Около всякой ли четырехугольной призмы можно описать цилиндр?

7 ответов на вопрос “Около всякой ли четырехугольной призмы можно описать цилиндр?”

  1. ПроФесСор Ответить

    Определение 1. Призмой, вписанной в цилиндр, называют такую призму, основания которой вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра (рис. 1).
    Определение 2. Если призма вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около призмы.

    Рис.1
    Прежде, чем перейти к вопросу о том, какую призму можно вписать в цилиндр, докажем следующее свойство призм.
    Утверждение 1. Если около оснований призмы можно описать окружности, то отрезок, соединяющий центры описанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.
    Доказательство. Рассмотрим призму A1A2 … AnA’1A’2 … A’n, у которой около оснований
    A1A2 … An и A’1A’2 … A’n можно описать окружности. Пусть около нижнего основания A1A2 … An призмы A1A2 … AnA’1A’2 … A’n описана окружность с центром O радиуса r. Проведем через точку O прямую, параллельную боковому ребру A1A’1 призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в некоторой точке, которую обозначим O’.
    Докажем, что точка O’ является центром окружности радиуса r, описанной около верхнего основания призмы. С этой целью рассмотрим, например, четырехугольник A1A’1O’O (рис. 2).


    Рис.2
    Этот четырехугольник является параллелограммом, поскольку прямые A1A’1 и OO’ параллелельны по построению, а прямые A1O и A’1O’ параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью . Следовательно,
    A’1O’ = A1O = r .
    Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что
    A’1O’ = A’2O’ = … =
    = A’nO’ = r ,
    то есть точка O’ – центр окружности радиуса r, описанной около верхнего основания призмы.
    В силу того, что четырехугольник OO’A1A’1 является параллелограммом, получаем равенство
    OO’ = A1A’1.
    Утверждение 1 доказано.
    Теорема. Около призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
    Призма является прямой призмой;
    Около оснований призмы можно описать окружности.
    Доказательство. Докажем сначала, что если около n – угольной призмы описан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.
    Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, описанного около призмы. Из этого определения также следует, что вписанная в цилиндр призма является прямой призмой, поскольку образующие цилиндра перпендикулярны к плоскостям его оснований,
    Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.
    Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты h, около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать цилиндр.
    Обозначим буквой O центр окружности радиуса r, описанной около нижнего основания призмы, а символом O’ обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы.


    Рис.3
    Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок OO’ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.
    Цилиндр с осью OO’, радиусом r и высотой h и будет описан около исходной призмы.
    Доказательство теоремы завершено.
    Следствие 1. Высота призмы, вписанной в цилиндр, равна высоте цилиндра.
    Следствие 2. Около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр (рис. 4).


    Рис.4
    Справедливость следствия 2 вытекает из того, что около любого треугольника можно описать окружность.
    Следствие 3. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба) можно описать цилиндр (рис. 5).

    Рис.5
    Справедливость следствия 3 вытекает из того, что около любого прямоугольника можно описать окружность.
    Замечание 1. Если у прямоугольного параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, равны a, b, c и различны, то существует три возможности описать около этого параллелепипеда цилиндр в зависимости от того, какое из ребер параллелепипеда выбрано в качестве образующей описанного цилиндра (рис. 6, 7, 8).

  2. Wortex Ответить

    Определение 1. Цилиндром, вписанным в призму, называют такой цилиндр, окружности оснований которого вписаны в многоугольники, являющиеся основаниями призмы, а плоскости боковых граней призмы касаются цилиндра по образующим цилиндра плоскости боковых граней призмы касаются цилиндра по образующим цилиндра (рис. 1).


    Рис.1
    Определение 2. Если цилиндр вписан в призму, то призму называют описанной около цилиндра.
    Прежде, чем перейти к вопросу о том, в какую же призму можно вписать цилиндр, докажем следующее свойство призм.
    Утверждение 1. Если в основания призмы можно вписать окружности, то отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.
    Доказательство. Рассмотрим призму A1A2 … AnA’1A’2 … A’n, у которой в основания A1A2 … An и A’1A’2 … A’n можно вписать окружности. Пусть в нижнее основание A1A2 … An призмы A1A2 … AnA’1A’2 … A’n вписана окружность с центром O радиуса r, которая касается прямой A1A2 в точке K . Проведем через точку O прямую, параллельную боковому ребру A1A’1 призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в точке O’ (рис. 2).


    Рис.2
    Вследствие признака параллельности прямой и плоскости плоскость KOO’ параллелельна боковому ребру A1A’1 , а ее линия пересечения KK’ с боковой гранью призмы A1A2A’1A’2 будет параллельна отрезку OO’. Замечая, что отрезки OK и O’K’ параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, заключаем, что четырехугольник OO’K’K – параллелограмм.
    Поскольку OK – это радиус окружности, проведенный в точку касания окружности радиуса r с центром O и прямой A1A2 , то OK = r и угол OKA1 равен 90° OK = r и угол OKA1 равен 90°. Значит, и O’K’ = r и угол O’K’A’1 равен 90°, то есть точка O’ удалена от прямой A’1A’2 на расстояние r. точка O’ удалена от прямой A’1A’2 на расстояние r.
    Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что точка O’ равноудалена от всех прямых, на которых лежат ребра верхнего основания A’1A’2, A’2A’3, … , An – 1An, а поскольку O’ лежит в плоскости верхнего основания, то точка O’ является центром вписанной в многоугольник A’1A’2 … A’n окружности.
    В силу того, что прямые OO’ и A1A’1 параллельны по построению, а прямые OA1 и O’A’ параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, замечаем, что четырехугольник OO’A1A’1 является параллелограммом, откуда вытекает равенство: OO’ = A1A’1.
    Утверждение 1 доказано.
    Теорема. В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
    Призма является прямой призмой;
    В основания призмы можно вписать окружности.
    Доказательство. Докажем сначала, что если в n – угольную призму вписан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.
    Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, вписанного в призму. Докажем, что выполняется и условие 1, т.е. докажем, что описанная около цилиндра призма является прямой призмой.
    С этой целью рассмотрим ось цилиндра OO’ , соединяющую центры окружностей, вписанных в нижнее и верхнее основания призмы (рис. 3).


    Рис.3
    Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен боковым ребрам призмы. Поскольку ось цилиндра OO’ перпендикулярна к плоскостям его оснований, то и боковые ребра призмы также перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть призма является прямой призмой.
    Таким образом, мы доказали, что, если призма описана около цилиндра, то оба условия теоремы выполнены.
    Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты h, в основания которой можно вписать окружности, и докажем, что в такую призму можно вписать цилиндр.
    Обозначим буквой O центр окружности радиуса r, вписанной в нижнее основание призмы, а символом O’ обозначим центр окружности, вписанной в верхнее основание призмы (рис. 4).


    Рис.4
    Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы вписанных в них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок OO’ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.
    Цилиндр с осью OO’, радиусом r и высотой h и будет вписан в исходную призму.
    Доказательство теоремы завершено.
    Следствие 1 . Высота призмы, описанной около цилиндра, равна высоте цилиндра.
    Следствие 2. В любую прямую треугольную призму можно вписать цилиндр.
    Справедливость этого утверждения вытекает из того факта, что в любой треугольник можно вписать окружность.
    Следствие 3. В любую правильную n – угольную призму можно вписать цилиндр.
    Для доказательства этого следствия достаточно заметить, правильная призма является прямой призмой. Основаниями правильной призмы являются правильные многоугольники, а в любой правильный n – угольник можно вписать окружность.

    Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n – угольной призмы

    Задача. Найти отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n – угольной призмы.
    Решение. Поскольку и объем цилиндра, и объем призмыобъем призмы вычисляются по формуле
    V = Sосн h,
    а высота цилиндра равна высоте описанной около него призмы, то для объемов цилиндра и описанной около него правильной n – угольной призмы справедливо равенство


    С помощью формулы для площади правильного n – угольника, описанного около окружности радиуса R, получаем соотношение

    Следовательно,


    Ответ.
    Следствие 4. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы равно

    Следствие 5. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы равно

    Следствие 6. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной шестиугольной призмы равно


    На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

  3. ZOMEXU Ответить

    Цель:
    – систематизировать знания учащихся;
    – обобщить изученный материал.
    Ход урока
    I. Организационный момент
    II. Обобщение и повторение основных моментов теории по теме
    1) Поверхность цилиндра состоит из …
    2) Как называется множество точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки?
    3) Около всякой ли четырехугольной призмы можно описать цилиндр?
    4) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называют…
    5) Перечислите возможное взаимное расположение сферы и плоскости.
    6) Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ?
    7) Составьте уравнение сферы с центром в точке А(2; -4; 7) и R = 3.
    8) Какая фигура является пересечением сферы х2 + у2 + z2 = 4 и плоскости х + у = 4?
    9) Как изменится поверхность шара, если его радиус увеличить в 3 раза?
    10) Сколько сфер можно провести через окружность и точку, не лежащую на ней?
    11) Плоскость, проходящая через центр шара, называется …
    12) Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется …
    13) Что называется высотой цилиндра?
    14) Найдите соответствующую формулу, указав путь стрелкой:

    III. Проведение зачета по карточкам (см. приложение)
    Ответы:
    Уровень
    Вариант
    № задачи
    Ответ
    II уровень
    2
    30? см2
    Вариант I
    3
    36v3 см2
    4
    8R2 см2
    Вариант II
    2
    24? см2
    3
    32? см2
    4
    а2v2 см2
    Вариант III
    2
    100? см2
    3
    36 см2
    4
    24v3 R2 кв. ед.
    Вариант IV
    2
    42? см2
    3
    72? см2
    4
    4?l2/3 кв. ед.
    II уровень
    Вариант I
    2
    4?а(a + b) кв. ед
    3
    576? см2
    4
    а) 4R2 sin а/2 tg? кв. ед.
    в) 4R2 sin а/2 tg? кв. ед.
    Вариант II
    2
    па(а + b + 2с)
    3
    7 см
    4
    a) H2ctg?2
    в) H2ctg?2/cosa
    2
    2пс(а + 2b)
    Вариант III
    3

    4
    S sin а/2
    Вариант IV
    2
    ?(ас + 2bс + а2)
    3

    4

    IV. Подведение итогов
    Домашнее задание
    I уровень: № 595; 589 а); повт. № 529; 535.
    II уровень: № 613; 606; повт. № 529; 535.
    I уровень
    Карточка № 1
    № 2. Дано: АС = 8 см; ВС = 5 см (рис. 9).
    Найти: ОВ.

    Решение: Sп.п. = 2Sб.п.м. = 2?Rl = 2? · OB · ВС. OB = 2п · 3 · 5 = 30?. (Ответ: 30? см2.)
    № 3. Дано: SO = 6 см, ?SBO = 30° (рис. 10).
    Найти: Sсеч.

    Решение:
    Из ?SOB: BS = 2SO (так как ?? = 30°) l = 12 (см). (Ответ: 36v3 см2.)
    № 4. Дано: rшара – R; АС2 = 2х2; АС = хv2 (рис. 11).
    Найти. Sп.п.куба.

    Решение: Sп.п.куба = 6a2. А1С = 2R. Из ?АА1С – ребро куба. (кв. ед.). (Ответ: 8R2 кв. ед.)
    Карточка № 2
    № 2. Дано: АВ = 4 см; ВС = 3 см (рис. 12).
    Найти: Sп.п.

    Решение: Sп.п. = ?Rl + ?R2; l = 5 см; R = 3 см. Sп.п. = ? · 3 · 5 + ? · 32 = 24? (см2). (Ответ: 24? см2..
    № 3. Дано: Rш. = 8 см, ?OAB = 45° (рис. 13).
    Найти: Sceч.

    Решение: (Ответ: 32? см2.)
    № 4. Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб (рис. 14).
    Найти: Sос.сеч.цил.

    Решение: (Ответ: a2v2 кв. ед..
    Карточка № 3
    № 2. Дано: AD = 8 см; ВС = 6 см (рис. 15).
    Найти: Sп.п.

    Решение: (Ответ: 100? см2)
    № 3 Дано: ?CBD = 90°; Hц. = 6 cm; OE = 3 cm (рис. 16).
    Найти: Sceч.

    Решение: Sceч. = CD · СС1; Sceч. = 6 · CD; OE = ED = 3 cm; CD = 6 cm; Sceч. = 36 (cm2). (Ответ: 36 см2.)
    № 4. Дано: (рис. 17).
    Найти. Sп.п.тетр.

    Решение: так как (Ответ: )
    Карточка № 4
    № 2. Дано: AB = 3 cm; AC = 5 cm (рис. 18).
    Найти: Sп.п.

    Решение: (Ответ: 42? см2.)
    № 3. Решение: (рис. 19) АВ2 + AD2 = BD2; (Ответ: 72? см2.)

    № 4. Решение: (рис. 20) (Ответ: )

    II уровень
    Карточка № 1
    № 2. Дано: ABCD – ромб, АВ = a, BE = b (рис. 21).
    Найти: Sп.п.т.вр.

    Решение: (Ответ: 4па(а + b) кв. ед.)
    № 3. Дано: АВ = 40 см, ОС = 15 см, ОО1 = 7 см. (рис. 22).
    Найти: Sсеч.

    Решение: OO1 ? плоскости сечения. ?OO1С – прямоугольный: O1С ? АВ, так как ОС ? АВ и О1С является проекцией наклонной ОС на плоскость сечения. Т. о. из ?АСО1: (Ответ: 567п см2.)
    № 4 Дано: цилиндр; АВВ1А1 – сечение || оси цилиндра; ?AOB = ?; ?B1AB = ?; АО = ВО = R (рис. 23).
    Найти: a) Sсеч. АВВ1А1; б) Sос.сеч. CDD1C.

    Решение:



    (Ответ: )
    Карточка № 2
    № 2. Дано: AD = а; ВС = b; CD = с (рис. 24).
    Найти: Sп.п.т.вр.

    Решение:

    (Ответ: )
    № 3 (см. рис. 14) Дано: АВ = 40 см; ОС = 15 см; Sсеч = 576? см2.
    Найти: OO1
    Решение: ?r2 = 576? ? r = 24 (см); т. е. АО1 = 24 см. Из ?АСО1 (?ACO1 = 90°): Из ?ОО1С (?OO1C = 90°); (Ответ: 7 см.)
    № 4. Дано: пл. CDD1C1 || оси цилиндра, ?DCO = ?; ?D1CD = ?; BB1 = H (рис. 25).
    Найти: a) Sсеч. CDD1C1; б) Sос.сеч. ABB1A1.

    Решение: Из ?CDD1:
    (Ответ: )
    Карточка № 3
    № 2. Дано: ABCD – ромб; AC = а; ВС = с; BE = b (рис. 26).
    Найти: Sп.п.т.вр.

    Решение: кв. ед. (Ответ: 2пс(а + 2b) кв. ед.)
    № 3. Дано: СО = Н; ?OCB = ?; O1С = ОО1; ?DCE = ? (рис. 27).
    Найти: Sсеч.окр. (ц. О1; R = A1O1); SDEC.

    Решение: СО1 = H/2; Из ?CO1B1:

    (Ответ: )
    № 4 (см. рис. 8). Дано: цилиндр; ?COD = ?; SADD1A1 = S.
    Найти: Sсеч. CDD1C1.
    Решение: Sсеч. = CD · DD1; пусть Из ?COD: (Ответ: )
    Карточка № 4
    № 2. Дано: ?АВС – равнобедренный; АС = а; ВС = с; BE = b (рис. 28).
    Найти: Sп.п.т.вр.

    Решение:

    Ответ: п(ас + а2 + 2bс) кв. ед.
    № 3. Дано: конус; CD = a; ?CSD = ?; ?COD = ? (рис. 29).
    Найти: a) Sсеч. (О1; R = A1B1); б) Sос.сеч. CDS.

    Решение: Из ?CSK: (Ответ: )
    № 4 (см. рис. 29). Дано: цилиндр; SCC1D1D = Q; ?CBD = ?.
    Найти: SABB1A1.
    Решение: так как ?CBD = ?, то ?COD = ?. Q = CD · DD1; DD1 = Q/CD. Из ?COD: (Ответ: )
    IV. Подведение итогов

  4. Wolf Channel Ответить

    Призма описана около цилиндра, если ее основания — многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Соответственно, цилиндр вписан в призму.

    Цилиндр можно вписать в призму, если в основание призмы можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности равен радиусу цилиндра. Высоты цилиндра и призмы равны. В школьном курсе изучается только прямой круговой цилиндр, соответственно, цилиндр в этом случае вписан в прямую призму.
    Боковые грани описанной около цилиндра призмы являются касательными плоскостями к боковой поверхности цилиндра.
    Найдем отношение объема призмы к объему вписанного в нее цилиндра:

    p — полупериметр основания призмы, r — радиус вписанной в основание призмы окружности и радиус цилиндра, H — высота призмы и высота цилиндра.
    В частности, отношение объема правильной треугольной призмы к объему вписанного цилиндра

    Отношение объема правильной четырехугольной призмы к объему вписанного цилиндра

    Для правильной шестиугольной призмы это отношение равно

    Отношение площади боковой поверхности призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра:

    Поскольку половина периметра основания — полупериметр,

    Таким образом, если цилиндр вписан в призму, отношение площади боковой поверхности призмы к боковой поверхности цилиндра равно отношению объема призмы к объему вписанного цилиндра. В частности, отношение площади боковой поверхности правильной треугольной призмы к площади боковой поверхности вписанного цилиндра

    Отношение боковой поверхности правильной четырехугольной призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра

    Отношение боковой поверхности правильной шестиугольной призмы к боковой поверхности вписанного цилиндра

    При решении задач, в которых цилиндр вписан в призму, можно рассматривать часть сечения комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Для прямой призмы это сечение — прямоугольник, стороны которого равны радиусу цилиндра и высоте цилиндра. Например, AA1O1O: AA1=H, AO=r.

  5. Nelrajas Ответить

    Автор: Кузьминова Т.Н.
    Методическая копилка –
    Математика
    ЗАЧЁТ
    по геометрии в 11 классе за II полугодие
    1 вариант
    Вопрос
    Ответ
    Результат проверки
    1.Как называется множество точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки?
    2.Около всякой ли четырёхугольной призмы можно описать цилиндр?
    3.Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности, называются…
    4.Перечислите возможное взаимное расположение сферы и плоскости:
    5.Составьте уравнение сферы с центром в точке М(-2;6;-1) и R =3.
    6.Какая фигура является сечением при пересечении шара плоскостью?
    7.Как измениться поверхность шара, если его радиус увеличить в два раза?
    8.Плоскость, проходящая через высоту пирамиды, называется…
    9.Изобразите конус, его ось, высоту, образующую, осевое сечение
    10.Найдите соответствующую формулу, указав путь стрелкой:
    Sб.п. конуса                            1/2Росн. · d
    Sп.п. конуса                                pR(l+R)
    Sб.п.цилиндра                            2pRH+2pR
    Sп.п.цилиндра                                2pR
    Sб.п.пирамиды                                 2pRH
    Sпараллелепипеда                         Sосн · h
    Sсферы                                            4/3pR
    Vпризмы                                           2pRH
    Vцилиндра                                          4pR
    Vпирамиды                                   1/3pR H
    Vконуса                                               2pR
    Vшара                                                  abc
    11.Конус может быть получен при вращении прямоугольного треугольника вокруг:     а) катета;
    б)гипотенузы;   в) апофемы.
    12.Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?
    13. Осевое сечение сферы есть …
    14. Какие из углов будут равны:
    а) между образующими конуса и между образующими и основанием:
    б) между образующими конуса и его осью .
    15. Сколько граней, перпендикулярных плоскости основания может иметь пирамида?





    ЗАЧЁТ
    по геометрии в 11 классе за II полугодие
    2 вариант
    Вопрос
    Ответ
    Результат проверки
    1.Какая фигура получится при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета?
    2.Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и кругом , называется…
    3.Плоскость, проходящая через ось цилиндра, называется…
    4.Сколько граней у пятиугольной призмы?
    5.Апофема – это …
    6.Как измениться объём шара, если его радиус увеличить в два раза?
    7.Часть шара, отсекаемая от него плоскостью, называется…
    8.Какая фигура получится в сечении правильной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию?
    9.Изобразите четырёхугольную пирамиду, её высоту, боковое ребро, осевое сечение, апофему.
    10.Найдите соответствующую формулу, указав путь стрелкой:
    Sб.п. конуса                           1/2Росн. · d
    Sп.п. конуса                               pR(l+R)
    Sб.п.цилиндра                        2pRH+2pR
    Sп.п.цилиндра                              2pR
    Sб.п.пирамиды                               2pRH
    Vпараллелепипеда                    Sосн · h
    Sсферы                                          4/3pR
    Vпризмы                                        2pRH
    Vцилиндра                                    4pR
    Vпирамиды                                  1/3pR H
    Vконуса                                             2pR
    Vшара                                                abc
    11.Продолжи теорему: « Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости,…
    12.Вращением какой трапеции вокруг её боковой стороны может быть получен усечённый конус?
    а) любой;   б) равнобедренной;     в) прямоугольной.
    13.Осевое сечение шара есть …
    14. Центр шара, описанного вокруг пирамиды, лежит на … пирамиды.
    15.Каждая грань многогранника является касательной плоскостью к сфере. Что это значит?

  6. JOH Ответить

    Призма вписана в цилиндр, если ее основания — многоугольники, вписанные в основания цилиндра, а боковые ребра являются образующими призмы.


    Высоты вписанной призмы и цилиндра равны.
    В школьном курсе изучается только прямой круговой цилиндр, соответственно, вписанная в цилиндр призма также должна быть прямой.
    Призма может быть вписана в цилиндр, если около ее основания можно описать окружность. Отсюда следует, в цилиндр можно вписать любую правильную призму, прямую треугольную призму, прямоугольный параллелепипед.
    В ходе решения задач на призму, вписанную в цилиндр, можно рассмотреть часть осевого сечения комбинации тел — прямоугольник, стороны которого равны радиусу описанной около основания призмы окружности ( радиусу цилиндра) и высоте призмы (и цилиндра). Например, в прямоугольнике AA1O1O OO1=H — высота призмы и цилиндра, AO=R — радиус описанной окружности.
    Найдем отношение объема призмы к объему описанного около нее цилиндра:

    В частности, отношение объема правильной треугольной призмы к объему описанного цилиндра

    Отношение объема правильной четырехугольной призмы (то есть прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат) к объему описанного около нее цилиндра равно

    Отношение объема правильной шестиугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра

    (Как запомнить формулу для вычисления площади правильного шестиугольника, можно посмотреть здесь).
    Отношение боковой поверхности вписанной призмы к объему описанного цилиндра:

    Для правильной треугольной призмы это отношение равно

    для правильной четырехугольной —

    для правильной шестиугольной —

  7. Periris Ответить

    Главная
    Ошибки пособий Ященко
    Математика
    Реальныe варианты ЕГЭ по математике
    7 – 8 классы
    7 класс Входная мониторинговая контрольная работа 18-09-2019
    8 класс Диагностическая работа по алгебре Статград сентябрь 2019
    7 класс ВПР 18-04-2019 по математике
    7 класс Статград 4 марта 2019 Тренировочная работа в формате ВПР по математике
    7 класс ВПР по математике 2019
    7 класс КДР по АЛГЕБРЕ Краснодарский край Январь 2019
    8 класс КДР по АЛГЕБРЕ Краснодарский край Январь 2019
    10 класс
    Стартовая уровневая работа по математике 10 класс 01-10-2019 СтатГрад
    СтатГрад Тренировочная работа №2 по МАТЕМАТИКЕ 10-11 класс 17-05-2019
    Итоговая диагностическая работа для 10 математических классов 14-05-2019
    Итоговая уровневая работа по математике 10 класс 24-04-2019 СтатГрад
    10 класс КДР по математике апрель 2019 Демонстрационный вариант
    Статград 06-02-2019 Тренировочная работа №1 по математике 10 класс
    Статград 18-12-2018 Диагностическая работа по Математике по теме Тригонометрия
    Статград 04-12-2018 Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень) Колмогоров
    Статград 04-12-2018 по учебнику Никольского Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень)
    Статград 04-12-2018 по учебникам Алимова и Колягина Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень)
    Подготовка к ОГЭ 9 класс ГИА
    Задачи 7 ОГЭ
    Задачи 8 ОГЭ
    Задачи 9 ОГЭ
    Задачи 10 ОГЭ
    Задачи 12 ОГЭ
    Задачи 13 ОГЭ
    Задачи 14 ОГЭ
    Задачи 15 ОГЭ
    Задачи 16 ОГЭ
    Задачи 17 ОГЭ
    Задачи 18 ОГЭ
    Задачи 19 ОГЭ
    Задачи 20 ОГЭ
    Задачи 21 ОГЭ
    Задачи 22 ОГЭ
    Задачи 23 ОГЭ
    Задачи 24 ОГЭ
    Задачи 25 ОГЭ
    Задачи 26 ОГЭ
    Пособия для подготовки к ОГЭ
    50 вариантов математика ОГЭ 2019 Типовые тестовые задания Ященко Высоцкий
    38 вариантов математика ОГЭ 2019 Высоцкий Ященко
    Ященко ОГЭ 2018 20 вар
    36 вариантов ОГЭ 2018 ФИПИ Ященко
    Ященко ОГЭ 2017 36 вар
    Ященко ОГЭ 2016 36 вар
    ОГЭ 2020
    Пробные ОГЭ 2020
    Статград 9 класс Тренировочная работа №1 по математике 03-10-2019
    ОГЭ 2019
    ОГЭ по математике 06-06-2019 основная волна
    Досрочный ОГЭ по математике 22-04-2019
    Пробные ОГЭ 2019
    Статград 9 класс 15-05-2019 Тренировочная работа №5 по математике
    Статград 19-03-2019 Тренировочная работа №4 по математике 9 класс
    Статград 12-02-2019 Тренировочная работа №3 по МАТЕМАТИКЕ 9 класс
    Статград 13-12-2018 Диагностическая работа по алгебре и геометрии 9 класс профиль
    Статград 13-12-2018 по Атанасяну Диагностическая работа по алгебре и геометрии 9 класс
    Статград 08-11-2018 Тренировочная работа №2 по математике
    Задания ЕГЭ части 1
    Задачи 4
    Задачи 5
    Задачи 6
    Задачи 7
    Задачи 8
    Задания ЕГЭ части 2
    Задачи 9
    Задачи 11
    Задачи 12
    Задачи 13 с уравнениями
    Задачи 14 на стереометрию
    Задачи 15 с неравенствами
    Задачи 16 на планиметрию
    Задачи 17
    Задачи 18 с параметрами
    Задачи 19
    Критерии
    ЕГЭ 2020
    Пробные ЕГЭ 2020
    СтатГрад 25-09-2019 Тренировочная работа № 1 11 класс по математике
    Математика 50 вариантов заданий 2020 Ященко профильный уровень ЕГЭ
    ЕГЭ 2019
    ЕГЭ по математике 24-06-2019 резервный день
    ЕГЭ по математике 29-05-2019 основная волна
    Резервный день Досрочного ЕГЭ по математике 10-04-2019
    Досрочный ЕГЭ 2019 математика профильный уровень 29-03-2019
    Пробные ЕГЭ 2019
    СтатГрад 19-04-2019 Тренировочная работа № 5 11 класс по математике
    Пробный ЕГЭ 16-03-2019
    СтатГрад 13-03-2019 Тренировочная работа № 4 11 класс
    Пробный ЕГЭ 12-03-2019 Санкт-Петербург
    СтатГрад 24-01-2019 Диагностическая работа № 3 11 класс
    СтатГрад 20-12-2018 11 класс Тренировочная работа №2
    Тренировочная работа 20_09_2018 СтатГрад 11 класс
    Диагностическая работа 10_10_2018 Коми 11 класс
    Демонстрационный вариант КИМ ФИПИ ЕГЭ 2019
    ященко егэ 2019 математика профиль 36 вариантов
    Тренировочная работа 2 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 3 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 4 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 5 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 6 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 7 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 8 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 9 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 10 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 11 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 12 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 13 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 14 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 15 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 16 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 17 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 18 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 19 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 20 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 21 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 22 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 23 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 24 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 25 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 26 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 27 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 28 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 29 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 30 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 31 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 32 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 33 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 34 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 35 (36 вар 2019)
    Тренировочная работа 36 (36 вар 2019)
    36 вариантов ФИПИ егэ 2019 математика ященко
    14 вариантов 2019 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
    Вариант 1 (14 вар 2019 Ященко)
    Вариант 5 (14 вар 2019 Ященко)
    Вариант 6 (14 вар 2019 Ященко)
    Вариант 7 (14 вар 2019 Ященко)
    Вариант 8 (14 вар 2019 Ященко)
    Вариант 9 (14 вар 2019 Ященко)
    Вариант 10 (14 вар 2019 Ященко)
    Вариант 11 (14 вар 2019 Ященко)
    Вариант 12 (14 вар 2019 Ященко)
    Вариант 13 (14 вар 2019 Ященко)
    Вариант 14 (14 вар 2019 Ященко)
    20 вариантов тестов ЕГЭ 2019 Ященко Тематическая рабочая тетрадь
    Диагностическая работа 1 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 2 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 7 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 8 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 9 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 10 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 11 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 12 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 13 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 14 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 15 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 16 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 17 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 18 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 19 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    Диагностическая работа 20 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
    ВВ Мирошин АР Pязановский Математика Решение задач ЕГЭ 2019
    ОГЭ 2018
    Пробные ОГЭ 2018
    Пробник ОГЭ Санкт-Петербург 06-04-2018
    ЕГЭ 2018
    Резервный день ЕГЭ 2018 профиль 25 июня
    Реальный ЕГЭ 2018 профиль 1 июня основная волна
    ДОСРОЧНЫЙ ЕГЭ 2018
    ДОСРОЧНЫЙ ЕГЭ резервный день 11-04-2018
    Пробные ЕГЭ 2018
    Тренировочная работа 18_04_2018 СтатГрад 11 класс
    Пробный ЕГЭ в Санкт-Петербурге 4 апреля 2018
    Тренировочная работа 06_03_2018 СтатГрад 11 класс
    Тренировочная работа 25_01_2018 СтатГрад 11 класс
    Тренировочная работа 21_12_2017 СтатГрад 11 класс
    Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2018
    30 новых вариантов ЕГЭ 2018 Математика Мирошин В.В. Тренировочные задания
    Вариант 1
    Вариант 2
    Вариант 3
    Вариант 4
    Вариант 5
    Вариант 7
    Вариант 9
    Вариант 10
    Вариант 11
    Вариант 13
    Вариант 14
    Вариант 16
    36 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
    Тренировочная работа 6 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 7 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 8 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 9 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 10 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 11 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 13 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 14 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 15 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 16 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 17 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 18 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 19 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 20 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 21 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 22 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 23 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 24 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 25 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 26 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 27 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 28 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 29 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 30 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 31 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 33 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 34 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 35 (36 вар 2018)
    Тренировочная работа 36 (36 вар 2018)
    50 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
    Тренировочная работа 1
    Тренировочная работа 5
    Тренировочная работа 6
    Тренировочная работа 7
    Тренировочная работа 11
    Тренировочная работа 12
    Тренировочная работа 13
    Тренировочная работа 14
    Тренировочная работа 15
    Тренировочная работа 16
    Тренировочная работа 17
    Тренировочная работа 18
    Тренировочная работа 19
    Тренировочная работа 20
    Тренировочная работа 21
    Тренировочная работа 22
    Тренировочная работа 23
    Тренировочная работа 26
    Тренировочная работа 27
    Тренировочная работа 28
    Тренировочная работа 29
    Тренировочная работа 30
    Тренировочная работа 31
    Тренировочная работа 32
    Тренировочная работа 33
    Тренировочная работа 34
    Тренировочная работа 35
    Тренировочная работа 36
    Тренировочная работа 37
    Тренировочная работа 38
    Тренировочная работа 39
    Тренировочная работа 40
    Тренировочная работа 41
    Тренировочная работа 42
    Тренировочная работа 43
    Тренировочная работа 44
    Тренировочная работа 45
    Тренировочная работа 46
    Тренировочная работа 47
    Тренировочная работа 48
    Тренировочная работа 49
    Тренировочная работа 50
    2018 Математика профильный уровень Ященко 20 вариантов тестов Тематическая рабочая тетрадь
    Диагностическая работа № 10
    Диагностическая работа № 11
    Диагностическая работа № 14
    Диагностическая работа № 16
    Диагностическая работа № 17
    Диагностическая работа № 19
    Диагностическая работа № 20
    14 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
    Вариант 1 (14 вар 2018)
    Вариант 2 (14 вар 2018)
    Вариант 3 (14 вар 2018)
    Вариант 4 (14 вар 2018)
    Вариант 5 (14 вар 2018)
    Вариант 7 (14 вар 2018)
    Вариант 8 (14 вар 2018)
    Вариант 9 (14 вар 2018)
    Вариант 10 (14 вар 2018)
    Вариант 11 (14 вар 2018)
    Вариант 13 (14 вар 2018)
    Вариант 14 (14 вар 2018)
    ЕГЭ 2017
    Ященко ЕГЭ 2017 30 вариантов
    Пробные варианты ЕГЭ 2017
    Реальный ЕГЭ 2017
    Теория вероятностей в 9-11 классах
    Комбинаторика в школьной программе
    Геометрия
    Стереометрия
    Пирамида
    Призма
    Куб
    Теоремы стереометрии
    теорема О трёх перпендикулярах
    признак Перпендикулярности прямой и плоскости
    признак Параллельности плоскостей
    Скрещивающиеся прямые
    Линейный угол двугранного угла
    Угол между прямой и плоскостью
    Перпендикулярность плоскостей
    признак Параллельности прямых
    Свойство параллельных плоскостей
    Расстояние между скрещивающимися прямыми
    Параллельность прямой и плоскости
    Свойство транзитивности паралельных плоскостей
    Параллелепипед
    Правильный тэтраэдр
    Сфера
    способ Вспогательного объёма
    Цилиндр
    Конус
    Шар
    Расстояние от точки до плоскости
    Угол между плоскостями
    Площадь проекции плоской фигуры
    Планиметрия
    Треугольник
    Окружность
    Четырёхугольник
    Трапеция
    Параллелограмм
    Ромб
    Прямоугольник
    Теоремы планиметрии
    Свойство высоты гипотенузы
    свойство Вписанных углов
    Подобие треугольников
    свойство Медиан
    свойство Биссектрис
    свойство Касательной и Секущей
    свойство Касательных
    свойство Секущих
    теорема Косинусов
    теорема Синусов
    свойство Пересекающихся хорд
    свойство Вписанного четырёхугольника
    свойство Описанного четырёхугольника
    свойство Диагоналей параллелограмма
    свойство Средней линии треугольника
    свойство Средней линии трапеции
    Теорема Фалеса
    Свойство углов с взаимно перпендикулярными сторонами
    Теорема Менелая
    Свойство медианы гипотенузы
    Свойство Диаметра перпендикулярного к хорде
    Свойства параллельных прямых
    Признаки параллельных прямых
    свойство Вневписанной окружности
    Формула Герона
    Свойство угла между касательной и хордой
    Лемма о трезубце
    Координатный метод
    Алгебра
    Графический способ
    Функция
    Логарифм
    Метод Рационализации
    Метод логарифмирования
    Модуль
    Схема Горнера
    Обобщённый метод интервалов
    Числовая последовательность
    Арифметическая прогрессия
    Геометрическая прогрессия
    Параметры
    Система
    Теорема Крамера
    Уравнение
    Неравенство
    Способ неопределённых коэффициентов
    Вектор
    Нормальный вектор
    Тригонометрия
    Тригонометрическая подстановка
    МатАнализ
    Уравнение касательной
    Производная
    Предел
    Свойство монотонности
    Экстремум
    Аналитическая Геометрия
    Расстояние от точки до прямой
    Задачники Пособия
    Подсыпанин (2001)
    Зив
    Самара 2011 Учебное пособие Тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ
    Дополнительные вступительные испытания в ВУЗы
    ДВИ в МГУ
    Вступительные контрольные работы в ФМШ
    Контрольная работа на вступительном экзамене в ФМШ для 8 класса
    Олимпиада
    Ларин варианты
    ОГЭ(ГИА) 9 класс Ларин
    226 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
    225 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
    224 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
    223 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
    283 тренировочный вариант от Ларина
    282 тренировочный вариант от Ларина
    281 тренировочный вариант от Ларина
    280 тренировочный вариант от Ларина
    279 тренировочный вариант от Ларина
    278 тренировочный вариант от Ларина
    276 тренировочный вариант от Ларина
    275 тренировочный вариант от Ларина
    274 тренировочный вариант от Ларина
    273 тренировочный вариант от Ларина
    271 тренировочный вариант от Ларина
    270 тренировочный вариант от Ларина
    269 тренировочный вариант от Ларина
    268 тренировочный вариант от Ларина
    267 тренировочный вариант от Ларина
    266 тренировочный вариант от Ларина
    265 тренировочный вариант от Ларина
    264 тренировочный вариант от Ларина
    263 тренировочный вариант от Ларина
    262 тренировочный вариант от Ларина
    261 тренировочный вариант от Ларина
    260 тренировочный вариант от Ларина
    259 тренировочный вариант от Ларина
    258 тренировочный вариант от Ларина
    257 тренировочный вариант от Ларина
    256 тренировочный вариант от Ларина
    255 тренировочный вариант от Ларина
    254 тренировочный вариант от Ларина
    253 тренировочный вариант от Ларина
    252 тренировочный вариант от Ларина
    251 тренировочный вариант от Ларина
    250 тренировочный вариант от Ларина
    249 тренировочный вариант от Ларина
    248 тренировочный вариант от Ларина
    247 тренировочный вариант от Ларина
    246 тренировочный вариант от Ларина
    150 тренировочный вариант от Ларина
    149 тренировочный вариант от Ларина
    130 тренировочный вариант от Ларина
    93 тренировочный вариант от Ларина
    91 тренировочный вариант от Ларина
    89 тренировочный вариант от Ларина
    88 тренировочный вариант от Ларина
    87 тренировочный вариант от Ларина
    86 тренировочный вариант от Ларина
    85 тренировочный вариант от Ларина
    84 тренировочный вариант от Ларина
    82 тренировочный вариант от Ларина
    72 тренировочный вариант от Ларина
    Видео решения
    Изюминка
    Ошибки в ответах пособий
    Найти
    ответы математик
    ответ математика
    ответы по математике класс
    математика класс учебник ответы
    егэ профильный уровень
    ГДЗ по математике
    ФИПИ 2020
    Конспекты
    Комбинаторика и теория множеств в школе 10-11 классы
    Конспект по теории вероятностей в школе

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *