Наименьшее и наибольшее значение функции как определить?

18 ответов на вопрос “Наименьшее и наибольшее значение функции как определить?”

  1. ivanushka.65 Ответить

    Кратко остановимся на основных определениях.
    Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
    Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
    Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .
    Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.
    Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.
    Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.
    Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:”Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции”? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.
    Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.
    На отрезке

    На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6].
    Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1;6]. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее – в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.
    На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.
    На открытом интервале

    На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6).
    На интервале [1;6) наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а про наибольшее значение мы ничего сказать не можем. Если бы точка x=6 была частью интервала, тогда при этом значении функция принимала бы наибольшее значение. Этот пример изображен на рисунке №5.
    На рисунке №6 наименьшее значение функции достигается в правой границе интервала (-3;2], о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.
    На бесконечности

    В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y) в стационарной точке с абсциссой x=1, а наименьшее значение (min y) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3.
    На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3. Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

  2. wiggum71 Ответить

    Близится к завершению изучение функций нескольких переменных, и сегодня мы рассмотрим ещё одну распространённую задачу, развёрнутую формулировку которой вы видите в заголовке статьи. Как многие догадываются, это пространственный аналог задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, и для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:
    Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой). На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д., но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.
    Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными); реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».
    Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области  на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:

    Эту же область можно задать и линейными неравенствами: , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой.
    Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие.
    А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность, и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость  – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса, непрерывная в ограниченной замкнутой области  функция  достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках, принадлежащих области D, либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:
    Пример 1
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в ограниченной замкнутой области
    Решение: прежде всего, нужно изобразить область  на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:

    Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:
    I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных:

    Найденная стационарная точка принадлежит области:  (отмечаем её на чертеже), а значит, нам следует вычислить значение функции  в данной точке:
     – как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.
    Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума. Почему? Даже если в точке  функция достигает, например, локального минимума, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение  будет минимальным во всей области  (см. начало урока о безусловных экстремумах).
    Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что  и перейти к следующему пункту.
    II) Исследуем границу области.
    Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:
    1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим  непосредственно в функцию:

    Как вариант, можно оформить и так:

    Геометрически это означает, что координатная плоскость  (которая тоже задаётся уравнением ) «высекает» из поверхности  «пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится:

     – полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке  (отмечаем на чертеже) функция  достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:

    Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции  в точках  (отмечаем на чертеже):

    Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :

    2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем  в функцию  и «наводим там порядок»:

    Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
    , отлично.
    Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:

     – полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция  в появившейся точке :

    Исследуем второй конец отрезка :

    Используя функцию , выполним контрольную проверку:

    3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем  в функцию  и проводим упрощения:

    Концы отрезка  уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию :
     – совпало с результатом  1-го  подпункта;
     – совпало с результатом  2-го подпункта.
    Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :

     – есть! Подставляя  в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:
    Отмечаем на чертеже точку  и находим соответствующее значение функции :

    Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии :
    , порядок.
    И заключительный шаг: ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:

    из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:

    На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
     – здесь самая высокая точка поверхности  в области ;
     – здесь самая низкая точка поверхности  в области .
    В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка.
    Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной :))
    Пример 2
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в замкнутой области, ограниченной линиями
    Пример 3
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в ограниченной замкнутой области .

    Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.
    Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:
    – На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.
    – Найдём стационарные точки и вычислим значения функции  только в тех из них, которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком  либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!
    – Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще). Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!
    – Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например,  и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что
    Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:
    Пример 4
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в замкнутой области .
    Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой  или же в более традиционном для данной задачи виде: 
    Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на самом первом уроке по теме ФНП, и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас 😉
    Решение, как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:

    Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….
    I) Найдём стационарные точки:

    Система-мечта идиота:)

    Стационарная точка  принадлежит области, а именно, лежит на её границе.

    А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)
    II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:
    1) Если , то
    Найдём, где вершина параболы:
     – ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:

    Вычислим значения функции на концах отрезка:

    2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем  в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :

    Контроль:
    Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:

    Решаем квадратное уравнение, помните ещё о таком?  …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению  определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:

    Вычислим значения функции  в найденных точках:

    Проверку по функции  проведите самостоятельно.
    Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ:

    Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!
    Для самостоятельного решения:
    Пример 5
    Найти наименьшее и наибольшее значения функции  в замкнутой области
    Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».
    Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа, но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция  с той же областью «дэ», то после подстановки в неё  – с производной от  никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками )  без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа  (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!
    Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!
    Решения и ответы:
    Пример 2: Решение: изобразим область  на чертеже:

    I) Вычислим значения функции в стационарных точках, принадлежащих данной области:

    II) Исследуем границу области
    1) Подставим в функцию:


    Вычислим значение функции в точке :

    Вычислим значение функции на другом конце отрезка:

    2) Подставим в функцию :

    Контроль:

    Вычислим значение функции в точке :

    Вычислим значение функции на конце отрезка:

    3) Подставим в функцию :

    Контроль:


    Вычислим значение функции в точке :

    Ответ:
    Пример 3: Решение: изобразим область  на чертеже:

    I) Вычислим значения функции в стационарных точках, принадлежащих данной области:

    II) Исследуем границу области
    1) Если , то
     – точка  уже исследована.
    Вычислим значение функции на другом конце отрезка:

    2) Если , то

    Вычислим значение функции в точке :

