Как составить уравнение касательной к графику функции?

19 ответов на вопрос “Как составить уравнение касательной к графику функции?”

  1. Linares Ответить

    Найти точки графика функции y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, где
    Касательная не существует;
    Касательная располагается параллельно ох;
    Касательная параллельна прямой y=85x+4.
    Решение
    Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x?-?; 2 и [-2; +?). Получаем, что
    y=-115×3+18×2+105x+176, x?-?; -2115×3-6×2+9x+12, x?[-2; +?)
    Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
    y’=-115×3+18×2+105x+176′, x?-?; -2115×3-6×2+9x+12′, x?[-2; +?)?y’=-15(x2+12x+35), x?-?; -215×2-4x+3, x?[-2; +?)
    Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
    limx>-2-0y'(x)=limx>-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx>-2+0y'(x)=limx>-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3
    Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что
    y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
    Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg ?x=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции  обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.
    Когда x?-?; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x?(-2; +?) получаем 15(x2-4x+3)=0.
    Решим:
    -15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4×1=-12+42=-5?-?; -2×2=-12-42=-7?-?; -2   15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4×3=4-42=1?-2; +?x4=4+42=3?-2; +?
    Вычисляем соответствующие значения функции
    y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43
    Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.
    Рассмотрим графическое изображение решения.

    Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
    Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x?-?; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x?(-2; +?), тогда 15(x2-4x+3)=85.
    Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
    -15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0
    Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
    15(x2-4x+3)=85x2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36x1=4-362=-1?-2; +?x2=4+362=5?-2; +?
    Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
    y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83
    Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.
    Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные  в точках -1; 415, 5; 83.

  2. Mister Norm Ответить

    В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:
    касательная проходит через точку, лежащую на кривой (задача 1);
    касательная проходит через точку, не лежащую на кривой (задача 2).
    Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2).
    Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как
    1. a = 3 – абсцисса точки касания.
    2. f(3) = – 2.
    3. f ‘(x) = x2 – 4, f ‘(3) = 5.
    y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.
    Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).
    Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ­ 6 (рис. 2).
    1. a – абсцисса точки касания.
    2. f(a) = – a2 – 4a + 2.
    3. f ‘(x) = – 2x – 4, f ‘(a) = – 2a – 4.
    4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.
    Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.
    6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
    a2 + 6a + 8 = 0 ^ a1 = – 4, a2 = – 2.
    Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.
    Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.
    Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:
    касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);
    касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).
    Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3×2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.
    Решение.
    1. a – абсцисса точки касания.
    2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.
    3. f ‘(x) = 3×2 – 6x, f ‘(a) = 3a2 – 6a.
    Но, с другой стороны, f ‘(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).
    4. 1) a = – 1;
    2) f(– 1) = – 1;
    3) f ‘(– 1) = 9;
    4) y = – 1 + 9(x + 1);
    y = 9x + 8 – уравнение касательной;
    1) a = 3;
    2) f(3) = 3;
    3) f ‘(3) = 9;
    4) y = 3 + 9(x – 3);
    y = 9x – 24 – уравнение касательной.
    Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5×2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).
    Решение. Из условия f ‘(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.
    1. a = 4 – абсцисса точки касания.
    2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
    3. f ‘(4) = 4 – 3 = 1.
    4. y = – 3 + 1(x – 4).
    y = x – 7 – уравнение касательной.
    Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи.
    1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2×2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).
    Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.
    1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
    2. f(3) = 1.
    3. f ‘(x) = 4x – 5, f ‘(3) = 7.
    4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.
    Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем

    Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен .
    Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.
    Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда

    1. – абсцисса второй точки касания.
    2.
    3.
    4.
    – уравнение второй касательной.
    Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k1•k2 = – 1.
    2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций

    Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).
    1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x2 + x + 1.
    2. f(a) = a2 + a + 1.
    3. f ‘(a) = 2a + 1.
    4. y = a2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2.
    1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции
    2.
    3. f ‘(c) = c.
    4.
    Так как касательные общие, то

    Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные.
    Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных.
    3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x2 + bx + c?
    Решение.
    Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t2, а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p2.
    Составим и решим систему уравнений

    Ответ:

  3. Mazushicage Ответить

    Как всегда начинаем с области определения функции. В нашем примере функция определена на всем множестве действительных чисел. Раскроем знак модуля, для этого рассмотрим два промежутка и :

    Продифференцируем функцию:

    При x=-2 производная не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны:

    Таким образом, вычислив значение функции при x=-2, мы можем дать ответ на пункт а): , касательная к графику функции не существует в точке (-2;-2).
    b) Касательная параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен нулю (тангенс угла наклона равен нулю). Так как , то нам нужно найти все значения х, при которых производная функции обращается в ноль. Эти значения и будут абсциссами точек касания, в которых касательная параллельна оси Ox.
    При решаем уравнение , а при – уравнение :

    Осталось вычислить соответствующие значения функции:

    Поэтому, – искомые точки графика функции.
    Графическая иллюстрация.
    График исходной функции изображен черной линией, красными точками отмечены найденные точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

    c) Если две прямые на плоскости параллельны, то их угловые коэффициенты равны (об этом написано в статье параллельные прямые, параллельность прямых). Исходя из этого утверждения, нам нужно найти все точки графика функции, в которых угловой коэффициент касательной равен восьми пятым. То есть, нам нужно решить уравнение . Таким образом, при решаем уравнение , а при – уравнение .
    Дискриминант первого уравнения отрицателен, следовательно, оно не имеет действительных корней:

    Второе уравнение имеет два действительных корня:

    Находим соответствующие значения функции:

    В точках касательные к графику функции параллельны прямой .
    Графическая иллюстрация.
    График функции изображен черной линией, красной линией показан график прямой , синими линиями показаны касательные к графику функции в точках .

  4. hvasnpure Ответить

    Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.
    Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.
    Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):

    Строгое определение касательной даётся с помощью определения производной функции, но пока мы освоим техническую часть вопроса. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая, которая касается графика функции в единственной точке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.
    Применительно к нашему случаю: при касательная (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .
    И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой .
    Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой ?
    Общая формула знакома нам еще со школы:

    Значение нам уже дано в условии.
    Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке :

    На следующем этапе находим производную:

    Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели):

    Подставляем значения , и в формулу :


    Таким образом, уравнение касательной:

    Это «школьный» вид уравнения прямой с угловым коэффициентом. В высшей математике уравнение прямой на плоскости принято записывать в так называемой общей форме , поэтому перепишем найденное уравнение касательной в соответствии с традицией:

    Очевидно, что точка должна удовлетворять данному уравнению:

    – верное равенство.
    Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке , то выполненная подстановка нам ничем не поможет.
    Рассмотрим еще два примера.
    Пример 5
    Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
    Уравнение касательной составим по формуле
    1) Вычислим значение функции в точке :

    2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции:

    3) Вычислим значение производной в точке :

    4) Подставим значения , и в формулу :





    Готово.
    Выполним частичную проверку:
    Подставим точку в найденное уравнение:

    – верное равенство.
    Пример 6
    Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
    Полное решение и образец оформления в конце урока.
    В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду.

  5. YouTube Gamer Pro Ответить

    Лекция: Уравнение касательной к графику функции
    Если некоторая прямая проходит через точку с координатами (х0; f (х0)), а угол наклона данной прямой равен производной функции в данной токе, то такую прямую называют касательной к графику.
    Обратите внимание, если не существует производной графика в данной точке, то и не может существовать касательной, или же данная касательная перпендикулярна к оси ОХ. Второй случай можно наблюдать в результате проведения касательной для графика функции арксинуса.
    Итак, давайте рассмотрим задание касательной. Мы знаем, что для задания любой прямой, необходимо воспользоваться формулой y = kx + b.
    Коэффициент k показывает, под каким углом будет располагаться прямая относительно оси ОХ. Если данный коэффициент больше нуля, то угол наклона между касательной и осью ОХ острый, если же коэффициент отрицательный, то угол между осью ОХ и касательной тупой.
    Но давайте возвратимся к тому, что такое угловой коэффициент и как он находится. С прошлых вопросов мы помним, что угловой коэффициент – это производная функции в некоторой точке х0.
    Чтобы задать уравнение касательной, необходимо воспользоваться формулой:

    Итак, давайте рассмотрим подробнее, для этого необходимо провести аналогию между первоначальным уравнением прямой и уравнением касательной.
    Отсюда следует, что для нахождения коэффициента k, необходимо найти производную в рассматриваемой точке.
    Давайте найдем уравнение прямой для функции у = х3 в точке х0 = 3.
    1. Находим производную данной функции:
    y’ = 3×2.
    2. Как уже было сказано ранее, коэффициент – это производная функции в некоторой точке, поэтому
    y'(3) = 3* 32 = 27.
    3. Как видно из уравнения касательной, нам так же необходимо найти и значение функции в рассматриваемой точке f(x0):
    f(3) = 33 = 27.
    Совершенно случайно получилось так, что значение производной в точке совпало со значением функции в заданной точке. Обратите внимание, что это просто совпадения и НЕ обязательно y’ = f(x0).
    4. Теперь давайте составим уравнение касательной по заданной формуле:
    у = 27 * (х – 3) + 27.
    Чтобы получить конечно уравнение, необходимо сделать некоторые преобразования:
    у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х  – 54.
    То есть уравнение касательной:
    у = 27х  – 54.
    Найти уравнение касательной достаточно просто, главное не запутаться в формуле. Для этого её необходимо просто выучить.
    Предыдущий урок
    Следующий урок

  6. Holdik Ответить

    Существует 3 основных варианта задач, в которых необходимо написать уравнение касательной.
    Первый вариант – дана точка касания A(x; y).
    Второй вариант – известен коэффициент наклона касательной, другими словами значение производной заданной функции y=f(x) в точке A(x; y).
    Третий вариант – заданы координаты точки, через которую проходит касательная, но она не является точкой касания.
    Рассмотрим задачи, которые представляют эти варианты.
     
    Написать уравнение касательной к графику функции  в точке A(1; 29).
    а) Значение функции в точке A(1; 29):
    y(1)=29 – согласно условию.
    б) Рассчитаем значение производной в заданной, изначально вычислив производную функции у:


    Подставим данные значения в уравнение касательной:

    Ответ. .
    Написать уравнение прямой, которая является касательной к кривой  и проходит через точку M(2; 3).
    а) Сначала выполним проверку, является ли точка M(2; 3) точкой касания. Для этого подставим ее координаты в уравнение функции:

    Получили неверное равенство, что приводит к выводу: точка M(2; 3) не является точкой касания.
    б) Найдем абсциссу точки касания а.
    По условию точка M(2; 3) должна лежать на касательной к графику функции . То есть если подставить ее координаты в уравнение касательной, то должно получиться правильное равенство:

    Значение функции в точке a равно .
    Для нахождения значения производной функции в точке а вычислим производную данной функции:


    Подставим эти выражения в уравнение касательной:




    Найдем корни этого уравнения:
    \[D=(-4)^2-4\cdot1\cdot12=-32
Корней у данного уравнения нет, поэтому прямая, которая является касательной к кривой <img src= и проходит через точку M(2; 3), не существует.
    Ответ. Искомая касательная не существует.

  7. с е к р е т Ответить

    Уравнение касательной к кривой у = f(х) в точке x0 примет вид

    Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции
    1. Обозначить абсциссу точки касания буквой x0.
    2. Вычислить f(х0).
    3. Найти и вычислить .
    4. Подставить найденные числаx0, f(х0), в формулу
    Пример 1.Составить уравнение касательной к графику функции в точке x=1.
    Решение:
    Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что
    1. x0=1.
    2.
    3.
    4. Подставим найденные числа в формулу.
    ;
    y=2–x.
    Ответ:y=2–x.
    На рисунке 6 изображена гипербола , построенная прямая y=2–x.
    Рисунок 6 – гипербола
    Пример 2.К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой y=4x–5.
    Решение.Чтобы провести касательную к функции необходимо найти составить ее уравнение. Искомая касательная должна быть параллельна прямой y=4x–5. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой:k = 4, а .
    Таким образом, значение x0мы можем найти из уравнения .
    Имеем:
    Из уравнения , т.е. , находим: x1=2, x2=-2. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.
    Далее действуем по алгоритму.
    1. x1=2, x2=-2.
    2.
    3.
    4. Подставим значения x1=2, в формулу и получим , т.е.
    Подставим значения x2 = –2, в формулу и получим , т.е.
    Ответ:

  8. Kagashicage Ответить

    Рассмотрим следующий рисунок:

    На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ?x; f(a + ?x)) графика проведена секущая МР.
    Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ?х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

    Касательная к графику функции

    Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.
    При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f – это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

    Уравнение касательной

    Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:
    y = k*x + b.
    Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0), то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0)*x + b.
    Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.
    f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) – f’(x0)*x0.
    Подставляем полученное значение в уравнение касательной:
    y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) – f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x – x0).
    y = f(x0) + f’(x0)*(x – x0).
    Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2*x2 + 1 в точке х = 2.
    1. х0 = 2.
    2. f(x0) = f(2) = 22 – 2*22 + 1 = 1.
    3. f’(x) = 3*x2 – 4*x.
    4. f’(x0) = f’(2) = 3*22 – 4*2 = 4.
    5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x – 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x – 7.
    Ответ: y = 4*x – 7.
    Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):
    1. Определить х0.
    2. Вычислить f(x0).
    3. Вычислить f’(x)
    4. Вычислить f’(x0)
    5. Подставить полученные значения в уравнение касательной y= f(x0) + f’(x0)*(x – x0).

    Нужна помощь в учебе?


  9. Нетусвету Ответить

    На современном этапе развития
    образования в качестве одной из основных его
    задач выступает формирование творчески мыслящей
    личности. Способность же к творчеству у учащихся
    может быть развита лишь при условии
    систематического привлечения их к основам
    исследовательской деятельности. Фундаментом для
    применения учащимися своих творческих сил,
    способностей и дарований являются
    сформированные полноценные знания и умения. В
    связи с этим проблема формирования системы
    базовых знаний и умений по каждой теме школьного
    курса математики имеет немаловажное значение.
    При этом полноценные умения должны являться
    дидактической целью не отдельных задач, а
    тщательно продуманной их системы. В самом
    широком смысле под системой понимается
    совокупность взаимосвязанных взаимодействующих
    элементов, обладающая целостностью и устойчивой
    структурой.
    Рассмотрим методику обучения
    учащихся составлению уравнения касательной к
    графику функции. По существу, все задачи на
    отыскание уравнения касательной сводятся к
    необходимости отбора из множества (пучка,
    семейства) прямых тех из них, которые
    удовлетворяют определенному требованию
    – являются касательными к графику некоторой
    функции. При этом множество прямых, из которого
    осуществляется отбор, может быть задано двумя
    способами:
    а) точкой, лежащей на
    плоскости xOy (центральный пучок прямых);
    б) угловым коэффициентом (параллельный пучок
    прямых).
    В связи с этим при изучении
    темы «Касательная к графику функции» с целью
    вычленения элементов системы нами были выделены
    два типа задач:
    1) задачи на касательную,
    заданную точкой, через которую она проходит;
    2) задачи на касательную, заданную ее угловым
    коэффициентом.
    Обучение решению задач на
    касательную осуществлялось при помощи
    алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем [2].
    Его принципиальное отличие от уже известных
    заключается в том, что абсцисса точки касания
    обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем
    уравнение касательной приобретает вид
    y = f(a) + f ‘(a)(x – a)
    (сравните с y = f(x0) + f ‘(x0)(x
    – x0)). Этот методический прием, на наш
    взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче
    осознать, где в общем уравнении касательной
    записаны координаты текущей точки, а где
    – точки касания.
    Алгоритм
    составления уравнения касательной к графику
    функции y = f(x)

    1. Обозначить буквой a
    абсциссу точки касания.
    2. Найти f(a).
    3. Найти f ‘(x) и f ‘(a).
    4. Подставить найденные числа a, f(a), f ‘(a) в
    общее уравнение касательной y = f(a) = f ‘(a)(x – a).
    Этот алгоритм может быть
    составлен на основе самостоятельного выделения
    учащимися операций и последовательности их
    выполнения.
    Практика показала, что
    последовательное решение каждой из ключевых
    задач при помощи алгоритма позволяет
    формировать умения написания уравнения
    касательной к графику функции поэтапно, а шаги
    алгоритма служат опорными пунктами действий.
    Данный подход соответствует теории поэтапного
    формирования умственных действий, разработанной
    П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной [3].
    В первом типе задач были
    выделены две ключевые задачи:
    касательная проходит через
    точку, лежащую на кривой (задача 1);
    касательная проходит через
    точку, не лежащую на кривой (задача 2).
    Задача 1. Составьте уравнение
    касательной к графику функции в точке M(3; – 2).
    Решение. Точка M(3; – 2)
    является точкой касания, так как
    1. a = 3 – абсцисса точки
    касания.
    2. f(3) = – 2.
    3. f ‘(x) = x2 – 4, f ‘(3) = 5.
    y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение
    касательной.
    Задача 2. Напишите уравнения
    всех касательных к графику функции y = – x2
    – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).
    Решение. Точка M(– 3; 6) не
    является точкой касания, так как f(– 3) ­ 6 (рис. 2).
    1. a – абсцисса точки
    касания.
    2. f(a) = – a2 – 4a + 2.
    3. f ‘(x) = – 2x – 4, f ‘(a) = – 2a – 4.
    4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a)
    – уравнение касательной.
    Касательная проходит через
    точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты
    удовлетворяют уравнению касательной.
    6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a +
    2)(– 3 – a),
    a2 + 6a + 8 = 0 ^ a1 = – 4, a2 = – 2.
    Если a = – 4, то уравнение
    касательной имеет вид y = 4x + 18.
    Если a = – 2, то уравнение
    касательной имеет вид y = 6.
    Во втором типе ключевыми
    задачами будут следующие:
    касательная параллельна
    некоторой прямой (задача 3);
    касательная проходит под
    некоторым углом к данной прямой (задача 4).
    Задача 3. Напишите уравнения
    всех касательных к графику функции y = x3 – 3×2
    + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.
    Решение.
    1. a – абсцисса точки
    касания.
    2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.
    3. f ‘(x) = 3×2 – 6x, f ‘(a) = 3a2 – 6a.
    Но, с другой стороны, f ‘(a) = 9
    (условие параллельности). Значит, надо решить
    уравнение 3a2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3
    (рис. 3).
    4. 1) a = – 1;
    2) f(– 1) = – 1;
    3) f ‘(– 1) = 9;
    4) y = – 1 + 9(x + 1);
    y = 9x + 8 – уравнение
    касательной;
    1) a = 3;
    2) f(3) = 3;
    3) f ‘(3) = 9;
    4) y = 3 + 9(x – 3);
    y = 9x – 24 – уравнение
    касательной.
    Задача 4. Напишите уравнение
    касательной к графику функции y = 0,5×2 – 3x + 1,
    проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).
    Решение. Из условия f ‘(a) =
    tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.
    1. a = 4 – абсцисса точки
    касания.
    2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
    3. f ‘(4) = 4 – 3 = 1.
    4. y = – 3 + 1(x – 4).
    y = x – 7 – уравнение
    касательной.
    Несложно показать, что
    решение любой другой задачи сводится к решению
    одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим
    в качестве примера следующие две задачи.
    1. Напишите уравнения
    касательных к параболе y = 2×2 – 5x – 2, если
    касательные пересекаются под прямым углом и одна
    из них касается параболы в точке с абсциссой 3
    (рис. 5).
    Решение. Поскольку дана
    абсцисса точки касания, то первая часть решения
    сводится к ключевой задаче 1.
    1. a = 3 – абсцисса точки
    касания одной из сторон прямого угла.
    2. f(3) = 1.
    3. f ‘(x) = 4x – 5, f ‘(3) = 7.
    4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой
    касательной.
    Пусть a – угол наклона первой
    касательной. Так как касательные
    перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из
    уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем

    Это значит, что угловой
    коэффициент второй касательной равен .
    Дальнейшее решение сводится к
    ключевой задаче 3.
    Пусть B(c; f(c)) есть точка
    касания второй прямой, тогда

    1. – абсцисса второй точки касания.
    2.
    3.
    4.
    – уравнение
    второй касательной.
    Примечание. Угловой
    коэффициент касательной может быть найден проще,
    если учащимся известно соотношение
    коэффициентов перпендикулярных прямых k1•k2
    = – 1.
    2. Напишите уравнения всех
    общих касательных к графикам функций

    Решение. Задача сводится к
    отысканию абсцисс точек касания общих
    касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в
    общем виде, составлению системы уравнений и
    последующему ее решению (рис. 6).
    1. Пусть a – абсцисса
    точки касания, лежащей на графике функции y = x2
    + x + 1.
    2. f(a) = a2 + a + 1.
    3. f ‘(a) = 2a + 1.
    4. y = a2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2.
    1. Пусть c – абсцисса
    точки касания, лежащей на графике функции
    2.
    3. f ‘(c) = c.
    4.
    Так как касательные общие, то

    Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3
    – общие касательные.
    Основная цель рассмотренных
    задач – подготовить учащихся к
    самостоятельному распознаванию типа ключевой
    задачи при решении более сложных задач,
    требующих определенных исследовательских
    умений (умения анализировать, сравнивать,
    обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу
    таких задач можно отнести любую задачу, в которую
    ключевая задача входит как составляющая.
    Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную
    задаче 1) на нахождение функции по семейству ее
    касательных.
    3. При каких b и c прямые y = x и
    y = – 2x являются касательными к графику функции
    y = x2 + bx + c?
    Решение.
    Пусть t – абсцисса точки
    касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c; p
    – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с
    параболой y = x2 + bx + c. Тогда уравнение
    касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t2, а
    уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p +
    b)x + c – p2.
    Составим и решим систему
    уравнений

    Ответ:
    Задачи для
    самостоятельного решения

    1. Напишите уравнения
    касательных, проведенных к графику функции y = 2×2
    – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x +
    3.
    Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.
    2. При каких значениях a
    касательная, проведенная к графику функции y = x2
    – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1,
    проходит через точку M(2; 3)?
    Ответ: a = 0,5.
    3. При каких значениях p
    прямая y = px – 5 касается кривой y = 3×2 – 4x – 2?
    Ответ: p1 = – 10, p2
    = 2.
    4. Найдите все общие точки
    графика функции y = 3x – x3 и касательной,
    проведенной к этому графику через точку P(0; 16).
    Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).
    5. Найдите кратчайшее
    расстояние между параболой y = x2 + 6x + 10 и
    прямой
    Ответ:
    6. На кривой y = x2 – x + 1
    найдите точку, в которой касательная к графику
    параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.
    Ответ: M(2; 3).
    7. Напишите уравнение
    касательной к графику функции y = x2 + 2x –
    | 4x |, которая касается его в двух точках.
    Сделайте чертеж.
    Ответ: y = 2x – 4.
    8. Докажите, что прямая y = 2x
    – 1 не пересекает кривую y = x4 + 3×2 + 2x.
    Найдите расстояние между их ближайшими точками.
    Ответ:
    9. На параболе y = x2
    взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3.
    Через эти точки проведена секущая. В какой точке
    параболы касательная к ней будет параллельна
    проведенной секущей? Напишите уравнения секущей
    и касательной.
    Ответ: y = 4x – 3 – уравнение
    секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.
    10. Найдите угол q между касательными
    к графику функции y = x3 – 4×2 + 3x + 1,
    проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.
    Ответ: q = 45°.
    11. В каких точках
    касательная к графику функции образует с осью Ox угол в 135°?
    Ответ: A(0; – 1), B(4; 3).
    12. В точке A(1; 8) к кривой проведена
    касательная. Найдите длину отрезка касательной,
    заключенного между осями координат.
    Ответ:
    13. Напишите уравнение всех
    общих касательных к графикам функций y = x2 –
    x + 1 и y = 2×2 – x + 0,5.
    Ответ: y = – 3x и y = x.
    14. Найдите расстояние между
    касательными к графику функции параллельными оси абсцисс.
    Ответ:
    15. Определите, под какими
    углами парабола y = x2 + 2x – 8 пересекает ось
    абсцисс.
    Ответ: q1 = arctg 6, q2 = arctg (– 6).
    16. На графике функции найдите все
    точки, касательная в каждой из которых к этому
    графику пересекает положительные полуоси
    координат, отсекая от них равные отрезки.
    Ответ: A(– 3; 11).
    17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y
    = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите
    точку K пересечения прямых, касающихся параболы в
    точках M и N.
    Ответ: K(1; – 9).
    18. При каких значениях b
    прямая y = 9x + b является касательной к графику
    функции y = x3 – 3x + 15?
    Ответ: – 1; 31.
    19. При каких значениях k
    прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с
    графиком функции y = 2×2 + 3x – 2? Для найденных
    значений k определите координаты точки.
    Ответ: k1 = – 5, A(– 2;
    0); k2 = 11, B(2; 12).
    20. При каких значениях b
    касательная, проведенная к графику функции y = bx3
    – 2×2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2,
    проходит через точку M(1; 8)?
    Ответ: b = – 3.
    21. Парабола с вершиной на
    оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1;
    2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.
    Ответ:
    22. При каком значении
    коэффициента k парабола y = x2 + kx + 1 касается
    оси Ox?
    Ответ: k = д 2.
    23. Найдите углы между
    прямой y = x + 2 и кривой y = 2×2 + 4x – 3.
    Ответ:
    24. Определите, под какими
    углами пересекаются графики функций y = 2×2 +
    3x – 3 и y = x2 + 2x + 3.
    Ответ:
    25. При каком значении k угол
    между кривыми y = x2 + 2x + k и y = x2 + 4x + 4
    будет равен 45°?
    Ответ: k = – 3.
    26. Найдите все значения x0,
    при каждом из которых касательные к графикам
    функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в
    абсциссой x0 параллельны.
    Ответ:
    27. Под каким углом видна
    окружность x2 + y2 = 16 из точки (8; 0)?
    Ответ:
    28. Найдите геометрическое
    место точек, из которых парабола y = x2 видна
    под прямым углом?
    Ответ: прямая
    29. Найдите расстояние между
    касательными к графику функции образующими с
    положительным направлением оси Ox угол 45°.
    Ответ:
    30. Найдите геометрическое
    место вершин всех парабол вида y = x2 + ax + b,
    касающихся прямой y = 4x – 1.
    Ответ: прямая y = 4x + 3.
    Литература
    1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я.,
    Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа: 3600 задач
    для школьников и поступающих в вузы. – М., Дрофа,
    1999.
    2. Мордкович А. Семинар четвертый для молодых
    учителей. Тема «Приложения производной». – М.,
    «Математика», № 21/94.
    3. Формирование знаний и умений на основе
    теории поэтапного усвоения умственных действий.
    / Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной.
    – М., МГУ, 1968.

  10. Delagra Ответить

    Касательная к графику функции

    Касательная – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис.1).
    Другое определение: это предельное положение секущей при ?x>0.
    Пояснение: Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.

    Строгое определение касательной:
    Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке xо, – это прямая, проходящая через точку (xо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ?(xо).
    Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
    Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:

    k = tg ?
    Здесь угол ? – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).
    Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).
    Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
    Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
    Если угол наклона прямой равен 90? (?/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4).
    Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке xо:

    y = f(xо) + f ?(xо) (x – xо)


    Алгоритм решения уравнения касательной к графику функции y = f(x):
    1. Вычислить f(xо).
    2. Вычислить производные f ?(x) и f ?(xо).
    3. Внести найденные числа xо, f(xо), f ?(xо) в уравнение касательной и решить его.
    Пример: Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2×2 + 1 в точке с абсциссой 2.
    Решение.
    Следуем алгоритму.
    1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f(xо):
    f(xо) = f(2) = 23 – 2 • 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
    2) Находим f ?(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х2 = 2х, а х3 = 3х2. Значит:
    f ?(x) = 3х2 – 2 • 2х = 3х2 – 4х.
    Теперь, используя полученное значение f ?(x), вычислим f ?(xо):
    f ?(xо) = f ?(2) = 3 • 22 – 4 • 2 = 12 – 8 = 4.
    3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f(xо) = 1, f ?(xо) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:
    у = f(xо) + f ?(xо) (x – xо) = 1 + 4 • (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.
    Ответ: у = 4х – 7.

  11. Zulusar Ответить

    Здесь необходимо отсеять неверные определения касательной.
    Толковый словарь Ушакова; Касательная – прямая линия, имеющая одну общую точку с кривой.
    Определение верно для окружности рис.1, в общем случае неверно рис.2.

    Академический словарь, за ним повторяет толковый словарь Кузнецова, Ефремовой и т.д.: Касательная – Прямая, имеющая общую точку с кривой, но не пересекающая её.
    Определение в общем случае неверно рис.3.

    Определение: Касательная прямая – прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

    Формула уравнения касательной

    Если существует конечная производная f'(x0) то уравнение касательной к графику функции y=f(x) выражается следующим уравнением:

    Особый случай когда f'(x0) бесконечна, разберем отдельно.
    Пример 1. Найти уравнение касательной к графику функции y=x2 в точке 2.
    Алгоритм решения следующий:
    1. Находим производную функции:

    2. Находим значение производной в точке x0=2:

    3. Находим значение функции в точке x0=2:

    4. Найденные значения подставляем в формулу уравнения касательной:

    5. Получаем уравнение касательной в точке x0=2:

    Получить уравнение касательной онлайн, а также графическое решение, можно с помощью данного калькулятора.

  12. Sabersong Ответить

    Видеоурок «Уравнение касательной к графику функции» демонстрирует учебный материал для освоения темы. В ходе видеоурока представлен теоретический материал, необходимый для формирования понятия об уравнении касательной к графику функции в данной точке, алгоритм нахождения такой касательной, описаны примеры решения задач с использованием изученного теоретического материала.
    В видеоуроке используются методы, улучшающие наглядность материала. В представлении вставлены рисунки, схемы, даются важные голосовые комментарии, применяется анимация, выделение цветом и другими инструментами.
    Видеоурок начинается с представления темы урока и изображения касательной к графику некоторой функции y=f(x) в точке M(a;f(a)). Известно, что угловой коэффициент касательной, построенной к графику в данной точке, равен производной функции f?(a) в данной точке. Также из курса алгебры известно уравнение прямой y=kx+m. Схематично представлено решение задачи нахождения уравнения касательной в точке, которая сводится к нахождению коэффициентов k, m. Зная координаты точки, принадлежащей графику функции, можем найти m, подставив значение координат в уравнение касательной f(a)=ka+m. Из него находим m=f(a)-ka. Таким образом, зная значение производной в данной точке и координаты точки, можно представить уравнение касательной таким образом y=f(a)+f?(a)(x-a).

    Далее рассматривается пример составления уравнения касательной, следуя схеме. Дана функция y=x2, x=-2. Приняв а=-2, находим значение функции в данной точке f(a)= f(-2)=(-2)2=4. Определяем производную функции f?(х)=2х. В данной точке производная равна f?(a)= f?(-2)=2·(-2)=-4. Для составления уравнения найдены все коэффициенты а=-2, f(a)=4, f?(a)=-4, поэтому уравнение касательной у=4+(-4)(х+2). Упростив уравнение, получаем у=-4-4х.
    В следующем примере предлагается составить уравнение касательной в начале координат к графику функции y=tgx. В данной точке а=0, f(0)=0, f?(х)=1/cos2x, f?(0)=1. Таким образом, уравнение касательной выглядит у=х.
    В качестве обобщения процесс составления уравнения касательной к графику функции в некоторой точке оформляется в виде алгоритма, состоящего из 4 шагов:
    Вводится обозначение а абсциссы точки касания;
    Вычисляется f(a);
    Определяется f?(х) и вычисляется f?(a). В формулу уравнения касательной y=f(a)+f?(a)(x-a) подставляются найденные значения а, f(a), f?(a).
    В примере 1 рассматривается составление уравнения касательной к графику функции у=1/х в точке х=1. Для решения задачи пользуемся алгоритмом. Для данной функции в точке а=1 значение функции f(a)=-1. Производная функции f?(х)=1/х2. В точке а=1 производная f?(a)= f?(1)=1. Используя полученные данные, составляется уравнение касательной у=-1+(х-1), или у=х-2.
    В примере 2 необходимо найти уравнение касательной к графику функции у=х3+3х2-2х-2. Основное условие – параллельность касательной и прямой у=-2х+1. Сначала находим угловой коэффициент касательной, равный угловому коэффициенту прямой у=-2х+1. Так как f?(a)=-2 для данной прямой, то k=-2 и для искомой касательной. Находим производную функции (х3+3х2-2х-2)?=3х2+6х-2. Зная, что f?(a)=-2, находим координаты точки 3а2+6а-2=-2. Решив уравнение, получаем а1=0, а2=-2. Используя найденные координаты, можно найти уравнение касательной с помощью известного алгоритма. Находим значение функции в точках f(а1)=-2, f(а2)=-18. Значение производной в точке f?( а1)= f?( а2)=-2. Подставив найденные значения в уравнение касательной, получим для первой точки а1=0 у=-2х-2, а для второй точки а2=-2 уравнение касательной у=-2х-22.
    В примере 3 описывается составление уравнения касательной для ее проведения в точке (0;3) к графику функции y=√x. Решение производится по известному алгоритму. Точка касания имеет координаты х=а, где а>0. Значение функции в точке f(a)=√x. Производная функции f?(х)=1/2√х, поэтому в данной точке f?(а)=1/2√а. Подставив все полученные значения в уравнение касательной, получаем у=√а+(х-а)/2√а. Преобразовав уравнение, получаем у=х/2√а+√а/2. Зная, что касательная проходит через точку (0;3), находим значение а. Находим а из 3=√а/2. Отсюда √а=6, а=36. Находим уравнение касательной у=х/12+3. На рисунке изображается график рассматриваемой функции и построенная искомая касательная.
    Ученикам напоминаются приближенные равенства Δy=≈f?(x)Δxи f(x+Δx)-f(x)≈f?(x)Δx. Принимая х=а, x+Δx=х, Δx=х-а, получаем f(х)- f(а)≈f?(а)(х-а), отсюда f(х)≈f(а)+f?(а)(х-а).
    В примере 4 необходимо найти приближенное значение выражение 2,0036. Так как необходимо отыскать значение функции f(х)=х6 в точке х=2,003, можем воспользоваться известной формулой, приняв f(х)=х6, а=2, f(а)= f(2)=64, f?(x)=6х5. Производная в точке f?(2)=192. Поэтому 2,0036≈65-192·0,003. Вычислив выражение, получаем 2,0036≈64,576.
    Видеоурок «Уравнение касательной к графику функции» рекомендуется использовать на традиционном уроке математики в школе. Учителю, осуществляющему обучению дистанционно, видеоматериал поможет более понятно объяснить тему. Видео может быть рекомендовано для самостоятельного рассмотрения учениками при необходимости углубить их понимание предмета.
    ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
    Нам известно, что если точка М (а; f(а)) (эм с координатами а и эф от а) принадлежит графику функции у =f (x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f'(a) (эф штрих от а).
    Пусть даны функция у = f(x) и точка М (a; f(a)), a также известно, что существует f´(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx+m (игрек равный ка икс плюс эм), поэтому задача состоит в отыскании значений коэффициентов k и m.(ка и эм)
    Угловой коэффициент k= f'(a). Для вычисления значения m воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: f(a) = ka+m, откуда находим, что m = f(a) – ka.
    Осталось подставить найденные значения коэффициентов kи mв уравнение прямой:
    y = kx+m;
    y = kx+(f(a) –ka);
    y = f(a)+k(x–a);
    y=f(a)+f'(a) (x–a). (игрек равен эф от а плюс эф штрих от а, умноженный на икс минус а).

    Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х=а.
    Если, скажем, у = х2 и х= –2 (т.е. а = –2), то f(а) = f(–2) = (–2)2 =4; f´(x) = 2х, значит, f'(a) = f´(–2) = 2·(–2) = –4. ( то эф от а равно четыре, эф штрих от икс равно два икс, значит эф штрих от а равно минус четыре)
    Подставив в уравнение найденные значения a = –2, f(a) = 4, f'(a) = –4, получим: у = 4+(–4)(х+2), т.е. у = –4х–4.
    (игрек равен минус четыре икс минус четыре)
    Составим уравнение касательной к графику функции у = tgx(игрек равен тангенс икс) в начале координат. Имеем: а = 0, f(0) = tg0=0;
    f'(x)= , значит, f'(0) = l. Подставив в уравнение найденные значения а=0, f(a)=0, f´(a) = 1, получим: у=х.
    Обобщим наши шаги нахождения уравнения касательной к графику функции в точке х с помощью алгоритма.
    АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x):
    1) Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
    2) Вычислить f (а).
    3) Найти f´(x) и вычислить f´(a).
    4) Подставить найденные числа a, f(a), f´(а) в формулуy=f(a)+f'(a) (x–a).
    Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции у = – в
    точке х = 1.
    Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере
    f(x) = –.
    1) a=1.
    2) f(a)=f(1)=– =–1
    3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
    4) Подставим найденные три числа: а = 1, f(а) = –1, f'(а) = 1 в формулу. Получим: у = –1+(х–1), у = х–2.
    Ответ: у = х–2.
    Пример 2. Дана функция у = х3+3х2–2х–2. Записать уравнение касательной к графику функции у= f(х), параллельной прямой у = –2х +1.
    Решение.
    Используя алгоритм составления уравнения касательной, учтем, что в данном примере f(x) = х3+3х2–2х–2, но здесь не указана абсцисса точки касания.
    Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = –2х+1. А параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту заданной прямой: kкас. = –2. Hokкас.= f'(a). Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f ´(а) = –2.
    Найдем производную функции у=f(x):
    f'(x)= (х3+3х2–2х–2)´ =3х2+6х–2; f'(а)= 3а2+6а–2.
    Из уравнения f'(а) = –2, т.е. 3а2+6а–2 =–2 находим а1 =0, a2 =–2. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 0, другая в точке с абсциссой –2.
    Теперь можно действовать по алгоритму.
    1) а1=0, а2=–2.
    2) f(a1)= 03+3·02–2•0–2=–2; f(a2)=(–2)3+3·(–2)2–2·(–2)–2=6;
    3) f'(a1) = f'(a2) = –2.
    4) Подставив значения a1= 0, f(a1) =–2, f'(a1) = –2 в формулу, получим:
    у=–2–2(х–0), у=–2х–2.

    Подставив значения а2=–2, f(a2) =6, f'(a2)= –2 в формулу, получим:
    у=6–2(х+2), у=–2х+2.
    Ответ: у=–2х–2, у=–2х+2.
    Пример 3. Из точки (0; 3) провести касательную к графику функции у = . Решение. Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере f(x) = . Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее, действуем по алгоритму.
    1) Пусть х = а — абсцисса точки касания; ясно, что а >0.
    2) f(a)=.
    3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
    4) Подставив значения a, f(a) = , f'(a) = в формулу
    y=f (a) +f ‘(a) (x–a), получим:
    y=+(x-a);
    y=+.
    По условию касательная проходит через точку (0; 3). Подставив в уравнение значения х = 0, у = 3, получим: 3 = , и далее =6, a =36.
    Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение a =36 в уравнение, получим: y=+3
    Рис 1
    На рис. 1 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции у =, проведена прямая у = +3.
    Ответ: у = +3.
    Нам известно, что для функции y = f(x), имеющей производную в точке х, справедливо приближенное равенство: Δyf´(x)Δx (дельта игрек приближенно равно эф штрих от икс, умноженное на дельта икс)
    или, подробнее, f(x+Δx)–f(x) f´(x) Δx (эф от икс плюс дельта икс минус эф от икс приближенно равно эф штрих от икс на дельта икс).
    Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения:
    вместо х будем писать а,
    вместо х+Δxбудем писать х
    вместо Δх будем писать х–а.
    Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:
    f(x)–f(a)f´(a)(x–a)
    или
    f(x)f(a)+f´(a)(x–a). (эф от икс приближенно равно эф от а плюс эф штрих от а, умноженное на разность икса и а ).

    Пример 4. Найти приближенное значение числового выражения 2,0036.
    Решение. Речь идет об отыскании значения функции у = х6 в точке х = 2,003. Воспользуемся формулой f(x)f(a)+f´(a)(x–a), учтя, что в данном примере f(x)=x6, a = 2,f(a) = f(2) = 26=64; x = 2,003, f'(x) = 6×5 и, следовательно, f'(а) = f'(2) = 6·25=192.
    В итоге получаем:
    2,0036 64+192· 0,003, т.е. 2,0036=64,576.
    Если мы воспользуемся калькулятором, то получим:
    2,0036= 64,5781643…
    Как видите, точность приближения вполне приемлема.
    Ответ: 2,0036 =64,576.

  13. Fodi Ответить

    На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции  в точке  и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения  материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:
    Как найти производную?
    Производная сложной функции
    и
    Простейшие задачи с производными.
    Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически.
    Но сначала освежим воспоминания: если функция  дифференцируема в точке  (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке  можно найти по следующей формуле:

    Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается: если в точке  существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси  и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция  с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением:
     (ось ординат).
    Если же производной  не существует (например, производной от  в точке ), то, разумеется, не существует и общей касательной.
    Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:
    Что такое нормаль? Нормалью к графику функции  в точке  называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.
    Как найти уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его в общем виде . Далее «снимаем» нормальный вектор  и составляем уравнение нормали по точке  и направляющему вектору .
    Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции  в точке  выражается следующим уравнением:

    Особые случаи, когда  равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:
    Пример 1
    Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой  в точке, абсцисса которой равна .
    В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)
    Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:

    В данном случае:

    Найдём производную:

    Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции.
    Теперь вычислим производную в точке :

    Получено конечное число и это радует. Подставим  и  в формулу :

    Перебросим  наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде:


    Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле:

    Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума:

     – искомое уравнение.
    Ответ:
    Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки  должны удовлетворять каждому уравнению:

     – верное равенство.

     – верное равенство.
    И, во-вторых, векторы нормали  должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:
    , что и требовалось проверить.
    Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых.
    ! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная  и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!
    Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради:

    Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция  задаёт верхнюю дугу эллипса.
    Следующая задача для самостоятельного решения:
    Пример 2
    Составить уравнения касательной и нормали к графику функции  в точке .
    Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
    Теперь разберём два особых случая:
    1) Если производная в точке  равна нулю: , то уравнение касательной упростится:

    То есть, касательная будет параллельна оси .
    Соответственно, нормаль будет проходить через точку  параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .
    2) Если производная в точке  существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку  параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом:
    Всё просто:
    Пример 3
    Составить уравнения касательной и нормали к параболе  в точке . Сделать чертёж.
    Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.
    Решение: составим уравнение касательной .
    В данном случае
    Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:

    Таким образом:

    Поскольку касательная параллельна оси  (Случай №1), то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:

    Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:

    Ответ: ,
    В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.
    Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда :
    Пример 4
    Написать уравнение касательной и нормали к кривой  в точке .
    Краткое решение и ответ в конце урока
    Случай №2, в котором  на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению:
    Пример 5
    Найти уравнения касательной и нормали к графику функции  в точке
    Решение: в критической точке знаменатель производной  обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные  с помощью определения производной (см. конец статьи Производная по определению):

    Обе производные бесконечны, следовательно, в точке  существует общая вертикальная касательная:

    Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле:

    Для лучшего понимания задачи приведу чертёж:

    Ответ:
    Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции:

    Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
    если функция задана неявно?

    Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:
    Пример 6
    Найти уравнения касательной и нормали к кривой  в точке .
    Решение: судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.
    В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде  выглядит весьма туманной.
    Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .
    Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению:

    Получено верное равенство, значит, с точкой  всё в порядке.
    Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно:

    Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

    На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :

    Вот так-то!
    Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

    Составим уравнение нормали:

    Ответ:
    Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно,  – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:
    Пример 7
    Найти уравнение нормали к линии  в точке
    Хватит уже вымучивать касательную =)
    В данном случае легко выяснить, что это окружность  центром в точке  радиуса  и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.
    Краткое решение и ответ в конце урока.

    Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
    если функция задана параметрически?

    Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:
    Пример 8
    Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .
    Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.
    Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

    Найдём первую производную от параметрически заданной функции:

    И вычислим её значение при  :

    Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:

    Уравнение нормали:

    Ответ:
    В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:
    Пример 9
    Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .
    Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.
    Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)
    Спасибо за внимание и успехов!
    Решения и ответы:
    Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле:

    В данном случае:

    Таким образом:

    Уравнение нормали составим по формуле :

    Ответ:
    Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле:

    В данной задаче:

    Таким образом:

    В точке  касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали:

    Ответ:
    Пример 7: Решение: в данной задаче: .
    Найдём производную:

    Или:

    Подставим в выражение производной :

    Искомое уравнение нормали:

    Ответ:
    Пример 9: Решение: в данном случае:

    Найдём производную и вычислим её значение при :

    Уравнение нормали:

    Ответ:
    Автор: Емелин Александр

    Высшая математика для заочников и не только >>>
    (Переход на главную страницу)
    Как можно отблагодарить автора?
    Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

  14. TpaKToPuc Ответить

    Задание №1. Написать уравнения касательной и нормали к кривой x3 в точке M0 с абсциссой x0 = 2.
    Решение находим с помощью калькулятора.
    Запишем уравнения касательной в общем виде:
    yk = y0 + y'(x0)(x – x0)
    По условию задачи x0 = 2, тогда y0 = 23 = 8
    Теперь найдем производную:
    y’ = (x3)’ = 3•x2
    следовательно:
    f'(2) = 3•22 = 12
    В результате имеем:
    yk = y0 + y'(x0)(x – x0)
    yk = 8 + 12(x – 2)
    или
    yk = 12•x-16
    Запишем уравнения нормали в общем виде:

    В результате имеем:

    или
    yk = -1/12•x+49/6
    Задание №2. Написать уравнения касательной и нормали к кривой 1/3•x3-4•x+1 в точке M0 с абсциссой x0 = 3.
    Решение.
    Запишем уравнения касательной в общем виде:
    yk = y0 + y'(x0)(x – x0)
    По условию задачи x0 = 3, тогда y0 = -2
    Теперь найдем производную:
    y’ = (1/3•x3-4•x+1)’ = x2-4
    следовательно:
    f'(3) = 32-4 = 5
    В результате имеем:
    yk = y0 + y'(x0)(x – x0)
    yk = -2 + 5(x – 3)
    или
    yk = 5•x-17
    Запишем уравнения нормали в общем виде:

    В результате имеем:

    или
    yk = -1/5•x-7/5
    Пример №3. Составьте уравнение касательной к кривой y=4-x2 в точке с абсциссой x=1.
    Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: yk = y0 + y'(x0)(x – x0)
    По условию задачи x0 = 1, тогда y0 = 3. Теперь найдем производную: y’ = (4-x2)’ = -2x. следовательно: f'(1) = -2•1 = -2. В результате получаем уравнение касательной: yk = 3 -2(x – 1) или yk = 5-2x
    Перейти к онлайн решению своей задачи

  15. VideoAnswer Ответить

Добавить комментарий для YouTube Gamer Pro Отменить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *