Что такое теорема и доказательство теоремы 7 класс?

7 ответов на вопрос “Что такое теорема и доказательство теоремы 7 класс?”

Dianadar 25-04-2019 Ответить

Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).
В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла.
Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. ( Развёрнутый угол равен 180°).
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Угол называется прямым, если он равен 90°.
Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).
Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.
Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.
(Т. Первый признак равенства треугольников) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
(Т. о перпендикуляре к прямой) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
(Свойства медианы, биссектрисы и высоты треугольника) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
(Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
(Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
(Т. Второй признак равенства треугольников) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
(Т. Третий признак равенства треугольников) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности.
Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов: накрест лежащие, односторонние и соответственные.
(Т. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
(Т. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
(Т. Признак параллельности двух прямых по односторонним углам) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Аксиомы – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.
(Аксиома) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
(Аксиома параллельных прямых) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Во всякой теореме две части: условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать).
Теоремой, обратной данной,называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.
(Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
(Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
(Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
(Т. о сумме углов треугольника) Сумма углов треугольника равна 180°.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол — катетами.
(Т. о соотношениях между сторонами и углами треугольника) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
(Признак равнобедр. треугольника) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
(Т. Неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
(Свойство прямоугольного треугольника) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
(Свойство прямоугольного треугольника) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
(Свойство прямоугольного треугольника) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
(Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам) Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
(Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.
(Т. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
(Т. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой.
(Т. Свойство параллельных прямых) Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.
Dagdalv 25-04-2019 Ответить

Как мы уже говорили, цель нашей книги — подробное изложение математических основ системы шифрования RSA. Разработка ее математического хребта была завершена к концу девятнадцатого века усилиями древнегреческих математиков, Ферма, Эйлера и Гаусса. Однако еще 20 лет назад большинство приложений оставалось неизвестными, а некоторые теоремы, которые мы будем упоминать, появились лишь в последние годы.
Многие из приводимых здесь результатов не будут для Вас новыми. К их числу относятся, например, способ вычисления наибольшего общего делителя, основанный на последовательных делениях, а также простейшие процедуры разложения на простые множители. Новизна может заключаться, однако, в самом подходе, поскольку мы доказываем каждое утверждение, включая и корректность вычислительных процедур, исходя из первичных принципов.
Математика древнего Египта и Месопотамии представляла собой набор правил для решения практических задач. Только ее объединение с греческой философией превратило ее в современную теоретическую науку. Первые греческие математики — Фалес (Thales) и Пифагор (Pythagoras) – были также знаменитыми философами. Представление о том, что математический факт можно доказывать, произросло из взаимодействия с философией. Помимо всего прочего, доказательство — это просто рассуждение, которое выводит некоторое утверждение из других, уже известных. А рассуждать греческие философы любили!
Около 400 года до н. э. греческие математики почувствовали необходимость в более или менее точной формулировке
предположений, лежащих в основе их работы. Поэтому и Эвклид открывает свои «Начала» со строгих определений и аксиом, на которых базируются его доказательства. Например, в начале первой книги он определяет точку, прямую, плоскость, поверхность и т.д. Затем он формулирует аксиомы, истинность которых он считает самоочевидной. Аксиомы объясняют связи между ранее введенными объектами. Затем он показывает, каким образом гораздо более сложные факты об изучаемых объектах сводятся, путем логических рассуждений, к аксиомам. Главное достоинство его подхода состоит в придании основательности всему зданию. Если фундамент достаточно прочный, то и все здание может возноситься высоко без опасения, что оно рухнет под собственным весом.
Математический факт обычно называется теоремой. Это греческое слово исходно означало «наблюдение, теория». Его современное значение «доказываемое утверждение» восходит по меньшей мере к эвклидовым «Началам». Утверждение теоремы часто принимает вид условного утверждения:
если выполняется некоторое предположение, то справедливо некоторое заключение.
Доказательство такой теоремы представляет собой логическое рассуждение, которое показывает, как заключение вытекает из предположения. Приведем пример:
Теорема 1. Если а — четное целое число, то число тоже четное.
Предположение данной теоремы состоит в том, что — четное число, а заключение — в том, что тоже четное. Разумеется, чтобы показать, что заключение вытекает из предположения, мы должны пользоваться базисными свойствами целых чисел. Для придания доказательствам незыблемости, все эти свойства следовало бы подробно перечислить. Нет необходимости говорить, что в элементарной книге, подобной нашей, это невозможно. Вместо этого мы просто делаем вид,
что «базисные свойства» действительно элементарны и Вы их хорошо знаете. Сюда входят, например, правила сложения и умножения целых чисел, а также утверждение о том, что между любыми двумя целыми числами есть лишь конечное множество целых чисел. Воспользуемся этими свойствами для доказательства приведенной выше теоремы.
Доказательство теоремы 1. Предположение теоремы о четности а означает, что а делится на 2, см. § 3.1. Поэтому должно существовать такое число что Возводя в квадрат последнее равенство, получаем

Поэтому число также делится на 2. Другими словами, число четное, что и является заключением теоремы.
Теорема 1 показывает, что из факта четности числа о вытекает, факт четности его квадрата. Обратным к условному утверждению «из А следует В» является условное утверждение «из В следует А». Значит утверждение, обратное к теореме 1, звучит так: если целое число четное, то и а — четное целое число. Заметим, что если само утверждение истинно, то это ничего не говорит нам об истинности обратного утверждения. Например, для истинного утверждения если целое число делится на 4, то оно четное, обратное утверждение ложно: число 6 четное, однако на 4 оно не делится. Если оба утверждения «из А следует В» и «из В следует А» истинны, то мы говорим, что эквивалентны. Эквивалентность обычно записывается в виде: «А выполняется, если и только если выполняется В». Таким образом, мы приходим к следующей теореме.
Теорема 2. Целое число а четное, если и только если тоже четное.
Мы уже доказали, что если о четное, то и тоже четное. Теперь мы должны доказать обратное утверждение. Прежде
перейти к доказательству, обсудим еще один логический момент. Обозначим отрицание утверждения через не Например, отрицание не утверждения Р: «число а четное» имеет вид «число нечетное». Пусть теперь два утверждения. Утверждение: «из не следует не называется противоположным к утверждению из следует Любое утверждение истинно, если и только если его противоположное тоже истинно. Подобное высказывание выглядит сомнительно только потому, что оно выражено на непривычном языке. Но представим себе следующую историю. Друг, приглашенный Вами на вечеринку, говорит: «Моя машина сломана, однако если ее вовремя починят, то я приеду». Если теперь Ваш друг не приезжает на вечеринку, то Вы заключаете, что его машину вовремя не починили, а это и есть противоположное к утверждению Вашего друга.
Вернемся к доказательству теоремы 2.
Доказательство теоремы 2. Мы уже видели, что если число о четное, то и число четное. Осталось доказать, что если четное, то и о будет четным. Вместо последнего утверждения мы будем доказывать противоположное ему, т.е. утверждение «если число о нечетное, то и нечетное». Однако целое число, не являющееся четным, нечетно. Более того, всякое нечетное целое число представимо в виде «четное . Поэтому для нечетного о существует целое число при котором Возводя в квадрат обе части последней формулы, мы получаем

т.е. тоже нечетное число. Таким образом, утверждение, противоположное к исходному, истинно, а значит, истинно и исходное утверждение, и мы доказали, что если четно, то и о четно.
Теорема 1 была сформулирована в виде «если о четно, то и четно». Это означает, на самом деле, что квадрат любого четного числа четен. Другими словами, мы доказываем
справедливость утверждения для всех четных чисел. Рассмотрим теперь утверждение «всякое четное число делится на 4». Мы снова указываем на общее свойство всех четных чисел, однако на сей раз утверждение оказывается ложным. Почему? Например, потому, что число 6 четное, однако на 4 оно не делится. Таким образом, утверждение о том, что какое-то свойство присуще всем элементам некоторого множества, можно опровергнуть, предъявив элемент, для которого оно не выполняется. Такой элемент называется контрпримером к утверждению.
Не всегда утверждение теоремы записывается в приведенном выше условном виде. Иногда, например, утверждается, что объект с заданными свойствами существует. Так, для любого вещественного числа х существует такое целое число что Самый естественный способ доказательства подобных теорем состоит в предъявлении явного метода для нахождения такого объекта. Если в приведенном выше примере обозначить целую часть числа х через то является целым числом, большим х, и мы можем положить Предположив теперь, что десятичное представление числа х известно, мы легко найдем с помощью описанного метода. Однако подобные утверждения можно доказывать и не указывая способа построения объекта. Такое доказательство называется неконструктивным доказательством существования. Оно не настолько таинственно, как может показаться. Мы знаем, например, что в любой компании из 400 человек есть двое с совпадающим днем рождения, поскольку Хотя такое рассуждение и верно, оно не дает нам способа найти таких двух человек; значит это неконструктивное доказательство существования.
Большинство книг по теории чисел широко используют неконструктивные доказательства даже при наличии
конструктивных. Это не просто вопрос вкуса: часто конструктивные доказательства выглядят гораздо более неуклюже, чем аналогичные доказательства чистого существования, а для математиков элегантность значит не меньше, чем для художников. В этой книге мы будем, однако, по мере сил избегать неконструктивных доказательств. Такой подход объясняется, в первую очередь, тем, что нас интересуют приложения в криптографии. Поэтому не достаточно просто знать, что у составного числа есть нетривиальный множитель, нужно уметь его отыскивать.
Эти краткие заметки должны позволить Вам приступить к чтению. Методы доказательств будут подробнее разобраны ниже, прежде всего в § 3.7 и § 6.2. Однако необходимо с самого начала понять, что искусство доказательства теорем следует заботливо взращивать, и лучший способ выращивания — частое упражнение. Когда Птолемей, царь египетский, спросил Эвклида, нет ли более простого способа изучения геометрии, чем штудирование «Начал», ответ математика гласил: «В геометрии нет царской дороги». Истинное во времена Эвклида, это утверждение сохраняет свою справедливость и по сей день.
Buzari 25-04-2019 Ответить

Аксиома есть очевидная истина, не требующая доказательства.
Теорема или предложение есть истина, требующая доказательства.
Доказательство есть совокупность рассуждений, делающих данное предложение очевидным.
Доказательство достигает своей цели, когда при помощи его обнаруживается, что данное предложение есть необходимое следствие аксиом или какого-нибудь другого предложения, уже доказанного.
Всякое доказательство основано на том начале, что при правильном умозаключении из истинного предложения нельзя вывести ложного заключения.
Состав теоремы. Всякая теорема состоит из двух частей, a) условия и b) заключения или следствия.
Условие иногда называют предположением. Оно дано и поэтому иногда получает название данного.
Обратная теорема. Предложение, у которого заключение данной теоремы делается условием, а условие заключением, называется теоремой обратной данной.
В таком случае данная теорема называется прямой.
Две теоремы в совокупности, прямая и обратная, называются взаимно-обратными теоремами.
Они находятся в таком взаимном отношении, что, выбрав любую из них за прямую, можно другую принять за обратную.
В двух взаимно-обратных предложениях одно из них вытекает как необходимое следствие другого.
Если в теореме мы обозначим условие буквой, стоящей на первом месте, а заключение буквой, стоящей на втором месте, то прямую теорему можно схематически представить выражением (Aa), а обратную выражением (aA).
Выражение (Aa) схематически представляет предложение: если имеет место A, то имеет место a.
Если для данного предложения (Aa) имеет место и теорема (aA), то обе теоремы (Aa) и (aA) называются взаимно-обратными теоремами.
Примером двух таких взаимно-обратных теорем могут послужить теоремы:
Первая теорема. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
Вторая теорема. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
В первой теореме данным условием будет равенство сторон треугольника, а заключением равенство противолежащих углов, а во второй наоборот.
Не всякая теорема имеет свою обратную.
Примером арифметического предложения, не имеющего своего обратного, может послужить следующая теорема. Если в двух произведениях множители равны, то и произведения равны.
Обратное предположение несправедливо. Действительно, из того, что произведения равны, не следует, что множители равны.
Примером геометрического предложения, для которого обратное предложение не имеет места, может послужить теорема: во всяком квадрате диагонали равны.
Предложение обратное этому будет: если диагонали четырехугольника равны, то он будет квадратом.
Это предположение неверно, ибо диагонали бывают равными не в одном квадрате.
Так как обратное предположение не всегда справедливо, то каждый раз обратное предложение требует особого доказательства.
В теории геометрических доказательств весьма важно иногда знать, когда данное предложение допускает свое обратное.
Для этой цели может послужить следующее правило обратимости. Когда в предположении всем возможным и различным условиям соответствуют все возможные и различные заключения, обратное предложение имеет место.
Рассмотрим для примера.
Прямое предложение. Если два треугольника имеют по две равные стороны, то третья сторона будет больше, равна или меньше третьей стороны другого треугольника, смотря по тому, будет ли угол между равными сторонами больше, равен или меньше соответствующего угла другого треугольника.
В этом предложении трем различным и возможным предположениям об угле соответствуют три различных и возможных заключения о противолежащей стороне, поэтому, согласно с правилом обратимости, данная теорема допускает обратное предположение:
Когда два треугольника имеют по две равных стороны, угол между ними будет больше, равен или меньше соответствующего угла другого треугольника, смотря по тому, будет ли третья сторона больше, равна или меньше третьей стороны данного треугольника.
Кроме обратной прямая теорема может иметь свою противоположную.
Противоположная теорема есть такая, в которой из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Противоположная теорема может иметь свою обратную.
Чтобы обобщить все эти теоремы, мы их представим схематически в следующей общей форме:
Прямая или основная теорема. Если имеет место условие или свойство A, то имеет место заключение или свойство B.
Обратная. Если имеет место B, то имеет место A.
Противоположная. Если не имеет места A, то не имеет места B.
Обратная противоположной. Если не имеет места B, то не имеет места A.
Следующие примеры поясняют на частных случаях взаимное отношение этих теорем:
Прямая теорема. Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Обратная теорема. Если две прямые параллельны, то при пересечении их третье, соответственные углы равны.
Противоположная. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
Обратная противоположной. Если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.
При геометрическом изложении теорем достаточно доказать только две из этих трех теорем, тогда остальные две теоремы справедливы без доказательства.
На этой связи теорем основан прием, по которому для доказательства обратной теоремы ограничиваются часто только доказательством теоремы противоположной.

Способы геометрических доказательств

Для доказательства геометрических теорем существует два основных способа: синтетический и аналитический.
Эти методы называют иногда сокращенно синтезом и анализом.
Синтез есть такой метод доказательства, в котором данное предложение является необходимым следствием другого, уже доказанного.
В синтезе цепь доказательств начинается с какого-нибудь известного предложения и оканчивается данным предложением. При доказательстве исходное предложение сопоставляется с аксиомой или с другим уже известным предложением. Синтетический способ удобен для вывода таких новых предложений, которые заранее не обозначены. Для доказательства же данного предложения он представляет много неудобств. В нем не видно: a) какую из известных теорем нужно выбрать для того, чтобы доказываемое предложение вытекало как ее необходимое следствие, и b) какое из следствий выбранного предложения приводит к доказываемому предложению.
Синтез называют поэтому не методом открытия новых истин, а методом их изложения.
Впрочем и при самом изложении теорем методом синтетическим является неудобство в том отношении, что не видно, почему за исходную истину в цепи доказательств выбрано то, а не другое предложение, то, а не другое его следствие.
Примером синтетического способа доказательства может послужить следующая теорема.
Теорема. Сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник ABC (черт. 224).
Требуется доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство. Проведем прямую DE параллельную AC.
Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно,
? + B + ? = 2d
Так как
? = A, ? = C
то, заменяя в предыдущем равенстве углы ? и ? равными им углами, имеем:
A + B + C = 2d (ЧТД).
Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, лежащих по одну сторону прямой.
Она поставлена в связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною.
Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.
Анализ есть способ обратный синтезу. В анализе цепь рассуждений начинается доказываемой теоремой и оканчивается какой-нибудь другой уже известной истиной.
Анализ является в двух видах. От доказываемого предложения мы можем перейти к предложению, служащему его ближайшим основанием или его ближайшим следствием.
Переходя от данного предложения к предложению, служащему его ближайшим основанием, мы смотрим на данное предложение как на необходимое следствие.
Переходя от данного предложения к его ближайшему следствию, мы смотрим на данное предложение как на основание для цепи умозаключений.
Первый способ анализа. Совершая анализ переходом к основанию, отыскивают то первое ближайшее предложение, из которого данное вытекает как необходимое следствие. Если это предложение было прежде доказано, то доказано и данное предложение, если же нет, то отыскивают второе предложение, служащее основанием для первого.
Такой переход к основанию следует продолжать до тех пор, пока не дойдем до предложения вполне доказанного. Данное предложение явится как необходимое следствие последнего доказанного предложения.
Обозначая каждое предложение буквой и ставя ее впереди или позади другой, смотря по тому, будет ли оно служить основанием или следствием другого предложения, мы схематически можем этот прием анализа выразить в виде
H — K — L — M
где M есть данное предложение, L его ближайшее основание, а H предложение, вполне доказанное. Если верно предложение H, то верно предложение K; если верно K, то верно L; если верно L, то верно и M.
Второй способ анализа состоит в переходе от данного предложения к его следствию. Этот прием применяют чаще, потому что легче находить необходимое следствие, нежели отыскивать основание какой-нибудь истины. По этому способу выводят из данного предложения ту теорему, которая служит его ближайшим следствием. Если это следствие есть предложение прежде доказанное, то на нем и останавливаются; если же нет, переходят к следующему ближайшему следствию и вообще продолжают такой последовательный вывод следствий до тех пор, пока не дойдут до предложения, вполне доказанного.
Если последнее предложение не верно, то и данное не верно, ибо неверное следствие нельзя получить из верного предложения.
Если же последнее предложение верно, то для убеждения в верности данного предложения требуется, чтобы были соблюдены некоторые условия.
Схематически этот прием анализа можно представить в виде
M — N — O — P — Q — R — S
где M данное предложение, N предложение, служащее его ближайшим следствием, а S то последнее предложение, в справедливости которого мы вполне убеждены.
Из двух предложений R и S, стоящих в такой связи, что если справедливо R, то справедливо и предложение S, мы, как известно, не всегда можем обратно заключать, что если справедливо S, то справедливо и предложение R.
Чтобы последнее заключение имело место, требуется, чтобы теоремы R и S были взаимно-обратными предложениями.
Итак, для того, чтобы убедиться, что теоремы R и S стоят в такой связи, что она удовлетворяет схеме R — S и схеме S — R, требуется доказать, что предложения R и S взаимно-обратны.
Таким образом, чтобы можно было по верности последнего предложения S заключить о верности данного предложения M, требуется доказать, что каждые два рядом стоящие предложения R и S, P и R, O и P, N и O, M и N удовлетворяют закону обратимости.
Если это доказано, то цепь предложений можно обратить, и рядом со схемой M — N — O — P — Q — R — S справедлива и схема
S — R — Q — P — O — N — M
по которой мы имеем право заключить, что если справедливо предложение S, то справедливо и предложение M.
Так как затруднительно всякий раз доказывать обратимость двух предложений, то этого избегают, соединяя способ аналитический с синтетическим. После того, как из предложения M выведено предложение S как его следствие, смотрят, нельзя ли обратно вывести предложение M как необходимое следствие предложения S.
Если синтез есть способ, называемый дедукцией или выводом, то анализ можно назвать редукцией (приведение, наводка).
Примером аналитического способа доказательства может послужить следующая теорема.
Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Доказательство. Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны (черт. 225). Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD как противоположные стороны параллелограмма и ?? = ??, ?? = ?? как накрест-лежащие углы.

Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до предложения уже доказанного.
Сравнение синтеза с анализом. Способ аналитический вернее ведет к доказательству данной теоремы, ибо от данной теоремы легче переходить к его ближайшему основанию или следствию.
Хотя анализ лучше синтеза объясняет, почему выбран тот или другой путь для доказательства теоремы, однако неопределенность при доказательствах не устраняется вполне в том смысле, что при последовательных заменах одного предложения другим, мы не всегда можем дойти до предложения нам известного, ибо иногда не видно, какое из следствий или какое из оснований данного предложения нужно выбрать для того, чтобы его доказать. Затруднения увеличиваются еще больше, когда приходится для доказательства проводить новые вспомогательные прямые. Иногда трудно дать верные указания, какие из них облегчают доказательство данной теоремы.
Анализ, как и все логические приемы, только облегчает и помогает находить доказательство данного предложения, но не всегда необходимо ведет к самому доказательству.
Кроме этих прямых существует непрямой способ доказательства, известный под именем доказательства от противного или способа приведения к нелепости.
Способ доказательства от противного состоит в том, что для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
На этом основании это доказательство называется доказательством от противного. Оно достигает своей цели всякий раз, когда из двух предложений, данного и противоположного, одно непременно имеет место.
В этом случае для доказательства данного, допустив противоположное предложение, выводят из него такие следствия, которые противоречат аксиомам или теоремам, уже доказанным. Если одно из следствий этого предложения ложно, то и противоположное предложение ложно, а следовательно данное предложение справедливо.
Этот прием часто применяют для доказательства теорем обратных или противоположных данным.
Не трудно заметить, что этот способ есть второй способ анализа, в котором от данного предложения последовательно переходят к его следствиям.
Примером применения такого способа может послужить приведенное выше доказательство теоремы: против равных углов в треугольнике лежат равные стороны (теорема 26).
В геометрии также применяют способы, зависящие от самого содержания геометрических истин. Геометрические истины относятся к геометрическим протяжениям. Эти протяжения обладают определенными свойствами, подлежащим внешним чувствам. Геометрическое протяжение может рассматриваться как целое, доступное наблюдению внешними чувствами. Убедительности доказательства содействует и самое чувственное созерцание. Обойтись без него в геометрии невозможно.
К числу приемов, имеющих место в геометрии, принадлежат: способ наложения, способ пропорциональности и способ пределов.
Способ наложения состоит в том, что одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений, смотря по тому, совмещаются или не совмещаются ни при наложении.
Способ пропорциональности состоит в применении к геометрическим протяжениям свойств пропорций. Этот способ применяется при доказательстве теорем, относящихся к подобным фигурам и к пропорциональным отрезкам.
Способ пределов состоит в том, что вместо данных протяжений рассматривают свойства протяжений близких по своим свойствам к данному, и выводы, получаемые из рассмотрения одних, применяют к другим сходным протяжениям.

Способы решения геометрических задач

При решении геометрических задач синтез и анализ применяют точно так же как и при доказательстве теорем.
Решая задачу синтетически, берут такую другую задачу, которую умеют решить, потом из ее решения выводят решение следующей задачи, как ее необходимое следствие, и поступают так до тех пор, пока не доходят до решения данной задачи.
Синтетический метод решения задачи обладает всеми теми же недостатками, какими обладает и синтетический метод доказательства.
Поэтому чаще и успешнее для решения задач применяют анализ.
При решении задачи анализом заменяют данную задачу новой. Эту новую задачу будем называть заменяющей.
Если две задачи находятся в таком отношении, что условия второй есть необходимые следствия условий первой, то первую задачу будем называть начальной, а вторую — производной.
При анализе существуют два способа.
Первый способ. Заменяющую задачу выбирают так, чтобы условия данной задачи вытекали как необходимое следствие условий новой заменяющей задачи, т. е. по нашей терминологии от данной задачи переходят к первой начальной задаче. Если решение этой задачи известно, то решение данной является как необходимое следствие решения начальной задачи. Если же ее решение неизвестно, то от нее переходят ко второй, третьей начальной задаче и продолжают так поступать до тех пор, пока не получат задачу, решение которой известно.
Решив эту последнюю задачу, вместе с этим последовательно доходят и до решения данной задачи.
Второй способ. Можно переходить от данной задачи к такой другой, условия которой являются следствием условий данной, т. е. от данной задачи переходят к ее производной.
Заменяя таким образом последовательно одну задачу другой ее производной, мы можем дойти до задачи, решение которой уже известно. Решение этой задачи дает иногда возможность решить и данную задачу.
Такой переход от данной задачи к ее производной применяют чаще, ибо переходить к следствию легче, нежели подыскивать основание для какой-нибудь истины.
В этом частном случае анализа обыкновенно полагают, что задача решена, и из этого предположения выводят соотношения, дающие возможность решить данную задачу.
При переходе от данной задачи к ее заменяющей весьма важно обращать внимание на то, будут ли две задачи обладать свойством взаимной обратимости. Эта взаимность в условиях двух задач является тогда, когда одна задача, будучи начальной для другой, может быть в то же время и ее производной; иначе когда две задачи находятся в таком отношении, что условия одной могут быть и необходимыми следствиями другой и наоборот.
Если две задачи, данная и новая, обладают такими свойствами, то новая задача вполне заменяет данную. В этом случае все решения одной будут и решениями другой.
Если же условия двух задач не обладают свойствами взаимной обратимости, то, заменяя данную задачу новой, мы можем найти или лишние решения или иметь некоторые из решений потерянными.
Если заменяющая задача будет производной для данной, то мы можем найти некоторые лишние решения; если же она будет начальной для данной, то мы можем найти некоторые решения потерянными.
Так как чаще от данной задачи переходят к задаче производной, то чаще приходится получать решения лишние.
Чтобы отделить лишние решения и отыскать потерянные, поверяют все найденные решения.
Поверка есть способ отделения посторонних (лишних) решений. Она дополняет анализ.
Аналитическое решение задачи указывает на то построение, которое нужно сделать для решения задачи. Совершая это построение, поступают при решении задачи способом обратным анализу, т. е. прибегают к синтетическому способу. Этот синтетический способ часто может заменить и самую поверку найденных решений.
Совместное применение синтеза и анализа дает средство избегнуть тех ошибок, которые могут получиться при применении только одного из этих методов решения.
Решим одну и ту же задачу синтетически и аналитически. Для примера может послужить следующая задача.
Задача. Разделить данный отрезок AB в крайнем и среднем отношении.
Решение. Восставим из конца отрезка AB перпендикуляр BO равный половине AB (черт. 226). Из центра O опишем окружность радиусом BO, соединим центр O с точкой A и отложим на отрезке AB отрезок AC равный AD, тогда отрезок AC или AD будет искомый.

Доказательство. Прямая AB — касательная к окружности, следовательно
AE/AB = AB/AD
откуда имеем:
(AE – AB)/AB = (AB – AD)/AD
Так как DE = AB и AD = AC, то в предыдущей пропорции имеем:
AE – AB = AE – DE = AD = AC
AB – AD = AB – AC = BC
откуда имеем пропорцию
AC/AB = BC/AC
Это решение синтетическое. В нем мы отправляемся от известной теоремы о свойствах касательной и решение данной задачи вытекало как необходимое следствие этой теоремы.
Решение аналитическое. Допустим, что задача решена, а следовательно и отрезок AC найден, тогда
AB/AC = AC/CB (1)
откуда
(AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC
или
(AB + AC)/AB = AB/AC (2).
Из последней пропорции видно, что AB есть касательная, AB + AC пересекающаяся, AC ее внешний и AB внутренний отрезок.
Отсюда вытекает и само построение. Нужно из конца B восставить перпендикуляр равный ?AB, провести окружность, соединить O с A и отложить на отрезке AB часть AC = AD.
В этом аналитическом решении мы данную задачу, удовлетворяющую условию (1), заменяем задачей, удовлетворяющей условию (2).
Условие (2) указывает и путь для решения самой задачи построением.
Обыкновенно, найдя решение задачи способом аналитическим, совершают построение, в котором, применяя способ рассуждений синтетический, доказывают, что это построение действительно разрешает задачу и этим доказательством заменяют поверку, имеющую в виду устранить посторонние решения.
В данном примере между задачами, удовлетворяющим условиям (1) и (2), существует полная обратимость, ибо из условий (1) вытекают условия (2) как необходимое следствие и наоборот, поэтому здесь нет ни потерянных, ни посторонних решений.
Исследование второстепенных и вспомогательных приемов решения задач еще не достигло в своей обработке полной и совершенной законченности. Мы пока устраняемся от их подробного рассмотрения.
VideoAnswer 25-04-2019 Ответить
VideoAnswer 25-04-2019 Ответить
VideoAnswer 25-04-2019 Ответить
VideoAnswer 25-04-2019 Ответить

Что такое теорема и доказательство теоремы 7 класс?

7 ответов на вопрос “Что такое теорема и доказательство теоремы 7 класс?”

Добавить ответ Отменить ответ