    Вычислим значения функции на концах отрезка:

    3) Если , то
     – точка  уже исследована.
    Другой конец отрезка  также исследован.
    4) Если , то

    Концы отрезка  уже исследованы.
    Ответ:
    Пример 5: Решение: изобразим область  на чертеже:

    I) Найдём стационарные точки:

    II) Исследуем границу области. Подставим в функцию  (таким образом, учитываются сразу обе полуокружности ):

    Найдём критические точки:

    Если , то
    Если , то
    Вычислим значения функции в точках :

    Ответ:

    Автор: Емелин Александр

    Высшая математика для заочников и не только >>>
    (Переход на главную страницу)
    Как можно отблагодарить автора?
    Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

  3. SegaSh Ответить

    Близится к завершению изучение функций нескольких переменных, и сегодня мы рассмотрим ещё одну распространённую задачу, развёрнутую формулировку которой вы видите в заголовке статьи. Как многие догадываются, это пространственный аналог задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, и для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:
    Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное замкнутое множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы «выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой). На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д., но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.
    Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными); реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».
    Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области  на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:

    Эту же область можно задать и линейными неравенствами: , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой.
    Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие.
    А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна в каждой точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность, и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость  – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса, непрерывная в ограниченной замкнутой области  функция  достигает в ней наибольшего (самого «высокого») и наименьшего (самого «низкого») значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо в стационарных точках, принадлежащих области D, либо в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:
    Пример 1
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в ограниченной замкнутой области
    Решение: прежде всего, нужно изобразить область  на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:

    Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:
    I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных:

    Найденная стационарная точка принадлежит области:  (отмечаем её на чертеже), а значит, нам следует вычислить значение функции  в данной точке:
     – как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.
    Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума. Почему? Даже если в точке  функция достигает, например, локального минимума, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение  будет минимальным во всей области  (см. начало урока о безусловных экстремумах).
    Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что  и перейти к следующему пункту.
    II) Исследуем границу области.
    Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:
    1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим  непосредственно в функцию:

    Как вариант, можно оформить и так:

    Геометрически это означает, что координатная плоскость  (которая тоже задаётся уравнением ) «высекает» из поверхности  «пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится:

     – полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке  (отмечаем на чертеже) функция  достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:

    Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции  в точках  (отмечаем на чертеже):

    Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :

    2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем  в функцию  и «наводим там порядок»:

    Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
    , отлично.
    Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:

     – полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция  в появившейся точке :

    Исследуем второй конец отрезка :

    Используя функцию , выполним контрольную проверку:

    3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем  в функцию  и проводим упрощения:

    Концы отрезка  уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию :
     – совпало с результатом  1-го  подпункта;
     – совпало с результатом  2-го подпункта.
    Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :

     – есть! Подставляя  в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:
    Отмечаем на чертеже точку  и находим соответствующее значение функции :

    Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии :
    , порядок.
    И заключительный шаг: ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:

    из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:

    На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
     – здесь самая высокая точка поверхности  в области ;
     – здесь самая низкая точка поверхности  в области .
    В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость – совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка.
    Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной :))
    Пример 2
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в замкнутой области, ограниченной линиями
    Пример 3
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в ограниченной замкнутой области .

    Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.
    Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:
    – На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.
    – Найдём стационарные точки и вычислим значения функции  только в тех из них, которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком  либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!
    – Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще). Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!
    – Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например,  и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что
    Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:
    Пример 4
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в замкнутой области .
    Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой  или же в более традиционном для данной задачи виде: 
    Напоминаю, что с нелинейными неравенствами мы сталкивались на самом первом уроке по теме ФНП, и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас 😉
    Решение, как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:

    Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….
    I) Найдём стационарные точки:

    Система-мечта идиота:)

    Стационарная точка  принадлежит области, а именно, лежит на её границе.

    А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)
    II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:
    1) Если , то
    Найдём, где вершина параболы:
     – ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:

    Вычислим значения функции на концах отрезка:

    2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем  в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :

    Контроль:
    Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:

    Решаем квадратное уравнение, помните ещё о таком?  …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению  определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:

    Вычислим значения функции  в найденных точках:

    Проверку по функции  проведите самостоятельно.
    Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ:

    Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!
    Для самостоятельного решения:
    Пример 5
    Найти наименьшее и наибольшее значения функции  в замкнутой области
    Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».
    Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа, но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция  с той же областью «дэ», то после подстановки в неё  – с производной от  никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками )  без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа  (где , например, то же уравнение окружности) обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!
    Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!
    Решения и ответы:
    Пример 2: Решение: изобразим область  на чертеже:

    I) Вычислим значения функции в стационарных точках, принадлежащих данной области:

    II) Исследуем границу области
    1) Подставим в функцию:


    Вычислим значение функции в точке :

    Вычислим значение функции на другом конце отрезка:

    2) Подставим в функцию :

    Контроль:

    Вычислим значение функции в точке :

    Вычислим значение функции на конце отрезка:

    3) Подставим в функцию :

    Контроль:


    Вычислим значение функции в точке :

    Ответ:
    Пример 3: Решение: изобразим область  на чертеже:

    I) Вычислим значения функции в стационарных точках, принадлежащих данной области:

    II) Исследуем границу области
    1) Если , то
     – точка  уже исследована.
    Вычислим значение функции на другом конце отрезка:

    2) Если , то

    Вычислим значение функции в точке :

    Вычислим значения функции на концах отрезка:

    3) Если , то
     – точка  уже исследована.
    Другой конец отрезка  также исследован.
    4) Если , то

    Концы отрезка  уже исследованы.
    Ответ:
    Пример 5: Решение: изобразим область  на чертеже:

    I) Найдём стационарные точки:

    II) Исследуем границу области. Подставим в функцию  (таким образом, учитываются сразу обе полуокружности ):

    Найдём критические точки:

    Если , то
    Если , то
    Вычислим значения функции в точках :

    Ответ:

    Автор: Емелин Александр

    Высшая математика для заочников и не только >>>
    (Переход на главную страницу)
    Как можно отблагодарить автора?
    Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

  4. affecto Ответить


    Начало

    Поиск по сайту

    ТОПы

    Учебные заведения

    Предметы

    Проверочные работы

    Обновления

    Новости

    Переменка
    Отправить отзыв

  5. BERELEXX Ответить

    На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:
    область определения функции
    область значений функции
    нули функции
    промежутки возрастания и убывания
    точки максимума и минимума
    наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

    Уточним терминологию:
    Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
    Ордината — координата по вертикали.
    Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
    Ось ординат — вертикальная ось, или ось .
    Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
    Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .
    Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
    Обозначается: или .
    На нашем рисунке область определения функции  — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.
    Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения .
    Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .
    Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
    Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .
    Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества  можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.
    Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .
    Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.
    Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .
    Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.
    На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .
    Определим, что такое точки максимума и минимума функции.
    Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
    Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.
    На нашем рисунке  — точка максимума.
    Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
    То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».
    На нашем рисунке  — точка минимума.
    Точка  — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.
    Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это  и .
    А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.
    Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .
    Можно сказать, что экстремумы функции равны  и .
    Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.
    В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно  и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.
    В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

  6. Omrade Ответить

    Пример 4
    \[f\left( x \right) = x\left| {x – 2} \right|,\;\;x \in \left[ {0,3} \right].\]
    Решение.
    Раскрывая модуль, представим данную функцию в виде
    \[
    f(x) =
    {\begin{cases}
    – x\left( {x – 2} \right), & x < 2 \\ x\left( {x - 2} \right), & x \ge 2 \end{cases},}\;\; {\Rightarrow f(x) = \begin{cases} - {x^2} + 2x, & x < 2 \\ {x^2} - 2x, & x \ge 2 \end{cases}.} \] Как видно, функция состоит из двух квадратичных функций: \({f_1}\left( x \right) = - {x^2} + 2x\) и \({f_2}\left( x \right) = {x^2} - 2x.\) В точке \(x = 2,\) где соединяются обе ветви, график функции имеет излом (рисунок \(8\)), т.е. в этой точке производной не существует. Найдем другие критические точки обеих ветвей функции: \[ {{f'_1}\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( { - {x^2} + 2x} \right)^\prime } = 0,}\;\; {\Rightarrow - 2x + 2 = 0,}\;\; {\Rightarrow x = 1;} \] \[ {{f'_2}\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {{x^2} - 2x} \right)^\prime } = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x - 2 = 0,}\;\; {\Rightarrow x = 1.} \] Здесь корень \(x = 1\) имеет смысл лишь для первой ветви решений, которая существует при \(x < 2.\) Определим значения функции в найденных критических точках \(x = 1,\) \(x = 2\) и на концах отрезка при \(x = 0\) и \(x = 3:\) \[ {f\left( 0 \right) = 0 \cdot \left| {0 - 2} \right| = 0,}\;\;\; {f\left( 1 \right) = 1 \cdot \left| {1 - 2} \right| = 1,}\;\;\; {f\left( 2 \right) = 2 \cdot \left| {2 - 2} \right| = 0,}\;\;\; {f\left( 3 \right) = 3 \cdot \left| {3 - 2} \right| = 3.}\;\;\; \] Отсюда видно, что функция принимает наименьшее значение \(y = 0\) в двух точках: при \(x = 0\) и \(x = 2.\) Наибольшее значение составляет \(f\left( 3 \right) = 3.\) Пример 5 \[f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x} ,\;\;x \in \left[ { - 3,1} \right].\] Решение. Функция определена при условии \[ {3 - 2x \ge 0,}\;\; {\Rightarrow 2x \le 3,}\;\; {\Rightarrow x \le \frac{3}{2}.} \] Заданный в условии отрезок попадает в область определения функции. На этом отрезке функция дифференцируема и ее экстремумы (если они существуют) определяются из условия \(f'\left( x \right) = 0.\) Найдем производную: \[\require{cancel} {f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {3 - 2x} } \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {3 - 2x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {3 - 2x} }} } = {\frac{{ - \cancel{2}}}{{\cancel{2}\sqrt {3 - 2x} }} } = { - \frac{1}{{\sqrt {3 - 2x} }}.} \] Отсюда следует, что уравнение \(f'\left( x \right) = 0\) не имеет решений, т.е. функция не имеет локальных экстремумов. Так как производная отрицательна, то функция \(f\left( x \right)\) монотонно убывает на отрезке \(\left[ { - 3,1} \right].\) Вычисляя значение функции в граничных точках: \[ {f\left( { - 3} \right) = \sqrt {3 - 2 \cdot \left( { - 3} \right)} = 3,}\;\;\; {f\left( 1 \right) = \sqrt {3 - 2 \cdot 1} = 1,} \] находим, что наибольшее значение равно \(3\) при \(x = -3,\) а наименьшее значение равно \(1\) при \(x = 1.\) Пример 6 \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{2^x}}},\;\;x \in \left[ { - 1,3} \right].\] Решение. Видно, что функция определена и дифференцируема при всех \(x \in \mathbb{R}.\) Поэтому все критические точки находятся из условия \(f'\left( x \right) = 0:\) \[ {f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{2^x}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }{2^x} - {x^2}{{\left( {{2^x}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2}}} } = {\frac{{2x \cdot {2^x} - {x^2} \cdot {2^x}\ln 2}}{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2}}} } = {\frac{{\cancel{2^x}x\left( {2 - x\ln 2} \right)}}{{\cancel{2^x} \cdot {2^x}}} } = {\frac{{x\left( {2 - x\ln 2} \right)}}{{{2^x}}};} \] \[ {f'\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{x\left( {2 - x\ln 2} \right)}}{{{2^x}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow x\left( {2 - x\ln 2} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {x_1} = 0,\;{x_2} = \frac{2}{{\ln 2}} \approx 2,885.} \] Найдено \(2\) точки локального экстремума: \({x_1} = 0\) и \({x_2} = \large\frac{2}{{\ln 2}}\normalsize.\) Вычислим значения функции в этих точках и на границах отрезка и определим наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: \[ {f\left( 0 \right) = \frac{{{0^2}}}{{{2^0}}} = 0;}\;\;\; {f\left( {\frac{2}{{\ln 2}}} \right) = \frac{{{{\left( {\frac{2}{{\ln 2}}} \right)}^2}}}{{{2^{\frac{2}{{\ln 2}}}}}} } {\approx \frac{{{{\left( {2,885} \right)}^2}}}{{{2^{2,885}}}} \approx 1,127;}\;\;\; {f\left( { - 1} \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{{{2^{ - 1}}}} = 2;}\;\;\; {f\left( 3 \right) = \frac{{{3^2}}}{{{2^3}}} = 1,125.} \] Следовательно, наибольшее значение функции равно \(2\) при \(x = -1,\) наименьшее значение равно \(0\) при \(x = 0.\) Пример 7 \[f\left( x \right) = \sqrt[\large x\normalsize]{x},\;\;x \in \left[ {2,3} \right].\] Решение. Данная функция определена и дифференцируема при \(x > 0.\) Ее производную можно найти с помощью
    логарифмического дифференцирования:
    \[
    {y = \sqrt[\large x\normalsize]{x} = {x^{\large\frac{1}{x}\normalsize}},}\;\;
    {\Rightarrow \ln y = \ln {x^{\large\frac{1}{x}\normalsize}},}\;\;
    {\Rightarrow \ln y = \frac{1}{x}\ln x,}\;\;
    {\Rightarrow {\left( {\ln y} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{x}\ln x} \right)^\prime },}\;\;
    {\Rightarrow \frac{{y’}}{y} = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime }\ln x + \frac{1}{x}{\left( {\ln x} \right)^\prime },}\;\;
    {\Rightarrow \frac{{y’}}{y} = \left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \cdot \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x},}\;\;
    {\Rightarrow \frac{{y’}}{y} = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {1 – \ln x} \right),}\;\;
    {\Rightarrow y’ = {x^{\large\frac{1}{x}\normalsize}} \cdot \frac{1}{{{x^2}}}\left( {1 – \ln x} \right),}\;\;
    {\Rightarrow y’ = {x^{\large\frac{1}{x}\normalsize – 2}}\left( {1 – \ln x} \right).}
    \]
    Приравнивая производную нулю, определим критические (точнее стационарные) точки функции:
    \[
    {y’ = 0,}\;\;
    {\Rightarrow {x^{\large\frac{1}{x}\normalsize – 2}}\left( {1 – \ln x} \right) = 0,}\;\;
    {\Rightarrow 1 – \ln x = 0,}\;\;
    {\Rightarrow \ln x = 1,}\;\;
    {\Rightarrow x = e.}
    \]
    Вычислим теперь значения функции в критической точке \(x = e\) (которая попадает в заданный отрезок) и на границах отрезка − в точках
    \(x = 2\) и \(x = 3:\)
    \[
    {f\left( e \right) = {e^{\large\frac{1}{e}\normalsize}} \approx 1,445;}\;\;\;
    {f\left( 2 \right) = {2^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} = \sqrt 2 \approx 1,414;}\;\;\;
    {f\left( 3 \right) = {3^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} = \sqrt[\large 3\normalsize]{3} \approx 1,442.}
    \]
    Итак, наименьшее значение функции равно \(f\left( 2 \right) \approx 1,414,\)
    а наибольшее значение, соответственно, равно \(f\left( e \right) \approx 1,445.\)
    Пример 8
    \[f\left( x \right) = {\cos ^2}x – 2\sin x,\;\;x \in \left[ {0,2\pi } \right].\]
    Решение.
    Производная функции имеет вид:
    \[
    {f’\left( x \right) = {\left( {{{\cos }^2}x – 2\sin x} \right)^\prime } }
    = {2\cos x{\left( {\cos x} \right)^\prime } – 2\cos x }
    = { – 2\cos x\sin x – 2\cos x }
    = { – 2\cos x\left( {1 + \sin x} \right).}
    \]
    Найдем критические точки, полагая \(f’\left( x \right) = 0:\)
    \[f’\left( x \right) = 0,\;\; \Rightarrow – 2\cos x\left( {1 + \sin x} \right) = 0.\]
    \(
    {2\cos x = 0,}\;\;
    {\Rightarrow \cos x = 0,}\;\;
    {\Rightarrow x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize + \pi n,\;n \in \mathbb{Z};}
    \)
    \(
    {1 + \sin x = 0,}\;\;
    {\Rightarrow \sin x = – 1,}\;\;
    {\Rightarrow x = \large\frac{{3\pi }}{2}\normalsize + 2\pi k,\;k \in \mathbb{Z}.}
    \)
    В заданный отрезок \(\left[ {0,2\pi } \right]\) попадают следующие критические точки:
    \[x = \frac{\pi }{2},\;\;x = \frac{{3\pi }}{2}.\]
    Теперь достаточно вычислить значения функции в этих точках и на краях отрезка, чтобы определить наибольшее и наименьшее значения:
    \[
    {f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) }
    = {{\cos ^2}\frac{\pi }{2} – 2\sin \frac{\pi }{2} }
    = {0 – 2 = – 2;}
    \]
    \[
    {f\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) }
    = {{\cos ^2}\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) – 2\sin \frac{{3\pi }}{2} }
    = {0 + 2 = 2;}
    \]
    \[f\left( 0 \right) = {\cos ^2}0 – 2\sin 0 = 1 – 0 = 1.\]
    Функция имеет период \(2\pi.\) Поэтому \(f\left( {2\pi } \right) = f\left( 0 \right) = 1.\)
    Таким образом наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ {0,2\pi } \right]\)
    равно \(2\) при \(x = \large\frac{{3\pi }}{2}\normalsize,\) а наименьшее − равно
    \(-2\) при \(x = \large\frac{{\pi }}{2}\normalsize.\)
    Пример 9
    \[f\left( x \right) = \arctan \frac{{1 – x}}{{1 + x}},\;\;x \in \left[ {0,1} \right].\]
    Решение.
    Очевидно, функция определена всюду на числовой оси, кроме точки \(x = -1,\)
    которая не попадает в заданный интервал. Находим производную:
    \[
    {f’\left( x \right) = {\left( {\arctan \frac{{1 – x}}{{1 + x}}} \right)^\prime } }
    = {\frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{{1 – x}}{{1 + x}}} \right)}^2}}} \cdot {\left( {\frac{{1 – x}}{{1 + x}}} \right)^\prime } }
    = {\frac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} + {{\left( {1 – x} \right)}^2}}} }
    {\cdot \frac{{{{\left( {1 – x} \right)}^\prime }\left( {1 + x} \right) – \left( {1 – x} \right){{\left( {1 + x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} }
    = {\frac{{ – \left( {1 + x} \right) – \left( {1 – x} \right)}}{{\color{maroon}{1} + \cancel{\color{red}{2x}} + \color{blue}{x^2} + \color{maroon}{1} – \cancel{\color{red}{2x}} + \color{blue}{x^2}}} }
    = {\frac{{ – \color{green}{1} – \cancel{\color{red}{x}} – \color{green}{1} + \cancel{\color{red}{x}}}}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}} }
    = { – \frac{1}{{1 + {x^2}}}.}
    \]
    Как видно, производная нигде не равна нулю. Поэтому других критических точек, кроме \(x = -1,\)
    у функции не существует. Следовательно, функция является монотонно убывающей (учитывая, что производная отрицательна всюду в области
    определения). В таком случае наибольшее и наименьшее значения функции достигаются на границах отрезка:
    \[
    {f\left( 0 \right) = \arctan \frac{{1 – 0}}{{1 + 0}} = \arctan 1 = \frac{\pi }{4};}\;\;\;
    {f\left( 1 \right) = \arctan \frac{{1 – 1}}{{1 + 1}} = \arctan 0 = 0.}
    \]
    Наименьшее значение равно \(f\left( 1 \right) = 0,\) а наибольшее значение составляет \(f\left( 0 \right) = \large\frac{\pi }{4}\normalsize.\)
    Пример 10
    \[f\left( x \right) = \left| {\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right|,\;\;x \in \left[ {0,\pi } \right].\]
    Решение.
    Функция \(f\left( x \right)\) всюду неотрицательна. Ее наименьшее значение равно \(0\) и достигается
    на отрезке \(\left[ {0,\pi } \right]\) в следующих критических точках:
    \[
    {\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0,}\;\;
    {\Rightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2},}\;\;
    {\Rightarrow {x_1} = \frac{\pi }{3},\;\;{x_2} = \frac{{2\pi }}{3}.}
    \]
    Чтобы определить наибольшее значение, вычислим производную данной функции:
    \[
    {f’\left( x \right) = {\left( {\left| {\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right|} \right)^\prime } }
    = {\frac{{\left| {\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right|}}{{\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \cdot {\left( {\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^\prime } }
    = {\frac{{\left| {\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right|}}{{\sin x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \cdot \cos x.}
    \]
    Критические точки \(x = \large\frac{\pi }{3}\normalsize,\) \(x = \large\frac{2\pi }{3}\normalsize,\)
    в которых выполняется равенство \({\sin x = \large\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\normalsize,\) уже найдены выше. Поэтому рассмотрим лишь решение
    \[\cos x = 0,\;\; \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}.\]
    Итак, наибольшее значение достигается либо в точке \(x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize,\) либо на границах
    отрезка, т.е. в точках \(x = 0\) или \(x = \pi.\) Вычисления приводят к следующим результатам:
    \[
    {f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \left| {\sin \frac{\pi }{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right| }
    = {\left| {1 – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right| \approx 0,732;}
    \]
    \[
    {f\left( 0 \right) = \left| {\sin 0 – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right| }
    = {\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 1,732;}
    \]
    \[
    {f\left( \pi \right) = \left| {\sin \pi – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right| }
    = {\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 1,732.}
    \]
    Таким образом, наибольшее значение равно \(\large\frac{{\sqrt 3 }}{2}\normalsize \approx 1,732\) и оно достигается в двух точках:
    \(x = 0,\) \(x = \pi.\)

  7. probir99 Ответить

    Пусть X – некоторое множество, входящее в область определения D ( f ) функции y = f (x).
    Определение 1. Значение f (x0) функции y = f (x) в точкеназывают наибольшим значением функции f (x) на множестве X, если для любой точки выполнено неравенство

    Наибольшее значение функции f (x) на множестве X часто обозначают
    или
    Определение 2. Значение f (x0) функции y = f (x) в точке называют наименьшим значением функции f (x) на множестве X, если для любой точки выполнено неравенство

    Наименьшее значение функции f (x) на множестве X часто обозначают
    или
    Определение 3. Наибольшее значение функции на множестве X часто называют максимальным значением функции f (x) на множестве X или максимумом функции f (x) на множестве X . Наименьшее значение функции на множестве X часто называют минимальным значением функции f (x) на множестве X или минимумом функции f (x) на множестве X .
    Пример 1. Минимальным значением функции y = x2 на множестве является число 0 (рис. 1).

    Рис.1
    Максимального значения функция y = x2 на множестве не имеет.
    Пример 2. Максимальным значением функции y = – x2 на множестве является число 0 (рис. 2).

    Рис.2
    Минимального значения функция y = – x2 на множестве не имеет.
    Пример 3. Функция y = x на множестве не имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 3).

    Рис.3
    Пример 4. Функция y = arctg x на множестве не имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 4).

    Рис.4

    Существование наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Теорема Вейерштрасса

    Как мы видели в примерах 1 – 4, даже такие хорошо известные функции, как
    y = x2, y = – x2, y = x, y = arctg x
    не имеют наибольших или наименьших значений на множестве. Однако, если бы в качестве множества X мы взяли произвольный отрезок, то ситуация стала бы принципиально иной, что вытекает из следующей теоремы.
    Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение, а также точка, в которой функция принимает наименьшее значение.
    Доказательство теоремы Вейерштрасса выходит за рамки школьного курса математики и здесь не приводится.
    Следствие. Пусть x1 , x2 , … , xn – критические точки функции y = f (x) на отрезке [a, b] . Тогда наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [a, b] равны наибольшему и наименьшему из чисел
    f (a) , f (b) , f (x1) , f (x2) , … , f (xn)
    соответственно.

    Примеры решения задач

    Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
    y = 2×3 + 3×2 – 36x + 30(1)на отрезке [–2, 4] .
    Решение. Найдем критические точки функции (1). Для этого вычислим производную функции (1):

  8. Tommi200r Ответить

    Исследование функции — распространенная задача, которая показывает ее поведение и свойства. Одним из элементов считается нахождение максимума и минимума функции. Существуют специальные программы для нахождения этих значений (онлайн-калькулятор). Однако каждому следует понимать принцип нахождения, поскольку это может пригодиться в жизни.
    Для решения такого типа задач необходим определенный «багаж» знаний, поскольку без него вообще не обойтись. В его состав входят следующие элементы:

    Нахождение области определения функции (ОДФ).
    Понятие дифференциала и основные методы его нахождения.
    Умение решать уравнения.
    Знание графиков простых функций.
    Основные типы функций, полуинтервал и интервал.
    Все пять навыков приобрести несложно, кроме второго. В этом нужно подробно разобраться, поскольку очень важно уметь находить производные (дифференциалы) не только табличных элементарных функций, но и сложных. Важно знать основные свойства, которые применяются для нахождения производной.

    Область определения

    Область определения какой-либо функции вида y = f(x) — область значений аргумента, при которых она существует. У каждой функции существует два типа неизвестных: зависимые и независимые. К первым следует отнести переменную y, которая зависит от независимой переменной «х». Необходимо отметить, что бывают функции, в которых нет аргумента. Примером их считается функция вида y = const, где const — константа (любое число).
    Область определения обозначается в теории литерой «D». Однако обозначение можно менять, когда исследуются несколько функций. Чтобы не путаться, специалисты рекомендуют следующую запись D(f(x)). Например, для y = x^2 – 27x и y = 12sinx ОДФ записывается таким образом: D(x^2 – 27x) и D(12sinx) соответственно.

    Обозначение интервалов

    Результатом решения задач на нахождение ОДЗ является определенный интервал. Важно правильно его обозначать, поскольку это существенно влияет на решение. Нужно руководствоваться следующими правилами:

    Жесткая граница обозначается квадратной скобкой «[» или «]». Она обозначает, что число входит включительно в этот интервал. Можно использовать не только одну скобку, но и две одновременно.
    Для обозначения числового значения, которое не входит в промежуток, пользуются круглыми скобками «(» и «)». Их можно применять одновременно.
    Типы границ можно комбинировать.
    Если нужно объединить интервалы, то следует использовать символ «U».
    Очень важно правильно читать интервалы. Например, запись (1;4) читается следующим образом: переменная принимает значения, которые находятся в интервале от 1 не включительно до 4 не включительно. Это числа 2 и 3, поскольку 1 и 4 не входят в промежуток. Запись вида [5;10) читается таким образом: некоторое значение принадлежит интервалу от 5 включительно, до 10 не включительно.

    Зависимость от типа

    Функции различаются между собой. От этого и зависит нахождение их области определения. Они бывают простыми и сложными. Первые состоят из единичных элементов, а сложные включают в себя несколько типов. Их еще называют составными. Простые классифицируются на три вида:

    Алгебраические: рациональные и иррациональные.
    Тригонометрические: sin, cos, tg и ctg.
    Трансцендентные: степенные, показательные и логарифмические.
    Рациональные бывают целыми и дробными. Они не включают в себя выражения, содержащие такие элементы: корень, степень, логарифм и тригонометрические функции. D(f) этих функций — все действительные числа (Z). Если она является дробной, то это означает, что в ее числителе и (или) знаменателе находится аргумент, значение которого не должно обращать ее в пустое множество.
    Когда под корнем находится выражение, содержащее независимую переменную, то она называется иррациональной. В этом случае D(f) — множество Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем четной степени в отрицательное значение. Функция, представленная степенными выражениями, имеет D(f) = Z, но только тогда, когда значение аргумента не превращает функцию в пустое множество.

    Метод нахождения

    Для решения любой задачи нужно применять определенные правила. Они называются алгоритмом. Для каждого типа функций существует конкретный вариант решения. Для дробной он является следующим:

    Найти корни уравнения знаменателя, приравнивая его к 0.
    Определить интервал, значения из которого может принимать аргумент.
    В случае, когда выражение является иррациональной функцией, корень которой является четным, следует решать не уравнение, а неравенство. Его значение не должно быть меньше 0. Для логарифмического типа выражение натурального логарифма (ln) должно быть всегда больше 0.
    Для sin(x) и cos(x) областью определения является множество значений Z. Однако для tg(x) и ctg(x) следует помнить, что аргумент не должен принимать значение x = (Pi / 2) + Pi * k и x = Pi * k соответственно. Следует отметить, что коэффициент k принадлежит множеству чисел Z.
    Для примера нужно разобрать задачу, в которой следует найти D(3x / [(x – 1) * (x + 1) * (10 – x)^(1/2)]). Решать ее необходимо по такому алгоритму:
    Знаменатель является сложным. Он состоит из двух выражений: (x – 1) * (x + 1) и (10 – x)^(1/2).
    Первое выражение (решить уравнение): (x – 1) * (x + 1) = 0. Оно имеет два корня: x1 = -1 и x2 = 1. Числовой промежуток: (-бесконечность;-1) U (1;+бесконечность).
    Второе (неравенство): (10 – x) < 0. Интервал: (-бесконечность;10]. Результат (объединение всех интервалов): (-бесконечность;-1) U (1;10]. Данный пример показывает особенность решения задачи, которая заключается в объединении двух алгоритмов. Это довольно часто практикуется. Результат — объединение трех множеств, при объединении которых получается два интервала.

    Сведения о производных
    Производная — скоростное изменение какой-либо функции. Эта характеристика присуща не всем, поскольку некоторые из них являются постоянными. Если она имеет производную в некоторой точке, то является дифференцируемой. Дифференцирование применяется не только для исследования функций, но и во многих отраслях науки и техники.
    Для нахождения дифференциалов необходима таблица производных. Кроме того, следует освоить все основные правила, поскольку не во всех случаях функция соответствует одному из табличных значений. Для этого нужно воспользоваться некоторыми свойствами. Математики-специалисты рекомендуют применять на начальных стадиях обучения алгоритм нахождения производной, который позволяет существенно сократить время выполнения задания, а также количество ошибок.

    Таблица дифференциалов

    В некоторых простых задачах возникает необходимость определить производную некоторой элементарной функции. Для этих целей применяется специальная таблица, в которой записаны основные простые выражения.

  9. Svog Ответить

    В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.
    В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.
    I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:
    Найти область определения функции.
    Найти производную функции.
    Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
    Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
    Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
    Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.
    Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
    y = x3 – 18×2 + 81x + 23 на отрезке [8; 13].
    Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:
    Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
    Производная функции равна: y’ = 3×2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
    Нули производной: y’ = 3×2 – 36x + 81 = 0, значит x2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
    Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x3 – 18×2 + 81x + 23 = x(x-9)2+23:
    y(8) = 8 · (8-9)2+23 = 31;
    y(9) = 9 · (9-9)2+23 = 23;
    y(13) = 13 · (13-9)2+23 = 231.
    Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.
    II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:
    Найти область определения функции.
    Найти производную функции.
    Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
    Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
    Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
    Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.
    Пример 2. Найдите наибольшее значение функции:
    .
    Решение: действуем по алгоритму нахождения наибольшего значения функции:
    Область определения функции задается неравенством:
    , которое выполняется при любом x, поскольку ветви соответствующей параболы направлены вверх, а дискриминант соответствующего квадратного трехчлена отрицателен: D(y) = R.
    Производная функции равна:
    ,
    область определения которой также не ограничена, поскольку по указанной выше причине x2 – 6x + 10 > 0, и знаменатель дроби нигде не обращается в ноль: D(y’) = R.
    Нули производной: 2x — 6 = 0, откуда x = 3 (одна точка, подозрительная на экстремум).
    Отмечаем область определения функции и точки, подозрительные на экстремум, на числовой прямой, определяем знаки производной в получившихся промежутках:x = 3 — точка максимума, поскольку в ней возрастание функции (плюс производной) сменяется убыванием (минусом производной). Следовательно, максимального значения функция достигает в этой точке.
    Находим это значение:
    .
    Итак, наибольшее значение функции равно -1. Ответ: -1.
    Репетитор по математике
    Сергей Валерьевич

  10. Stasik120810 Ответить

    Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.
    Решение.
    Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
    -16×3-2×2-223x-8, x<016x3-2x2+223x-8, x≥0
    После чего необходимо найти производную:
    y'=16x3-2x2-223x-8', x<016x3-2x2+223x-8', x>0y’=-12×2-4x-223, x<012x2-4x+223, x>0
    Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
    lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223
    Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем
    lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8
    Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
    -12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43x1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0
    12x2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0
    Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что
    y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12x2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12x2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12x2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0
    Изображение на прямой имеет вид

    Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
    x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233
    Перейдем к вычислению минимумов:
    ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273
    Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
    ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273
    Графическое изображение

    Ответ:
    ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273

  11. AngelOfMors Ответить

    Нередко приходится решать задачи, в которых необходимо найти наибольшее или наименьшее значения из совокупности тех значений, которые на отрезке принимает функция.
    Обратимся, например, к графику функции f(х) = 1 + 2х2 – х4 на отрезке [-1; 2]. Для работы с функцией нам необходимо построить ее график.
    Из построенного графика видно, что наибольшее значение на этом отрезке, равное 2, функция принимает в точках: х = -1 и х = 1; наименьшее значение, равное -7, функция принимает при х = 2.
    Точка х = 0 является точкой минимума функции f(х) = 1 + 2х2 – х4. Это значит, что существует окрестность точки х = 0, например, интервал (-1/2; 1/2) – такая, что в этой окрестности наименьшее значение функция принимает при х = 0. Однако на большем промежутке, например, на отрезке [-1; 2], наименьшее значение функция принимает на конце отрезка, а не в точке минимума.
    Таким образом, чтобы найти наименьшее значения функции на определенном отрезке, необходимо сравнить ее значения на концах отрезка и в точках минимума.
    В целом предположим, что функция f(х) непрерывная на отрезке [a; b] и что функция имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка.
    Чтобы на отрезке [a; b] найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо:
    1) найти значения функции в концах отрезка, т.е. числа f(а) и f(b);
    2) найти значения функции в стационарных точках, которые принадлежат интервалу (a; b);
    3) выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее.
    Применим полученные знания на практике и рассмотрим задачу.
    Задача.
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(х) = х3 + х/3 на отрезке [1/2; 2].
    Решение.
    1) f(1/2) = 6  1/8, f(2) = 9  ½.
    2) f´(х) = 3х2 – 3/х2 = (3х4 – 3)/х2, 3х4 – 3 = 0; х1 = 1, х2 = -1.
    Интервалу (1/2; 2) принадлежит одна стационарная точка х1 = 1, f(1) = 4.
    3) Из чисел 6  1/8, 9 ½ и 4 наибольшее 9 ½, наименьшее 4.
    Ответ. Наибольшее значение функции равно 9 ½, наименьшее значение функции равно 4.
    Часто при решении задач необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции не на отрезке, а на интервале.
    В практических задачах обычно функция f(х) имеет на заданном интервале лишь одну стационарную точку: или точку максимума, или точку минимума. В этих случаях функция f(х) принимает наибольшее значение на данном интервале в точке максимума, а в точке минимума – наименьшее значение на данном интервале. Обратимся к задаче.
    Задача.
    Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.
    Решение.
    1) Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель равен 36/х.
    2) Сумма этих чисел равна х + 36/х.
    3) По условия задачи х – положительное число. Итак, задача сводится к нахождению значения х – такого, при котором функция f(х) = х + 36/х принимает наименьшее значение на интервале х > 0.
    4) Найдем производную: f´(х) = 1 – 36/х2 =((х + 6)(х – 6)) / х2.
    5) Стационарные точки х1 = 6, х2 = -6. На интервале х > 0 есть только одна стационарная точка х = 6. При переходе через точку х = 6 производная меняет знак «–» на знак «+», и поэтому х = 6 – точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале х > 0 функция f(х) = х + 36/х принимает в точке х = 6 (это значение f(6) = 12).
    Ответ. 36 = 6 ∙ 6.
    При решении некоторых задач, где необходимо  найти наибольшее и наименьшее значения функции, полезно использовать следующее утверждение:
    если значения функции f(х) на некотором промежутке неотрицательны, то эта функция и функция (f(х))n, где n – натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке.
    © blog.tutoronline.ru,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

  15. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *