Что такое прямоугольная система координат на плоскости?

12 ответов на вопрос “Что такое прямоугольная система координат на плоскости?”

  1. Jekka70 Ответить


    Начало

    Поиск по сайту

    ТОПы

    Учебные заведения

    Предметы

    Проверочные работы

    Обновления

    Новости

    Переменка
    Отправить отзыв

  2. sabid Ответить

    Определение 1. Осью
    называется прямая, на которой:
    1) выбрана начальная точка (“начало” – точка
    О);
    2) указано (стрелкой) положительное направление отсчета;
    3) выбран масштаб.
    Определение 2. Декартовой
    прямоугольной системой координат на плоскости (в пространстве) называют две
    (три) взаимно перпендикулярные оси с общим началом. Первая ось OX называется осью абсцисс, вторая ось OY – осью ординат (третья ось OZ – осью аппликат).
    Каждой точке плоскости (пространства)
    ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел –
    координат данной точки.
    Определение 3. Уравнением
    линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными, такое, что
    только координаты любой точки, лежащей на этой линии, удовлетворяют данному
    уравнению.

    Расстояние между двумя точками на плоскости

    Даны
    две точки на плоскости с координатами A (x1, y1) и B (x2, y2).
                            Y                                                                                                       
    y2                                  B
    y1          A                      C
    0        x1             x2     X
    Из
    треугольника ABC:

    .

    Деление отрезка в данном отношении

    Пусть
    даны две точки M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2). Найдем на отрезке M1M2 точку N,
    которая делила бы данный отрезок в отношении

    :

    .
                                                    Y                                                                              
                                                    B2                                    M2                       
                                                    B                 N                                              
                                                    B1    M1                                                        
                                                                                                             
                                                     0        A1       A
    A    2       X
    По теореме о пропорциональности отрезков прямых,
    пересеченных рядом параллельных прямых, получим

    ,

    ,


    Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении,
    находятся по этим формулам.
    Если l = 1 , то деление отрезка производится
    пополам:

    ,

    – формулы для
    нахождения координат середины отрезка.

  3. yanikleites Ответить

    Сначала рассмотрим координатную прямую Ox и возьмем некоторую точку M на ней.
    Каждому действительному числу соответствует единственная точка M на этой координатной прямой. К примеру, точке, расположенной на координатной прямой на расстоянии от начала отсчета в положительном направлении, соответствует число , а числу -3 соответствует точка, расположенная на расстоянии 3 от начала отсчета в отрицательном направлении. Числу 0 соответствует начало отсчета.
    С другой стороны, каждой точке M на координатной прямой Ox соответствует действительное число . Это действительное число есть ноль, если точка M совпадает с началом отсчета (с точкой O). Это действительное число положительно и равно длине отрезка OM в данном масштабе, если точка M удалена от начала отсчета в положительном направлении. Это действительное число отрицательно и равно длине отрезка OM со знаком минус, если точка M удалена от начала отсчета в отрицательном направлении.
    Число называется координатой точки M на координатной прямой.

    Теперь рассмотрим плоскость с введенной прямоугольной декартовой системой координат. Отметим на этой плоскости произвольную точку М.
    Пусть – проекция точки M на прямую Ox, а – проекции точки M на координатную прямую Oy (при необходимости смотрите статью проекция точки на прямую). То есть, если через точку M провести прямые, перпендикулярные координатным осям Ox и Oy, то точками пересечения этих прямых с прямыми Ox и Oy являются соответственно точки и .
    Пусть точке на координатной оси Ox соответствует число , а точке на оси Oy – число .

    Каждой точке М плоскости в заданной прямоугольной декартовой системе координат соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел , называемых координатами точки M на плоскости. Координату называют абсциссой точки М, а – ординатой точки М.
    Верно и обратное утверждение: каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует точка М плоскости в заданной системе координат.

  4. Starhazard Ответить

    Условие пересечения прямых
    $$\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}$$
    $$k_1\ne k_2$$
    Координаты точки пересечения прямых
    $$x_A=-\frac{c_1 b_2-c_2 b_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$$$y_A=-\frac{a_1 c_2-a_2 c_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$
    $$x_A=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}~~~~~~$$$$y_A=\frac{k_1 b_2-k_2 b_1}{k_1-k_2}$$
    Угол между пересекающимися прямыми
    $$tg~\alpha =\frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1 a_2+b_1 b_2}$$
    $$tg~\alpha =\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}$$

    Уравнение окружности



    С центром в начале координат О(0; 0)
    $$x^2+y^2=R^2$$
    С центром в точке О(xO; yO)
    $$(x-x_O)^2+(y-y_O)^2=R^2$$

    Уравнение сферы



    С центром в начале координат О(0; 0; 0)
    $$x^2+y^2+z^2=R^2$$
    С центром в точке О(xO; yO; zO)
    $$(x-x_O)^2+(y-y_O)^2+(z-z_O)^2=R^2$$

    Уравнения плоскости


    Общее уравнение плоскости:$$\alpha :~~ax+by+cz+d=0$$где первые три коэффициента равны координатам вектора $$\overline{n}(a; b; c)$$перпендикулярного к плоскости α и удовлетворяют условию$$a^2+b^2+c^2\ne0$$то есть, не равны нулю одновременно.

    Уравнение плоскости, проходящей через точку L(xL; yL; zL) и перпендикулярной к вектору$$\overline{n}(a; b; c)$$$$\alpha :~~a(x-x_L)+b(y-y_L)+c(z-z_L)=0$$или$$\alpha :~~ax+by+cz=ax_L+by_L+cz_L.$$

    Уравнение плоскости в отрезках:$$\alpha :~~\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$$где a, b, c — отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях (имеются в виду соответствующие координаты концов отрезков, а не их длины). При этом должно выполняться$$a\ne0,~b\ne0,~c\ne0.$$

    Уравнение плоскости, проходящей через начало координат:$$\alpha :~~ax+by+cz=0$$

    Уравнение плоскости, параллельной координатной оси:$$\alpha ||Ox:~~by+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oy:~~ax+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oz:~~ax+by+d=0.$$

    Уравнение плоскости, проходящей через координатную ось:$$Ox\subset\alpha :~~by+cz=0;$$$$Oy\subset\alpha :~~ax+cz=0;$$$$Oz\subset\alpha :~~ax+by=0.$$

    Уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости и самих координатных плоскостей:$$\alpha ||Oxy:~~cz+d=0;~~~~~Oxy:~~z=0;$$$$\alpha ||Oxz:~~by+d=0;~~~~~Oxz:~~y=0;$$$$\alpha ||Oyz:~~ax+d=0;~~~~~Oyz:~~x=0.$$

    Взаимное расположение двух плоскостей

    $$\alpha_1 :~~a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$$$$\alpha_2 :~~a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$$

    Условие параллельности плоскостей: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}.$$При$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{d_1}{d_2}$$плоскости совпадают.

    Условие перпендикулярности плоскостей: $$a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0.$$

    Угол между плоскостями (меньший из возможных):$$\cos \varphi =\frac{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$$

    Смотрите также:

    Обозначения и сокращения
    Таблицы чисел
    Алгебраические тождества
    Степени
    Арифметический корень n-й степени
    Логарифмы
    Графики элементарных функций
    Построение графиков функций геометрическими методами
    Тригонометрия
    Арифметическая и геометрическая прогрессии
    Таблицы значений тригонометрических функций
    Предел и непрерывность функции
    Производная
    Первообразная и интегралы
    Треугольники
    Четырёхугольники
    Многоугольники
    Окружность
    Площади геометрических фигур
    Прямые и плоскости
    Многогранники
    Тела вращения

  5. artur_art Ответить

    Дадим теперь понятие о методе координат на плоскости, т. е. укажем способ, позволяющий определять положение точек плоскости с помощью чисел.

    Рис. 6.
    Возьмем две взаимно перпендикулярные прямые и на каждой из них установим положительное направление. Эти прямые, относительно которых мы будем определять положение точек плоскости, называются осями координат. Оси координат обычно располагают так, как это указано на рис. 6: одну — горизонтально и положительное направление на ней выбирают слева направо, а другую — вертикально и положительное направление на ней — снизу вверх. Одна из осей (обычно горизонтальная) называется осью абсцисс (ось Ох), а другая —
    осью ординат (ось Оу). Точка пересечения осей координат называется началом координат (на рис. 6 начало координат обозначено буквой О). Наконец, выберем единицу масштаба (мы всегда будем предполагать, что на обеих осях координат выбрана одна и та же единица масштаба).
    Теперь положение любой точки плоскости можно будет определить числами — координатами этой точки. Действительно, всякой точке М плоскости соответствуют на осях координат две точки Р и Q, являющиеся ее проекциями на эти оси (рис. 6) и, обратно, зная точки на осях координат, можно построить единственную точку М на плоскости, для которой Р и Q являются проекциями на эти оси. Таким образом, определение положения точки М плоскости сводится к определению положений ее проекций Р и Q на координатные оси.
    Но мы уже знаем, что положение точки на оси вполне определяется координатой. Пусть — координата точки Р на оси абсцисс и у — координата точки Q на оси ординат . Числа х и у вполне определяют положение точки М на плоскости и называются координатами точки; при этом называется абсциссой точки М, а у — ее ординатой.
    Таким образом, абсциссой точки называется величина направленного отрезка оси Ох, началом которого является начало координат, а концом — проекция точки на эту ось; ординатой точки называется величина направленного отрезка оси Оу, началом которого является начало координат, а концом — проекция точки на ось ординат.
    Итак, положение любой точки плоскости вполне определяется заданием пары чисел х и у, первое из которых является абсциссой точки, а второе — ее ординатой.
    Координаты точки условимся писать в скобках, рядом с буквой, обозначающей эту точку, ставя на первом месте абсциссу, а на втором — ординату и разделяя их запятой: При указанном на рис. 6 расположении координатных осей для всех точек плоскости, лежащих вправо от оси Оу (оси ординат), абсцисса положительна, а для точек, лежащих влево от оси Оу, — отрицательна. Точки самой оси Оу имеют абсциссу, равную нулю. Совершенно так же точки плоскости, лежащие выше оси Ох (оси абсцисс), имеют положительную ординату у, а точки, лежащие ниже оси отрицательную. Точки самой оси Ох имеют ордииату, равную нулю. Начало координат имеет координаты (0, 0).
    Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами (иногда их также называют координатными
    углами). Часть плоскости, заключенная между положительными полуосями Ох и Оу, называется первым квадрантом. Дальше нумерация квадрантов идет против часовой стрелки (рис. 7). Для всех точек 1 квадранта для точек II квадранта в III квадранте и в IV квадранте

    Рис. 7.
    Координаты, которые принимаются здесь для определения положения точки плоскости, называются прямоугольными координатами, так как точка М плоскости получается пересечением двух прямых РМ и QM (рис. 6), встречающихся под прямым углом, а также декартовыми по имени математика и философа Декарта, который в 1637 году опубликовал первый труд по аналитической геометрии.
    Декартова прямоугольная система координат не является единственной координатной системой, позволяющей определять положения точек плоскости (см. § 11 этой главы), но она является наиболее простой и мы в дальнейшем будем пользоваться преимущественно ею. Из описанного метода координат вытекает решение двух основных задач.
    Задача I. По данной точке М найти ее координаты.
    Из данной точки М опускаем перпендикуляры на оси Основания этих перпендикуляров — точки Р и Q — определят обе искомые координаты. Первая координата точки М, ее абсцисса, равна величине направленного отрезка ОР оси Вторая же координата точки ее ордината, равна величине направленного отрезка OQ оси
    Задача И. Зная координаты точки М, построить эту точку.
    Отложим по оси Ох от точки О отрезок длиною единиц вправо, если и влево, если Конец этого отрезка — точка Р — будет проекцией искомой точки М на ось Ох, откладывая по оси Оу от точки О отрезок длиною единиц вверх, если и вниз, если получим точку Q — проекцию искомой точки на ось Оу. Зная же Р и Q, легко по этим точкам, как проекциям, построить искомую точку М. Для этого нужно провести через Р и Q прямые, параллельные осям координат; в пересечении этих прямых получится искомая точка
    Замечание. Если мы условимся рассматривать направленные отрезки РМ и QM (рис. 6) как отрезки осей, направления которых совпадают с направлениями параллельных им координатных осей, то абсцисса точки М будет выражаться не только величиной отрезка ОР,
    но и равной ей величиной отрезка QM. Ордината той же точки будет одинаково выражаться как величиной отрезка OQ, так и равной ей величиной отрезка РМ. Направленные отрезки OP, QM, OQ и РМ будем называть координатными отрезками точки М. Тогда при решении рассмотренных двух основных задач нет необходимости определять обе проекции точки М, достаточно определить только одну, например проекцию на ось абсцисс. Так, в задаче 1 опускаем из данной точки М перпендикуляр на ось абсцисс. Его основание Р определяет проекцию точки М на эту ось. Величина направленного отрезка ОР даст абсциссу данной точки, а величина отрезка РМ — ординату у.
    Пример. Построить точку по координатам Откладываем вправо от О по оси абсцисс отрезок длиною в 2 единицы; через конец Р этого отрезка проводим прямую, параллельную оси ординат, и на ней откладываем вниз от Р отрезок длиною в 3 единицы; конец этого отрезка и есть искомая точка М.
    Таким образом, в выбранной системе координат каждой точке плоскости соответствует вполне определенная пара координат х и у и, обратно, всякая пара действительных чисел х, у определяет на плоскости единственную точку, абсцисса которой равна х, а ордината у. Поэтому задать точку, это значит задать ее координаты; найти точку, значит найти ее координаты.

  6. Nikbro81 Ответить

    Прямоугольная система координат – это прямолинейная система, где взаимно перпендикулярны оси на плоскости или в пространстве. Такая система координат самая простая и поэтому часто используется
    Среди декартовых систем, самая распространённая прямоугольная декартова система координат, которая бывает двух видов:
    прямоугольная декартова система координат на плоскости;
    прямоугольная система координат в пространстве.

    Прямоугольная система координат на плоскости (двухмерная система координат)

    Прямоугольная система координат на плоскости – это две взаимно перпендикулярные оси координат, которые пересекаются в точке (начало координат). Ещё такая система координат называется двухмерной. Есть ось , которая направлена вправо и есть ось , которая направлена вертикально вверх.
    Координаты любых точек на плоскости определяются двумя числами . Эти числа – ортогональные проекции точки на соответствующие координатные оси. Как правило, – абсцисса точки, а – ордината (см. рис. 2). Элементарно можно найти расстояние между этими двумя точками:
    и расстояние на плоскости определяется выражением:


    Рис. 2

    Прямоугольная система координат в пространстве (трёхмерная система координат)

    Прямоугольная система в пространстве – это три взаимно перпендикулярные  оси с общим началом в точке – началом координат. Ось называется осью абсцисс, – ось ординат, – ось аппликат.
    Координата любой точки в пространстве определяется тремя настоящими числами . Часто такую систему  называют: “прямоугольная система координат в трёхмерном пространстве”.
    Расстояние между двумя точками находится по формуле:


    Рис. 3
    Вместо произвольных базисных векторов , ,  удобнее взять единичные векторы , , , направленные соответственно вдоль осей . Такие векторы называются ортами, а образованный ними базис называется ортонормированными (ортогональными). Вектор = , который называется радиусом-вектором точки и у него такой расклад:

    (3)
    Очевидно, что произвольная точка в заданной системе координат однозначно определяется своим радиусом-вектором , а координаты точки с координатами её радиуса-вектора.
    Обратим внимание на тот факт, что, если в предыдущих темах выражение “дан вектор” мы подразумевали  его графическое  (геометрическое) изображение, то теперь выражение “дан вектор” необходимо воспринимать как задание тройке упорядоченных числе – координат вектора.

    Решение задач

  7. White-Light Ответить

    Для определения положения точки в пространстве мы будем использовать декартовы прямоугольные координаты (рис.2).
    Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY, OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. Ось OX называется осью абсцисс (или просто абсциссой), ось OY – осью ординат (ординатой), ось OZ – осью аппликат (апп ликатой).
    Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно.
    Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A.
    Символически это записывают так:
    A (x, y, z),
    или
    A = (x, y, z),
    или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:
    xA, yA, zA,
    и т. п.

    Рис. 2. Декартова прямоугольная система координат
    Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче, приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B лежала не как на рисунке — на луче OX, а на его продолжении в обратную сторону от точки O (на отрицательной части оси OX), то абсцисса x точки A была бы отрицательной (минус расстоянию OB). Аналогично и для двух других осей.
    Координатные оси OX, OY, OZ, изображенные на рис. 2, образуют правую систему координат. Это означает, что если смотреть на плоскость YOZ вдоль положительного направления оси OX, то движение оси OY в сторону оси OZ будет проходить по часовой стрелке. Эту ситуацию можно описать при помощи правила буравчика: если буравчик (винт с правой резьбой) вращать по направлению от оси OY к оси OZ, то он будет двигаться вдоль положительного направления оси OX.
    Векторы единичной длины, направленные вдоль координатных осей, называются координатными ортами. Их обозначают обычно как (рис. 3). Встречается так же обозначение Орты составляют базис координатной системы.
    В случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

    Положение точки в пространстве можно описать с помощью радиус-вектора

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *