х
    решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где А є Е (у)
    (3+х)А=4х
    3А=4х-хА
    3А=х(4-А)
    х=3А/(4-А)
    значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.
    2) Постановка задачи. Найти D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

    Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7],
    Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4].

    Нужна помощь в учебе?


  4. Nightcliff Ответить

    Функция – это зависимость переменной у от переменной х, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
    Переменная х – это независимая переменная или аргумент.
    Переменная у – это зависимая переменная.
    Значение функции – это значение у, соответствующее заданному значению х.
    Область определения функции – это все значения, которые принимает независимая переменная.
    Область значений функции (множество значений)- это все значения, которые принимает функция.
    Функция является четной – если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(х)=f(-х)
    Функция является нечетной – если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)=-f(х)
    Возрастающая функция – если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой.
    3)Линейная функция- это функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b- это действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.
    Свойства функции y=kx+b:
    1. Область определения - множество всех действительных чисел;
    2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни четна, ни нечётна;
    3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
    Графиком функции является прямая.
    4)Обратная пропорциональность – это функция, заданная формулой y=k/х, где k¹0.
    Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
    Свойства функции y=k/x:
    1. Область определения - множество всех действительных чисел кроме нуля;
    2. y=k/x - нечетная функция;
    3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+ ¥) и на промежутке (-;¥0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+ ¥).
    Графиком функции является гипербола.
    5)Функция y=x2
    Свойства функции y=x2:
    1. Область определения - вся числовая прямая;
    2. y=x2 - четная функция;
    3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает;
    4. На промежутке (-¥;0] функция убывает.
    Графиком функции является парабола.
    6)Функция y=x3
    Свойства функции y=x3:
    1. Область определения - вся числовая прямая;
    2. y=x3 - нечетная функция;
    3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
    Графиком функции является кубическая парабола.
    7)Степенная функция с натуральным показателем – это функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше. Пусть n- это произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n. Пусть n- это произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.
    8)Степенная функция с целым отрицательным показателем – это функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
    Пусть n- это нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n
    обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
    Пусть n- четное число, например n=2.
    Свойства функции y=x-2:
    1. Функция определена при всех x¹0;
    2. y=x-2 - четная функция;
    3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0). Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
    9)Функция y=Oх
    Свойства функции y=Oх:
    1. Область определения - луч [0;+¥);
    2. Функция y=Oх - общего вида;
    3. Функция возрастает на луче [0;+¥).
    10)Функция y=3Oх
    Свойства функции y=3Oх:
    1. Область определения- вся числовая прямая;
    2. Функция y=3Oх нечетна;
    3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
    11)Функция y=nOх
    При четном n функция обладает такими же свойствами, что и функция y=Oх.
    При нечетном n функция y=nOх обладает такими же свойствами, что и функция y=3Oх.
    12)Степенная функция с положительным дробным показателем – это функция, заданная формулой y=xr, где r- это положительная несократимая дробь.
    Свойства функции y=xr:
    1.Область определения- луч [0;+¥);
    2. Функция общего вида;
    3. Функция возрастает на [0;+¥).
    13) Степенная функция с отрицательным дробным показателем - функция, заданная формулой y=x-r, где r - это положительная несократимая дробь.
    Свойства функции y=x-r:
    1. Обл. определения - промежуток (0;+¥);
    2. Функция общего вида;
    3. Функция убывает на (0;+¥).
    14)Обратная функция .
    Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.
    Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке х и областью ее значений является промежуток у, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на у. Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), нужно график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.
    15)Сложная функция- это функция, аргументом которой является другая любая функция. Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получаем: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.
    Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не сразу возникло в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Впервые термин "функция" ввел в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у Лейбница "геометрический налет". Ученик Лейбница, Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дал более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: "функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных".

  5. С подругой На пару Ответить

    Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.
    Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (??, 1)?(1, +?) и считается числовым множеством.
    На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2?5·x+6?0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (??, 2]?[3, +?).
    При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

    Область определения суммы, разности и произведения функций

    Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:
    Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций  f1, f2, …, fn. Данное утверждение можно записать как:
    D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)
    Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.
    Пример 1

  6. Imperator_Neron Ответить

    Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
    Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: у = ?(x) (читают: «у равно ? от х»). Символом ?(x) обозначают также значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.
    Пусть, например, функция задана формулой у = 2х2 – 6. Тогда можно записать, что ?(x) = 2х2 – 6. Найдем значения функции ? для значений х, равных 2,5 и -3:
    ?(2,5) = 2 • 2,52 – 6 = 6,5; ?(-3) = 2 • (-3)2 – 6 = 12.
    Заметим, что в записи вида у = ?(x) вместо ? употребляют и другие буквы: g, φ и т. п.
    Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
    Функция у = ?(x) считается заданной, если указана область определения функции и правило, согласно которому каждому значению независимой переменной поставлено в соответствие единственное значение зависимой переменной.
    Если функция у = ?(x) задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений переменной х, при которых выражение ?(x) имеет смысл. Например, областью определения функции ?(x) = 5х + х2 является множество всех чисел; областью определения функции служит множество всех чисел, кроме -3.
    Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины l железного стержня от температуры нагревания t выражается формулой l = l0( 1 + αt), где l0 — начальная длина стержня, а a — коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях t. Однако областью определения функции l = ?(t) является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.
    Напомним, что графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы, которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

    На рисунке 1 изображен график функции у = ?(x), областью определения которой является отрезок [-3; 7]. С помощью графика можно найти, например, что ?(-3) = -2, ?(0) = 2,5, ?(2) = 4, ?(5) = 2. Наименьшее значение функции равно -2, а наибольшее равно 4, при этом любое число от —2 до 4 является значением данной функции. Таким образом, областью значений функции у = ?(x) служит отрезок [-2; 4].
    Мы ранее изучали некоторые важные виды функций: линейную функцию, т. е. функцию, задаваемую формулой у = kx + b, где k и b — некоторые числа; прямую пропорциональность — частный случай линейной функции, она задается формулой у = kx, где k ≠ 0; обратную пропорциональность — функцию
    Графиком функции у = kx + b служит прямая (рис. 2). Областью определения этой функции является множество всех чисел. Область значений этой функции при k ≠ 0 есть множество всех чисел, а при k = 0 ее область значений состоит из одного числа b.

    График функции называется гиперболой. На рисунке 3 изображен график функции для k > 0. Область определения этой функции есть множество всех чисел, кроме нуля. Это же множество является и областью ее значений.
    Функциями такого вида описываются многие реальные процессы и закономерности. Например, прямой пропорциональностью является зависимость массы тела m от его объема V при постоянной плотности ρ (m = ρV), зависимость длины окружности С от ее радиуса R (С = 2πR). Обратной пропорциональностью является зависимость силы тока I на участке цепи от сопротивления проводника R при постоянном напряжении зависимость времени t, которое затрачивает равномерно движущееся тело на прохождение заданного пути s, от скорости движения
    Мы изучали также функции, заданные формулами у = х2, у = х3, у = √х . Их графики изображены на рисунке 4.

    Рассмотрим еще одну функцию, а именно функцию, заданную формулой у = |х|.
    Так как выражение |х| имеет смысл при любом х, то областью определения этой функции является множество всех чисел. По определению |х| = х, если х ≥ 0, и |х| = -х, если х < 0. Поэтому функцию у = |х| можно задать следующим образом:
    График рассматриваемой функции в промежутке [0; +∞) совпадает с графиком функции у = х, а в промежутке (—∞; 0) — с графиком функции у = -х. График функции у = |х| изображен на рисунке 5. Он состоит из двух лучей, исходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.

    Упражнения >>>

  7. Kenvelo Ответить

    Функция — одно из важнейших математических понятий.
    Определение: Если каждому числу из некоторого множества x поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y — зависимой переменной или значением функции или простофункцией.
    Говорят также, что переменная y является функцией от переменной x.
    Обозначив соответствие некоторой буквой, например f, удобно писать: y=f (x), то есть, значение y получается из аргумента x с помощью соответствия f. (Читают: y равно f от x.) Символом f (x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному x.
    Пример 1 Пусть функция задается формулой y=2×2–6. Тогда можно записать, что f(x)=2×2–6. Найдем значения функции для значений х, равных, например, 1; 2,5;–3; т. е. найдем f(1), f(2,5), f(–3):
    f(1)=2•12–6=–4;
    f(2,5)=2•2,52–6=6,5;
    f(–3)=2•(–3)2–6= 12.
    Заметим, что в записи вида y=f (x) вместо f употребляют и другие буквы: g, и т. п.
    Определение: Область определения функции — это все значения x, при которых существует функция.
    Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
    Другими словами, область определения функции, заданной формулой, является все значения аргумента, за исключением тех, которые приводят к действиям, которые мы не можем выполнить. На данный момент мы знаем только два таких действия. Мы не можем делить на нуль и не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа.
    Определение: Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значения функции.
    Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины l железного стержня от температуры нагревания t выражается формулой , где l0 начальная длина стержня, а —коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях t. Однако, областью определения функцииl=g(t) является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.
    Пример.
    Укажите область значений функции y = arcsinx.
    Решение.
    Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

    Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1), то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1, а наибольшее при x = 1.

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *