Сколько можно провести плоскостей через две параллельные прямые?

6 ответов на вопрос “Сколько можно провести плоскостей через две параллельные прямые?”

  1. Goltile Ответить

    Параллельность прямых и плоскостей – это когда прямые в пространстве, которые будут лежать в одной плоскости и они совсем не пересекаются.

    Содержание:

    Прямая и плоскость
    Параллельные плоскости

    Прямая и плоскость

    Если две прямые лежат в одной плоскости, они либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен и третий случай. Например, если ABCD — тетраэдр, то прямые АВ и CD не пересекаются и не параллельны. Они не лежат в одной плоскости.Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
    Признак:
    Если плоскость ? параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости ?, то эти плоскости параллельны
    Материал из Википедии — свободной энциклопедии
    Плоскость, проходящая через одну из двух скрещивающихся прямых и какую-нибудь точку на другой, пересекает другую прямую. Свойства скрещивающихся прямых рассмотрим далее. А здесь займемся изучением параллельных прямых в пространстве.

    Отрезки параллельных прямых

    Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.Из определения следует, что через две параллельные прямые всегда можно провести. Ведь если допустить, что через параллельные прямые а и Ь проведены две различные плоскости, из этого следовало бы, что через прямую а и некоторую точку прямой Ь проведены две различные плоскости. Но этого не может быть (теорема 44).
    две параллельные плоскости
    Отрезки параллельных прямых
    Аналитическое определение процентов
    1
    Прямая лежит в плоскости
    -76
    2
    Прямая и плоскость имеют только одну общую точку
    -45
    3
    Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки
    -23

    Параллельные плоскости

    Итак, к перечисленным способам задания плоскости можно прибавить еще один: плоскость можно однозначно задать двумя параллельными прямыми. Из аксиомы параллельности Евклида следует, что в плоскости через данную точкуможно провести не более одной прямой, параллельной данной. А сколько таких прямых можно провести в пространстве?Теорема 46. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.Доказательство.
    Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка АЧерез них можно провести единственную плоскость .
    В этой плоскости через А можно провести единственную прямую аи параллельную прямой а. Первая часть теоремы доказана.Каждая иная прямая, проходящая через точку Л и отличная от аь или не лежит с прямой а в одной плоскости, или пересекается с а, т. е. не параллельна а. Значит, прямая а единственная из всех прямых, проходящих через точку А и параллельных прямой а.Две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости. А три или более? Могут и не лежать в одной плоскости.
    Например, все ребра прямозубой цилиндрической шестерни лежат на параллельных прямых, но не принадлежат одной плоскости. То же можно сказать о продольных ребрах шпунтовых досок, стержнях атомного реактора, вертикальных колоннах строящегося дома и т. д.Теорема. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.Доказательство*. Пусть а\Ь и Ь\с. Докажем, что দс. Прямые а и с не могут пересекаться. В противном случае через точку их пересечения проходили бы две разные прямые, параллельные Ь, что противоречило бы теореме.
    Предположим, что прямые а и с скрещивающиеся. Через параллельные прямые а и b, b и с проведем плоскости у и а, а через прямую а и какую-нибудь точку С прямой с — плоскость р. Пусть плоскости аир пересекаются по прямой т. Прямые Ь, с, т лежат в одной плоскости а, причем Ь\с. Поэтому прямая т, пересекающая с, пересекает в некоторой точке

  2. Bokelv Ответить

    Важные аксиомы стереометрии
    1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
    Таким образом, любая плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой: \(\pi=(ABC)\)(рис. 1).
    2. Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости: \(a\in \pi\).
    Говорят также, что плоскость содержит прямую: \(\pi\subset a\) (рис. 2).
    3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
    Таким образом, если плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой: \(\pi\cap \mu=p\).
    Данная прямая \(p\) называется линией пересечения плоскостей (рис. 3).

    Заметим, что плоскость обычно изображают в виде внутренности параллелограмма. Почему? Посмотрите, например, сбоку на стол. В виде какой фигуры выглядит столешница?
    Следствия из аксиом
    1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 4).
    2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 5).

    Доказательство
    1. Действительно, отметим на прямой \(a\) некоторые две точки \(A\) и \(B\). Тогда мы получим три точки \(A, B, C\), не лежащие на одной прямой. Через них можно провести единственную плоскость \(\pi\). А т.к. две выбранные точки \(A\) и \(B\) прямой лежат в этой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
    2. Действительно, пусть \(O\) – точка пересечения данных прямых \(p\) и \(q\). Отметим еще по одной точке \(P\) и \(Q\) на каждой прямой (отличающиеся от точки \(O\)). Получили три точки \(P, Q, O\), не лежащие на одной прямой. Через них проходит единственная плоскость \(\pi\). А т.к. две точки каждой прямой лежат в этой плоскости, то и все точки каждой прямой будут лежать в этой плоскости.
    \[{\Large{\text{Параллельность в пространстве}}}\]
    Определения
    Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
    Следствие 1
    Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
    Теорема 1
    Через любую точку \(A\) в пространстве, не лежащую на данной прямой \(b\), проходит прямая \(a\), параллельная данной, и притом только одна.
    Доказательство
    Через точку \(A\) и прямую \(b\) можно провести единственную плоскость (по аксиоме); пусть эта плоскость называется \(\pi\). Прямая \(a\), параллельная прямой \(b\), должна лежать с ней в одной плоскости, а также должна проходить через точку \(A\), следовательно, должна лежать в плоскости \(\pi\). Но в плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной (теорема планиметрии), чтд.
    Теорема 2
    Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
    Доказательство
    Пусть \(a\parallel b\) и \(a\cap \pi=A\). Докажем, что и \(b\) пересечет плоскость \(\pi\) (назовем их точку пересечения \(B\)).

    Проведем через прямые \(a\) и \(b\) плоскость \(\mu\) (это возможно в силу определения параллельных прямых). Тогда плоскости \(\pi\) и \(\mu\) имеют общую точку \(A\), следовательно, имеют и общую прямую \(p\), на которой лежат все их общие точки. Но т.к. \(b\parallel a\) и \(a\cap
    p=A\), то прямая \(b\) тоже пересекает прямую \(p\). Значит, прямая \(b\) пересекает и плоскость \(\mu\) (это и есть точка \(B\)).
    Теорема 3: о параллельности трех прямых
    Если прямая \(a\) параллельна прямой \(b\), а та в свою очередь параллельна прямой \(c\), то \(a\parallel c\).
    Доказательство
    1) Отметим некоторую точку \(C\) на прямой \(c\) и проведем плоскость \(\pi\) через прямую \(a\) и точку \(C\). Прямая \(c\) будет лежать в этой плоскости. Действительно, т.к. прямая \(c\) и плоскость \(\pi\) имеют общую точку \(C\), то в противном случае прямая \(c\) будет пересекать эту плоскость. Но т.к. \(b\parallel c\), то и прямая \(b\) будет пересекать \(\pi\); а т.к. \(a\parallel b\), то и прямая \(a\) будет пересекать эту плоскость. А это противоречит нашему построению.
    2) Теперь прямые \(a\) и \(c\) лежат в одной плоскости, значит, они могут либо пересекаться, либо быть параллельны. Предположим, что \(c\) пересекает \(a\) в точке \(A\). Тогда получается, что через точку \(A\) проведены две прямые, параллельные прямой \(b\), что противоречит теореме 1.
    Определение
    Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:
    1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости) — рис. 4;
    2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость) — рис. 6;
    3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).
    Теорема 4: признак параллельности прямой и плоскости
    Если прямая \(a\), не лежащая в плоскости \(\pi\), параллельна некоторой прямой \(p\), лежащей в плоскости \(\pi\), то она параллельна данной плоскости (рис. 7).
    Доказательство

    Докажем, что прямая \(a\) не может пересекать плоскость \(\pi\) (случай, что прямая лежит в плоскости, невозможен по условию). Предположим, что это не так. Во-первых, проведем плоскость \(\mu\) через прямые \(a\) и \(p\) (значит, плоскости \(\pi\) и \(\mu\) пересекаются по прямой \(p\)). Во-вторых, пусть \(a\cap\pi=A\). Т.к. \(a\parallel p\), то точка \(A\) не может лежать на прямой \(p\). Значит, плоскости \(\pi\) и \(\mu\) имеют еще одну общую точку \(A\), не лежащую на их линии пересечения, что противоречит аксиоме 3. Чтд.
    Следствие 2
    Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\). Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\), то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) — прямая \(m\) — параллельна прямой \(p\) (рис. 8).
    Доказательство

    Т.к. прямые \(m\) и \(p\) лежат в одной плоскости \(\pi\), то они могут быть либо параллельны, либо пересекаться, либо совпадать. Совпадать они не могут, потому что тогда \(p\in \mu\), а это противоречит условию. Если \(m\cap p=O\), то \(p\) пересекает плоскость \(\mu\) в точке \(O\), что опять же противоречит условию. Значит, \(m\parallel p\).
    Следствие 3
    Если прямые \(a\) и \(b\) параллельны и прямая \(a\) также параллельна плоскости \(\alpha\), то и прямая \(b\) либо параллельна, либо лежит в плоскости \(\alpha\).
    Определение
    Существует три типа взаимного расположения плоскостей в пространстве: совпадают (имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой), пересекаются (имеют общие точки, лежащие строго на одной прямой), и не имеют общих точек.
    Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.
    Теорема 5: признак параллельности плоскостей
    Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.
    Доказательство
    Рассмотрим две плоскости \(\pi\) и \(\mu\) и в них пересекающиеся прямые \(a, b\) и \(a_1, b_1\) соответственно, такие что \(a\parallel a_1, \
    b\parallel b_1\). Докажем, что плоскости не имеют общих точек.

    Предположим, что это не так. Пусть плоскости имеют общую точку, значит они имеют и общую прямую \(y\): \(\pi\cap \mu=y\). Данная прямая не может быть параллельна обеим прямым \(a\) и \(b\) (т.к. они все лежат в одной плоскости \(\pi\)), значит, хотя бы одну из этих прямых она пересекает. Пусть это будет прямая \(a\), то есть \(a\cap y=Y\). Т.к. прямая \(y\) лежит и в плоскости \(\mu\), то \(Y\in \mu\), то есть прямая \(a\) имеет с плоскостью \(\mu\) общую точку \(Y\). Но это невозможно, т.к. по признаку параллельности прямой и плоскости прямая \(a\) параллельна плоскости \(\mu\). Чтд.
    Следствие 4
    Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\), то линии пересечения плоскостей также параллельны:
    \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

    Следствие 5
    Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны:
    \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow
    A_1B_1=A_2B_2\]

  3. Arazahn Ответить

    «Теоремы о параллельности плоскостей и прямых» – Середина. Провести плоскость. Отрезки параллельных прямых. Различные прямые. Расположение плоскостей в пространстве. Теорема. Проведем плоскость. Аксиомы. Плоскость. Взаимное расположение прямых в пространстве. Плоскости не пересекаются. Любые три точки лежат в одной плоскости. Плоскость проходит через сторону АС.
    «Параллельность в пространстве» – Прямая и плоскость имеют только одну точку. Параллельность трех прямых. Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями равны. Параллельные прямые в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Оглавление. Параллельность плоскостей. 2.Следствие. Кроссворд. Параллельность в пространстве.
    «Параллельность плоскостей в пространстве» – Плоские углы. Взаимное расположение. Параллельность плоскостей. Грани додекаэдра. Параллельные плоскости. Доказательство. Прямая одной плоскости. Признак параллельности двух прямых. Утверждение. Могут ли быть параллельными две плоскости. Признак параллельности двух плоскостей. Грани октаэдра. Углы. Докажите параллельность плоскостей.
    «Параллельность прямых в пространстве» – Являются ли параллельными прямые AB и CC1. Прямые AA1 и CC1 параллельны. Прямые AB и C1F1 параллельны. Прямые AB и C1D1 параллельны. N параллельных между собой прямых. Прямые, проходящие через вершины многогранника. Найдите геометрическое место (ГМ) прямых. Являются ли параллельными прямые AB и CD. Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра октаэдра.
    «Определение параллельности прямых» – Полуплоскости. Стороны. Взаимное расположение прямых. Параллелепипед. Параллельность плоскостей. Взаимное расположение. Две прямые. Плоскость. Отрезки параллельных прямых. Углы с сонаправленными сторонами. Скрещивающиеся прямые. Признак параллельности. Метод. Две параллельные плоскости. Лемма. Теорема.
    «Параллельные прямые в пространстве» – Теорема о параллельных прямых. Вспомним планиметрию. Следствия аксиомы параллельных прямых – ? Лучи в пространстве называются параллельными, если … Параллельность прямых в пространстве. …Они лежат на параллельных прямых. Какие прямые в пространстве называются параллельными? Проходит прямая, параллельная данной и притом только одна.
    Всего в теме
    «Параллельность в пространстве»
    14 презентаций

  4. Swordhammer Ответить

    Аксиомы стереометрии. Параллельность прямой и плоскости.1. Прямая пересекает 2 стороны треугольника.
    Параллельность прямой и плоскости.
    1. Прямая пересекает 2 стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
    2. Прямая пересекает вершину треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
    3. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости. Принадлежит ли четвертая вершина параллелограмма этой плоскостим?
    4. Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?
    5. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости.Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?
    6. Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки; две различные точки; через прямую и не лежащую на ней точку; через две параллельные прямые?
    7. Верно ли утверждение: любые три точки принадлежат плоскости; через любые три точки проходит единственная плоскость?
    8. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости Может ли данная прямая пересечь какуб-либо прямую, лежащую в плоскости?
    9. Средняя линия трапеции лежит в плоскости A. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?
    10. Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей А и В. Каково взаимное расположение а и А; в и В?
    11. Прямая в непараллельна линии пересечения плоскостей а и в. Какого взаимное расположение в и а; в и В?
    12. Сколько можно провести через данную точку: прямых, параллельных данной плоскости; плоскостей, параллельных данной прямой?
    13. Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.
    14. Плоскость А параллельна одной из двух параллельных прямых. Каково взаимное расположение вторпой прямой и плоскости А?
    15. Сторона АВ параллелограмма АВСD лежит в плоскости а. Докажите, что сторона CD параллельна этой плоскости.
    16. Прямая пересекает плоскость. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?
    17. Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?
    18. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?
    19. Прямые а и в скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и в быть параллельными Пересекаться?
    20. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?
    21. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?
    22. Как могут быть расположены прямая и плоскость, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в этой плоскости, скрещиваются?
    9 лет

  5. Zulugrel Ответить

    Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 2













    1.Параллельность прямых в пространстве.
    2.Признак параллельности прямых.
    3.Признак параллельности плоскостей.
    4.Свойства параллельных плоскостей.
    5.Примеры.
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8

    1. Параллельность прямых в пространстве

    Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
    Доказательство. Пусть b данная прямая и точка А, не лежащая на данной прямой. Проведем через точку А и прямую b плоскость ?. А через точку А прямую a, параллельную прямой b. (Рис.1)
    Допустим, что существует другая прямая а’, параллельная прямой b и проходящая через точку А. Тогда через них можно провести плоскость ?. Отсюда следует, что через точку А и прямую b можно провести две плоскости. А это невозможно согласно теореме о единственности существования плоскости, проведеной через прямую и не лежащую на ней точку. Таким образом, плоскости ? и ? совпадают. А следовательно, согласно аксиоме, прямые а и a’ совпадают также.

    Рис. 1 Параллельность прямых в пространстве.

    2.Признак параллельности прямых

    Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
    Доказательство. Пусть прямые а и b лежат в разных плоскостях и параллельны прямой с. Доказать, что прямые а и b параллельны между собой. (Рис.2)
    Проведем через прямую a и c плоскость ?. Через прямые b и c плоскость ?. Прямая с – прямая пересечения плоскостей ? и ?. Отметим на прямой а точку А. Проведем через точку А и прямую b плоскость ?. Тогда плоскость ? будет пересекать плоскость ? по прямой а’. Прямая a’ либо паралельна прямой c, либо ее пересекает. Допустим прямая а’ пересекает прямую с. Тогда эта точка пересечения принадлежит плоскости ?, т.к. прямая с принадлежит двум плоскостям ? и ?. А т.к. прямая а’ полностью принадлежит плоскости ?, а прямая b есть прямая пересечения плоскостей ? и ?, то это означает, что она пересекает и прямую b. А это означает, что прямые b и c пересекаются, т.к. прямая a’ пересекает плоскость ? только в одной точке, которая должна принадлежать двум прямым b и с. А это противоречит условию. Следовательно прямая a’ не пересекает прямую с. Она ей параллельна. Согласно аксиоме, на плоскости ?, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. И эта прямая а. Т.е. прямые а и а’ совпадают. Это значит, что прямые а и b параллельны.

    Рис.2 Признак параллельности прямых

    3. Признак параллельности плоскостей

    Теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
    Доказательство.
    Пусть ? и ? данные плоскости. Прямая а параллельна прямой а1. Прямая b параллельна b1 (Рис.3). Допустим, что плоскости ? и ? пересекаются по прямой с. Тогда прямая с должна пересекать, как минимум, одну из прямых на каждой плоскости. Пусть это будут прямые а и а1. Т.к. прямые а и а1 параллельны, следовательно они пересекают прямую с в разных точках Е и Е1. Проведем через две параллельные прямые а и а1 плоскость ?. Тогда точки Е и Е1, которые лежат на прямой с, будут принадлежать плоскости ?. Следовательно, прямая с полностью принадлежит плоскости ?. Отсюда следует, что:
    а ? ?, ?.
    а1 ? ?, ?.
    с ? ?, ?,?
    т.е. плоскости ? и ? пересекаются по двум прямым а и с, а плоскости ? и ? пересекаются по прямым а1 и с.

    Рис. 3 Признак параллельности плоскостей.
    Согласно аксиоме стереометрии, это невозможно, т.к. две плоскости могут пересекаться только по одной прямой. И следовательно, наше предположение неверно. Плоскости ? и ? не пересекаются, они параллельны.

    4. Свойства параллельных плоскостей

    Теорема: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
    Доказательство.
    Пусть даны две параллельные плоскости ? и ? (Рис.4). Плоскость ? пересекает их по прямым а и b.
    Допустим, что прямые пересечения плоскостей пересекаются. Это прямые а и b’. Прямая а – это множество точек, принадлежащих плоскостям ? и ?. А так как прямая b’ представляет собой множество точек, пренадлежащих двум плоскостям ? и ?, то отсюда следует, что существует точка пересечения прямых а и b’, которая принадлежит плоскости ?. И следовательно, плоскости ? и ? имеют общую точку. А это противоречит условию, т.к. плоскости ? и ? не пересекаются, они параллельны. Следовательно, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Т.е. они тоже параллельны.

    Рис. 4 Свойства параллельных плоскостей.

    5. Пример 1

    Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются.
    Доказательство:
    Пусть даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Проведем через прямую АВ и точку С плоскость ? (Рис.5). Так как прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямая CD не лежит в плоскости ?, а пересекает ее в одной точке С.
    Отсюда следует, что точка D не принадлежит плоскости ?. Она лежит вне ее.
    Таким образом, если мы проведем прямую АС, то она полностью будет принадлежать плоскости ?, так как две ее точки А и С принадлежат плоскости ?.
    А прямая BD не будет принадлежать плоскости ?, так как точка D не принадлежит плоскости ?. Прямая BD будет пересекать плоскость ? в одной точке В.
    Отсюда можно сделать вывод, что прямая АС не может пересекать прямую BD, так как прямая АС полностью принадлежит плоскости ?. А прямая BD имеет только одну общую точку с плоскостью ?, точку В. Но так как точка В не лежит на прямой АС, следовательно, прямые АС и BD не пересекаются. Они являются скрещивающимися.

    Рис.5 Задача. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся…

    Пример 2

    Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.
    Доказательство:
    Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем плоскость ? через точки A, D, C и плосксоть ?’ через точки А, В, С (Рис.6). Точки P, S, F, E являются серединами отрезков AB, BC, AD и CD соответственно. Необходимо доказать, что прямая PS параллельна прямой FE.
    Рассмотрим треугольник АВС. Он полностью лежит в плоскости ?’, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок PS представляет собой среднюю линию треугольника, которая параллельна АС.
    Теперь рассмотрим треугольник АСD. Он полностью лежит в плоскости ?, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок FE представляет собой среднюю линию треугольника, которая также параллельна АС.
    Отсюда можно сделать вывод: если две прямые PS и FE параллельны третьей прямой АС, то они параллельны и между собой. И равны половине основанию АС. Таким образом, PSEF представляет собой параллелограмм.

    Рис.6 Задача. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости…

    Пример 3

    Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и ВС, АС и BD, AD и BC пересекаются в одной точке.
    Доказательство:
    Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем отрезки EP, VS, FT, которые соединят середины сторон AB и CD, BC и AD, AC и BD соответственно (Рис.7).
    Из предыдущей задачи нам известно, что четырехугольник EVPS, вершины которого являются серединами отрезков АВ, ВС, СD и AD, есть параллелограмм, у которого EP и VS диагонали. Эти диагонали пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.
    Теперь рассмотрим четырехугольник VTSF. Данный четырехугольник также является параллелограммом, так как его вершины – это середины отрезков BC, BD, AC и AD. А его диагонали VS и FT пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.
    Так как у отрезка VS середина одна, т.е. точка О, то все три диагонали EP, VS и FT пересекаются в этой точке.

    Рис.7 Задача. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости…

    Пример 4

    Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость ? по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости ?.
    Доказательство:
    Пусть даны две плоскости ? и ?, пересекающиеся по прямой а (Рис.8). Эти плоскости пересекают плоскость ? по параллельным прямым b и с. Необходимо доказать, что прямая а параллельна плоскости ?.
    Прямая b – это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям ? и ?. Прямая с – это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям ? и ?. Так как прямые b и с параллельны, то на этих прямых нет ни одной точки, которая одновременно принадлежала бы трем плоскостям.
    Прямая а – это множество точек, которые принадлежат двум плоскостям ? и ?. Допустим, что она пересекает плоскость ?. Тогда на ней должна быть точка, которая принадлежала бы одновременно трем плоскостям. А следовательно, она одновременно лежала бы на прямых b и с. Но это противоречит условию задачи, так как прямые b и с не пересекаются. Следовательно, прямая а параллельна прямым b и с. А отсюда следует, что она параллельна плоскости ?.

    Рис.8 Задача. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а…

    Пример 5

    Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку О, пересекают плоскость ? в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную ? и не проходящую через точку О, тоже в вершинах параллелограмма.
    Доказательство:
    Пусть даны четыре прямые, проходящие через точку О, ОА, ОВ, ОС и OD (Рис.9). Они пересекают плоскость ? в точках А, В, С и D соответственно.
    Проведем плоскость ?’, параллельную плоскости ?. Тогда прямые ОА, ОВ, ОС и OD пересекут плоскость ?’ в точках A’B’C’D’.
    Проведем плоскость ? через точки А, В, A’, B’. Тогда прямые АВ и A’B’ не пересекаются, так как это прямые пересечения двух параллельных плоскостей ? и ?’ с секущей плоскостью ?.
    Отсюда следует, что прямые ВС и В’С’, CD и C’D’, AD и A’D’ параллельны. А так как АВ параллельна CD, а ВС параллельна AD, то следовательно,
    А’В’ параллельна C’D’, а В’С’ параллельна A’D’.
    Таким образом, A’B’C’D’ также является параллелограммом.

    Рис.9 Задача. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А…


    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8

    Содержание

    Страница 1
    Страница 5
    1.Основные фигуры стереометрии.
    2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
    3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
    4.Пересечение прямой с плоскостью.
    5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
    1.Двухгранный, трехгранный углы.
    2.Призма и построение ее сечений.
    3.Параллелепипед.
    4.Прямоугольный параллелепипед.
    5.Пирамида.
    6.Усеченная пирамида.
    7.Правильные многогранники.
    Страница 2
    Страница 6
    1.Параллельность прямых в пространстве.
    2.Признак параллельности прямых.
    3.Признак параллельности плоскостей.
    4.Свойства параллельных плоскостей.
    1.Цилиндр.
    2.Конус.
    3.Вписанная и описанная призма.
    4.Вписанная и описанная пирамида.
    5.Шар.
    6.Симметрия шара.
    Страница 3
    Страница 7
    1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
    2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
    3.Теорема о трех перпендикулярах.
    4.Признак перпендикулярности плоскостей.
    5.Расстояние между скрещивающимися прямыми.
    1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
    2.Наклонный параллелепипед.
    3.Объем пирамиды.
    4.Объем призмы.
    5.Равновеликие тела.
    6.Объемы подобных тел.
    Страница 4
    Страница 8
    1.Декартовы координаты в пространстве.
    2.Расстояние между двумя точками.
    3.Преобразование симметрии в пространстве.
    4.Движение в пространстве.
    5.Угол между прямой и плоскостью.
    6.Угол между плоскостями.
    7.Векторы в пространстве.
    8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.
    1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
    2.Объем цилиндра.
    3.Площадь боковой поверхности конуса.
    4.Объем конуса.
    5.Объем тел вращения.
    6.Объем шара.
    7.Объем шарового сегмента и сектора.
    8.Площадь сферы.

  6. ПроФесСор Ответить

    Аксиомы стереометрии. Параллельность прямой и плоскости. 1. Прямая пересекает 2 стороны треугольника. Лежит ли она в плос
    Параллельность прямой и плоскости.
    1. Прямая пересекает 2 стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
    2. Прямая пересекает вершину треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
    3. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости. Принадлежит ли четвертая вершина параллелограмма этой плоскостим?
    4. Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?
    5. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости. Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?
    6. Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки; две различные точки; через прямую и не лежащую на ней точку; через две параллельные прямые?
    7. Верно ли утверждение: любые три точки принадлежат плоскости; через любые три точки проходит единственная плоскость?
    8. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости Может ли данная прямая пересечь какуб-либо прямую, лежащую в плоскости?
    9. Средняя линия трапеции лежит в плоскости A. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?
    10. Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей А и В. Каково взаимное расположение а и А; в и В?
    11. Прямая в непараллельна линии пересечения плоскостей а и в. Какого взаимное расположение в и а; в и В?
    12. Сколько можно провести через данную точку: прямых, параллельных данной плоскости; плоскостей, параллельных данной прямой?
    13. Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.
    14. Плоскость А параллельна одной из двух параллельных прямых. Каково взаимное расположение вторпой прямой и плоскости А?
    15. Сторона АВ параллелограмма АВСD лежит в плоскости а. Докажите, что сторона CD параллельна этой плоскости.
    16. Прямая пересекает плоскость. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?
    17. Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?
    18. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?
    19. Прямые а и в скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и в быть параллельными Пересекаться?
    20. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?
    21. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?
    22. Как могут быть расположены прямая и плоскость, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в этой плоскости, скрещиваются?
    9 лет

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *