При каких условиях в электрической цепи возникают вынужденные?

4 ответов на вопрос “При каких условиях в электрической цепи возникают вынужденные?”

  1. Whitebrew Ответить

    Рассмотрим устройство колебательного контура, в который включен источник тока с напряжением, изменяющимся по периодическому закону:
    e(t)=?0cos ?t,
    где ?0 – амплитуда, ? – круговая частота.
    Фактически, это будет RLC-цепь.

    Рисунок 2.3.1. Вынужденные колебания в контуре.
    Будем считать, что для изображенной на этом рисунке электрической цепи выполняется условие квазистационарности. Это позволит нам записать закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений:
    RJ+qC+LdJdt=?0coc ?t.
    Величину LdJdt принято называть напряжением на катушке индуктивности. Фактически, это ЭДС самоиндукции катушки, которую мы для простоты вычислений перенесли с противоположным знаком в левую часть уравнения из правой.
    Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:
    uR+uC+uL=e(t)=?0cos ?t.
    где uR (t), uC (t) и uL (t) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами UR, UC и UL. Напряжения при установившихся вынужденных колебаниях изменяются с частотой внешнего источника переменного тока ?.

    Векторная диаграмма токов и напряжений

    Для решения уравнения вынужденных колебаний мы можем использовать достаточно наглядный метод векторных диаграмм. Для этого используем векторную диаграмму, на которой с помощью векторов изобразим колебания определенной заданной частоты ?.
    Давайте посмотрим, как построить векторную диаграмму токов и напряжений.

    Рисунок 2.3.2. Векторная диаграмма, на которой с помощью векторов изображены гармонические колебания A cos(?t+?1), B cos(?t+?2) и их суммы C cos(?t+?).
    Наклон векторов к горизонтальной оси определяется фазой колебаний ?1 и ?2, а длины векторов соответствуют амплитудам колебаний A и B. Относительный фазовый сдвиг определяет взаимную ориентацию векторов: ??=?1-?2. Для того, чтобы построить вектор, изображающий суммарное колебание, нам необходимо использовать правило сложения векторов: C>=A>+B>.
    При вынужденных колебаниях в электрической цепи для построения векторной диаграммы напряжений и токов нам необходимо знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для любого участка цепи.
    Источник переменного тока может быть подключен к:
    катушке индуктивности L;
    резистору с сопротивлением R;
    конденсатору с емкостью С.
    Рассмотрим эти три примера подробнее. Будем считать, что напряжение на резисторе, катушке и конденсаторе во всех трех случаях равно напряжению внешнего источника переменного тока.

    Резистор в цепи переменного тока

    JRR=uR=URcos ?t; JR=URRcos ?t=IRcos ?t
    Мы обозначили амплитуду тока, который протекает через резистор, через IR. Соотношение RIR=UR выражает связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе. Фазовый сдвиг в этом случае равен нулю. Физическая величина R – это активное сопротивление на резисторе.

    Конденсатор в цепи переменного тока 

    Запишем формулу:
    uC=qC=UCcos ?t
    JC=dqdt=CduCdt=CUC(-?sin ?t)=?CUCcos?t+?2=ICcos?t+?2.
    Соотношение между амплитудами тока IC и напряжения UC: 1?CIC=UC.
    Ток опережает по фазе напряжение на угол ?2.
    Определение 4

  2. Hugira Ответить

    ;
    .
    Подставив в эти выражения вместо и вместо , получим
    ; (1)
    .
    Таким образом, уравнение вынужденных электрических колебаний заряда в контуре имеет вид
    .
    Разделив это выражение на емкость конденсатора, получим уравнение вынужденных электрических колебаний напряжения на обкладках конденсатора.
    .
    Обозначим , тогда
    .
    Подставив в уравнение вместо выражение (1), получим
    .
    Для того, чтобы найти закон изменения со временем силы тока в таком контуре, необходимо продифференцировать по выражение для заряда переносимого в контуре, т.е.
    .
    Обозначим . Тогда, с учетом того, что , получим
    .
    Подставив в формулу вместо выражение (1), получим
    .
    Как и в случае механических колебаний существует электрический резонанс. Амплитуда вынужденных колебаний тока резко возрастает, когда , и достигает максимального значения при , независимо от величины .
    Резонансные кривые для силы тока изображены ниже.
    Они соответствуют резонансным кривым для скорости при механических колебаниях.
    Резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура .
    Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси , равен нулю: при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.
    Резонансная частота для заряда и напряжения на конденсаторе равна согласно определению
    .
    Подставив вместо и , получим
    .
    Резонансные кривые для напряжения на конденсаторе сходны с резонансными кривыми, получающимися для механических колебаний.

    При резонансные кривые стремятся к напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику с ЭДС .
    Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше величина , т.е. чем меньше активное сопротивление и чем больше индуктивность контура.
    В колебательном контуре можно получить незатухающие колебания только тогда, когда удается осуществить непрерывную компенсацию потерь энергии в контуре. Для этого необходимо, чтобы внешний источник тока совершал положительную работу.
    Если частота внешней ЭДС сильно отличается от частоты собственных колебаний контура, то у внешнего источника между ЭДС и силой тока существует разность фаз, вследствие чего за одну часть периода совершается положительная, а за другую – отрицательная работа.
    При резонансе ток, текущий через внешний источник, находится в фазе с ЭДС и в течение всего периода совершается только положительная работа.
    Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при включении внешнего напряжения последовательно с элементами колебательного контура. Вынужденные колебания можно также осуществить, подключив источник напряжения параллельно колебательному контуру.
    Явление резонанса используется в технике для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно
    .
    Настроив контур на одну из частот , т.е. подобрав соответствующим образом параметры и , можно получить на конденсаторе напряжение, превышающее величину данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс осуществляется, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны.
    Переменный ток
    Квазистационарные токи
    Законы Ома и Кирхгофа, установленные для постоянного тока, остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющегося тока и напряжения, если эти изменения происходят не очень быстро.
    Скорость распространения электромагнитных возмущений в электрической цепи равна скорости света.
    Если за время, необходимое для передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи, сила тока изменяется незначительно, то мгновенные значения силы тока во всех участках цепи будут практически одинаковы. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными.
    Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности запишется как
    ,
    где – длина цепи;
    – скорость распространения электромагнитных волн;
    – период изменений.
    Ток промышленной частоты квазистационарен для цепей длиной до 100 км. Пусть к зажимам сопротивления приложено напряжение, изменяющееся по закону
    ,
    где – амплитудное значение напряжения.
    Тогда, согласно условию квазистационарности, по закону Ома
    .
    Таким образом, между амплитудными значениями силы тока и напряжения имеется соотношение:
    .
    Переменный ток, текущий через индуктивность
    Подадим переменное напряжение на концы индуктивности с пренебрежимо малыми значениями сопротивления и емкости. В индуктивности потечет переменный ток, который приведет к возникновению ЭДС самоиндукции.
    .
    Уравнение закона Ома для неоднородного участка цепи запишется в виде

    Откуда
    .
    Это уравнение можно записать несколько иначе:
    .
    Проинтегрировав, это выражение получим
    .
    Так как , то .
    Обозначим через , тогда
    .
    Сопоставив выражение с выражением, связывающим амплитудные значения тока и напряжения , получим, что роль сопротивления в данном случае играет величина . Эта величина носит название реактивного индуктивного сопротивления или просто индуктивного сопротивления. Обозначается оно через :
    .
    В нашем случае все приложенное напряжение приложено к индуктивности, следовательно
    .
    Заменив через , получим
    .
    Сравнивая полученное выражение с выражением для силы тока в индуктивности, мы видим, что падение напряжения на индуктивности опережает по фазе ток, текущий через индуктивность на .
    Если направить ось токов горизонтально, то векторная диаграмма цепи будет иметь вид:

    Переменный ток, текущий через емкость
    Подадим переменное напряжение на емкость. Сопротивлением подводящих проводов и индуктивностью цепи пренебрежем. Тогда напряжение на конденсаторе будет равно внешнему напряжению, т.е.
    ;
    , .
    .
    Умножим обе части равенства на , тогда
    .
    Продифференцировав по , найдем, с учетом того, что ,
    .
    Обозначим через , тогда
    .
    Так как , то
    . (2)
    Сопоставив выражение с выражением, связывающим амплитудные значения токов и напряжений , мы видим, что роль сопротивления в данном случае играет величина . Она называется реактивным сопротивлением. Обозначается оно через .
    Для постоянного тока , следовательно . Это значит, что постоянный ток через конденсатор течь не может.
    Так как в рассматриваемом случае все приложенное напряжение приложено к емкости, то
    .
    Заменив через , получим
    .
    Сравнивая полученное выражение с выражением для силы тока в конденсаторе (2), мы видим, что падение напряжения на емкости отстает по фазе от тока на .
    Векторная диаграмма цепи будет иметь вид:

    Цепь переменного тока, содержащая емкость, индуктивность и сопротивление.
    Подадим на концы цепи, составленной из последовательно соединенной емкости, индуктивности и сопро-тивления, переменное напряжение частоты .
    В цепи возникнет переменный ток той же частоты, амплитуда и фаза которого определяется величиной , и .
    Построим векторную диаграмму этой цепи.
    Падение напряжения на сопротивлении будет равно , а фаза напряжения совпадает с фазой тока.
    Падение напряжения на индуктивности, амплитудное значение которого равно , опережает ток, как мы уже знаем, на . Поэтому вектор повернут относительно оси токов против часовой стрелки на угол .
    Падение напряжения на емкости с амплитудой отстает от тока по фазе, как мы уже знаем, на . Следовательно, вектор должен быть повернут относительно оси токов на угол по часовой стрелке.
    Сложив вектора , и , получим вектор приложенного внешнего напряжения, с амплитудой . Этот вектор образует с осью токов угол , величина которого равна
    .
    Как следует из диаграммы,
    .
    Откуда
    .
    Величина называется полным сопротивлением цепи.
    Величина называется реактивным сопротивлением.
    Таким образом,
    .
    В зависимости от соотношения и ток в цепи или отстает от внешнего напряжения или опережает его. Если , т.е , изменения тока происходят синфазно . Этому условию удовлетворяет частота .
    При этом и . и противоположно направлены.
    Это явление носит название резонанса напряжений, а соответствующая частота называется резонансной частотой.
    Векторная диаграмма для этого случая изображена ниже.
    Явление резонанса напряжений характерно тем, что полное сопротивление оказывается чисто активным и имеет наименьшую при данных параметрах цепи величину.
    Резонанс токов
    Рассмотрим цепь, образованную параллельно включенной емкостью и индуктивностью. Подадим на нее переменное напряжение, изменяющееся по закону
    .
    Тогда .
    Силы токов в параллельных ветвях равны
    , где ;
    , где .
    Как следует из этих выражений, токи и находятся в противофазе ( отстает от на , а опережает на ).
    Ток в неразветвленной части цепи
    .
    Т.к.
    , то
    .
    При ток в неразветвленной части цепи будет равен нулю, хотя токи и в отдельных ветвях могут быть очень велики. Это явление называется резонансом токов. Из условия для резонансной частоты получается такое же значение, что и при резонансе напряжений:
    .
    Отсюда определение: явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные индуктивное и емкостное сопротивления, при приближении частоты вынуждающей ЭДС к резонансной частоте контура называется резонансом токов.
    Соотношения между токами и при резонансе можно изобразить наглядно с помощью векторной диаграммы.
    При построении диаграмм токов вектора токов нужно откладывать относительно оси напряжений. Как мы уже отмечали, отстает от на , а опережает на . При резонансе длины векторов обоих токов одинаковы и результирующий ток равен нулю.
    Рассмотрим явление резонанса токов для цепи содержащей , и , включенных по следующей схеме.
    Силы токов в параллельных ветвях равны
    ;
    ;
    где
    ; ;
    ; .
    Сила тока в неразветвленной части цепи равна
    ,
    где
    ;
    .
    Итак, резонанс токов характерен тем, что полное сопротивление цепи оказывается активным и имеет наибольшую возможную при данных параметрах цепи величину. При этом токи и значительно превышают ток , текущий через источник и вся мощность выделяется на активном сопротивлении цепи .
    Мощность, выделяемая в цепи переменного тока
    Как мы уже знаем, мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока
    ,
    где
    ,
    ,
    где – разность фаз между током и напряжением.
    Тогда .
    Из тригонометрии нам известно, что
    .
    Тогда .
    График зависимости представлен ниже.
    Среднее значение, относительно которого колеблется мгновенная мощность,
    . (3)
    Ранее при рассмотрении цепи переменного тока, содержащей , и , мы получим формулу
    .
    Из тригонометрии нам известно, что
    .
    Тогда
    . (4)
    Величина, стоящая в знаменателе, как мы знаем, называется полным сопротивлением цепи. Обозначается буквой . Тогда
    .
    Подставив это значение косинуса в формулу для , получим
    .
    Т.к. , то
    .
    Сравнив эту формулу с формулой мощности, выделяемой в цепи постоянного тока, , мы видим, что
    .
    Эта величина называется эффективным значением силы тока.
    По аналогии величина носит название эффективного (или действующего) напряжения.
    Эти понятия введены потому, что мгновенное значение силы переменного тока непрерывно изменяется, а ее среднее значение равно нулю. Поэтому для измерения переменных токов решили использовать их тепловые действия.
    Дейтвующей или эффективной силой переменного тока называется сила такого постоянного тока, который в том же проводнике и за то же время выделит такое же количество теплоты, как и данный переменный ток.
    С использованием действующих значений формула для средней мощности переменного тока формула (3) примет вид:
    .
    Входящее в эту формулу значение носит название коэффициента мощности.
    Если реактивное сопротивление цепи равно нулю, т.е. , то, согласно формуле (4), и, следовательно, .
    При чисто реактивном сопротивлении цепи, т. е. при и средняя мощность, выделяемая в цепи, равна нулю.
    В технике стремятся сделать как можно больше. При малом для выделения в цепи необходимой мощности нужно пропускать ток большой силы. При этом возникают потери в проводящих проводах и приходится увеличивать их сечение.

  3. Плюшевый Ответить

    Колебания, возникающие в электрической цепи, содержащей R, L,C (рис.2), под действием внешней переменной электродвижущей силы , называются вынужденными.

    ~
    .


    Рис. 2
    Вынужденные колебания в электрической цепи описываются уравнением (5)
    (5)
    где – циклическая частота переменной ЭДС, С-1.
    Переменная ЭДС возбуждает в цепи переменный ток той же частоты , изменяющейся по закону
    (6)
    где – сдвиг по фазе между током и ЭДС
    В общем случае ток и ЭДС в такой цепи по фазе не совпадают. Значения тока и сдвиг по фазе зависят от параметров цепи R, L, C.
    Рассмотрим электрическую цепь (рис. 2), где R, L, C соединены последовательно с ЭДС. Выясним, как изменяется напряжения на каждом из участков R, L, C.
    По закону Ома напряжение на участке R выразится формулой:
    (7)
    Из сравнения (6) и (7) видим, что напряжение на активном сопротивлении R и ток совпадает по фазе. На векторной диаграмме амплитудные значения этих величин откладываем вдоль одной прямой, рис.3.

    Из формулы (7) ясно, что амплитудное значение напряжения , где R – активное сопротивление, определяющее необратимые затраты энергии на ленц – джоулево тепло (потребляет мощность).
    Напряжение на катушке индуктивности L определяется по формуле

    где – ЭДС самоиндукции В.
    После дифференцирования (6) и замены функции синуса на косинус получим формулу (8)
    (8)
    Сравнивая (6) и (8) видим, что напряжение UL опережает ток по фазе на . На векторной диаграмме это выглядит так: (рис. 4)

    Рис. 4

    Из формулы (8) запишем
    (9)
    где ULm – амплитудное значение напряжения;
    – индуктивное сопротивление, которое определяет затраты энергии на возбуждение магнитного поля в катушке.
    Напряжение на конденсаторе определяется по формуле

    Учитывая (6) и то, что после интегрирования и перехода к функции косинуса получим формулу
    (10)
    где – амплитудное значение напряжения на конденсаторе (UCm);
    – ёмкостное сопротивление, определяющее потери энергии на возбуждение электрического поля в конденсаторе.
    Из (6) и (10) видно, что напряжение UC отстаёт от тока по фазе на . Векторная диаграмма для этого случая изображена на рис. 5.

    Рис. 5
    Сопротивления и называются реактивными, т.е. при их наличии энергия не расходуется на нагревание проводников.
    В замкнутой цепи, изображенной на рис. 2, для каждого момента времени имеет место соотношение

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *