Что такое перпендикуляр опущенный из данной точки на плоскость?

12 ответов на вопрос “Что такое перпендикуляр опущенный из данной точки на плоскость?”

  1. agcforum Ответить

    Определение. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
    Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
    Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
    Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, не являющийся перпендикуляром к плоскости, с одним концом в данной точке, а с другим – на плоскости.
    Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
    Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной (рис.24)

    АС – наклонная,
    АВ – перпендикуляр,
    СВ – проекция наклонной
    С – основание наклонной,
    В – основание перпендикуляра
    Рис.24
    Теорема 2.10. О трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции,то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (рис.25)

    АВ- перпендикуляр плоскости α, АС- наклонная и с – прямая в плоскости, проходящая через основание С
    2.2.4. Перпендикулярные плоскости.
    Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам (рис.26)

    Рис.26
    Для обозначения перпендикулярности используют символ вида « ». То есть, если плоскости α и β перпендикулярны, то можно кратко записать

    Рис.27
    Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (рис.27)
    Если плоскости α и β перпендикулярны, то можно также сказать, что плоскость α перпендикулярна к плоскости β или плоскость β перпендикулярна к плоскости α. Поэтому перпендикулярные плоскости α и β часто называют взаимно перпендикулярными.
    В качестве примера перпендикулярных плоскостей можно привести плоскости стены и пола в комнате.
    На практике часто приходится определять, перпендикулярны ли две заданные плоскости. Для этого можно найти угол между заданными плоскостями, и если он будет равен 90о, то по определению плоскости будут перпендикулярными.
    Также существует признак перпендикулярности двух плоскостей, который часто используется для доказательства перпендикулярности двух плоскостей. В его формулировке участвуют перпендикулярные прямая и плоскость.

  2. Sasha1504 Ответить

    Рис.1
    Проведем прямую AB и обозначим буквой C точку пересечения прямых AB и c. Отметим на прямой p произвольную точку P и обозначим символом P’ точку, расположенную на прямой p так, чтобы точка O оказалась серединой отрезка PP’. Поскольку прямые OA и OB являются серединными перпендикулярами к отрезку PP’, то справедливы равенства
    AP = AP’, BP = BP’
    Из этих равенств, а также поскольку отрезок AB является общей стороной треугольников APB и AP’B, заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники APB и AP’B равны. Следовательно,

    Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник PBС равен треугольнику P’BС (BP = BP’, , сторона BС – общая). Следовательно,
    СP = СP’,
    откуда вытекает, что точка С лежит на серединном перпендикуляре к отрезку PP’.
    Таким образом, прямые PO и c перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.
    Теперь перейдем к общему случаю.
    Предположим, что что прямая p, пересекающая плоскость α в точке O, перпендикулярна к прямым a и b, лежащим на плоскости α . Докажем, что в этом случае прямая p перпендикулярна любой другой прямой c, лежащей плоскости α (рис. 2).

  3. Zoom22 Ответить

    Определение.1. Перпендикуляр
    Определение.2. Наклонная
    Теорема.1. Перпендикуляр из точки вне прямой
    Теорема.2. Перпендикуляр из точки принадлежащей прямой
    Теорема.3. Основное свойство серединного перпендикуляра к отрезку
    Теорема.4. Следствие теоремы 3
    Определение 1. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения.
    Конец отрезка, лежащий на данной прямой, называется основанием перпендикуляра.

    Определение 2. Наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, называется отрезок, соединяющий данную точку с любой точкой прямой, неявляющейся основанием перпендикуляра, опущенного из этой же точки на данную прямую.
    На рисунке АН – перпендикуляр, АВ, АС, АТ – наклонные.
    Расстоянием между точками является длина отрезка, соединяющего эти точки.
    Точка называется равноудаленной от двух и более данных точек, если растояния от этой точки до каждой данной точки равны.
    Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра опущенного из донной точки на данную прямую.
    Точка называется равноудаленной от двух и более прямых, если растояния от этой точки до каждой прямой равны.
    Теорема 1. Из точки, не принадлежащей данной прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, причем только один.
    Теорема 2. Из данной точки прямой можно восстановить перпендикуляр, причем только один.
    Теорема 3. Любая точка перпендикуляра, проходящего через середину данного отрезка, равноудалена от его концов.

    Доказательство: Пусть AB – отрезок, C – его середина, и H – произвольная точка на серединном перпендикуляре. Тогда углы HCA и HCB прямые, HC = HC, AC = BC. Значит, треугольники ACH и BCH равны. Следовательно, их стороны AH и BH равны. Что и требовалось доказать.
    Теорема 4. Если данная точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на прямой, перпендикулярной данному отрезку и проходящей через его середину.

  4. @olleg@ Ответить


    Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
    Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

    AB – перпендикуляр к плоскости α.
    AC – наклонная, CB – проекция.

    Формулировка теоремы

    Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

    Доказательство

    Пусть AB — перпендикуляр к плоскости α, AC — наклонная и c — прямая в плоскости α, проходящая через точку C и перпендикулярная проекции BC. Проведем прямую CK параллельно прямой AB. Прямая CK перпендикулярна плоскости α (так как она параллельна AB), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, CK перпендикулярна прямой c. Проведем через параллельные прямые AB и CK плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости β, это BC по условию и CK по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой AC.

  5. ageorgievich Ответить


    Начало

    Поиск по сайту

    ТОПы

    Учебные заведения

    Предметы

    Проверочные работы

    Обновления

    Новости

    Переменка
    Отправить отзыв

  6. kly6ok Ответить

    Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
    На рисунке 136 из точки А проведены к плоскости а перпендикуляр и наклонная Точка В — основание перпендикуляра, точка С — основание наклонной, — проекция наклонной на плоскость а.
    Так как расстояния от точек прямой до параллельной ей плоскости одинаковы, то расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой ее точки до этой плоскости.
    Т. 2.12. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (теорема о трех перпендикулярах).
    На рисунке 137 к плоскости а проведены перпендикуляр и наклонная . Прямая а, лежащая в плоскости а, перпендикулярна — проекции наклонной на плоскость а. По Т. 2.12 прямая а перпендикулярна наклонной Если было бы известно, что прямая а перпендикулярна наклонной то по Т. 2.12 она была бы перпендикулярна и ее проекции —
    Пример. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр (рис. 138). Найти расстояние от точки D до гипотенузы

  7. radiopit Ответить

    Определение.1. Перпендикуляр
    Определение.2. Наклонная
    Теорема.1. Перпендикуляр из точки вне прямой
    Теорема.2. Перпендикуляр из точки принадлежащей прямой
    Теорема.3. Основное свойство серединного перпендикуляра к отрезку
    Теорема.4. Следствие теоремы 3
    Определение 1. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения.
    Конец отрезка, лежащий на данной прямой, называется основанием перпендикуляра.

    Определение 2. Наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, называется отрезок, соединяющий данную точку с любой точкой прямой, неявляющейся основанием перпендикуляра, опущенного из этой же точки на данную прямую.
    На рисунке АН – перпендикуляр, АВ, АС, АТ – наклонные.
    Расстоянием между точками является длина отрезка, соединяющего эти точки.
    Точка называется равноудаленной от двух и более данных точек, если растояния от этой точки до каждой данной точки равны.
    Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра опущенного из донной точки на данную прямую.
    Точка называется равноудаленной от двух и более прямых, если растояния от этой точки до каждой прямой равны.
    Теорема 1. Из точки, не принадлежащей данной прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, причем только один.
    Теорема 2. Из данной точки прямой можно восстановить перпендикуляр, причем только один.
    Теорема 3. Любая точка перпендикуляра, проходящего через середину данного отрезка, равноудалена от его концов.

    Доказательство: Пусть AB – отрезок, C – его середина, и H – произвольная точка на серединном перпендикуляре. Тогда углы HCA и HCB прямые, HC = HC, AC = BC. Значит, треугольники ACH и BCH равны. Следовательно, их стороны AH и BH равны. Что и требовалось доказать.
    Теорема 4. Если данная точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на прямой, перпендикулярной данному отрезку и проходящей через его середину.

  8. formpz Ответить

    1. Проекция отрезка на прямую.

    Если через какую-нибудь точку, взятую вне прямой, провести прямую, перпендикулярную к ней, то отрезок от данной точки до прямой для краткости называют одним словом перпендикуляр.
    Отрезок СО – перпендикуляр к прямой АВ. Точка О называется основанием перпендикуляра СО (рис).

    Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает другую прямую, но не перпендикулярна к ней, то отрезок её от данной точки до точки пересечения с другой прямой называют наклонной к этой прямой.
    Отрезок ВС – наклонная к прямой АО. Точка С называется основанием наклонной (рис.).
    Если из концов какого-нибудь отрезка опустим перпендикуляры на произвольную прямую, то отрезок прямой, заключённый между основаниями перпендикуляров, называется проекцией отрезка на эту прямую.
    Отрезок А&#146В&#146 – проекция отрезка АВ на ЕС. Отрезок ОМ&#146 – также называется проекцией отрезка ОМ на ЕС.

    Проекцией отрезка КР, перпендикулярного к ЕС, будет точка К&#146 (рис.).

    2. Свойства перпендикуляра и наклонных.

    Теорема 1. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.
    Отрезок АС (рис.) является перпендикуляром к прямой ОВ, а АМ – одна из наклонных, проведённых из точки А к прямой ОВ. Требуется доказать, что АМ > АС.

    В ΔМАС отрезок АМ является гипотенузой, а гипотенуза больше каждого из катетов этого треугольника. Следовательно, АМ > АС. Так как наклонная АМ взята нами произвольно, то можно утверждать, что всякая наклонная к прямой больше перпендикуляра к этой прямой (а перпендикуляр короче всякой наклонной), если они проведены к ней из одной и той же точки.
    Верно и обратное утверждение, а именно: если отрезок АС (рис.) меньше всякого другого отрезка, соединяющего точку АС любой точкой прямой ОВ, то он является перпендикуляром к ОВ. В самом деле, отрезок АС не может быть наклонной к ОВ, так как тогда он не был бы самым коротким из отрезков, соединяющих точку А с точками прямой ОВ. Значит, он может быть только перпендикуляром к ОВ.
    Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, принимается за расстояние от данной точки до этой прямой.
    Теорема 2. Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции .
    Пусть ВА и ВС – наклонные, проведённые из точки В к прямой АС (рис.), причём АВ = ВС. Нужно доказать, что равны и их проекции.

    Для доказательства опустим из точки В перпендикуляр ВО на АС. Тогда АО и ОС будут проекции наклонных АВ и ВС на прямую АС. Треугольник АВС равнобедренный по условию теоремы. ВО – высота этого треугольника. Но высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является в то же время и медианой этого треугольника.
    Поэтому АО = ОС.
    Теорема 3 (обратная). Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой.
    Пусть АС и СВ – наклонные к прямой АВ (рис.). СО ⊥ АВ и АО = ОВ.
    Требуется доказать, что АС = ВС.

    В прямоугольных треугольниках АОС и ВОС катеты АО и ОВ равны. СО – общий катет этих треугольников. Следовательно, ΔAOС = ΔВОС. Из равенcтва треугольников вытекает, что АС = ВС.
    Теорема 4. Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.
    Пусть АВ и ВС – наклонные к прямой АО; ВО ⊥ АО и АО>СО. Требуется доказать, что АВ > ВС.
    1) Наклонные расположены по одну сторону перпендикуляра.
    Угол АСЕ внешний по отношению к прямоугольному треугольнику СОВ (рис.), а поэтому ∠АСВ > ∠СОВ, т. е. он тупой. Отсюда следует, что АВ > СВ.

    2) Наклонные расположены по обе стороны перпендикуляра. Для доказательства отложим на АО от точки О отрезок ОК = ОС и соединим точку К с точкой В (рис.). Тогда по теореме 3 имеем: ВК = ВС, но АВ > ВК, следовательно, АВ > ВС, т. е. теорема справедлива и в этом случае.
    Теорема 5 (обратная). Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.
    Пусть КС и ВС – наклонные к прямой КВ (рис.), СО ⊥ КВ и КС > ВС. Требуется доказать, что КО > ОВ.

    Между отрезками КО и ОВ может быть только одно из трёх соотношений:
    1) КО < ОВ, 2) КО = ОВ, 3) КО > ОВ.
    КО не может быть меньше ОВ, так как тогда по теореме 4 наклонная КС была бы меньше наклонной ВС, а это противоречит условию теоремы.
    Точно так же КО не может равняться ОВ, так как в этом случае по теореме 3 КС = ВС, что также противоречит условию теоремы.
    Следовательно, остаётся верным только последнее соотношение, а именно, что КО > ОВ.

  9. joggers Ответить

    Геометрия.Теорема. (Перпендикуляр и наклонные к плоскости) Всё верно написано?
    Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах.
    Угол между прямой и плоскостью.
    Основание Н перпендикуляра АН к плоскости является проекцией точки А на
    плоскость.
    Всякая прямая АМ, проходящая через точку A и пересекающая плоскость альфа,
    не совпадающая c прямой AH, называется наклонной.
    Точка M называется основанием наклонной. Отрезок HМ называется проекцией
    наклонной AM на плоскость альфа.
    Углом между прямой (не перпендикулярной к плоскости альфа) и плоскостью
    альфа называется угол между этой прямой и её проекцией на заданную плоскость
    альфа.
    Если построить прямую, параллельную некоторой плоскости, то все её точки будут
    равноудалены от плоскости.
    Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного
    из данной точки к заданной плоскости.
    Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от
    другой плоскости.
    Если две прямые скрещиваются, то расстояние между одной из этих прямых и
    плоскостью, проведённой через другую прямую параллельно первой – называется
    расстоянием между скрещивающимися прямыми.
    Если через основание наклонной провести прямую, лежащую в данной плоскости
    и перпендикулярную проекции этой наклонной, то эта прямая будет перпендикулярна
    и самой наклонной.
    7 лет

  10. marses999 Ответить

    Поставим задачу определить, в каком случае прямая может считаться перпендикулярной к плоскости. Докажем предварительно следующее предложение.
    Теорема. Если прямая (АА1, черт. 15), пересекающаяся с плоскостью (МN), перпендикулярна к каким-нибудь двум прямым (ОВ и ОС), проведенным на этой плоскости через точку пересечения (O) данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой третьей прямой (ОD), проведённой на плоскости через ту же точку пересечения (О).

    Отложим на прямой АА1 произвольной длины, но равные отрезки ОА и ОА1 и проведём на плоскости какую-нибудь прямую, которая пересекала бы три прямые, исходящие из точки О, в каких-нибудь точках С, D и В. Эти точки соединим с точками А и А1. Мы получим тогда несколько треугольников. Рассмотрим их в такой последовательности.
    Сначала возьмём треугольники АСВ и А1СВ; они равны, так как у них СВ—общая сторона, АС=А1С, как наклонные к прямой АА1, одинаково удалённые от основания О перпендикуляра ОС; по той же причине АВ = А1В. Из равенства этих треугольников следует, что ∠ АВС = ∠ А1BС.
    После этого перейдём к треугольникам АОВ и А1ОВ; они равны, так как у них ОВ—общая сторона, АВ = А1В и ∠АВD = ∠А1ВD. Из равенства этих треугольников выводим, что АО = А1О.
    Теперь возьмём треугольники АОD и А1ОD; они равны, так как имеют соответственно равные стороны. Из их равенства выводим, что ∠АОD и ∠А1ОD , а так как эти углы смежные, то, следовательно, АА1 ⊥ ОD.
    Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она, пересекаясь с этой плоскостью, образует прямой угол с каждой прямой, проведённой на плоскости через точку пересечения. В этом случае говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой.
    Из предыдущей теоремы следует, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым, лежащим в данной плоскости и проходящим через точку пересечении данной прямой и плоскости.
    Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости. Точка пересечения прямой с плоскостью называется основанием перпендикуляра или наклонной.
    Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных. Когда из одной точки А (черт. 16) проведены к плоскости перпендикуляр АВ и наклонная АС, условимся называть, проекцией наклонной на плоскость Р отрезок ВС, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной.
    Для краткости термины “перпендикуляр” и “наклонная” употребляются вместо “отрезок перпендикуляра, ограниченный данной точкой и основанием перпендикуляра”, и “отрезок наклонной, ограниченный данной точкой и основанием наклонной.

    Таким образом, отрезок ВС есть проекция наклонной АС, отрезок ВD есть проекция наклонной АD и т. д.
    Теорема. Если из одной и той же точки (А, черт. 16), взятой вне плоскости (Р), проведены и этой плоскости перпендикуляр (AB) и какие-нибудь наклонные (АС, АD, АЕ, …), то:
    1) две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
    2) из двух наклонных та больше, проекция которой больше,
    Вращая прямоугольные треугольники ABC и ABD вокруг катета AB, мы можем совместить их плоскости с плоскостью \(\Delta\)ABE. Тогда все наклонные будут лежать в одной плоскости с перпендикуляром, а все проекции расположатся на одной прямой. Таким образом, доказываемые теоремы приводятся к аналогичным теоремам планиметрии.
    Замечание. Так как АВ есть катет прямоугольного треугольника, а каждая из наклонных АС, АD, АЕ, … есть гипотенуза, то перпендикуляр АВ меньше всякой наклонной; значит, перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, есть наименьший из всех отрезков, соединяющих данную точку с любой точкой плоскости, и потому он принимается за меру расстояния точки А от плоскости Р.
    Обратные теоремы. Если из одной и той же точки, взятой вне плоскости, проведены перпендикуляр и какие-нибудь наклонные, то:
    1) равные наклонные имеют равные проекции;
    2) из двух проекций та больше, которая соответствует большей наклонной.
    Доказательство – от противного.
    Приведём ещё следующую теорему о перпендикулярах, которая понадобится нам впоследствии.
    Теорема. Прямая (DЕ, черт. 17), проведённая на плоскости (Р) через основание наклонной (АС) перпендикулярно к её проекции (ВС), перпендикулярна и к самой наклонной.

    Отложим произвольные, но равные отрезки СD и СЕ и соединим прямолинейными отрезками точки А и В с точками D и E. Тогда будем иметь:
    ВD = ВЕ, как наклонные к прямой DЕ, одинаково удалённые от основания С перпендикуляра ВС;
    АD = АЕ, как наклонные к плоскости Р, имеющие равные проекции ВD и ВЕ.
    Вследствие этого \(\Delta\)АDЕ равнобедренный, и потому его медиана АС перпендикулярна к основанию DЕ.
    Эта теорема носит название теоремы о трёх перпендикулярах. Действительно, в ней говорится о связи, соединяющей следующие три перпендикуляра:
    1) АВ к плоскости Р,
    2) ВС к прямой DE и
    3) АС к той же прямой DE.
    Обратная теорема. Прямая (ОЕ, черт. 17), проведённая на плоскости (Р) через основание наклонной (АС) перпендикулярно к этой наклонной, перпендикулярна и к её проекции.
    Сделаем те же построения, что и при доказательстве прямой теоремы. Отложим произвольные, но равные отрезки СD и СЕ и соединим прямолинейными отрезками точки А и В с точками D и Е, тогда будем иметь:
    АD = АЕ, как наклонные к прямой DЕ, одинаково удалённые от основания С перпендикуляра АС;
    ВD = ВЕ, как проекции равных наклонных АD и АЕ.
    Вследствие этого \(\Delta\)ВDЕ равнобедренный, и потому его медиана ВС перпендикулярна к основанию DЕ.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *