Как называется расстояние от точки до прямой?

15 ответов на вопрос “Как называется расстояние от точки до прямой?”

  1. akvasil Ответить

    Определения эквивалентны. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    Известно, что расстояние от точки до прямой является наименьшим из всех возможных. Рассмотрим это на примере.
    Если взять точку Q, лежащую на прямой a, не совпадающую с точкой М1, тогда получим, что отрезок М1Q называется наклонной, опущенной из М1 к прямой a. Необходимо обозначить, что перпендикуляр из точки М1 является меньше, чем любая другая наклонная, проведенная из точки к прямой.
    Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник М1Q1Н1, где М1Q1 является гипотенузой. Известно, что ее длина всегда больше длины любого из катетов. Значим, имеем, что M1H1

    Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения

    Исходные данные для нахождения от точки до прямой позволяют использовать несколько методов решения: через теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла и другими. Большинство заданий такого типа решают в школе на уроках геометрии.
    Когда при нахождении расстояния от точки до прямой можно ввести прямоугольную систему координат, то применяют метод координат. В данном пункте рассмотрим основных два метода нахождения искомого расстояния от заданной точки.
    Первый способ подразумевает поиск расстояния как перпендикуляра, проведенного из М1 к прямой a. Во втором способе используется нормальное уравнение прямой а для нахождения искомого расстояния.
    Если на плоскости имеется точка с координатами M1(x1, y1), расположенная в прямоугольной системе координат, прямая a, а необходимо найти расстояние M1H1, можно произвести вычисление двумя способами. Рассмотрим их.
    Первый способ
    Если имеются координаты точки H1, равные x2, y2, тогда расстояние от точки до прямой вычисляется по координатам из формулы M1H1=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
    Теперь перейдем к нахождению координат точки Н1.
    Известно, что прямая линия в Оху соответствует уравнению прямой на плоскости. Возьмем способ задания прямой a через написание общего уравнения прямой или уравнения с угловым коэффициентом. Составляем уравнение прямой, которая проходит через точку М1 перпендикулярно заданной прямой a. Прямую обозначим буковой b. Н1 является точкой пересечения прямых a и b, значит для определения координат необходимо воспользоваться статьей, в которой идет речь о координатах точек пересечения двух прямых.
    Видно, что алгоритм нахождения расстояния от заданной точки M1(x1, y1)  до прямой a проводится согласно пунктам:
    Определение 3

  2. Wesker101 Ответить


    Начало

    Поиск по сайту

    ТОПы

    Учебные заведения

    Предметы

    Проверочные работы

    Обновления

    Новости

    Переменка
    Отправить отзыв

  3. biroff Ответить

    Что называется расстоянием от точки до прямой? Как найти расстояние от точки до прямой?
    Определение.
    Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.
    рисунок 1
    Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо из точки к прямой провести перпендикуляр и найти его длину.
    Например, на рисунке 1 расстояние от точки A до прямой a равно длине перпендикуляра AB, опущенного из точки A на прямую a.
    Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой сводятся к рассмотрению прямоугольного треугольника.
    Задачи.
    № 1. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 2:3, а длины их проекций соответственно равны 2 см и 7 см. Найти расстояние от точки до прямой.
    Дано: A∉a,

    AC и AD — наклонные, AC:AD=2:3,
    BC и BD — их проекции, BC=2 см, BD=7 см
    Найти: AB.
    Решение:
    1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AC=2k см, AD=3k см.
    2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

    откуда



    3) Аналогично, из треугольника ABD



    4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим k:




    5) Зная k, найдем AB:


    Ответ: 4√2 см.
    № 2. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найти расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных равна 4 см.

  4. seromaxa2603 Ответить

    Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка , прямая a и требуется найти расстояние от точки А до прямой a.
    Покажем два способа, позволяющих вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. В первом случае нахождение расстояния от точки М1 до прямой a сводится к нахождению расстояния от точки М1 до точки H1, где H1 – основание перпендикуляра, опущенного из точки М1 на прямую a. Во втором случае расстояние от точки до плоскости будем находить как высоту параллелограмма.
    Итак, приступим.

    Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.

    Так как по определению расстояние от точки М1 до прямой a – это длина перпендикуляра M1H1, то, определив координаты точки H1, мы сможем вычислить искомое расстояние как расстояние между точками и по формуле .
    Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки М1 к прямой a. Сделать это достаточно просто: точка H1 – это точка пересечения прямой a с плоскостью, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.

    Следовательно, алгоритм, позволяющий определять расстояние от точки до прямой a в пространстве, таков:
    составляем уравнение плоскости как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой a;
    определяем координаты точки H1 – точки пересечения прямой a и плоскости (смотрите статью нахождение координат точки пересечения прямой и плоскоти);
    вычисляем требуемое расстояние от точки М1 до прямой a по формуле .

    Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.

    Так как в условии задачи нам задана прямая a, то мы можем определить ее направляющий вектор и координаты некоторой точки М3, лежащей на прямой a. Тогда по координатам точек и мы можем вычислить координаты вектора : (при необходимости обращайтесь к статье координаты вектора через координаты точек его начала и конца).
    Отложим векторы и от точки М3 и построим на них параллелограмм. В этом параллелограмме проведем высоту М1H1.

    Очевидно, высота М1H1 построенного параллелограмма равна искомому расстоянию от точки М1 до прямой a. Найдем .
    С одной стороны площадь параллелограмма (обозначим ее S) может быть найдена через векторное произведение векторов и по формуле . С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, то есть, , где – длина вектора , равная длине стороны рассматриваемого параллелограмма. Следовательно, расстояние от заданной точки М1 до заданной прямой a может быть найдена из равенства как .
    Итак, чтобы найти расстояние от точки до прямой a в пространстве нужно
    определить направляющий вектор прямой a () и вычислить его длину ;
    получить координаты некоторой точки М3, лежащей на прямой a, вычислить координаты вектора , найти векторное произведение векторов и как и получить его длину ;
    вычислить требуемое расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле .

    Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве.

    Рассмотрим решение примера.

  5. gnusmasfan Ответить

    Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.
    Алгоритм
    Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
    Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
    Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.
    Пример
    На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

    Решение
    Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей, который не предполагает перемещение фигур в пространстве.
    Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П4. В новой системе (П1, П4) точки C”1, D”1, M”1 находятся на том же удалении от оси X1, что и C”, D”, M” от оси X.

    Выполняя вторую часть алгоритма, из M”1 опускаем перпендикуляр M”1N”1 на прямую b”1, поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N’ и проводим проекцию M’N’ отрезка MN.

    На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M’N’ и M”1N”1. Для этого строим прямоугольный треугольник M”1N”1N0, у которого катет N”1N0 равен разности (YM1 – YN1) удаления точек M’ и N’ от оси X1. Длина гипотенузы M”1N0 треугольника M”1N”1N0 соответствует искомому расстоянию от M до b.

    Второй способ решения
    Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П4. Она пересекает П1 по оси X1, причем X1∥C’D’. В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C”1, D”1 и M”1, как это изображено на рисунке.
    Перпендикулярно C”1D”1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П5, на которую прямая b проецируется в точку C’2 = b’2.
    Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M’2C’2, обозначенного красным цветом.

    Похожие задачи:

  6. -=COPA=- Ответить

    Дано уравнение некой прямой $m$: $y= 3x + 2$ и точка $M$, не возлежащая на ней, её икс и игрек $(2;0)$.
    Определить расстояние между точкой и прямой.
    Опускаем перпендикуляр из точки $M$ на прямую $m$.
    Теперь, для того чтобы высчитать его длину, нужно найти координаты пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ с прямой $m$. Назовём точку их пересечения $D$.
    Для того чтобы найти точку пересечения перпендикуляра, опущенного из нашей точки на прямую $m$, необходимо сначала получить уравнение этого перпендикуляра.
    Для этого перепишем уравнение прямой $m$ в общем виде: $3x-y+2=0$.
    При записи в такой форме не трудно увидеть, что нормальный вектор этой прямой имеет координаты $(3;-1)$.
    Нормальный вектор для этой прямой является направляющим для перпендикуляра.
    Также нам известно, что этот перпендикуляр проходит через точку $M$ с координатами $(2;0)$.
    Следовательно, мы можем записать его уравнение:
    $\frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1}$
    Для того чтобы найти координаты точки пересечения перпендикуляра $MD$ с прямой $m$, необходимо решить систему уравнений:
    $\begin{cases} \frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1} \\ 3x-y+2=0 \\ \end{cases}$
    Для этого выражаем $y$ из второго уравнения:
    $\begin{cases} \frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1} \\ y= 3x+2 \\ \end{cases}$
    И затем подставляем его в первое:
    $\frac{x-2}{3} = -3x-2$
    Избавляемся от знаменателя, умножив всё на $3$:
    $x – 2 + 9x + 6 = 0$
    $10x + 4 = 0$
    $10x = -4$
    $x = -0,4$
    Подставляем полученный икс во второе уравнение:
    $y= (-0,4 \cdot 3) + 2$
    $y = 0,8$
    То есть точка пересечения перпендикуляра с прямой $m$ имеет координаты $(-0,4;0,8)$.
    Теперь найдём длину $MD$:
    $MD = \sqrt{(-0,4)^2 + 0,8^2} = \sqrt{0,8} ≈ 0.89$
    Ответ: расстояние между точкой и прямой равно $0,89$.

  7. morkovka1985 Ответить

    Макеты страниц

    10. Расстояние от точки до прямой

    Сначала найдем расстояние от начала координат до прямой

    Приведя данное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом

    замечаем, что угловой коэффициент этой прямой — Прямая, проходящая через начало координат перпендикулярно данной прямой, имеет угловой коэффициент Поэтому уравнение этой прямой имеет вид в


    Рис. 42
    Решая систему уравнений

    мы найдем координаты точки N (х; у), являющейся точкой пересечения данной прямой и опущенного на нее из начала координат перпендикуляра:

    Искомое расстояние d от начала координат до данной прямой равно расстоянию между началом координат и точкой

    Найдем теперь расстояние d от произвольно заданной точки до данной прямой (рис. 42). Сделаем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало точку . Тогда (см. гл. I, § 6, п. 1)

    и уравнение данной прямой в новой системе координат примет следующий вид:

    или

    или, наконец,

    где

    Так как в новой системе координат точка является началом координат, то расстояние d от этой точки до данной прямой найдется по формуле (18):

    или, так как

    Заметим, что в числителе правой части формулы (20) стоит абсолютная величина выражения, которое получится, если в левую часть уравнения данной прямой вместо текущих координат подставить координаты данной точки .
    Пример 1. Треугольник задан своими вершинами А (1; 2), В(-2; 1) и С (2; 3). Найти длину его высоты, опущенной из вершины А.
    Решение. Найдем уравнение прямой, проходящей через две точки и С (2; 3):

    или

    Искомую длину высоты найдем по формуле (20) как расстояние от точки до прямой ВС:

    Пример 2. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми
    Решение. Биссектриса угла есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от сторон этого угла. Пусть точка – любая точка биссектрисы угла между данными прямыми (рис. 43). Согласно формуле (20) ее расстояние от первой прямой

    Точно так же расстояние точки от второй прямой


    Рис. 43
    По определению биссектрисы т. е.

    Если равны модули двух величин, то эти величины либо равны, либо отличаются только знаком. Следовательно,

    ИЛИ

    Упрощая последние два уравнения, получим

    Переходя к обозначениям текущих координат х и у вместо х и у, получим следущие уравнения биссектрис:

  8. sviatosha666 Ответить

    Расстояние от точки до прямой

    равно абсолютному значению величины

    т.е.

    Пример. Найти расстояние от точки до прямой

    Решение.

    Замечание 1. Пусть прямая (1) не проходит через начало О и, значит, (§ 16). Если при этом знаки одинаковы, то точки лежат по одну сторону от прямой (1); если противоположны, — то по разные стороны (ср. § 27); если же (что возможно лишь при то лежит на данной прямой (§ 8).
    Величина называется ориентированным расстоянием от точки до прямой (1). В рассмотренном примере ориентированное расстояние равно Знаки противоположны: значит, точки лежат по разные стороны от прямой

  9. patron13kul Ответить

    Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую.
    Пусть даны точка М(х0,у0) и прямая ах + bу + с = 0. Для определения расстояния d от точки до прямой необходимо:
    а) составить уравнение прямой, перпендикулярной данной, проходящей через точку М;
    б) найти точку пересечения двух прямых N;
    в) найти расстояние между двумя точками М и N по формуле нахождения длины отрезка.
    Опустим преобразования. Формула примет вид:


    Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве
    См. учебник Кремера, глава 4.7.
    Комплексные числа
    Чтобы определить комплексное число, введем понятие мнимой единицы. Мнимая единица – это число, квадрат которого равен -1. Обычно ее обозначают буквой i (i2 = -1).
    Комплексным числом[2] называют выражение вида z = х + iу, где х и у – действительные числа, i – мнимая единица.
    Число x – действительная часть комплексного числа z (обозна-чается Re(z)), число у – мнимая часть комплексного числа z и обозначается Im(z).
    Любое действительное число является частным случаем комплексного числа при y = 0. Все остальные комплексные числа (в которых y ≠ 0) не являются действительными. При x = 0, y ≠ 0 комплексные числа называют чисто мнимыми.
    Числа z = х + iу и z = х – iу z=x + iy и называют сопряженными комплексными числами.

  10. azhurko Ответить

    Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.
    Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую
    ОР равна р. С другой стороны, прnOM=n·OM. Поскольку
    n={cosα, sinα}, a OM={x,y}, получаем, что
    x cosα + y sinα = p, или x cosα + y sinα ­­- p = 0 – (7.20)
    – искомое уравнение прямой L, называемое нормальным
    уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан
    с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).
    Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонениеδ точки А от прямой L есть число +d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число –d, если они лежат по одну сторону от L.
    Теорема 7.1. Отклонение точки А(х0,у0) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:
    . (7.21)
    Доказательство.
    Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна
    n·OA=x0cosα + y0sinα.
    Отсюда
    δ = PQ=OQ-OP=OQ-p = x0cosα + y0sinα – p,
    что и требовалось доказать.
    Следствие.
    Расстояние от точки до прямой определяется так:
    (7.22).
    Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.
    Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением 3х + 4у + 15 = 0.
    А² + B²=9+16=25, C=15>0, поэтому нормирующий множитель равен
    -1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно
    Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *