Что такое синус и косинус что такое тангенс и котангенс?

11 ответов на вопрос “Что такое синус и косинус что такое тангенс и котангенс?”

  1. БлОнДиНкО в ШоКоЛаДе Ответить

    Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

    Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота ?, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
    В соответствии с определением из геометрии, синус угла ? равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
    sin ?=A1HOA1=y1=y
    Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота ?, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
    Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

    Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

  2. Heart of Xavor Ответить

    Синус и косинус определены для любого угла α, так как мы всегда можем определить абсциссу и ординату точки, которая получается в результате поворота начальной точки на угол α. А тангенс и котангенс определены не для любого угла. Тангенс не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) или (0, −1), а это имеет место при углах 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад). Действительно, при таких углах поворота выражение tgα=y/x не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на нуль. Что же касается котангенса, то он не определен для таких углов α, при которых начальная точка переходит к в точку с нулевой ординатой (1, 0) или (−1, 0), а это имеет место для углов 180°·k, k∈Z (π·k рад).
    Итак, синус и косинус определены для любых углов поворота, тангенс определен для всех углов, кроме 90°+180°·k, k∈Z (π/2+π·k рад), а котангенс – для всех углов, кроме 180°·k, k∈Z (π·k рад).
    В определениях фигурируют уже известные нам обозначения sin, cos, tg и ctg, они используются и для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота (иногда можно встретить обозначения tan и cot, отвечающие тангенсу и котангенсу). Так синус угла поворота 30 градусов можно записать как sin30°, записям tg(−24°17′) и ctgα отвечают тангенс угла поворота −24 градуса 17 минут и котангенс угла поворота α. Напомним, что при записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, косинус угла поворота в три пи рад обычно обозначают cos3·π.
    В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.
    Также скажем, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике согласуются с только что данными определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота величиной от 0 до 90 градусов. Это мы обоснуем в последнем пункте этой статьи.

  3. Sky Ответить

    Откуда появилась тригонометрия?
    Знакомство наше начнём с глубокой древности. С древнего Египта, Вавилона и Китая. Не переживайте, все 20 веков тригонометрии мы с вами освоим всего за 20 минут. Можете засекать время.)
    Итак, откуда же и как появилась тригонометрия?
    Первоначально, на заре своего становления, тригонометрия не являлась самостоятельным разделом математики. Она, скорее, была частью астрономии. Дело всё в том, что древним астрономам, которые интересовались нашими главными небесными телами (Луной и Солнцем) и вовсю изучали их поведение, постоянно приходилось просчитывать и расстояния до них. С достаточной точностью для того далёкого времени, между прочим.) Скажем, чтобы предсказывать затмения. Или приливы/отливы. Просчитывать эти самые расстояния древним людям приходилось с помощью обыкновенного… треугольника.) Да-да! Просчитывать – значит, искать какие-то неизвестные элементы треугольника по известным другим. Это могут быть стороны (т.е. расстояния), а могут быть и какие-то углы. Всё зависело от того, какую именно задачу решали древние люди. И тот факт, что между сторонами и углами треугольника существует взаимосвязь, уже тогда у древних людей не вызывал сомнений.
    Чуть позже, по мере развития цивилизации, большинство учёных стало осознавать чрезвычайную важность тригонометрии не только в астрономии, но и в других областях жизни. Это, в первую очередь, артиллерия, оптика, навигация в дальних морских походах, геодезия и картография… Слово “триангуляция” (разбиение местности на треугольники) вам знакомо? Нет? А тригонометрическая вышка или тригонометрический знак? Тоже нет? Что ж, если попутешествуете по нашей необъятной Родине, то на открытых местах (на вершинах холмов, в полях и т.п.) вы можете заметить небольшие пирамидки или башенки. Эти пирамидки — и есть тригонометрические знаки. Или геодезические пункты. Они служили верой и правдой геодезистам и картографам тех далёких времён для составления карт местности.) Этих знаков сохранилось по России очень много.)
    Короче, в любых областях, где приходилось сталкиваться с обычным треугольником и вычислением его элементов (сторон и углов) через другие его элементы, людям неизбежно приходилось сталкиваться с тригонометрией.
    А дальше – теория колебаний, электричество, акустика, радиосвязь… И в основе всего этого богатства – тоже тригонометрия, да…)
    И не было бы у нас сегодня ни мобильников, ни телевизоров, ни микроволновок, ни спутниковых навигаторов, ни многих других современных атрибутов комфортной жизни, кажущихся нам обыденностью…
    Итак, в основе всей тригонометрии лежит обыкновенный треугольник! Да-да! Именно так.
    Почему именно треугольник и откуда собственно взялось это красивое слово “тригонометрия” — об этом далее.)
    Синус, косинус, тангенс и котангенс… Что за звери?
    Для начала нарисуем в тетрадке самый обычный прямоугольный треугольник. Стороны его обозначим как a, b и c, а один из острых углов обозначим буквой ?. Это греческая буква “альфа”, при написании очень похожая на “двойку без головы”. Самая распространённая буква в тригонометрии для обозначения углов. Привыкаем.)
    Вот такая картинка у нас получится:

    На всякий случай, напомню, что стороны, образующие прямой угол, называются катетами (a и b – катеты), а третья сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (c – гипотенуза).
    Казалось бы, треугольник и треугольник, эка невидаль! Что с ним делать-то? Спокойствие. Сейчас всё узнаете.)
    Сейчас, как и древние люди, мы будем наш треугольник измерять. Да-да! Кстати, страшное слово “тригонометрия” с древнегреческого языка на русский так и переводится – измерение треугольников. Намёк понятен?)
    Вот и измеряем. На рисунке специально клеточки нарисованы, как и в заданиях ЕГЭ или ОГЭ бывает. Чему равен катет a? Трём клеточкам (a = 3). А катет b? Не вопрос! Четырём клеточкам он равен (b = 4). А гипотенуза? Гипотенузу, конечно, по клеточкам не посчитаешь, но, воспользовавшись великой и могучей теоремой Пифагора, легко можно получить, что гипотенуза равна пяти (c = 5).
    Кстати сказать, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 – весьма интересная фигура! Он известен ещё с античных времён и называется египетским треугольником. Ибо активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами. В том числе и при построении пирамид, между прочим.)
    А вообще, целые числа a, b, c, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, т.е. для которых выполняется теорема Пифагора
    a2 + b2 = c2,
    в математике так и называются – пифагоровыми тройками. Тройка (3; 4; 5) – самая известная. Ещё распространена тройка чисел (5; 12; 13). Или (8; 15; 17). Таких троек известно очень и очень много. Кому интересно, прогуляйтесь по ссылке и почитайте. Для самообразования.)
    А мы продолжим. Теперь сделаем следующее. Поделим длину катета a на длину катета b. Или, как принято говорить в математике, возьмём отношение a к b.
    Получим:
    a/b = 3/4
    Можно наоборот, поделить b на a. Получим 4/3. Или, скажем, поделить a на c. Получим 3/5. Иными словами, можно брать любые стороны прямоугольного треугольника, делить их длины друг на друга и получать какие-то числа. Безразмерные.
    И что из этого? Согласен, пока ничего особенного. Бессмысленное занятие, одним словом.)
    А теперь я поступлю следующим образом. Увеличу треугольник, продлив стороны b и c, но не как попало, а так, чтобы наш треугольник остался прямоугольным. Это важно. На картинке я для удобства увеличил все стороны треугольника в два раза.
    Вот так:

    Угол ?, как видно, остался прежним. Старые стороны a, b и с превратились в новые стороны x, y, z. Их длины, естественно, изменились, увеличившись вдвое:
    x = 6
    y = 8
    z = 10
    А вот отношения новых длин сторон – не изменились!
    Смотрите сами.
    Было: a/b = 3/4.
    Стало: x/y = 6/8 = 3/4.
    И для других соответствующих сторон их отношения также не изменятся. Можно что угодно делать с треугольником – увеличивать, уменьшать, сохраняя при этом угол ?, а отношения соответствующих сторон всё равно останутся прежними. Кому интересно, можете попробовать и проверить. Это полезно.)
    А вот это уже крайне важно! Соотношения сторон в прямоугольном треугольнике никак не зависят от длин этих самых сторон при одном и том же угле ?. Этот факт настолько важен, что указанные отношения сторон даже заслужили свои специальные названия. Ну что, знакомимся? 🙂
    Синус угла ? – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
    sin ? = a/c
    Косинус угла ? – это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
    cos ? = b/c
    Тангенс угла ? – это отношение противолежащего катета к прилежащему:
    tg ? = a/b
    Котангенс угла ? – это отношение прилежащего катета к противолежащему:
    ctg ? = b/a
    Вот такая вот весёлая семейка. Возможно, особо внимательные и любознательные ученики заметили, что я ничего не сказал здесь про отношения гипотенузы к катетам c/a и с/b. Они имеют какие-то свои специальные названия? Конечно! Секанс и косеканс.)
    sec ? = c/b
    cosec ? = c/a
    Но эти соотношения никакого практического смысла не имеют и в школе не рассматриваются. И мы тоже не будем.)
    Вся эта великолепная четвёрка (синус, косинус, тангенс и котангенс) называется тригонометрическими функциями.
    Зачем я всё это так занудно повторяю и некоторые слова выделяю жирным шрифтом? Да затем, что это надо запомнить! Причём запомнить железно. Улавливаете?
    Процесс запоминания можно существенно облегчить, если для начала запомнить, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а в синусе и косинусе гипотенуза появляется. Кроме того, ещё могут нахлынуть сомнения, какой из катетов, противолежащий или прилежащий, сидит соответственно у синуса/косинуса. Да и у тангенса/котангенса тоже. Здесь работает принцип под условным названием “дальше/ближе”.
    Например: синус угла – это отношения дальнего от угла (т.е. противолежащего) катета к гипотенузе, а косинус – отношение ближнего (т.е. прилежащего) катета к гипотенузе.
    Тангенс – отношение дальнего от угла катета к ближнему. А котангенс – наоборот.
    Подведём предварительный итог. Как вы видите, всё просто. Синус, косинус, тангенс и котангенс – это просто какие-то числа. Безразмерные. Ни больше ни меньше. Для каждого конкретного угла – свои персональные.
    А теперь давайте поразмышляем вот над чем. Как вы думаете, почему мы всегда говорим синус, косинус, тангенс и котангенс угла? Вроде бы мы отношения сторон считаем. Угол-то тут при чём? Догадались? Если нет, то тогда смотрим на следующую картинку:

    Что здесь нового? Я изменил (увеличил) угол с ? до ? (“бета”). При этом все отношения сторон стали другими!
    Скажем, было a/b = 3/4, а стало m/b = 5/4. И все остальные отношения сторон также поменялись. Какой вывод можно сделать? Да! При одном и том же угле ? отношения длин сторон никак не зависят от их длин. Но при этом колоссально зависят от этого самого угла! И только от него. Именно поэтому тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к углу. И говорить, скажем, о тангенсе, без конкретного угла – бессмысленно. Угол – ключевая действующая фигура в тригонометрии.
    Отсюда можно сделать важный вывод: если нам известен некий угол, то мы автоматически знаем и все его тригонометрические функции. Это неразрывная связь, которую надо уяснить железно.
    Стало быть, если нам дан угол, то считается, что все его тригонометрические функции нам тоже известны. Полностью весь комплект, от синуса до котангенса. И наоборот, если нам дана какая-то из тригонометрических функций угла (скажем, косинус), то автоматически нам известен и сам угол.
    Запоминаем: если нам известен угол, то нам автоматически известны и ВСЕ его тригонометрические функции. И наоборот – известна какая-то из тригонометрических функций (хотя бы одна), то известен и сам угол.
    У каждого угла есть свои персональные синус и косинус. И почти у каждого – свои тангенс и котангенс.
    Слово “почти” для тангенса и котангенса стоит не случайно. Об этом узнаете дальше.)
    Сейчас, в век калькуляторов и компьютеров, найти тригонометрическую функцию какого-либо угла – не проблема. И наоборот, по функции найти угол. Нажал нужную кнопочку и – ответ готов.) А вот раньше, во времена отсутствия вычислительной техники, для тригонометрических функций углов существовали свои специальные таблицы. Таблицы Брадиса назывались. Они, конечно же, существуют и поныне, но, благодаря техническому прогрессу, давно отошли на задний план и пылятся на полках. Но знать об их существовании и уметь ими пользоваться – очень и очень полезно.
    Конечно же, запомнить все-все значения тригонометрических функций всех-всех углов нереально. И не нужно.) Но среди всего многообразия углов есть некоторые углы, про которые вы обязаны знать всё. Об этом в следующих уроках будет. Но общий принцип “знаю угол – знаю его тригонометрические функции” срабатывает всегда! Безотказно.)
    А зачем нам вообще нужны все эти синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы – спросите вы? Вопрос резонный.
    Пожалуйста! Вот вам типичная задачка из ЕГЭ:

    Всё. Никаких данных, кроме тех, что на картинке, больше нет. Нужно найти длину катета AB.
    Что делать будем? Клеточки не спасают: треугольник как-то неправильно ориентирован. Специально, похоже.) Известна длина гипотенузы (6 клеток). Зачем-то дан ещё и угол…
    Вот тут самое время вспомнить про тригонометрию. Раз нам дан угол, то вспоминаем заклинание: “знаю угол – знаю и его тригонометрические функции!” И какую же из функций в дело пускать? А что нам дано в задачке? Нам дана гипотенуза AB, дан угол А, а найти просят прилежащий к этому углу катет.
    Понятное дело, что надо косинус в дело пускать. Вот и действуем. Прямо по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе) пишем:
    cos A = AB/AC
    Гипотенуза AC равна 6 клеток, угол А у нас 60 градусов. Про этот угол известно, что его косинус равен 1/2. Это одно из тех значений, которое ученик знать обязан. Безо всяких таблиц и безо всяких калькуляторов!
    Подставляем наши данные и получаем:
    1/2 = АВ/6
    Простенькое линейное уравнение с величиной АВ в качестве неизвестного. Решаем и получаем:
    АВ = 3
    Что и является верным ответом.
    В этой задачке нам, конечно, пришлось вспомнить, чему равен косинус угла в 60 градусов. Для знающих учеников никаких проблем. А вот у новичков, ещё не знакомых с тригонометрическими функциями популярных углов, пока остаются вопросы… Откуда и почему именно 1/2? А не 1? Или, может быть, 2/3…
    Ответы на эти вопросы будут позже. В соответствующем уроке.)
    Ещё из той же оперы, ближе к нашей теме. Уже чисто на определение и понимание смысла тригонометрических функций. Никаких конкретных табличных значений знать не требуется.
    На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

    Внушает? Вспоминаем определение тангенса – отношение противолежащего катета к прилежащему. Но… где здесь катеты? Дан просто угол, а для тангенса нам позарез нужен прямоугольный треугольник. Где его взять?!
    Не беда! Раз надо, значит… сделаем!) Привяжем наш угол к некоторому прямоугольному треугольнику, про который мы точно знаем всё что нам нужно. А именно – катеты. Первое что напрашивается – опустить перпендикуляр из точки А на сторону ОВ.
    Вот так:

    Ну и как? Осеняет? Вот вам и прямоугольный треугольник и катеты! Противолежащий катет AH = 2, а прилежащий OH = 4.
    Прямо по определению тангенса записываем и считаем:

    И все дела.) Это правильный ответ.
    А теперь задачка для самостоятельного решения.
    На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол. Найдите все тригонометрические функции этого угла.

    Что, круто, да? Да-да, надо найти полный набор функций – от синуса до котангенса включительно. Тренироваться так тренироваться.)
    Но где здесь прямоугольный треугольник? Нету его! Да и угол как-то совсем уж скверно расположен. Ни одну из сторон напрямую по клеточкам не посчитать, да…
    Что ж, подскажу немного, что именно надо дополнительно построить, чтобы не надорваться. Снова, как и в предыдущей задаче, опускаем перпендикуляр из точки А на сторону OB. Получим прямоугольный треугольник AHO.
    Смотрим картинку:

    А теперь внимание! Клеточки, конечно, дело хорошее, удобное и красивое. Но… Кто гарантировал, что основание перпендикуляра (точка Н) уляжется ровно на середину отрезка OB (т.е. строго в один из узлов сетки)? Интуиция? Интуиция в математике – штука опасная. Особенно при рисовании картинок, да…
    Поэтому, прежде чем что-то решать, что-то считать, делаем задание по элементарной геометрии. На доказательство. А именно – докажите, что отрезок AH, проведённый так, как показано на картинке, действительно будет перпендикулярен отрезку OB. Или, что то же самое, треугольник AHO – действительно прямоугольный. И да помогут вам вспомогательные синие пунктирные линии и теорема Пифагора (это подсказка)! Ну и клеточки спасут, само собой.:)
    Без доказательства этого важного факта и без прямоугольного треугольника говорить о каких-либо тригонометрических функциях бессмысленно. Пока что… Придёт время – и мы с вами научимся считать любые тригонометрические функции любых углов без прямоугольного треугольника. Вообще. Как? Совсем скоро узнаете. Всему своё время.)
    А пока – доказываем перпендикулярность отрезков, а затем считаем синус, косинус, тангенс и котангенс угла. После доказательства все необходимые данные для расчёта тригонометрических функций у вас уже будут. Обязательно.)
    Ответы (в беспорядке):

    А где какая функция – это уж вы сами как-нибудь.)
    Итак, вот мы с вами и освоили синус, косинус, тангенс и котангенс на самом примитивном уровне. С помощью обычного прямоугольного треугольника. Но это пока только первый шаг.
    Когда древние люди поняли, что у каждого угла имеется свой набор тригонометрических функций, они озадачились вполне логичным вопросом – а не связаны ли как-нибудь синус, косинус, тангенс и котангенс между собой? Чтобы, зная какую-то одну из функций, можно было бы отыскать и все остальные? Не вычисляя сам угол.
    Обо всём об этом – в следующем уроке.)

  4. Kenrad Ответить

    Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна π. Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между 0 и π/2. Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.
    Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: Это отношение не зависит от выбора треугольника ABC, содержащего угол α, так как все такие треугольники подобны.
    Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: Так как синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.
    Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему:
    Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.
    Секанс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету:
    Косеканс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету:

  5. Paingrove Ответить

    Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x). Котангенс ctg(x) — это отношение косинуса cos(x) к синусу sin(x).
    Помимо синуса и косинуса в тригонометрии имеется еще огромное количество функций, в частности, тангенс и котангенс, о котором мы поговорим на данном уроке.
    Определение тангенса:
    Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x)
    Формула тангенса:
    \[ \LARGE tg\ x = \dfrac{\sin\ x}{\cos\ x} \]
    Определение котангенса:
    Котангенс ctg(x) — это отношение косинуса cos(x) к синусу sin(x).
    Формула котангенса:
    \[ \LARGE ctg\ x = \dfrac{\cos\ x}{\sin\ x} \]
    Определения для прямоугольного треугольника:
    Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
    Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
    Определения для числа:
    Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, tg(t)=y/x.
    Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, ctg(t)=x/y.
    Так как делить на ноль нельзя, то значения в знаменателе не может быть равным нулю, т.е.
    \( tg\ x = \dfrac{sin\ x}{cos\ x} \), где \( x \neq \dfrac{\pi}{2}+\pi k \)
    \( ctg\ x = \dfrac{cos\ x}{sin\ x} \), где \( x \neq \pi k \)
    Таблица знаков тангенса и котангенса по четвертям (составить ее можно, опираясь на таблицу синусов и косинусов, применяя правило деление чисел с отрицательными знаками):
    I
    II
    III
    IV
    tg x
    +

    +

    ctg x
    +

    +

    Как видите, значения тангенса и котангенса очень просто найти, зная значения синуса и косинуса, тем не менее также существует таблица и для данных функций, которая существенно упрощает жизнь. Здесь я представлю самые распространенные значения. А для всех остальных значений существуют специальные таблицы Брадиса.
    \( \frac{\pi}{6} \)
    \( \frac{\pi}{4} \)
    \( \frac{\pi}{3} \)
    \( \frac{\pi}{2} \)
    tg x
    \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
    1
    \( \sqrt{3} \)

    ctg x
    \( \sqrt{3} \)
    1
    \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

    Завершая разговор про данные тригонометрические функции нельзя не сказать про еще две важные формулы:
    Для любого допустимого значения х справедливы равенства:
    \[ tg\ (-x) = -tg\ x \]
    \[ ctg\ (-x) = -ctg\ x \]
    Для любого допустимого значения х также справедливы следующие равенства:
    \[ tg\ (x+\pi)= tg\ \pi \]
    \[ ctg\ (x+\pi)= ctg\ \pi \]
    Ну вот теперь вроде все, более подробно и углубленно изучать мы будем все функции в процессе дальнейшего обучения.

  6. twinklitomb509 Ответить

    Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
    Напомним, что прямой угол — это угол, равный . Другими словами, половина развернутого угла.
    Острый угол — меньший .
    Тупой угол — больший . Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

    Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла , обозначается .
    Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

    Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
    Катеты— стороны, лежащие напротив острых углов.
    Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
    Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

    Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

    Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

    Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

    Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

    Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

    Давайте докажем некоторые из них.
    1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
    2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет будет прилежащим.
    Получаем, что . Иными словами, .
    3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на :

    Мы получили основное тригонометрическое тождество:

    Таким образом, зная синус угла, мы можем найти его косинус, и наоборот.
    4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим:

    Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус.
    Аналогично,

    Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
    Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна.

  7. nodirjon Ответить

    Формулы половинного угла

    $\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$
    + если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или ||
    – если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте ||| или |V
    $\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$
    + если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |V
    – если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |||
    $tg\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$
    + если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||
    – если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V
    $\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$
    + если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте | или |||
    – если $\frac{\alpha}{2}$ в квадранте || или |V
    $\textrm{ tg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha-\textrm{ ctg }\alpha$
    $\textrm{ ctg }\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\csc\alpha+\textrm{ ctg }\alpha$

    Формулы двойного, тройного и т.д. угла

    $\sin(2u) = 2\sin(u)\cdot \cos(u)$
    $\cos(2u) = \cos^2(u) – \sin^2(u) = 2\cos^2(u) – 1 = 1 – 2\sin^2(u)$
    $\textrm{ tg }(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1- \textrm{ tg }^2(u)}$
    $\cos(2u) = \frac{1 – \textrm{ tg }^2(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$
    $\sin(2u) = \frac{2\textrm{ tg }(u)}{1 + \textrm{ tg }^2(u)}$
    $\sin3\alpha = 3\sin\alpha – 4 \sin^3\alpha$
    $\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha – 3 \cos\alpha$
    $\textrm{ tg }3\alpha=\frac{3\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ tg }^3\alpha}{1-3\textrm{ tg }^2\alpha}$
    $\textrm{ ctg }3\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^3\alpha-3\textrm{ ctg }\alpha}{3\textrm{ ctg }^2\alpha-1}$
    $\sin4\alpha = 4\cos^3\alpha\sin\alpha – 4\cos\alpha \sin^3\alpha$
    $\cos4\alpha = \cos^4\alpha – 6\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha$
    $\textrm{ tg }4\alpha=\frac{4\textrm{ tg }\alpha – 4\textrm{ tg }^3\alpha}{1-6\textrm{ tg }^2\alpha+\textrm{ tg }^4\alpha}$
    $\textrm{ ctg }4\alpha=\frac{\textrm{ ctg }^4\alpha-6\textrm{ ctg }^2\alpha+1}{4\textrm{ ctg }^3\alpha-4\textrm{ ctg }\alpha}$

    Формулы понижения степени

    $\sin^2(\alpha)=\frac{1 – \cos(2\alpha)}{2}$
    $\sin^3(\alpha)=\frac{3\sin\alpha – \sin(3\alpha)}{4}$
    $\sin^4(\alpha)=\frac{\cos(4\alpha) – 4\cos(2\alpha) + 3}{8}$
    $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$
    $\cos^3(\alpha)=\frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$
    $\cos^4(\alpha)=\frac{4\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + 3}{8}$

    Формулы сложения

    $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
    $\sin(\alpha – \beta) = \sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
    $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
    $\cos(\alpha – \beta) = \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
    $\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}=\frac{\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) – \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}$
    $\textrm{ tg }(\alpha + \beta) = \frac{\textrm{ tg }(\alpha) + \textrm{ tg }(\beta)}{1 – \textrm{ tg }(\alpha)\cdot\textrm{ tg }(\beta)}$
    $\textrm{ ctg }(\alpha \pm \beta) = \frac{\textrm{ ctg }(\beta)\textrm{ ctg }(\alpha)\mp 1}{\textrm{ ctg }(\beta)\pm cot(\alpha)}=\frac{1\mp \textrm{ tg }(\alpha)\textrm{ tg }(\beta)}{\textrm{ tg }(\alpha)\pm \textrm{ tg }(\beta)}$
    $\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma + \cos\alpha \sin\beta \cos\gamma + \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma – \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$
    $\cos(\alpha + \beta + \gamma) = \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma – \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma – \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma $
    $- \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma – \cos\alpha \sin\beta \sin\gamma$
    $\textrm{ tg }(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta + \textrm{ tg }\gamma – \textrm{ tg }\alpha\cdot \textrm{ tg }\beta \cdot \textrm{ tg }\gamma}{1 – \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\beta – \textrm{ tg }\beta\cdot\textrm{ tg }\gamma – \textrm{ tg }\alpha\cdot\textrm{ tg }\gamma}$

    Формулы суммы и разности тригонометрических функций

    $\textrm{ sin } \alpha + \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha – \beta}{2}$
    $\textrm{ sin } \alpha – \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha – \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2}$
    $\textrm{ cos } \alpha + \textrm{ cos }\beta = 2 \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha – \beta}{2}$
    $\textrm{ cos } \alpha – \textrm{ cos }\beta = -2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ sin }\frac{\alpha – \beta}{2}$
    $\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$
    $\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ tg }\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$
    $\textrm{ ctg }\alpha + \textrm{ ctg }\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$
    $\textrm{ ctg }\alpha – \textrm{ ctg }\beta = \frac{-\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$

    Формулы произведения

    $\textrm{ sin }\alpha \textrm{ sin }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha – \beta) – \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$
    $\textrm{ cos }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha – \beta) + \textrm{ cos }(\alpha + \beta))$
    $\textrm{ sin }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ sin }(\alpha + \beta) + \textrm{ sin }(\alpha – \beta))$
    $\textrm{ tg }\alpha\textrm{ tg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}=-\frac{\textrm{ tg }\alpha-\textrm{ tg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha-\textrm{ ctg }\beta}$
    $\textrm{ ctg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$
    $\textrm{ tg }\alpha\textrm{ ctg }\beta = \frac{\textrm{ tg }\alpha+\textrm{ ctg }\beta}{\textrm{ ctg }\alpha+\textrm{ tg }\beta}$
    $\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$
    $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$
    $\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(-\cos(\alpha+\beta-\gamma)+\cos(\beta+\gamma-\alpha)+\cos(\gamma+\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+\gamma)\big)$
    $\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{1}{4}\big(\sin(\alpha+\beta-\gamma)-\sin(\beta+\gamma-\alpha)+\sin(\gamma+\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta+\gamma)\big)$

    Универсальная тригонометрическая подстановка

    $\sin\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$
    $\cos\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$
    $\textrm{tg}\alpha = \frac{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$
    $\textrm{ctg}\alpha = \frac{1-\textrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{2\textrm{tg}\frac{\alpha}{2}}$

    Другие формулы

    $1\pm\sin\alpha=2\sin^2\big(\frac{\pi}{4}\pm \frac{\alpha}{2}\big)=2\cos^2\big(\frac{\pi}{4}\mp \frac{\alpha}{2}\big)$
    $\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \textrm{ tg }^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$
    $\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \textrm{ tg }^2\frac{\alpha}{2}$
    $\frac{1-\textrm{ tg }\alpha}{1+\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$
    $\frac{1+\textrm{ tg }\alpha}{1-\textrm{ tg }\alpha} = \textrm{ tg }(\frac{\pi}{4}+\alpha)$
    $\frac{\textrm{ ctg }\alpha + 1}{\textrm{ ctg }\alpha – 1} = \textrm{ ctg }(\frac{\pi}{4}-\alpha)$
    $\textrm{ tg }\alpha + \textrm{ ctg }\alpha = \frac{2}{\sin2\alpha}$
    $\textrm{ tg }\alpha – \textrm{ ctg }\alpha = -2\textrm{ ctg }2\alpha$

    Тригонометрия на страницах математического форума

    Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!

  8. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *