Сколько плоскостей проходит через три точки пространства?

5 ответов на вопрос “Сколько плоскостей проходит через три точки пространства?”

Balladokelv 05-09-2019 Ответить

ТЕСТ. Первые уроки стереометрии.
1. Сколько прямых можно провести через одну точку пространства?
1) Ни одной. 2) Одну. 3) Две . 4) Бесконечно много.
2. Сколько плоскостей можно провести через одну точку пространства?
1) Ни одной. 2) Одну . 3) Две. 4) Бесконечно много.
3. Сколько прямых можно провести через две точки пространства?
1) Ни одной. 2) Одну. 3) Две. 4) Бесконечно много.
4. Сколько плоскостей можно провести через две точки пространства?
1) Ни одной. 2) Одну. 3) Две. 4) Бесконечно много.
5. Сколько прямых можно провести через различные пары из трех точек пространства, не принадлежащих одной прямой?
1) Ни одной.    2) Три. 3) Шесть.   4) Бесконечно много.
6. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства, не принадлежащие одной прямой?
1) Ни одной. 2) Одну. 3) Три. 4) Бесконечно много.
7. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства, принадлежащие одной прямой?
1) Ни одной. 2) Одну.   3) Три. 4) Бесконечно много.
8. Сколько общих точек имеют две пересекающиеся плоскости?
1) Одну. 2) Две.       3) Три. 4) Бесконечно много.
9. В каком случае центры трех шаров принадлежат одной плоскости?
1) Радиусы шаров совпадают.
2) Центры шаров принадлежат одной прямой.
3) Всегда.
4) Никогда.
10. Сколько плоскостей можно провести через три вершины куба?
1) Одну. 2) Три.           3) Шесть. 4) Бесконечно много.
11. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары четырех точек пространства?
1) Четыре. 2) Пять.      3) Шесть. 4) Восемь.
12. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из пяти точек пространства?
1) 5.           2) 10. 3) 15.           4) 25.
13. Найдите число диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
1) 2.           2) 4.           3) 6.           4) 8.
14. Найдите число диагоналей 6-угольной призмы.
1) 6. 2) 12 .         3) 9.           4) 18.
15. Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, имеющей 12 ребер?
1) Треугольник.
2) Четырехугольник.
3) Шестиугольник.
4) Двенадцатиугольник.
16. Какой многоугольник лежит в основании призмы, имеющей 36 ребер?
1) Шестиугольник.
2) Девятиугольник.
3) Двенадцатиугольник.
4) Тридцатишестиугольник.
17. Призма имеет 18 вершин. Какой многоугольник лежит в ее основании?
1) Треугольник.
2) Шестиугольник.
3) Девятиугольник.
4) Восемнадцатиугольник.
18. Пирамида имеет 10 вершин. Какой многоугольник лежит в ее основании?
1) Пятиугольник.
2) Шестиугольник.
3) Восьмиугольник.
4) Девятиугольник.
19. Призма имеет 18 диагоналей. Определите ее вид.
1) Треугольная.
2) Шестиугольная.
3) Девятиугольная.
4) Восемнадцатиугольная.
20. Сколько диагоналей имеет 7-угольная пирамида?
1) Ни одной.        2) 6. 3) 7. 4) 14.
Ответы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
4)
4)
2)
4)
2)
2)
4)
4)
3)
1)
3)
2)
2)
4)
3)
3)
3)
4)
2)
1)
Bealv 05-09-2019 Ответить

1
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ Через любые две точки пространства проходит единственная прямая Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости

2
ВОПРОС 1 Сколько прямых проходит через две точки пространства? Ответ: Одна.

3
ВОПРОС 2 Сколько плоскостей проходит через три точки пространства? Ответ: Одна, если три точки не принадлежат одной прямой; бесконечно много в противном случае.

4
ВОПРОС 3 Сколько общих точек могут иметь две плоскости? Ответ: Ни одной, или бесконечно много.

5
ВОПРОС 4 Верно ли утверждение, что всякие: а) три точки; б) четыре точки пространства принадлежат одной плоскости? Ответ: а) Да; б) нет.

6
ВОПРОС 5 Верно ли, что если окружность имеет с плоскостью две общие точки, то окружность лежит в этой плоскости? Ответ: Нет.
Енот 05-09-2019 Ответить

28.Свойства параллельных плоскостей

Вели ??? и они пересекаются с ?, тоа?b.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Если ??? и AB?CD, то АВ = CD. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
29.
Перпендикулярные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов. c. m. k. k. m. c. k. Пересекающиеся. Скрещивающиеся.
30.
Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Доказательство:Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости . Тогда прямая а проходит через точкуА пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости . Проведем произвольную прямую х через точкуА в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2).по той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по трем сторонам. Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХ и А2ВХ и, следовательно равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямаяа перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.
31.32
Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Доказательство: Пусть а1 и а2 – 2 параллельные прямые и плоскость, перпендикулярная прямой а1. Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2. Проведем через точку А2 пересечения прямой а2 с плоскостью произвольную прямую х2 в плоскости . Проведем в плоскости через точку А1 пересечения прямой а1 с прямую х1, параллельную прямой х2. Так как прямая а1 перпендикулярна плоскости , то прямые а1 и x1перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой х2 в плоскости . А это ( по определению)значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости . Теорема доказана. Смотри также опорную задачу №2.
Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Доказательство: Пусть а и b – 2 прямые, перпендикулярные плоскости . Допутим, что прямые а и b не параллельны. Выберем на прямой b точкуС, не лежащую в плоскости . Проведем через точку С прямую b1, параллельную прямой а. Прямая b1 перпендикулярна плоскости по теореме 2. Пусть В и В1 – точки пересечения прямых b и b1 с плоскостью . Тогда прямая ВВ1 перпендикулярна пересекающимся прямым b и b1. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
33.Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

AB – перпендикуляр к плоскости ?.
AC – наклонная, CB – проекция.
Формулировка теоремы
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

Доказательство
Пусть AB — перпендикуляр к плоскости ?, AC — наклонная и c — прямая в плоскости ?, проходящая через точку C и перпендикулярная проекции BC. Проведем прямую CK параллельно прямой AB. Прямая CK перпендикулярна плоскости ? (так как она параллельна AB), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, CK перпендикулярна прямой c. Проведем через параллельные прямые AB и CK плоскость ? (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ?, это BC по условию и CK по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой AC.
Krosh 05-09-2019 Ответить

И. Проверка домашнего задания

1. Один из учеников воспроизводит решение задачи № 10, остальная часть класса пишет математический диктант.
2. Математический диктант.
Дано изображение тетраэдра (вариант 1 — рис. 17, вариант 2 – рис. 18).

Пользуясь рисунком, запишите:
1) плоскость, которая проходит через точку ? и прямую АВ; (2 балла)
2) плоскости, в которых лежит прямая ВС, (2 балла)
3) точку пересечения прямой КС с плоскостью АВС; (2 балла)
4) прямую пересечения плоскостей АВК и АВС; (2 балла)
5) прямую пересечения плоскостей ВСК и ASS; (Я балла)
6) прямые, которые лежат в плоскости ACS; (2 балла)
Ответ. Вариант 1. 1) ABS: 2) BCS, ВСК, БСА; 3) С; 4) АВ; 5) KB; 6) AC, КС, CS, AS.
Вариант 2. 1) АВК; 2) BCS, АВС; 3) С; 4) АВ; 5) BS; 6) AC, AS, CS.
3. Обсуждение результатов математического диктанта и решения задачи № 10.

II. Восприятие и осознание нового материала

Теорема о существовании плоскости, проходите через три точки

Нам известно два способа задания плоскости: плоскость можно провести через две прямые, которые пересекаются, а также через прямую и точку, которая не принадлежит этой прямой.
Существует третий способ.
Теорема.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и к тому же только одну.
Учащиеся самостоятельно знакомятся с доведением этой теоремы по учебнику (с. 6).
Следует обратить внимание учащихся на то, что плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащих на одной прямой, и поэтому в литературе плоскость, которая проходит через точки А, В, С и САВ , обозначают символом (АВС).

Выполнение упражнений

1. Могут ли две различные плоскости иметь три общие точки, не лежащие на одной прямой? Ответ обоснуйте.
2. Задача № 3 из учебника (с. 10).
3. Три точки в пространстве расположены так, что через них можно провести не менее 100 плоскостей. Что можно сказать о размещении этих точек?
4. Ровно в 12 часов с учебного полигона было запущено три ракеты. В котором часу центры масс этих ракет будут находиться в одной плоскости?
5. Чтобы придать большей устойчивости измерительным приборам, их часто устанавливают на треногах. На каком теоретическом факте базируются такие действия?
6. Заданы три точки А, В, С. Сколько плоскостей можно провести через них, если:
а) АВ = 3 см, ВС = 4 см, АС = 5 см;
б) AВ = 3 см, ВС = 4 ом, АС = 7 см?
7. Даны изображения куба (рис. 19). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки А, В, С.

8. Дано изображение треугольной пирамиды (рис. 20). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки А, В, С.

9. Через середины трех ребер куба, выходящих из одной вершины, проведено сечение. Вычислите периметр и площадь сечения, если ребро куба равна 6 см.
10. В треугольной пирамиде, каждое ребро которой равно 4 см, построено сечение плоскостью, проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины. Вычислите периметр и площадь образованного сечения.

III. Домашнее задание

§1, п. 4; контрольный вопрос № 5; задача № 12 (сек. 10).
ИV. Подведение итога урока
Вопросы к классу
1) Сколько плоскостей можно провести через три данные точки?
2) В пространстве даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой. Определите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие — неправильные:
а) через точки А, В, С можно провести только одну плоскость;
б) через точки ?, В, С можно провести множество плоскостей;
в) через точки А и В можно провести плоскость, которая не содержит точку С;
г) через А можно провести плоскость, которая имеет с прямой ВС только одну общую точку.

Сколько плоскостей проходит через три точки пространства?

5 ответов на вопрос “Сколько плоскостей проходит через три точки пространства?”

Добавить ответ Отменить ответ