Сколько комбинаций можно составить из двух различных нечетных чисел?

12 ответов на вопрос “Сколько комбинаций можно составить из двух различных нечетных чисел?”

  1. Mr.Limon4ik Ответить


    Комбинаторика     – это раздел математики, посвящённый решению задач
    выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными
    правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов,
    расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в
    комбинаторных задачах: сколькими способами….
    К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических
    квадратов, задачи расшифровки и кодирования.
    Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих
    французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа
    комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к
    комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.
    Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило
    произведения    .
    Правило суммы

    Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно
    выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n +
    m способами.
    Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать
    5 + 6 = 11 способами.
    Правило произведения

    Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать
    m     способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.
    Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и
    марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).
    Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы
    нескольких множеств.
    Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то
    выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

    Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n –
    факториалом и обозначается символом n!

    n! = 1 • 2 • 3 • 4 •…• n.
    Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

    Принято считать 0! равным 1.
    Число перестановок из n равна n!

    Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд
    можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).
    Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева
    возможных вариантов    .
    Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.


    Практикум по решению задач по комбинаторике.
    ЗАДАЧИ и решения

    1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?
    6 + 5 + 4 = 15

    Ответ    : 15 вариантов.
    2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2
    алые и 4 жёлтые розы?
    3 + 2 + 4 = 9

    Ответ    : 9 вариантов.
    3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три
    дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

    5 • 3 = 15

    Ответ    : 15 путей.
    4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной
    согласной букв слова «платок»?
    гласные: а, о – 2 шт.
    согласные: п, л, т, к – 4 шт.
    2 • 4 = 8

    Ответ    : 8 способами.
    5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?
    6 • 8 = 48

    Ответ    : 48 пар.
    6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов
    обеда из двух блюд можно заказать?
    4 • 8 = 28

    Ответ    : 28 вариантов.
    7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и
    7, если цифры могут повторяться?
    1 цифра – 3 способа
    2 цифра – 3 способа
    3 цифра – 3 способа
    3 • 3 = 9

    Ответ    : 9 различных двузначных чисел.
    8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и
    5, если цифры могут повторяться?
    1 цифра – 2 способа
    2 цифра – 2 способа
    3 цифра – 2 способа
    2 • 2 • 2 = 8

    Ответ    : 8 различных чисел.
    9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3,
    если цифры могут повторяться?
    1 цифра – 3 способа
    2 цифра – 4 способа
    3 • 4 = 12

    Ответ    : 12 различных чисел.
    10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?
    Чётные цифры – 0, 2, 4, 6, 8.
    1 цифра – 4 способа
    2 цифра – 5 способов
    3 цифра – 5 способов
    4 • 5 • 5 = 100

    Ответ    : существует 100 чисел.
    11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?
    1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
    2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
    3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)
    9 • 10 • 5 = 450

    Ответ    : существует 450 чисел.
    12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр
    4, 5, 6?
    1 цифра – 3 способа
    2 цифра – 2 способа
    3 цифра – 1 способ
    3 • 2 • 1 = 6

    Ответ    : 6 различных чисел.
    13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя
    буквы А, В, С, D?
    1 вершина – 4 способа
    2 вершина – 3 способа
    3 вершина – 2 способа
    4 • 3 • 2 = 24

    Ответ    : 24 способа.
    14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4,
    5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?
    1 цифра – 5 способов
    2 цифра – 4 способа
    3 цифра – 3 способа
    5 • 4 • 3 = 60

    Ответ    : 60 различных чисел.
    15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр
    1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?
    1 цифра – 2 способа
    2 цифра – 4 способа
    3 цифра – 3 способа
    2 • 4 • 3 = 24

    Ответ    : 24 различных числа.
    16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх
    горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?
    1 полоса – 6 способов
    2 полоса – 5 способов
    3 полоса – 4 способа
    6 • 5 • 4 = 120

    Ответ    : 120 способов.
    17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу.
    Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в
    эстафете?
    1 человек – 8 способов
    2 человек – 7 способов
    3 человек – 6 способов
    8 • 7 • 6 = 336

    Ответ    : 336 способов.
    18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение,
    математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить
    на этот день?
    1 урок – 4 способа
    2 урок – 3 способа
    3 урок – 2 способа
    4 урок – 1 способ
    4 • 3 • 2 • 1 = 24

    Ответ    : 24 варианта.
    19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов
    расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков
    и все уроки разные?
    1 урок – 8 вариантов
    2 урок – 7 вариантов
    3 урок – 6 вариантов
    4 урок – 5 вариантов
    5 урок – 4 варианта
    8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720

    Ответ    : 6720 вариантов.
    20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных
    вариантов составления шифра?
    1 цифра – 5 способов
    2 цифра – 4 способа
    3 цифра – 3 способа
    4 цифра – 2 способа
    5 цифра – 1 способ
    5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

    Ответ    : 120 вариантов.
    21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором
    поставлено 6 приборов?
    6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

    Ответ    : 720 способов.
    22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если
    исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?
    1 цифра – 8 способов
    2 цифра – 10 способов
    3 цифра – 10 способов
    4 цифра – 10 способов
    5 цифра – 10 способов
    6 цифра – 10 способов
    7 цифра – 10 способов
    8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000

    Ответ    : 8.000.000 вариантов.
    23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов
    состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта
    станция?
    № телефона 394
    10 • 10 • 10 • 10 = 10.000

    Ответ    : 10.000 абонентов.
    24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно
    выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так,
    чтобы эти перчатки были различных размеров?
    Левые перчатки – 6 способов
    Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)
    6 • 5 = 30

    Ответ    : 30 способов.
    25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры
    разные. Сколько таких чётных чисел?
    5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
    4 цифра – 4 способа
    3 цифра – 3 способа
    2 цифра – 2 способа
    1 цифра – 1 способ
    2 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48

    Ответ    : 48 чётных чисел.
    26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и
    делящихся на 5?
    Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
    Из них делятся на 5 – 5.
    4 цифра – 1 способ (цифра 5)
    3 цифра – 4 способа
    2 цифра – 3 способа
    1 цифра – 2 способа
    1 • 4 • 3 • 2 = 24

    Ответ    : 24 числа.
    27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7,
    последняя цифра – чётная?
    1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
    2 цифра – 10 способов
    3 цифра – 1 способ (цифра 7)
    4 цифра – 10 способов
    5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)
    9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500

    Ответ    : 4500 чисел.
    28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2,
    четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?
    1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
    2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
    3 цифра – 5 вариантов
    4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
    5 цифра – 5 вариантов
    6 цифра – 1 вариант (цифра 6)
    5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125

    Ответ    : 125 чисел.
    29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8
    и 9?
    Однозначных – 2
    Двузначных – 2 • 2 = 4
    Трёхзначных – 2 • 2 • 2 = 8
    Четырёхзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16
    Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
    Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64

    Всего    : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

    Ответ    : 126 чисел.
    30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его
    заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
    Капитан – 11 способов
    Заместитель – 10 способов
    11 • 10 = 110

    Ответ    : 110 способов.
    31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать
    старосту и ответственного за проездные билеты?
    Староста – 30 способов
    Ответ. за билеты – 29 способов
    30 • 29 = 870

    Ответ    : 870 способов.
    32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько
    вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно
    составить?
    12 • 10 • 2 = 240

    Ответ    : 240 способов.
    33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33
    буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?
    1 буква – 33 способа
    2 буква – 32 способа
    3 буква – 32 способа
    4 буква – 32 способа
    33 • 32 • 32 • 32 = 1.081.344

    Ответ    : 1.081.344 комбинаций.

  2. Nuardin Ответить

    КОМБИНАТОРИКА
    Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.
    Правила сложения и умножения в комбинаторике
    Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.
    Пример 1.
    В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?
    Решение
    Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.
    По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.
    Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

    способами.
    Пример 2.
    В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
    Решение
    Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
    После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
    По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.
    Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
    Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?

    Пример 3.
    Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?
    Решение
    Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:
    .
    Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?
    .
    Пример 4.
    В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
    Решение
    Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.
    .
    Размещения без повторений. Размещения с повторениями
    Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

    Пример 5.
    В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
    Решение.
    В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

    Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.
    Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

    Пример 6.
    У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?
    Решение
    Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:
    .
    Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями
    Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

    Пример 7.
    Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?
    Решение
    Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

    Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.
    Пример 8.
    Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?
    Решение
    Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

    ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ “КОМБИНАТОРИКА”

  3. evgen Ответить

    Размещения
    № 1.     Имеем 4 разных конверта без марок и 3
    разные марки. Сколькими способами можно выбрать
    конверт и марку для отправления письма?
    Решение:
    34 = 12
    (способов)
    Ответ: 12 способов.

    № 2.     В коробке находится 10 белых и 6 черных
    шаров.
    1) Сколькими способами из коробки можно вынуть
    один шар любого цвета?
    2) Сколькими способами из коробки можно вынуть
    два разноцветных шара?
    Решение:
    = = = = 16 (способов)
    = = 10
    Ответ: 16; 60.

    № 3.     В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все
    разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин,
    после него из оставшихся фруктов Надя выбирает
    яблоко и апельсин. Сколько возможно таких
    выборов? При каком выборе Пети у Нади больше
    возможностей выбора?
    Решение:
    + = + = 21 + 19
    Если Петя берёт 1 яблоко, то у Нади больше
    возможностей для выбора.
    Ответ: 401. Петя берёт 1 яблоко.

    № 4.     Ученику необходимо сдать 4 экзамена на
    протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть
    составлено расписание его экзаменов?
    Решение:
    = = = 5.
    Ответ: 1680

    № 5.     Сколькими способами может расположиться
    семья из трех человек в четырехместном купе, если
    других пассажиров в купе нет?
    Решение:
    = = . Ответ: 24.

    № 6.     Из 30 участников собрания необходимо
    выбрать председателя и секретаря. Сколькими
    способами это можно сделать?
    Решение:
    = = = = = 29870(способов).
    Ответ: 870.

    № 7.     Сколькими способами могут занять первое,
    второе и третье места 8 участниц финального
    забега на дистанции 100 м?
    Решение:
    = = = = 6.
    Ответ: 336.

    № 8.     Сколькими способами можно изготовить
    трехцветный флаг с горизонтальными полосами,
    если есть материал 7 разных цветов?
    Решение:
    = = = = 5 = 210
    (способов).
    Ответ: 210.

    № 9.     Сколькими способами организаторы
    конкурса могут определить, кто из 15 его
    участников будет выступать первым, вторым и
    третьим?
    Решение:
    = = = =
    = = =13 = 2780
    (способов).
    Ответ: 2780.

    № 10.     На плоскости отметили 5 точек. Их
    необходимо обозначить латинскими буквами.
    Сколькими способами это можно сделать, если в
    латинском алфавите 26 букв?
    Решение:
    = = = = 22 (способов)
    Ответ: .

    № 11.     Сколько четырехзначных чисел можно
    составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,если цифры в числе не
    повторяются?
    Решение:
    = = = 2 = 120
    (способов).
    Ответ: 120.

    № 12*.     Сколько четырехзначных чисел можно
    составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8,если цифры в числе не
    повторяются?
    Решение:
    = = – = 5! -4! = 4!(5 – 1)
    = 1.
    Ответ: 96.

    № 13.     Сколько существует семизначных
    телефонных номеров, в которых все цифры разные и
    первая цифра отлична от нуля?
    Решение:
    = = – = – =
    = 44 = 4
    (номеров)
    Ответ: 544320.
    № 14. Сколько разных трехзначных чисел (без
    повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5
    так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2)
    кратными 5?

    Решение:
    2= = = 2 2) = = = = 2
    Ответ: 12; 48.

    № 15*.     Решите уравнение: 1) =20; 2) = 6.
    Решение:
    =20;
    = 20 ОДЗ: х
    = 20
    х2 – х – 20 = 0
    х1=5, х2= – 4(исключить).
    Ответ: 5.
    = 6.

    = 6
    = 6 ОДЗ: х
    = 6
    (х-4)(х-3) = 6
    х2 -3х -4х + 12 – 6 = 0
    х2 – 7х + 6 = 0 х1 = 6, х2 = 1
    (исключить).
    Ответ: 6.

    Перестановки
    № 1.     Сколькими способами 4 мужчины могут
    расположиться на четырехместной скамейке?
    Решение: Р4 = 4! = 1 = 24 (способа)
    Ответ: 24.

    № 2.     Курьер должен разнести пакеты в 7 разных
    учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
    Решение: Р7 = 7! = 1
    Ответ: 5040.

    № 3.     Сколько существует выражений,
    тождественно равных произведению abcde,
    которые получаются из него перестановкой
    множителей?
    Решение: Р5 = 5! =1 (выражений)
    Ответ: 120.

    №4.     Ольга помнит, что телефон подруги
    оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в
    каком порядке эти цифры расположены. Укажите
    наибольшее число вариантов, которые ей придется
    перебрать, чтобы дозвониться подруге.
    Решение:Р3 = 3! = 1(вариантов)
    Ответ: 6.

    № 5.     Сколько шестизначных чисел (без
    повторения цифр) можно составить из цифр:
    1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
    Решение:
    1) Р6 = 1720.
    2) Р6 – Р5 = 6! – 5! = 1
    Ответ: 1) 720; 2) 600.

    № 6.     Сколько среди четырехзначных чисел,
    составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр),
    есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2)
    кратны 5?
    Решение:
    1) Р3 =3! = 1 2) Р3 =3! = 1
    Ответ: 1) 6; 2) 6.

    № 7.     Найдите сумму цифр всех четырехзначных
    чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без
    повторения цифр в числе).
    Решение:
    Р4 = 4! = 1 = 24
    1+3+5+7 = 16 16
    Ответ: 384.

    № 8.     В расписании на понедельник шесть уроков:
    алгебра, геометрия, иностранный язык, история,
    физкультура, химия. Сколькими способами можно
    составить расписание уроков на этот день так,
    чтобы два урока математики стояли подряд?
    Решение:
    2.
    Ответ: 48.

    № 9*.     Сколькими способами можно расставить на
    полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники
    стихотворений, чтобы сборники стихотворений
    стояли рядом в случайном порядке?
    Решение:
    Р75
    = 7! 5! = 1
    Ответ: 604800.

    № 10.     Найдите, сколькими способами 5 мальчиков
    и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду
    места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это
    сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных
    местах, а девочки — на четных?
    Решение:
    Р10 = 10! =1 – расположения 5 мальчиков и 5 девочек в
    любом месте и в любом ряду.
    Если мальчики будут сидеть на нечетных местах,
    а девочки — на четных, то таких способов будет
    равно: Р55
    = 5!5! = 1
    Ответ: 3628800; 14400.

    Сочетания
    № 1.     В классе 7-м учащихся успешно занимаются
    математикой. Сколькими способами можно выбрать
    из них двоих для участия в математической
    олимпиаде?
    Решение: = = = = 21(способ).
    Ответ: 21.

    № 2.     В магазине “Филателия” продается 8
    разных наборов марок, посвященных спортивной
    тематике. Сколькими способами можно выбрать из
    них 3 набора?
    Решение:
    = = = = 56
    (способов).
    Ответ: 56.

    № 3.     Ученикам дали список из 10 книг, которые
    рекомендуется прочитать во время каникул.
    Сколькими способами ученик может выбрать из них 6
    книг?
    Решение:
    = = = = 210
    (способов).
    Ответ: 210.

    № 4.     На полке стоит 12 книг: англо-русский
    словарь и 11 художественных произведений на
    английском языке. Сколькими способами читатель
    может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен
    обязательно; 2) словарь ему не нужен?
    Решение: из 3 книг, которые надо выбрать – нужны
    1 словарь и 2 художественные = Р1 = 1! = 1 (способ) 2
    художественные из 11 художественных можно
    выбрать = = = = 55
    (способов).
    Тогда 1 словарь и 2 художественные книги можно
    выбрать
    = = = = 55 (способов)
    Если не нужен словарь, то
    = = = = 165
    (способов).
    Ответ: 55; 165.

    № 5.     В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек.
    Для уборки территории необходимо выделить
    четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими
    способами это можно сделать?
    Решение:
    = = = = =
    400400(способами)
    Ответ: 400400.

    Решите упражнения 6–26, используя известные
    вам формулы и правила комбинаторики.
    № 6.     Во время встречи 16 человек пожали друг
    другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?
    Решение:
    = = = =
    120(способов).
    Ответ: 120.

    № 7.     Группа учащихся из 30 человек решила
    обменяться фотографиями.
    Сколько всего фотографий необходимо было для
    этого?
    Решение:
    = = = 870
    (фотографий).
    Ответ: 870.

    № 8.     Сколько перестановок можно сделать из
    букв слова “Харьков”?
    Решение: Р7 – Р6 = 7! – 6! = 6!(7-1) = 6! = 1
    Ответ: 4320.

    № 9.     Бригадир должен откомандировать на
    работу бригаду из 5 человек.
    Сколько бригад по 5 человек в каждой можно
    организовать из 12 человек?
    Решение:
    = = = = 3
    Ответ: 3960.

    № 10.     Сколькими разными способами собрание из
    40 человек может выбрать из числа своих членов
    председателя собрания, его заместителя и
    секретаря?
    Решение:
    = = = = 59280
    (способов)
    Ответ: 59280.

    № 11.     Сколько прямых линий можно провести
    через 8 точек, из которых никакие три не лежат на
    одной прямой?
    Решение:
    = = = = 28 (прямых
    линий)
    Ответ: 28.

    № 12.     Сколько разных пятизначных чисел можно
    записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их
    повторения?
    Решение:
    = = = 2(разных
    пятизначных числа)
    Ответ: 126.

    № 13.     Определите число всех диагоналей
    правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника;
    3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.
    Решение: общая формула вычисления диагоналей у
    n- угольника
    = = = ;
    n=5, то = 10
    (диагоналей)
    n=12, то = 66
    (диагоналей)
    n=8, то = 28
    (диагоналей)
    n=15, то =
    105(диагоналей)
    Ответ: 10; 66; 28; 105.

    № 14.     Сколько разных трехцветных флагов можно
    сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?
    Решение: Р3 = 3! = 1 = 6 (флагов).
    Ответ: 6.

    № 15.     Сколько разных плоскостей можно
    провести через 10 точек, если ни какие три из них
    не лежат на одной прямой и никакие четыре точки
    не лежат в одной плоскости?
    Решение: = = = 360 (разных
    плоскостей)
    Ответ: 360.

    № 16*.     Сколько разных пятизначных чисел можно
    записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 без их
    повторения?
    Решение: Р5 – Р4 = 5! – 4! = 4! (5-1) = 4! 4 = 1 3 = 96 (разных
    пятизначных чисел)
    Ответ: 96.

    № 17.     Среди перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5
    сколько таких, которые не начинаются цифрой 5?
    числом 12? числом 123?
    Решение: 4! = 1 3 –
    перестановок начинаются цифрой 5.
    3! = 1 3 6 –
    перестановок начинаются цифрой 12.
    2! = 1
    перестановок начинаются с цифрами 123.

    № 18.     Среди сочетаний из 10 букв a, b, c,
    … по 4 сколько таких, которые не содержат буквы а?
    букв a и b?
    Решение:
    1) – = – = – = – =
    = = 63 (сочетаний
    не содержат букву a)
    2) ) – = – = – = – =
    = = 140
    (сочетаний не содержат букву a и b)
    Ответ: 126; 140.

    № 19.     Среди размещений из 12 букв a, b, c,
    … по 5 сколько таких, которые не содержат буквы а?
    букв a и b?
    Решение:
    – = – = – = =7 = 83160
    (размещений)
    – = – = – = =720(132 – 1) =
    94320 (размещений)
    Ответ: 83160; 94320.

    № 20.     Сколько необходимо взять элементов,
    чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз
    больше, чем число размещений из них по 2?
    Решение:
    = 12 ОДЗ: х N;
    x>4
    = 12


    (х-3)(х-2)(х-1)х = 12х(х-1)
    (х-3)(х-2) = 12
    х2 -2х -3х +6 = 12
    х2 -5х – 6 = 0 =6, =-1
    Ответ: 6.

  4. OMOVAZA Ответить

    Задача 1a
    Задача 1b
    При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?
    При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 6 друзей?
    Ответ: 30
    Ответ: 15
    Решение.
    Каждый из 6-ти специалистов отдал по 5 карточек (всем, кроме себя). Потребовалось
    6·5 = 30 карточек.
    Решение.
    В одном рукопожатии равноправно участвуют два человека. 6 друзей объединялись в группы по 2 без учёта порядка следования. Такие группировки (выборки) называются сочетаниями. Число сочетаний определяем по формуле
    С62 = 6!/2!/(6 – 2)! = 6!/2!/4! = 5·6/2 = 15.
    о вычислениях подробнее
    Задача 2a
    Задача 2b
    В хоровом кружке занимаются 9 человек. Необходимо выбрать двух солистов. Сколькими способами это можно сделать?
    В спортивной команде 9 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
    Ответ: 36
    Ответ: 72
    Решение.
    Два солиста равноправны. (Может быть, и петь планируют дуэтом.) Нас не волнует порядок следования в группе из 2-ух человек, выбранных из 9-ти. Значит определяем число сочетаний из 9 по 2.
    С92 = 9!/2!/(9 – 2)! = 9!/2!/7! = 8·9/2 = 36.
    Решение.
    Казалось бы, мы снова выбираем 2-ух человек из 9-ти, но теперь между ними качественная разница. Они будут выполнять разные обязанности в команде. Мы выбираем капитана И заместителя независимо друг от друга. Поэтому применим правило умножения вариантов (И-правило). Из 9-ти человек капитана можно выбрать 9-тью способами. Его заместителя из оставшихся 8-ми человек – 8-мью способами. Общее число вариантов: 9·8 = 72. (Заметьте, что если сначала выбрать заместителя из 9 человек, а потом капитана из оставшихся 8-ми, результат будет тот же.)
    Можно рассуждать иначе. Есть два места для капитана и его заместителя, нужно разместить на них 2-ух человек, выбрав их из 9-ти. Такие группировки (выборки) называются размещениями. Число размещений определяем по формуле
    А92 = 9!/(9 – 2)! = 9!/7! = 8·9 = 72.
    о формуле подробнее
    Задача 3a
    Задача 3b
    Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях?
    В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и история. Сколько различных способов составления расписания на понедельник существует?
    Ответ: 720
    Ответ: 120
    Решение.
    Легко понять, что в этой задаче речь идет о перестановках. 6 гостей занимают все 6 стульев и могут только меняться местами. Число перестановок из 6 определяем по формуле
    P6 = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.
    Решение.
    Может быть, не так очевидно, но это тоже перестановки. С точки зрения математики, вообще та же самая задача. Представьте себе, что расписание составляете вы. Чертите таблицу с пятью строками для пяти уроков (“готовите стулья”) и вписываете в каждую строку название одного из 5-ти предметов (“рассаживаете гостей”).
    Число перестановок из 5 определяем по формуле
    P5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120.
    Задача 4a
    Задача 4b
    Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?
    Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?
    Ответ: 10
    Ответ: 720
    Решение.
    В шахматной партии 2 равноправных участника (точно также, как в задаче о рукопожатиях). Значит из 5-ти человек формируем группы по 2 без учета порядка следования – сочетания. Определяем число сочетаний из 5 по 2.
    С52 = 5!/2!/(5 – 2)! = 5!/2!/3! = 4·5/2 = 10.
    Решение.
    На пьедестале почёта находятся 3 команды из 10, и для них очень существенно, кто какое место занял, т.е. порядок следования. Составление групп с учетом порядка следования – размещения. Число размещений определяем по формуле
    А103 = 10!/(10 – 3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720.
    Другой способ решения с использованием И-правила, как в задаче 2б. Однако, чем больше выборка, тем удобнее сразу применять готовую формулу.
    Задача 5a
    Задача 5b
    В меню столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 6 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить?
    Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?
    Ответ: 48
    Ответ: 20
    Решение.
    Выбираем три блюда: первое, И второе, И третье. Едим каждое блюдо отдельно (независимо друг от друга). Следовательно, можем применить правило умножения вариантов (И-правило). Из 2-ух первых блюд одно можно выбрать 2-мя способами, из 6-ти вторых одно можно выбрать 6-тью способами, из 4-ёх третьих одно – 4-мя способами.
    2·6·4 = 48.
    Решение.
    Чем отличается салат от описанного ранее обеда? Обед едим последовательно, а салат перемешиваем. Выбранные овощи в салате равноправны, очередность их попадания в общее блюдо не важна. Значит наши выборки это сочетания из 6 по 3.
    С63 = 6!/3!/(6 – 3)! = 6!/3!/3! = (4·5·6)/(1·2·3) = 20.
    Задача 6a
    Задача 6b
    В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими разными способами можно выбрать покупку из одного блокнота и одной ручки?
    В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки?
    Ответ: 28
    Ответ: 84
    Решение.
    Выбираем одну ручку И один блокнот. Одну ручку из 4-ёх 4-мя способами, один блокнот из 7-ми – 7-ю способами. Применяем правило умножения
    4·7 = 28.
    Решение.
    Выбираем одну ручку И два блокнота. Снова можем применить правило умножения вариантов. Одну ручку из 4-ёх можем выбрать 4-мя способами, два блокнота из 7-ми – ? способами.
    Чтобы определить сколько способов выбора 2-ух блокнов из 7-ми, воспользуемся формулой для числа сочетаний, т.к. для нас несущественно в каком порядке это было сделано.
    С72 = 7!/2!/(7 – 2)! = 7!/2!/5! = 6·7/2 = 21.
    Теперь применяем правило умножения
    4·21 = 84.
    Задача 7a
    Задача 7b
    На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?
    Секретный замок состоит из 4 барабанов, на каждом из которых можно выбрать цифры от 0 до 9. Сколько различных вариантов выбора шифра существует?
    Ответ: 5040
    Ответ: 10000
    Решение.
    Число способов встать в очередь равно числу перестановок 7-ми друзей в пределах этой очереди.
    P7 = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040.
    Задача такая же, как о гостях и стульях, но обратите внимание, насколько быстро растет число вариантов при увеличении числа переставляемых предметов.
    Решение.
    На каждом барабане можно выбрать 1-ну цифру из 10-ти 10-тью способами и независимо от других, поэтому применяем правило умножения:
    10·10·10·10 = 10000.
    Можно также считать, что нужно разместить 10 цифр на 4-ёх местах с повторениями. В комбинаторике существует раздел “Выборки с повторениями” (см. подробнее). В данном случае нам нужна формула для размещений.
    Число размещений с повторениями определяется как nk,
    где n – количество элементов для выбора (здесь n = 10 цифр), k – объём выборки или количество возможных повторов одного элемента (здесь k = 4, одна и та же цифра может быть установлена на всех четырех барабанах). Таким образом, искомое число вариантов
    104 = 10000.
    Задача 8a
    Задача 8b
    Сколько различных трёхзначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).
    Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 3, 7? (Цифры могут повторяться).
    Ответ: 6
    Ответ: 27
    Решение.
    Трёхзначное число состоит из 3-ёх цифр, которые нам даны. Поскольку цифры не могут повторяться, то получать различные числа можно только путем их перестановки. Число перестановок из 3-ёх определяем по формуле
    P3 = 3! = 1·2·3 = 6.
    Решение.
    Если цифры могут повторяться, то по разрядам их можно размещать независимо от друг от друга. Значит можем применить правило умножения вариантов (И-правило). Одну цифру из трёх для разряда сотен можно выбрять 3-мя способами, И одну цифру из тех же трёх для разряда десятков – 3-мя способами, И одну из трёх для разряда единиц – 3-мя способами. Общее число вариантов
    3·3·3 = 27.
    Задача 9a
    Задача 9b
    Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 7 и 3?
    Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).
    Ответ: 8
    Ответ: 6
    Решение.
    Трёхзначное число из двух цифр неизбежно будет содержать повторения, поэтому можно воспользоваться формулой для числа размещений с повторениями, как в задаче 7b. Здесь количество элементов для выбора n = 2 цифры, количество возможных повторов одного элемента k = 3 раза, цифра в трёхзначном числе может повториться трижды, например, 777. Таким образом, искомое число вариантов
    23 = 8.
    Но можно и проще, так как эта задача полностью аналогична задаче 8b. Также используем И-правило, выбирая одну из 2-ух цифр независимо для каждой из трёх позиций,
    2·2·2 = 8.
    В свою очередь, в задаче 8b можно было воспользоваться формулой для числа размещений с повторениями: 33 = 27.
    Дело в том, что формула как раз выводится с применением И-правила и теми же рассуждениями, какие описаны в решении этих задач.
    Решение.
    Классический случай размещений: выбираем из 3-ёх элементов без повторов и размещаем на 2-ух позициях – в разряд десятков и в разряд единиц. Число размещений определяем по формуле
    А32 = 3!/(3 – 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
    Задача 10a
    Задача 10b
    Сколько нечетных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 8, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).
    Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 7, 6, 5, 0, если цифры в записи числа не могут повторяться?
    Ответ: 6
    Ответ: 18
    Решение.
    Искомое число должно оканчиваться цифрой 3, так как 4, 6 и 8 делятся на 2 без остатка. Поэтому позиция единиц у нас уже занята, и остается разместить 3 цифры на 2-ух позициях – десятков и сотен. Число размещений из 3 по 2 определяем по формуле
    А32 = 3!/(3 – 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
    Решение.
    Сначала определим, сколько всего можно составить групп из 4-ёх заданных цифр по 3 с учётом порядка следования и без повторений.
    А43 = 4!/(4 – 3)! = 4!/1! = 1·2·3·4/1 = 24.
    Но не все эти группы будут трёхзначными числами. Те из них, которые начинаются с цифры 0, по существу, – двузначные числа.
    Сколько таких групп? Если на первом месте стоит 0, то на позициях десятков и единиц располагаются 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Определяем число размещений из 3 по 2
    А32 = 3!/(3 – 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
    Вычитая из общего числа вариантов лишние, получим
    24 – 6 = 18.
    Задача 11a
    Задача 11b
    Сколько четных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).
    Сколько четных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры в записи числа могут повторяться).
    Ответ: 12
    Ответ: 32
    Решение.
    Четными будут числа, оканчивающиеся на 4 ИЛИ на 6. Поэтому подсчитаем количество вариантов, заканчивающихся на одну из этих цифр, а затем воспользуемся правилом сложения (ИЛИ-правилом), чтобы определить общее число вариантов.
    Если число оканчивается 4-кой, то на позициях сотен и десятков могут находиться любые 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Число размещений из 3 по 2
    А32 = 3!/(3 – 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
    Также получается, если число оканчивается 6-кой: А32 = 6.
    Общее число вариантов 6 + 6 = 12.
    Решение.
    Так же, как в предыдущем случае рассмотрим отдельно числа, заканчивающиеся 4-кой и 6-кой, а затем воспользуемся правилом сложения вариантов.
    Пусть позиция единиц у нас занята цифрой 4. В этот раз в позиции десятков может стоять любая из четырёх заданных цифр (4 варианта) И в позиции сотен любая из этих же 4-ёх цифр (4 варианта), всего 4·4 = 16.
    Если число оканчивается на 6, теми же рассуждениями получаем еще 16 вариантов.
    Всего 16 + 16 = 32.
    Задача 12a
    Сколько различных дробей можно составить с использованием цифр 2, 3, 4? (В числителе и знаменателе не может быть одна и та же цифра.)
    Ответ: 18
    Решение.
    Заметим, что не только в числителе и знаменателе не может быть одна и та же цифра, но цифры вообще не могут повторяться, иначе задача не имела бы смысла. В число дробей входили бы, например, 2/3, 2/33, 2/333, 2/3333 и т.п. Таких вариантов бесконечное число.
    Далее заметим, что текст “с использованием цифр” может быть понят неоднозначно: с использованием всех трёх или с выбором из них. Здесь рассмотрим более общий случай – с выбором. Выборка не может состоять меньше, чем из двух цифр, чтобы хватило и на числитель, и на знаменатель.
    Дроби бывают правильные, в которых знаменатель больше числителя, например, 4/23, и неправильные, в которых числитель больше знаменателя, например, 23/4.
    Таким образом, возможны такие виды дробей */* ИЛИ **/* ИЛИ */**, где звёздочкой обозначено место для одной из заданных цифр. Подсчитаем число вариантов для каждого вида дроби отдельно, а затем сложим результаты в соответствии с ИЛИ-правилом.
    Случай */* определяется числом размещений из 3 по 2, так как используем не все заданные цифры и важен порядок следования (например, сравните 4/3 и 3/4).
    А32 = 3!/(3 – 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
    Случай */** определяется числом перестановок из 3, так как для такой дроби нужно использовать все заданные цифры. Дроби будут различаться только расположением цифр по позициям.
    P3 = 3! = 1·2·3 = 6.
    Случай **/* аналогичен предыдущему, также определяется числом перестановок из 3. P3 = 6.
    Общее число вариантов 6 + 6 + 6 = 18.
    Если вы получили ответ 12, а не 18, обязательно разберитесь почему. Это иначе понятое условие задачи? Забыты неправильные дроби? Ошибка в комбинаторике?

  5. Nector Play Ответить

    So, assume we have a set of n elements.
    Each ordered set of n is called permutation.
    For example, we have set of three elements – А, В, and С.
    Example of ordered set (one permutation) is СВА.
    Number of permutations from n is

    Example: For set of А, В, С number of permutations is 3! = 6. Permutations: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА
    If we choose m elements from n in certain order, it is arrangement.
    For example, arrangement of 2 from 3 is АВ, and ВА is the other arrangement. Number of arrangements of m from n is

    Example: For set of А, В, С number of arrangements of 2 from 3 is 3!/1! = 6.
    Arrangements: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ
    If we choose m elements from n without any order, it is combination.
    For example combination of 2 from 3 is АВ. Number of combinations of m from n is

    Example: For set of А, В, С number of combinations of 2 from 3 is 3!/(2!*1!) = 3.
    Combinations: АВ, АС, СВ
    Here is the dependency between permutations, combinations and arrangements

    Note – number of permutations from m

  6. Felkree Ответить

    дПЛБЪБФЕМШУФЧП. тБУУНПФТЙН РПДТПВОП, ЮЕН ПФМЙЮБАФУС ДТХЗ ПФ ДТХЗБ ДЧБ
    ТБЪОЩИ ТЕЪХМШФБФБ ФБЛПК УИЕНЩ ЧЩВПТБ.
    оБН ОЕ ЧБЦЕО РПТСДПЛ ОПНЕТПЧ, Ф.Е. НЩ ХЮЙФЩЧБЕН ФПМШЛП,
    УЛПМШЛП ТБЪ Ч ОБЫЕН ОБВПТЕ ЙЪ ОПНЕТПЧ ЫБТПЧ РПСЧЙМУС ЛБЦДЩК ОПНЕТ.
    рПЬФПНХ ТЕЪХМШФБФ ЧЩВПТБ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ ОБВПТПН
    ЮЙУЕМ , Ч ЛПФПТПН
    ?
    ЮЙУМП РПСЧМЕОЙК ЫБТБ ОПНЕТ Ч ОБВПТЕ,
    Й .
    юЙУМБ РТЙОЙНБАФ ЪОБЮЕОЙС ЙЪ .
    дЧБ ТЕЪХМШФБФБ ЧЩВПТБ Ч УИЕНЕ ЧЩВПТБ У ЧПЪЧТБЭЕОЙЕН Й ВЕЪ ХЮЈФБ РПТСДЛБ
    ТБЪМЙЮБАФУС,
    ЕУМЙ УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ ЙН ОБВПТЩ ОЕ УПЧРБДБАФ (РПТСДПЛ УМЕДПЧБОЙС ЬМЕНЕОФПЧ ХЮЙФЩЧБЕФУС).
    рТЕДУФБЧЙН УЕВЕ ДТХЗПК ЬЛУРЕТЙНЕОФ, ЙНЕАЭЙК ФПЮОП ФБЛЙЕ ЦЕ ТЕЪХМШФБФЩ,
    Й РПУЮЙФБЕН ЙИ ЛПМЙЮЕУФЧП.
    еУФШ СЭЙЛПЧ, Ч ЛПФПТЩИ ТБЪНЕЭБАФУС ЫБТПЧ. оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ФПМШЛП ЮЙУМП ЫБТПЧ Ч ЛБЦДПН СЭЙЛЕ.
    тЕЪХМШФБФПН ЬЛУРЕТЙНЕОФБ УОПЧБ СЧМСЕФУС ОБВПТ
    ЮЙУЕМ , ЗДЕ ТБЧОП ЮЙУМХ ЫБТПЧ Ч СЭЙЛЕ У ОПНЕТПН , Й . юЙУМБ РТЙОЙНБАФ ОБФХТБМШОЩЕ ЪОБЮЕОЙС ЙМЙ ТБЧОЩ ОХМА.
    б ФЕРЕТШ ЙЪПВТБЪЙН ТЕЪХМШФБФ ФБЛПЗП ТБЪНЕЭЕОЙС Ч ЧЙДЕ УИЕНЩ, Ч ЛПФПТПК
    ЧЕТФЙЛБМШОЩЕ МЙОЙЙ ПВПЪОБЮБАФ РЕТЕЗПТПДЛЙ НЕЦДХ СЭЙЛБНЙ, Б ФПЮЛЙ ?
    ОБИПДСЭЙЕУС Ч СЭЙЛБИ ЫБТЩ:

    нЩ ЧЙДЙН ТЕЪХМШФБФ ТБЪНЕЭЕОЙС ДЕЧСФЙ ЫБТПЧ РП УЕНЙ СЭЙЛБН. рЕТЧЩК СЭЙЛ
    УПДЕТЦЙФ ФТЙ ЫБТБ, ЧФПТПК Й ЫЕУФПК СЭЙЛЙ РХУФЩ, ФТЕФЙК СЭЙЛ УПДЕТЦЙФ ПДЙО ЫБТ,
    Ч ЮЕФЧЈТФПН Й РСФПН СЭЙЛБИ МЕЦЙФ РП ДЧБ ЫБТБ.
    рЕТЕМПЦЙН ПДЙО ЫБТ ЙЪ РЕТЧПЗП СЭЙЛБ ЧП ЧФПТПК Й
    ЙЪПВТБЪЙН ФБЛЙН ЦЕ ПВТБЪПН ЕЭЈ ДЧБ ТЕЪХМШФБФБ ТБЪНЕЭЕОЙС:


    чЙДЙН, ЮФП ЧУЕ ТБЪНЕЭЕОЙС НПЦОП РПМХЮЙФШ, НЕОСС НЕЦДХ УПВПК ЫБТЩ Й
    РЕТЕЗПТПДЛЙ, ЙМЙ ТБУУФБЧМСС ЫБТПЧ ОБ НЕУФБИ.
    юЙУМП РПМХЮБЕФУС ФБЛ: Х СЭЙЛПЧ ЕУФШ ТПЧОП РЕТЕЗПТПДЛБ,
    УЮЙФБС ЛТБКОЙЕ, ОП ЙЪ ОЙИ РЕТЕНЕЭБФШ НПЦОП МЙЫШ ЧОХФТЕООАА РЕТЕЗПТПДЛХ.
    фБЛЙН ПВТБЪПН, ЙНЕЕФУС НЕУФ, ЛПФПТЩЕ
    НПЦОП ЪБОСФШ ЫБТБНЙ МЙВП ЧОХФТЕООЙНЙ РЕТЕЗПТПДЛБНЙ. рЕТЕВТБЧ ЧУЕ ЧПЪНПЦОЩЕ
    УРПУПВЩ ТБУУФБЧЙФШ ЫБТПЧ ОБ ЬФЙИ НЕУФБИ
    (ЪБРПМОСС ПУФБЧЫЙЕУС НЕУФБ РЕТЕЗПТПДЛБНЙ), РЕТЕВЕТЕН ЧУЕ ОХЦОЩЕ ТБЪНЕЭЕОЙС.
    пУФБМПУШ ЪБНЕФЙФШ, ЮФП
    УРПУПВПЧ ТБУУФБЧЙФШ ЫБТПЧ ОБ НЕУФБИ УХЭЕУФЧХЕФ

    йНЕООП УФПМШЛП ЕУФШ УРПУПВПЧ ЧЩВТБФШ ЙЪ ОПНЕТПЧ НЕУФ ОПНЕТПЧ НЕУФ ДМС ЫБТПЧ.

  7. Drilltech Ответить

    Ответ: 1024.
    Задача 1.6. Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 10 книг по математике, имеющихся в библиотеке?
    Решение. Искомое число способов равно числу сочетаний из 10 элементов по 3 элемента в каждом, так как интересующие нас комбинации из трёх книг отличаются друг от друга только содержащимися в них книгами, а порядок расположения книг в этих комбинациях роли не играет. Следовательно, находим: = = 120.
    Ответ: 120.
    Задача 1.7. Сколько трёхзначных чётных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в записи числа могут повторяться?
    Решение. При составлении трёхзначного числа из данных цифр в качестве первой цифры (числа сотен) можно взять любую цифру, кроме 0. Значит, есть шесть возможностей выбора первой цифры. В качестве второй цифры (числа десятков) можно выбрать любую из данных в условии цифр. Значит, есть семь возможностей выбора второй цифры. В качестве последней цифры (числа единиц) можно взять любую из цифр 0, 2, 4, 6. Значит, есть четыре возможности выбора третьей цифры. Следовательно, согласно правилу произведения находим количество способов составления числа, удовлетворяющего условию задачи: 6 · 7 · 4 = 168.
    Ответ: 168.
    Задача 1.8. Сколько различных чисел можно составить из цифр 4 и 5, если количество цифр в записи числа не более пяти и не менее трёх?
    Решение. По условию задачи количество цифр в записи числа не более пяти и не менее трёх. Значит, их либо три, либо четыре, либо пять.
    Если число, записанное четвёрками и пятёрками, содержит три цифры, то таких чисел будет: = = 8.
    Если число, записанное четвёрками и пятёрками, содержит четыре цифры, то таких чисел будет: = = 16.
    Если число, записанное четвёрками и пятёрками, содержит пять цифр, то таких чисел будет: = = 32.
    Следовательно, согласно правилу суммы, находим количество способов составления числа, удовлетворяющего условию задачи: 8 + 16 + 32 = 56.
    Ответ: 56.
    Задачи
    1.1. Вычислите:
    а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
    1.2. Вычислите:
    а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
    з) Докажите, что = и вычислите .
    1.3. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и ещё пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности?
    1.4. В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 18 команд. Сколькими способами могут распределиться золотая, серебряная и бронзовая медали, если любая команда может получить только одну медаль?
    1.5. В группе из 10 человек надо выбрать трёх для уборки помещения. Сколько можно сделать различных вариантов такого выбора?
    1.6. В студенческой группе 25 человек. Из них надо выбрать четверых для участия в студенческой конференции. Сколькими способами можно это сделать?
    1.7. Сколькими способами можно расставить на одной книжной полке 7 книг разных авторов?
    1.8. Сколькими способами можно рассадить компанию из шести человек за столом, накрытым шестью приборами?
    1.9. Во взводе 3 сержанта и 30 солдат. Сколькими способами можно выделить одного сержанта и трёх солдат для патрулирования?
    1.10. Хоккейная команда состоит из двух вратарей, семи защитников и десяти нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестёрку, состоящую из вратаря, двух защитников и трёх нападающих?
    1.11. Обычно наибольшее количество очков на одной кости игры домино равно 12. Сколько костей содержала бы игра, если бы это число равнялось 18?
    1.12. Сколько костей содержала бы игра домино, если бы наибольшее количество очков на одной кости равнялось 20?
    1.13. Сколько различных десятизначных чисел можно написать, используя цифры 1 и 2?
    1.14. Сколько различных восьмизначных чисел можно написать, используя цифры 0,1,2?
    1.15. На пять сотрудников выделены три премии. Сколькими способами их можно распределить, если:
    а) размер премий различен?
    б) все премии одинаковые?
    1.16. В классе 30 учащихся. Сколькими способами из них можно выделить двух человек для дежурства по школе, если:
    а) один из них должен быть старшим?
    б) старшего быть не должно?
    1.17. Сколько диагоналей имеет выпуклый 12-угольник?
    1.18. Сколько диагоналей имеет выпуклый 17-угольник?
    1.19. Сколько существует двузначных чисел, записанных различными нечётными цифрами?
    1.20. Сколько существует трёхзначных чисел, записанных различными нечётными цифрами?
    1.21. Сколькими способами можно разложить пять различных писем по пяти различным конвертам, если в каждый конверт кладётся только одно письмо?
    1.22. В розыгрыше первенства по футболу было сыграно 153 матча. Каждые две команды встречались между собой один раз. Сколько команд участвовало в розыгрыше первенства?
    1.23. Из двух математиков и восьми экономистов надо составить комиссию из восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в неё должен входить хотя бы один математик?
    1.24. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?
    1.25. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
    1.26. Буквы азбуки Морзе представляют собой набор точек и тире. Сколько букв может быть в азбуке Морзе, если буква не должна содержать более четырёх знаков?
    1.27. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4, если:
    а) в каждом числе цифры не повторяются?
    б) цифры в числе могут повторяться?
    1.28. Сейф запирается на замок, состоящий из пяти дисков, на каждом из которых изображены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Замок открывается, если на дисках набрана определённая комбинация цифр. Хватит ли десяти дней на открытие сейфа, если “рабочий день” продолжается 13 часов, а на набор одной комбинации цифр уходит 5 секунд?
    Ответы
    1.1. а) 1; б) n; в) n!; г) 60; д) 120; е) 10; ж) 125;
    1.2. а) 1; б) n; в) 1; г) 21; д) 42; е) 49; ж) 5040; з) 435;
    1.3. 42;
    1.4. 4896;
    1.5.120;
    1.6.12650;
    1.7. 5040;
    1.8. 720;
    1.9. 12180;
    1.10. 5040;
    1.11. 55;
    1.12. 66;
    1.13. 1024;
    1.14. 4374;
    1.15. а) 60; б) 10.
    1.16. а) 870; б) 435;
    1.17. 54;
    1.18. 119;
    1.19. 20;
    1.20. 60;
    1.21. 120;
    1.22. 18;
    1.23. 44;
    1.24. 15015;
    1.25. 900;
    1.26. 30;
    1.27. а)12; б)16;
    1.28. Может не хватить времени, так как всего возможных комбинаций 100000, а за 10 дней работы по 13 ч в день можно набрать только 93600 комбинаций.

  8. Mc Mallene Ответить

    Решение. Один карандаш, по правилу суммы, можно выбрать 5+7+3 = 15 способами.
    Пример 4. Пусть из города в город можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города в город ?
    Решение. Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3 = 6 способов.
    Рассмотрим пример, иллюстрирующий различие принципов умножения и сложения.
    Пример 5. В магазине электроники продаются три марки телевизоров и два вида видеомагнитофонов. У покупателя есть возможности приобрести либо телевизор, либо видеомагнитофон. Сколькими способами он может совершить одну покупку? Сколько различных комплектов, содержащих телевизор и магнитофон, можно приобрести в этом магазине, если покупатель собирается приобрести в паре и телевизор, и видеомагнитофон?
    Решение. Один телевизор можно выбрать тремя способами, а магнитофон – другими двумя способами. Тогда телевизор или магнитофон можно купить 3+2=5 способами.
    Во втором случае один телевизор можно выбрать тремя способами, после этого видеомагнитофон можно выбрать двумя способами. Следовательно, в силу принципа умножения, купить телевизор и видеомагнитофон можно 3?2 = 6 способами.
    Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.
    Пример 6. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин. После чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?
    Решение. Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин – 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор способами.
    Пример 7. Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?
    Решение. В данной задаче мы должны рассмотреть три случая:
    а) все письма рассылаются по разным адресам;
    б) все письма посылаются по одному адресу;
    в) только два письма посылаются по одному адресу.
    Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n1 = 6?5?4 = 120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n2 = 6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами, и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n3=3?6?5=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно
    способами.
    Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору наудачу k элементов из n. При этом элементы: а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращений); б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).
    1. Схема выбора без возвращений
    Размещением из n элементов по k называют любой упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n – элементному множеству. Различные размещения отличны друг от друга или порядком элементов, или составом.
    Число размещений из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле
    (1.2)
    где n! = 1?2?3?…?n, 1! = 1, 0! = 1.
    Пример 8. В соревнованиях участвует 10 человек, трое из них займут 1, 2, 3 место. Сколько существует различных вариантов?
    Решение. В этом случае важен порядок распределения мест. Число различных вариантов равно
    .
    Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n. Число перестановок из n элементов обозначают Pn и вычисляют по формуле
    (1.3)
    Пример 9. Сколько существует способов расстановки 10 книг на полке?
    Решение. Общее число способов расстановки определяется как число перестановок (1.3) из 10 элементов и равно Р10 = 10! = 3628 800.
    Сочетанием из n элементов по k называется любой набор из k элементов, принадлежащих n – элементному множеству. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом.
    Число сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле
    (1.4)
    Справедливы тождества:




    Пример 10. Сколько существует способов выбора трех человек из десяти.
    Решение. В данном случае при выборе для нас важен только состав наборов по три человека, порядок выбора роли не играет, поэтому, в отличие от предыдущего примера, число способов выбора подсчитаем по формуле сочетаний (1.4)
    .
    2. Схема выбора с возвращениями
    Если при выборе k элементов из n, элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с nовторениями.
    Число размещений с повторениями:
    (1.5)
    Пример 11. В гостинице 10 комнат, каждая из которых может разместить четырех человек. Сколько существует вариантов размещения, прибывших четырех гостей?
    Решение. Каждый следующий гость из 4 может быть помещён в любую из 10 комнат, так как рассматривается идеализированный опыт, поэтому общее число размещений, по формуле размещений с повторениями (1.5), равно
    .
    Если при выборе k элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с nовторениями. Число сочетаний с повторениями из n элементов по k определяется:
    (1.6)
    Пример 12. В магазине продается 10 видов тортов. Очередной покупатель выбил чек на три торта. Считая, что любой набор товаров равновозможен, определить число возможных заказов.
    Решение. Число равновозможных заказов по формуле (1.6) равно
    .

  9. ВЕРНУ Ответить

    .
    Размещения с повторениями: если каждый элемент может быть использован раз, то число размещений с повторениями будет равно:
    .
    Пример. На кодовом замке 10 кнопок. Код состоит из трех различных цифр. Сколько различных кодов можно набрать?
    Решение.Так как при наборе трехзначного кода можно набирать 3 цифры из имеющихся 10 в любом порядке, то есть коды могут отличаться либо составом цифр, либо порядком их расположения, то для подсчета числа различных кодов воспользуемся формулой размещений:
    , то есть
    720 различных кодов.
    Пример. Пять человек вошли в лифт на первом этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах?
    Решение.Каждый из пяти пассажиров может выйти на любом из восьми этажей со 2-го по 9-й включительно. Так как все пассажиры могут выйти на разных этажах, а могут на каком-то этаже выйти несколько пассажиров (например, на втором этаже вышел один пассажир, на четвертом – один, и трое вышли на восьмом этаже), то для подсчета числа способов выхода 5 пассажиров из лифта следует воспользоваться формулой размещения с повторениями:
    .
    Такой же результат можно получить, используя правило умножения: для первого пассажира имеется 8 вариантов выхода на этаже, для второго тоже 8, и для третьего – 8, и для четвертого – 8, и для пятого – 8. Всего получается: вариантов выхода 5-ти пассажиров.
    3. Сочетания.
    Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементам, отличающиеся друг от друга только составом элементов.
    В сочетаниях, в отличие от размещений, не учитывается порядок элементов. Число сочетаний из n элементов по m элементов вычисляется по формуле
    .
    Сочетания с повторениями: если каждый элемент из n элементов может быть использован m раз, то число сочетаний с повторениями будет равно:
    .
    Пример. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? Сколькими способами можно выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых?
    Решение.Так как порядок выбора цветов не имеет значение, то выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 14 гвоздик, можно способами.
    .
    Красную гвоздику из 10 имеющихся можно выбрать 10 способами или . Выбрать две розовые гвоздики из имеющихся четырех можно способами. Поэтому букет из одной красной и двух розовых гвоздик можно составить (по правилу умножения) способами.
    Пример. В магазине имеется 7 видов тортов. Сколькими способами можно составить набор, содержащий 3 торта? А если имеются 3 вида тортов, а нужен набор из 7 тортов?
    Решение.Поскольку порядок расположения тортов в наборе не играет роли, то искомое число наборов равно числу сочетаний с повторениями из 7 элементов по 3 в каждом:
    ;
    Если имеется 3 вида тортов, а нужен набор из 7 тортов, то число возможных наборов равно:
    .
    Урновые схемы
    Есть урна, (то есть ящик), содержащая n занумерованных объектов, которые мы будем называть шариками. Мы выбираем из этой урны k шариков. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать k шариков из n, или сколько различных результатов (то есть наборов, состоящих из k шариков) получится.
    На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся
    – с тем, как организован выбор (скажем, можно ли шарики возвращать в урну), и
    – с тем, что понимается под различными результатами выбора.
    Рассмотрим следующие возможные схемы выбора:
    1. Выбор с возвращением: каждый выбранный шарик возвращается в урну, то есть каждый из k шариков выбирается из полной урны. В полученном наборе, состоящем из k номеров шариков, могут встречаться одни и те же номера (выборка с повторениями).
    2. Выбор без возвращения: выбранные шарики в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера (выборка без повторений).
    И в том, и в другом случае результатом выбора является набор из k номеров шариков. Удобно считать, что шарики всегда выбираются последовательно, по одному (с возвращением или без).
    Условимся, какие результаты мы будем считать различными.
    Есть две возможности:
    1. Выбор с учетом порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так, при выборе трех шариков из урны, содержащей 5 шариков, наборы (1,2,5), (2,5,1) (4,4,5) различны, если производится выбор с учетом порядка.
    2. Выбор без учета порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Так, в примере выше первые два набора (1,2,5), (2,5,1) есть один и тот же результат выбора, а набор (4,4,5) — другой результат выбора.
    Подсчитаем теперь, сколько возможно различных результатов при каждой из четырех схем (выбор с возвращением и без, и в каждом из этих случаев учитываем ли мы порядок или нет).

  10. MoskowHD Ответить

    Другие темы раздела
    Комбинаторика Каково число всех возможных комбинаций трёх карт?
    http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1923805.html
    В колоде 36 карт на удачу вытянули 3 карты. Каково число всех возможных комбинаций? Сколько таких троек содержит колода, сколько таких 3 содержат хотя бы один туз, сколько раз повторяются карты 7,…
    Комбинаторика Сколькими способами можно выбрать две карты, одна из которых туз?
    Из колоды с 36 картами извлекают 2 карты.Сколькими способами можно это сделать так,чтобы среди отобранных карт оказался ровно один туз?
    Комбинаторика Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр?
    Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 так, чтобы в каждом числе были две различные четные цифры и три различные нечетные цифры, причем число начиналось и…
    Комбинаторика Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98
    Здравствуйте, при разборе решения к задаче возникли вопросы.
    При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел….
    http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1914144.html
    Комбинаторика Расчёт возможных вариантов в булевой алгебре
    http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1913668.html
    Предположим у меня есть три переменные: А и Б и С. Каждая из них может принимать только 1 или 0. Колличество переменных будет меняться. По какой формуле можно определить, сколько вариаций комбинаций…
    Сколько существует способов вытащить из колоды(52 карты) 13 карт Комбинаторика
    Сколько существует способов вытащить из колоды(52 карты) 13 карт?
    Комбинаторика В четыре различные урны кладут семь различных шаров, найдите число разложений, когда нет пустых урн
    В четыре различные урны кладут семь различных шаров, найдите число разложений, когда нет пустых урн
    По формуле же? Akn=n!\(n-k)!
    n=7 k=4 т.е. ответ: 4*5*6*7=840?
    В четыре различные урны кладут…
    Комбинаторика Сколькими способами можно разложить 7 одинаковых монет в 3 кармана?
    С помощью какой формулы надо решать: сочетание, размещение, перестановки?
    http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1899523.html
    Комбинаторика Сколько существует четырёхугольников, вписанных вершинами которых являются точки на окружности?
    http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1896603.html
    Каждая любой пара точек соединена прямой так, что в точке пересекаются не более двух прямых. Сколько существует 4-х угольников, вписанных вершинами которых являются точки на окружности, если…
    Комбинаторика Сколько условных единиц дороги будет заасфальтировано?
    В городе Бубликово 11 площадей. Между некоторыми площадями есть дороги с двусторонним движением. Катя, живущая в Бубликово, решила составить матрицу смежности для площадей своего города. Если с…
    http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1894141.html

  11. Принцесс~КоIIIоколадка Ответить

    Существуют две схемы выбора m элементов (0 < m ? n) из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все m элементов или последовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.
    Схема выбора без возвращений
    Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.
    Размещением из n элементов по m элементов (0 < m ? n) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов. Из определения вытекает, что размещения — это выборки (комбинации), состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений из n элементов по m элементов обозначается символом («А из эн по эм») и вычисляется по формуле
    (1)
    или
    , где (2)
    Для составления размещения надо выбрать m элементов из множества с n элементами и упорядочить их, т. е. заполнить m мест элементами множества. Первый элемент можно выбрать n способами, т. е. на первое место можно поместить любой из n элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся n-1 элементов n-1 способами. Для выбора третьего элемента имеется n-2 способа, четвертого — n-3 способа, и, наконец, для последнего m-го элемента – (n-(m-1)) способов. Таким образом, по правилу умножения, существует n(n-1)(n-2)…(n-(m-1)) способов выбора m элементов из данных n элементов, т. е. .
    Пример 3. Составить различные размещения по 2 из элементов множества D = {а, b, с}; подсчитать их число.
    Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (а, b), (b, а), (а, с), (с, а), (b, с), (с, b). Согласно формуле (1) их число: = 3?2 = 6.
    Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.
    Из определения вытекает, что перестановки — это выборки (комбинации), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов обозначается символом Рn («пэ из эн») и вычисляется по формуле
    Рn = n!. (3)
    Формула (3) следует из определения перестановки:
    Пример 4. Составить различные перестановки из элементов множества Е={2, 7, 8}; подсчитать их число.
    Из элементов данного множества можно составить следующие перестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По формуле (3) имеем: Р3 = 3! = 1?2?3 = 6.
    Пример 5. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?
    Искомое число способов равно числу перестановок из 5 элементов (книг), т. е.
    Р5=5!=1?2?3?4?5 = 120.
    Сочетанием из n элементов по m (0 < m ? n) элементов называется любое подмножество, которое содержит m элементов данного множества. Из определения вытекает, что сочетания — это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, т. е. отличаются только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается символом («цэ из эн по эм») и вычисляется по формуле
    (4)
    или
    (5)
    Число размещений из n элементов по m элементов можно найти следующим образом: выбрать m элементов из множества, содержащего n элементов (это можно сделать способами); затем в каждом из полученных сочетаний (подмножеств) сделать все перестановки для упорядочения подмножеств (это можно сделать Рm способами). Следовательно, согласно правилу умножения, можно записать:

    Отсюда или

    Можно показать, что имеют место формулы:



    Пример 5. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества D – {а, b, с}; подсчитать их число.
    Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по два элемента: (а, b); (a,с); (b,с). Их число: (формула (4)).
    Пример 6. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? А если выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых?
    Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 14 гвоздик, можно способами. По формуле (4) находим: . Далее: красную гвоздику можно выбрать способами. Выбрать две розовые гвоздики из имеющихся четырех можно способами. Поэтому букет из одной красной и двух розовых гвоздик можно составить, по правилу умножения, способами.
    Схема выбора с возвращением
    Если при выборке m элементов из n элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.
    Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех размещений из n элементов по m с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле (6)
    Пример 7. Из 3 элементов а, b, с составить все размещения по два элемента с повторениями.
    По формуле (1.12) число размещений по два с повторениями равно . Это: (а,а), (а,b), (а, с), (b,b), (b,а), (b,с), (с,с), (с,а), (с, b)
    Пример 8. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры:
    а) 2. 5, 7, 8;
    б) 0, 1, 9?
    а) Все пятизначные числа, составленные из цифр 2. 5, 7, 8, отличаются друг от друга либо порядком их следования (например, 25558 и 52855), либо самими цифрами (например, 52788 и 78888). Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 5 с повторениями, т.е. . Таким образом, искомое число пятизначных чисел равно . Этот же результат можно получить, используя правило умножения: первую цифру слева в пятизначном числе можно выбрать четырьмя способами, вторую — тоже четырьмя способами, третью – четырьмя, четвертую — четырьмя, пятую — четырьмя. Всего получается 4?4?4?4?4=1024 пятизначных чисел.
    б) Если пятизначные числа состоят из цифр 0, 1, 9, то первую цифру слева можно выбрать двумя способами (0 не может занимать первую позицию), каждую из оставшихся четырех цифр можно выбрать тремя способами. Согласно правилу умножения, таких чисел будет 2?3?3?3?3=162. (Иначе: .)
    Если при выборке m элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.
    Число всех сочетаний из n элементов по m с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле
    (7)
    Пример 9. Из трех элементов а, b, с составить все сочетания по два элемента с повторениями.
    По формуле (7) число сочетаний по два с повторениями равно . Составляем эти сочетания с повторениями: (а, а), (a. b), (а, с), (b,b), (b, с), (с, с).
    Пример 10. Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?
    Рассматриваемое множество состоит из трех различных элементов, а выборки имеют объем, равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из трех элементов по 5 в каждом. По формуле (7) имеем
    Пусть в множестве с n элементами есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент — n2 раз …, к-й элемент — nk раз, причем n1+n2+…+nk=n.
    Перестановки из n элементов данного множества называют перестановками с повторениями из n элементов.
    Число перестановок с повторениями из n элементов обозначается символом
    Рn(n1, n2, … ,nk) и вычисляется по формуле
    (8)
    Пример 11. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 3, 5, 5, 8?
    Применим формулу (8). Здесь n=5, n1=2, n2=2, n3= 1. Число различных пятизначных чисел, содержащих цифры 3, 5 и 8, равно

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *