Какие числа являются одними из допустимых значений переменной в дроби?

5 ответов на вопрос “Какие числа являются одними из допустимых значений переменной в дроби?”

  1. Black star Ответить

    Решая различные задачи, нам очень часто приходится проводить тождественные преобразования выражений. Но бывает, что какое-то преобразование в одних случаях допустимо, а в других – нет. Существенную помощь в плане контроля допустимости проводимых преобразований оказывает ОДЗ. Остановимся на этом подробнее.
    Суть подхода состоит в следующем: сравниваются ОДЗ переменных для исходного выражения с ОДЗ переменных для выражения, полученного в результате выполнения тождественных преобразований, и на основании результатов сравнения делаются соответствующие выводы.
    Вообще, тождественные преобразования могут
    не влиять на ОДЗ;
    приводить к расширению ОДЗ;
    приводить к сужению ОДЗ.
    Давайте поясним каждый случай примером.
    Рассмотрим выражение x2+x+3·x, ОДЗ переменной x для этого выражения есть множество R. Теперь проделаем с этим выражением следующее тождественное преобразование – приведем подобные слагаемые, в результате оно примет вид x2+4·x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.
    Переходим дальше. Возьмем выражение x+3/x−3/x. В этом случае ОДЗ определяется условием x≠0, которое отвечает множеству (−∞, 0)∪(0, +∞). Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).
    Осталось рассмотреть пример сужения области допустимых значений после проведения преобразований. Возьмем выражение . ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−1)·(x−3)≥0, для его решения подходит, например, метод интервалов, в результате имеем (−∞, 1]∪[3, +∞). А теперь преобразуем исходное выражение к виду , воспользовавшись одним из свойств корней: корень произведения равен произведению корней. ОДЗ переменной x для этого выражения определяет система линейных неравенств , решение которой дает множество [3, +∞). Таким образом, в результате проведенного преобразования произошло сужение ОДЗ с множества (−∞, 1]∪[3, +∞) до множества [3, +∞).
    При преобразовании выражений надо строго избегать преобразований, сужающих ОДЗ. Почему? Для пояснения приведем пример.
    Допустим нам нужно вычислить значение выражения при x=−1. Если сразу подставить вместо переменной x число −1, то мы найдем значение . А теперь представим, что мы из каких-то соображений предварительно преобразовали исходное выражение к виду , сузив тем самым ОДЗ. Вычисляем его значение, для этого подставляем вместо переменной x число −1, и получаем выражение , которое не имеет смысла, так как под знаком корня оказывается отрицательное число. Такой подход привел нас к проблеме, которая возникла из-за того, что 2 входит в ОДЗ переменной x для исходного выражения, но уже не попадает в «суженную» ОДЗ переменной x для выражения, полученного после преобразования.
    Так что надо придерживаться таких тождественных преобразований выражения, которые не изменяют ОДЗ.
    А как быть с преобразованиями выражений, при которых расширяется ОДЗ? Их можно проводить, но при этом стоит придерживаться такого взгляда: полученное в результате преобразования выражение рассматривать на ОДЗ переменных исходного выражения.
    Например, сокращение алгебраической дроби на x дает дробь и приводит к расширению ОДЗ от множества (−∞ 0)∪(0, +∞) до множества R. При этом можно продолжать работать с полученной дробью , но на ОДЗ переменной x для исходного выражения, то есть, на множестве (−∞ 0)∪(0, +∞).
    Еще пример. При замене суммы логарифмов lnx+ln(x+3) логарифмом произведения ln(x·(x+3)) (см. свойства логарифмов) происходит расширение ОДЗ с (0, +∞) до (−∞, −3)∪(0, +∞). Поэтому с полученным выражением ln(x·(x+3)) дальше стоит работать на ОДЗ переменной x исходного выражения, то есть, на множестве (0, +∞).
    Итак, на каждом шаге преобразования выражения постоянно спрашивайте себя: «Не изменяет ли это преобразование ОДЗ»? Если не изменяет, то выполняйте его. Если сужает, то откажитесь от него. А если расширяет, то выполняйте его, но оставайтесь в рамках ОДЗ переменных для исходного выражения.

  2. VideoAnswer Ответить

  3. VideoAnswer Ответить

  4. VideoAnswer Ответить

  5. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *