Как извлечь корень из числа если он не извлекается?

10 ответов на вопрос “Как извлечь корень из числа если он не извлекается?”

  1. Dused Ответить

    Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.
    Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?
    Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.
    v81= 9     92 =81
    Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.
    Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.
    Пример: Извлечь корень из числа 676.
    Замечаем, что 202 = 400, а 302 = 900, значит 20 < v676 < 900. Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9. Цифру 6 дают 42 и 62. Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26. Осталось проверить: 242 = 576, 262 = 676. Ответ: v676 = 26.
    Еще пример: v6889.
    Так как 802 = 6400, а 902 = 8100, то 80 < v6889 < 90. Цифру 9 дают 32 и 72, то v6889 равен либо 83, либо 87. Проверяем: 832 = 6889. Ответ: v6889 = 83.
    Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.
    Например, найти v893025.
    Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

    Получаем: v893025 = v36 •52 •72 = 33 •5 •7 = 945.
    Еще пример: v20736. Разложим число 20736 на множители:

    Получаем v20736 = v28 •34 = 24 •32 = 144.
    Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.
    И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных. Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.
    Вычислите v279841.
    Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41

    Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27).
    Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98).
    Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ? 2), испытывают частное (102 •2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.
    Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).
    Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 •2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ? 9), испытывают частное (1049 •9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.
    Получили ответ v279841 = 529.
    Аналогично извлекают корни из десятичных дробей. Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.
    Пример. Найдите значение v0,00956484.

    Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается.
    Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, записывайтесь на мои уроки.
    © blog.tutoronline.ru,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

  2. Пророчащий Судьбу Ответить

    14 декабря 2012
    Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень. Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:
    Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
    Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.
    Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против квадратных корней.
    Итак, алгоритм:
    Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
    Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
    Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.
    Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.

    Ограничение корней

    В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:
    102 = 100;
    202 = 400;
    302 = 900;
    402 = 1600;
    …
    902 = 8100;
    1002 = 10 000.
    Получим ряд чисел:
    100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
    Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

    [Подпись к рисунку]
    То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

    [Подпись к рисунку]
    Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

    Отсев заведомо лишних чисел

    Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.
    Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:
    Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа.
    Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.
    Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:
    1234567890
    1496569410
    Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:
    22 = 4;
    82 = 64 > 4.
    Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

    [Подпись к рисунку]
    Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

    [Подпись к рисунку]
    Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

    Финальные вычисления

    Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.
    Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:
    522 = (50 +2)2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
    582 = (60 ? 2)2 = 3600 ? 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.
    Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный 🙂

    Примеры вычисления корней

    Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.
    Задача. Вычислите квадратный корень:

    [Подпись к рисунку]
    Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:
    400 < 576 < 900 202 < 576 < 302 Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа: 24; 26. Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным: 242 = (20 + 4)2 = 576 Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень. Задача. Вычислите квадратный корень:
    [Подпись к рисунку]
    Здесь и далее я буду писать только основные шаги. Итак, ограничиваем число:
    900 < 1369 < 1600; 302 < 1369 < 402; Смотрим на последнюю цифру: 1369 > 9;
    33; 37.
    Возводим в квадрат:
    332 = (30 + 3)2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ? 1369;
    372 = (40 ? 3)2 = 1600 ? 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.
    Вот и ответ: 37.
    Задача. Вычислите квадратный корень:

    [Подпись к рисунку]
    Ограничиваем число:
    2500 < 2704 < 3600; 502 < 2704 < 602; Смотрим на последнюю цифру: 2704 > 4;
    52; 58.
    Возводим в квадрат:
    522 = (50 + 2)2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
    Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.
    Задача. Вычислите квадратный корень:

    [Подпись к рисунку]
    Ограничиваем число:
    3600 < 4225 < 4900; 602 < 4225 < 702; Смотрим на последнюю цифру: 4225 > 5;
    65.
    Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:
    652 = (60 + 5)2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;
    Все правильно. Записываем ответ.

    Заключение

    Многие спрашивают: зачем вообще считать такие корни? Не лучше ли взять калькулятор и не парить себе мозг?
    Увы, не лучше. Давайте разберемся в причинах. Их две:
    На любом нормальном экзамене по математике, будь то ГИА или ЕГЭ, пользоваться калькуляторами запрещено. И за пронесенный в класс калькулятор могут запросто выгнать с экзамена.
    Не уподобляйтесь тупым американцам. Которые не то что корни — они два простых числа сложить не могут. А при виде дробей у них вообще начинается истерика.
    В общем, учитесь считать. И все будет хорошо. Удачи!

  3. JoJok Ответить

    В предисловии к своему первому изданию “В
    царстве смекалки” (1908 год) Е. И. Игнатьев пишет:
    “… умственную самодеятельность,
    сообразительность и “смекалку” нельзя ни
    “вдолбить”, ни “вложить” ни в чью голову.
    Результаты надёжны лишь тогда, когда введение в
    область математических знаний совершается в
    лёгкой и приятной форме, на предметах и примерах
    обыденной и повседневной обстановки,
    подобранных с надлежащим остроумием и
    занимательностью”.
    В предисловии к изданию 1911 г “Роль памяти в
    математике” Е.И. Игнатьев пишет “… в математике
    следует помнить не формулы, а процесс мышления”.

    Для извлечения квадратного корня существуют
    таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно
    разложить число на простые множители и извлечь
    квадратный корень из произведения. Таблицы
    квадратов бывает недостаточно, извлечение корня
    разложением на множители – трудоёмкая задача,
    которая тоже не всегда приводит к желаемому
    результату. Попробуйте извлечь квадратный
    корень из числа 209764? Разложение на простые
    множители дает произведение 2*2*52441. Методом проб и
    ошибок, подбором – это, конечно, можно сделать,
    если быть уверенным в том, что это целое число.
    Способ, который я хочу предложить, позволяет
    извлечь квадратный корень в любом случае.
    Когда-то в институте (Пермский государственный
    педагогический институт) нас познакомили с этим
    способом, о котором сейчас хочу рассказать.
    Никогда не задумывалась, есть ли у этого способа
    доказательство, поэтому сейчас пришлось
    некоторые доказательства выводить самой.
    Основой этого способа, является состав числа =.
    =&, т.е. &2=596334.

    1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево
    (5`96`33`64)
    2. Извлекаем квадратный корень из первой слева
    группы ( – число 2). Так мы
    получаем первую цифру числа &.
    3. Находим квадрат первой цифры (22=4).
    4. Находим разность первой группы и квадрата
    первой цифры (5-4=1).
    5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).
    6. Удваиваем первую, найденную нами цифру,
    записываем слева за чертой (2*2=4).
    7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа
    &: удвоенная первая цифра, найденная нами,
    становится цифрой десятков числа, при умножении
    которого на число единиц, необходимо получить
    число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 – вторая цифра
    числа &.
    8. Находим разность (196-176=20).
    9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).
    10. Удваиваем число 24, получаем 48.
    11.48 десятков в числе, при умножении которого на
    число единиц, мы должны получить число меньшее 2033
    (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть
    третья цифра числа &.
    Далее процесс повторяется.

    Доказательство приведено мной для случаев:
    1. Извлечение квадратного корня из трехзначного
    числа;
    2. Извлечение квадратного корня из
    четырехзначного числа.



    Приближенные методы извлечения квадратного
    корня (без использования калькулятора) [2].
    1.Древние вавилоняне пользовались следующим
    способом нахождения приближенного значения
    квадратного корня их числа х. Число х они
    представляли в виде суммы а2+b, где а2
    ближайший к числу х точный квадрат
    натурального числа а (а2?х), и пользовались
    формулой . (1)
    Извлечем с помощью формулы (1) корень
    квадратный, например из числа 28:

    Результат извлечения корня из 28 с помощью МК
    5,2915026.
    Как видим способ вавилонян дает хорошее
    приближение к точному значению корня.
    2. Исаак Ньютон разработал метод извлечения
    квадратного корня, который восходил еще к Герону
    Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот
    (известный как метод Ньютона) заключается в
    следующем.
    Пусть а1 — первое приближение числа (в качестве а1
    можно брать значения квадратного корня из
    натурального числа — точного квадрата, не
    превосходящего х) .
    Следующее, более точное приближение а2 числа
    найдется
    по формуле .
    Третье, еще более точное приближение и т.д.
    (n+1)-е приближение найдется по формуле .
    Нахождение приближенного значения числа методом
    Ньютона дает следующие результаты: а1=5; а2=
    5,3; а3=5,2915.
    –
    итерационная формула Ньютона для нахождения
    квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, аn – n-е
    приближение .
    Указанный мною способ позволяет извлекать
    квадратный корень из большого числа с любой
    точностью, правда с существенным недостатком:
    громоздкость вычислений.

    Литература:
    Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.
    Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. – М.:
    Просвещение, 1990.
    Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для
    учащихся 8 класса общеобразовательных учебных
    заведений. – М.: Просвещение 1994.

  4. Инкогнито Ответить

    Правило. Чтобы извлечь приближенный квадратный корень с точностью до 1, надо извлечь наибольший целый корень из целой части данного числа.
    Найденное по этому правилу число есть приближенный корень с недостатком, так как в нем недостает до точного корня некоторой дроби (меньшей 1). Если этот корень увеличим на 1, то получим другое число, в котором есть некоторый избыток над точным корнем, и избыток этот меньше 1. Этот увеличенный на 1 корень можно назвать тоже приближенным корнем с точностью до 1, но с избытком. (Названия:
    „с недостатком” или „с избытком” в некоторых математических книгах заменены другими равносильными: „по недостатку” или „по избытку”.)
    176. Приближенный корень с точностью до 1/10. Пусть требуется найти √2,35104 с точностью до 1/10 . Это значит, что требуется найти такую десятичную дробь, которая состояла бы из целых единиц и десятых долей и которая удовлетворяла бы двум следующим требованиям:
    1) квадрат этой дроби не превосходит 2,35104, но 2) если увеличим ее на 1/10 , то квадрат этой увеличенной дроби превосходит 2,35104.

    Чтобы найти такую дробь, мы сначала нaйдем приближенный корень с точностью до 1, т. е. извлечем корень только из целого числа 2. Получим 1 (и в остатке 1). Пишем в корне цифру1 и ставим после нее запятую. Теперь будем искать цифру десятых. Для этого сносим к остатку 1 цифры 35, стоящие направо от запятой, и продолжаем извлечениетак, как будто мы извлекали корень из целого числа 235. Полученную цифру 5 пишем в корне на месте десятых. Остальные цифры подкоренного числа (104)
    нам не нужны. Что полученное число 1,5 будет действительно приближенный корень с точностью до 1/10 видно из следующего. Если бы мы находили наибольший целый корень из 235 с точностью до 1, то получили бы 15. Значит:
    152< 235, но 162>235.
    Разделив все эти числа на 100, получим:

    Значит, число 1,5 есть та десятичная дробь, которую мы назвали приближенным корнем с точностью до 1/10.
    Найдем еще этим приемом следующие приближенные корни с точностью до 0,1:

    177. Приближенный квадратный корень с точностью до 1/100 до 1/1000 и т. д.
    Пусть требуется найти с точностью до 1/100 приближенный √248. Это значит: найти такую десятичную дробь, которая состояла бы из целых, десятых и сотых долей и которая удовлетворяла бы двум требованиям:
    1) квадрат ее не превосходит 248, но 2) если увеличим эту дробь на 1/100 то квадрат этой увеличенной дроби превосходит 248.

    Такую дробь мы найдем в такой последовательности: сначала отыщем целое число, потом цифру десятых, затем и цифру сотых. Корень
    из целого числа будет 15 целых. Чтобы получить цифру десятых, надо как мы видели, снести к остатку 23 еще 2 цифры, стоящие направо от запятой. В нашем примере этих цифр нет вовсе, ставим на их место нули. Приписав их к остатку и продолжая действие так, как будто находим корень из целого числа 24 800, мы найдем цифру десятых 7. Остается найти цифру сотых. Для этого приписываем к остатку 151 еще 2 нуля и продолжаем извлечение, как будто мы находим корень из целого числа 2 480 000. Получаем 15,74. Что это
    число действительно есть приближенный корень из 248 с точностью до 1/100 видно из следующего. Если бы мы находили наибольший целый квадратный корень из целого числа 2 480 000, то получили бы 1574; значит:
    15742< 2 480 000, но 15752> 2 480 000.
    Разделив все числа на 10 000 ( = 1002), получим:

    Значит, 15,74 есть та десятичная дробь, которую мы назвали приближенным корнем с точностью до 1/100 из 248.
    Применяя этот прием к нахождению приближенного корня с точностью до 1/1000 до 1/10000 и т. д. найдем следующее.
    Правило. Чтобы извлечь из данного целою числа или из данной десятичной дроби приближенный корень с точностью до 1/10 до 1/100 до 1/100 и т. д., находят сначала приближенный корень с точностью до 1, извлекая корень из целого числа (если его нет, пишут о корне 0 целых).
    Потом находят цифру десятых. Для этого к остатку сносят ,2 цифры подкоренного числа, стоящие направо от запятой (если их нет, приписывают к остатку два нуля), и продолжают извлечение так, как это делается при извлечении корня из целого числа. Полученную цифру пишут в корне на месте десятых.
    Затем находят цифру сотых. Для этого к остатку сносят снова две цифры, стоящие направо от тех, которые были только что снесены, и т. д.
    Таким образом, при извлечении корня из целого числа с десятичной дробью, надо делить на грани по 2 цифры в каждой, начиная от запятой, как влево (в целой части числа), так и вправо, (в дробной части).
    Примеры.
    1) Найти до 1/100 корни: а) √2 ; б) √0,3 ;


    В последнем примере мы обратили дробь 3/7 в десятичную, вычислив 8 десятичных знаков, чтобы образовались 4 грани, потребные для нахождения 4 десятичных знаков корня.
    178. Описание таблицы квадратных корней. В конце этой книги приложена таблица квадратных корней, вычисленных с четырьмя цифрами. По этой таблице можно быстро находить квадратный корень из целого числа (или десятичной дроби), которое выражено не более, чем четырьмя цифрами. Прежде чем объяснить, как эта таблица устроена, заметим, что первую значащую цифру искомого корня мы всегда можем найти без помощи таблиц по одному взгляду на подкоренное число; мы легко
    также определим, какой десятичный разряд означает первая цифра корня и, следовательно, где в корне, когда найдем его цифры, надо поставить запятую. Приведем несколько примеров:
    1) √5’27,3. Первая цифра будет 2, так как левая грань подкоренного числа есть 5; а корень из 5 равен 2. Кроме того, так как в целой части подкоренного числа всех граней только 2, то в целой части искомого корня должно быть 2 цифры и, следовательно, первая его цифра 2 должна означать десятки.
    2) √9,041. Очевидно, в этом корне первая цифра будет 3 простые единицы.
    3) √0,00’83’4. Первая значащая цифра есть 9, так как грань, из которой пришлось бы извлекать корень для получения первой значащей цифры, есть 83, а корень из 83 равен 9. Так как в искомом числе не будет ни целых, ни десятых, то первая цифра 9 должна означать сотые.
    4) √0,73’85. Первая значащая цифра есть 8 десятых.
    5) √0,00’00’35’7. Первая значащая цифра будет 5 тысячных.
    Сделаем еще одно замечание. Положим, что требуется извлечь корень из такого числа, которое, после отбрасывания в нем занятой, изображается рядом таких цифр: 5681. Корень этот может быть один из слелуюших:

    Если возьмем корни, подчеркнутые нами одной чертою, то все они будут выражены одним и тем же рядом цифр, именно теми цифрами, которые получаются при извлечении корня из 5681 (это будут цифры 7, 5, 3, 7). Причина этому та, что грани, на которые приходится разбивать подкоренное число при нахождении цифр корня, будут во всех этих примерах одни и те же, поэтому и цифры для каждого корня окажутся одинаковые (только положение запятой будет, конечно, различное). Точно так же
    во всех корнях, подчеркнутых нами двумя чертами, должны получиться одинаковые цифры, именно те, которыми выражается √568,1 (эти цифры будут 2, 3, 8, 3), и по той же причине. Таким образом, цифры корней из чисел, изображаемых (по отбрасывании запятой) одним и тем же рядом цифр 5681, будут двоякого (и только двоякого) рода: либо это ряд 7, 5, 3, 7, либо ряд 2, 3, 8, 3. То же самое, очевидно, может быть сказано о всяком другом ряде цифр. Поэтому, как мы сейчас
    увидим,
    в таблице каждому ряду цифр подкоренного
    числа соответствуют 2 ряда цифр для корней.
    Теперь мы можем объяснить устройство таблицы и способ ее пользования. Для ясности объяснения мы изобразили здесь начало первой страницы таблицы.

    Таблица эта расположена на нескольких страницах. На каждой из них в первой слева колонке помещены числа 10, 11, 12… (до 99). Эти числа выражают первые 2 цифры числа, из которого ищется квадратный корень. В верхней горизонтальной строчке (а также и в нижней) размещены числа: 0, 1, 2, 3… 9, представляющие собою 3-ю цифру данного числа, а затем далее направо помещены цифры 1, 2, 3 . . . 9, представляющие собою4-ю цифру данного числа. Во всех
    других горизонтальных строчках помещены по 2 четырехзначных числа, выражающие квадратные корни из соответствующих чисел.
    Пусть требуется найти квадратный корень из какого-нибудь числа, целого или выраженного десятичною дробью. Прежде всего находим без помощи таблиц первую цифру корня и ее разряд. Затем отбросим в данном числе запятую, если она есть. Положим сначала, что после отбрасывания запятой останутся только 3 цифры, напр. 114. Находим в таблицах в левой крайней колонке первые 2 цифры, т. е. 11, и продвигаемся от них
    направо по горизонтальной строке до тех пор, пока не дойдем до вертикальной колонки, наверху (и внизу) которой стоит 3-я цифра числа, т. е. 4. В этом месте мы находим два четырехзначных числа: 1068 и 3376. Которое из этих двух чисел надо взять и где поставить в нем запятую, это определяется первою цифрою корня и ее разрядом, которые мы нашли раньше. Так, если надо найти √0,11’4, то первая цифра корня есть 3 десятых, и потому мы должны
    взять для корня 0,3376. Если бы требовалось
    найти √1,14, то первая цифра корня была бы 1, и мы взяли бы тогда 1,068.
    Таким образом мы легко найдем:
    √5,30 = 2,302; √7’18 = 26,80; √0,91’6 = 0,9571 и т.п.
    Положим теперь, что требуется найти корень из числа, выраженного (по отбрасывании запятой) 4 цифрами, напр.√7’45,6. Заметив, что первая цифра корня есть 2 десятка, находим для числа 745 так, как сейчас было объяснено, цифры 2729 (это число только замечаем пальцем, но его не записываем). Потом продвигаемся от этого числа еще направо до тех пор, пока в правой части таблицы (за последнею жирною чертою) не встретим ту вертикальную
    колонку, которая отмечена наверху (и внизу)
    4-й цифрой данного числа, т. е. цифрой 6, и находим там число 1. Это будет поправка, которую надо приложить (в уме) к ранее найденному числу 2729; получим 2730. Это число записываем и ставим в нем запятую на надлежащем месте: 27,30.
    Таким путем найдем, напр:
    √44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04’437 =0,2107 и т.д.
    Если подкоренное число выражается только одной или двумя цифрами, то мы можем предположить, что после этих цифр стоит один или два нуля, и затем поступать так, как было объяснено для трехзначного числа. Напр.√2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13’0 = 0,3606 и т.п..
    Наконец, если подкоренное число выражено более, чем 4 цифрами, то из них мы возьмем только первые 4, а остальные отбросим, причем для уменьшения ошибки, если первая из отбрасцваемых цифр есть 5 или более 5, то мы увеличим на l четвертую из удержанных цифр. Так:
    √357,8|3 | = 18,91; √0,49’35|7 | = 0,7025; и т.п.
    Замечание. В таблицах указан приближенный квадратный корень иногда с недостатком, иногда же с избытком, а именно тот из этих приближенных корней, который ближе подходит к точному корню.
    179. Извлечение квадратных корней из обыкновенных дробей. Точный квадратный корень из несократимой дроби можно извлечь лишь тогда, когда оба члена дроби точные квадраты (§ 174). В этом случае достаточно извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно, напр.:

    Приближенный квадратный корень из обыкновенной дроби c какою-нибудь десятичною точностью проще всего можно находить, если предварительно обратим обыкновенную дробь в десятичную, вычислив в этой дроби такое число десятичных знаков после запятой, которое было бы вдвое больше числа десятичных знаков в искомом корне.

  5. iceFice Ответить

    Сам значок называется красивым словом “радикал”.
    Как извлечь корень? Это лучше рассмотреть на примерах.
    Как извлечь (или посчитать – это всё едино) корень квадратный из 4? Нужно просто сообразить: какое число в квадрате даст нам 4? Да конечно же 2! Значит:
    Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т. е:
    А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:
    Уловили, что такое квадратный корень? Тогда считаем примеры:
    Ответы (в беспорядке) : 6; 1; 4; 9; 5.
    Решили? Действительно, уж куда проще-то? !
    Но.. . Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?
    Тосковать начинает человек.. . Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень.. .
    Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах.. .
    Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!
    Сколько будет корень квадратный из 49? Семь? Верно! А как вы узнали, что семь? Возвели семёрку в квадрат и получили 49? Правильно! Обратите внимание, чтобы извлечь корень из 49 нам пришлось проделать обратную операцию – возвести 7 в квадрат! И убедиться, что мы не промахнулись. А могли и промахнуться.. .
    В этом и есть сложность извлечения корней. Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком – да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.
    Этот сложный творческий процесс – подбор ответа – сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 – вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да.. .
    Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т. е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый – выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй – решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.
    И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно.. .
    Итак, что такое квадратный корень, КАК извлекать корни – думаю, понятно. Теперь выясним ИЗ ЧЕГО можно их извлекать.
    Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!
    Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.
    Попробуем вычислить вот такой корень:
    Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.
    Что, не подбирается? 22 даёт +4. (-2)2 даёт опять +4! Вот-вот.. . Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу) . Поступите в институт – сами узнаете.
    Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:
    Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число – не имеет смысла! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно! Или, другими словами:
    Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!
    Зато из всех остальных – можно.:)))))))) )
    конечно это Интернет, у меня столько ума нет и не было:):):): ) но …развеселили:):):):)

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *