Сколько различных чисел сумма цифр которых равна 14 можно составить из цифр 1 и 2?

6 ответов на вопрос “Сколько различных чисел сумма цифр которых равна 14 можно составить из цифр 1 и 2?”

  1. ammonium Ответить


    Комбинаторика     – это раздел математики, посвящённый решению задач
    выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными
    правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов,
    расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в
    комбинаторных задачах: сколькими способами….
    К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических
    квадратов, задачи расшифровки и кодирования.
    Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих
    французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа
    комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к
    комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.
    Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило
    произведения    .
    Правило суммы

    Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно
    выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n +
    m способами.
    Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать
    5 + 6 = 11 способами.
    Правило произведения

    Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать
    m     способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.
    Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и
    марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).
    Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы
    нескольких множеств.
    Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то
    выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

    Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n –
    факториалом и обозначается символом n!

    n! = 1 • 2 • 3 • 4 •…• n.
    Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

    Принято считать 0! равным 1.
    Число перестановок из n равна n!

    Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд
    можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).
    Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева
    возможных вариантов    .
    Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.


    Практикум по решению задач по комбинаторике.
    ЗАДАЧИ и решения

    1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?
    6 + 5 + 4 = 15

    Ответ    : 15 вариантов.
    2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2
    алые и 4 жёлтые розы?
    3 + 2 + 4 = 9

    Ответ    : 9 вариантов.
    3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три
    дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

    5 • 3 = 15

    Ответ    : 15 путей.
    4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной
    согласной букв слова «платок»?
    гласные: а, о – 2 шт.
    согласные: п, л, т, к – 4 шт.
    2 • 4 = 8

    Ответ    : 8 способами.
    5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?
    6 • 8 = 48

    Ответ    : 48 пар.
    6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов
    обеда из двух блюд можно заказать?
    4 • 8 = 28

    Ответ    : 28 вариантов.
    7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и
    7, если цифры могут повторяться?
    1 цифра – 3 способа
    2 цифра – 3 способа
    3 цифра – 3 способа
    3 • 3 = 9

    Ответ    : 9 различных двузначных чисел.
    8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и
    5, если цифры могут повторяться?
    1 цифра – 2 способа
    2 цифра – 2 способа
    3 цифра – 2 способа
    2 • 2 • 2 = 8

    Ответ    : 8 различных чисел.
    9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3,
    если цифры могут повторяться?
    1 цифра – 3 способа
    2 цифра – 4 способа
    3 • 4 = 12

    Ответ    : 12 различных чисел.
    10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?
    Чётные цифры – 0, 2, 4, 6, 8.
    1 цифра – 4 способа
    2 цифра – 5 способов
    3 цифра – 5 способов
    4 • 5 • 5 = 100

    Ответ    : существует 100 чисел.
    11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?
    1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
    2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
    3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)
    9 • 10 • 5 = 450

    Ответ    : существует 450 чисел.
    12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр
    4, 5, 6?
    1 цифра – 3 способа
    2 цифра – 2 способа
    3 цифра – 1 способ
    3 • 2 • 1 = 6

    Ответ    : 6 различных чисел.
    13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя
    буквы А, В, С, D?
    1 вершина – 4 способа
    2 вершина – 3 способа
    3 вершина – 2 способа
    4 • 3 • 2 = 24

    Ответ    : 24 способа.
    14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4,
    5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?
    1 цифра – 5 способов
    2 цифра – 4 способа
    3 цифра – 3 способа
    5 • 4 • 3 = 60

    Ответ    : 60 различных чисел.
    15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр
    1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?
    1 цифра – 2 способа
    2 цифра – 4 способа
    3 цифра – 3 способа
    2 • 4 • 3 = 24

    Ответ    : 24 различных числа.
    16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх
    горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?
    1 полоса – 6 способов
    2 полоса – 5 способов
    3 полоса – 4 способа
    6 • 5 • 4 = 120

    Ответ    : 120 способов.
    17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу.
    Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в
    эстафете?
    1 человек – 8 способов
    2 человек – 7 способов
    3 человек – 6 способов
    8 • 7 • 6 = 336

    Ответ    : 336 способов.
    18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение,
    математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить
    на этот день?
    1 урок – 4 способа
    2 урок – 3 способа
    3 урок – 2 способа
    4 урок – 1 способ
    4 • 3 • 2 • 1 = 24

    Ответ    : 24 варианта.
    19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов
    расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков
    и все уроки разные?
    1 урок – 8 вариантов
    2 урок – 7 вариантов
    3 урок – 6 вариантов
    4 урок – 5 вариантов
    5 урок – 4 варианта
    8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720

    Ответ    : 6720 вариантов.
    20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных
    вариантов составления шифра?
    1 цифра – 5 способов
    2 цифра – 4 способа
    3 цифра – 3 способа
    4 цифра – 2 способа
    5 цифра – 1 способ
    5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

    Ответ    : 120 вариантов.
    21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором
    поставлено 6 приборов?
    6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

    Ответ    : 720 способов.
    22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если
    исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?
    1 цифра – 8 способов
    2 цифра – 10 способов
    3 цифра – 10 способов
    4 цифра – 10 способов
    5 цифра – 10 способов
    6 цифра – 10 способов
    7 цифра – 10 способов
    8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000

    Ответ    : 8.000.000 вариантов.
    23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов
    состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта
    станция?
    № телефона 394
    10 • 10 • 10 • 10 = 10.000

    Ответ    : 10.000 абонентов.
    24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно
    выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так,
    чтобы эти перчатки были различных размеров?
    Левые перчатки – 6 способов
    Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)
    6 • 5 = 30

    Ответ    : 30 способов.
    25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры
    разные. Сколько таких чётных чисел?
    5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
    4 цифра – 4 способа
    3 цифра – 3 способа
    2 цифра – 2 способа
    1 цифра – 1 способ
    2 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48

    Ответ    : 48 чётных чисел.
    26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и
    делящихся на 5?
    Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
    Из них делятся на 5 – 5.
    4 цифра – 1 способ (цифра 5)
    3 цифра – 4 способа
    2 цифра – 3 способа
    1 цифра – 2 способа
    1 • 4 • 3 • 2 = 24

    Ответ    : 24 числа.
    27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7,
    последняя цифра – чётная?
    1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
    2 цифра – 10 способов
    3 цифра – 1 способ (цифра 7)
    4 цифра – 10 способов
    5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)
    9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500

    Ответ    : 4500 чисел.
    28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2,
    четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?
    1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
    2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
    3 цифра – 5 вариантов
    4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
    5 цифра – 5 вариантов
    6 цифра – 1 вариант (цифра 6)
    5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125

    Ответ    : 125 чисел.
    29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8
    и 9?
    Однозначных – 2
    Двузначных – 2 • 2 = 4
    Трёхзначных – 2 • 2 • 2 = 8
    Четырёхзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16
    Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
    Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64

    Всего    : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

    Ответ    : 126 чисел.
    30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его
    заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
    Капитан – 11 способов
    Заместитель – 10 способов
    11 • 10 = 110

    Ответ    : 110 способов.
    31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать
    старосту и ответственного за проездные билеты?
    Староста – 30 способов
    Ответ. за билеты – 29 способов
    30 • 29 = 870

    Ответ    : 870 способов.
    32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько
    вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно
    составить?
    12 • 10 • 2 = 240

    Ответ    : 240 способов.
    33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33
    буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?
    1 буква – 33 способа
    2 буква – 32 способа
    3 буква – 32 способа
    4 буква – 32 способа
    33 • 32 • 32 • 32 = 1.081.344

    Ответ    : 1.081.344 комбинаций.

  2. Beazelune Ответить

    КОМБИНАТОРИКА
    Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.
    Правила сложения и умножения в комбинаторике
    Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.
    Пример 1.
    В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?
    Решение
    Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.
    По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.
    Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

    способами.
    Пример 2.
    В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
    Решение
    Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
    После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
    По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.
    Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
    Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?

    Пример 3.
    Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?
    Решение
    Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:
    .
    Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?
    .
    Пример 4.
    В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
    Решение
    Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.
    .
    Размещения без повторений. Размещения с повторениями
    Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

    Пример 5.
    В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
    Решение.
    В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

    Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.
    Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

    Пример 6.
    У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?
    Решение
    Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:
    .
    Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями
    Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

    Пример 7.
    Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?
    Решение
    Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

    Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.
    Пример 8.
    Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?
    Решение
    Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

    ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ “КОМБИНАТОРИКА”

  3. Muzilkree Ответить

    Разделы:
    Математика
    Размещения
    № 1.     Имеем 4 разных конверта без марок и 3
    разные марки. Сколькими способами можно выбрать
    конверт и марку для отправления письма?
    Решение:
    34 = 12
    (способов)
    Ответ: 12 способов.

    № 2.     В коробке находится 10 белых и 6 черных
    шаров.
    1) Сколькими способами из коробки можно вынуть
    один шар любого цвета?
    2) Сколькими способами из коробки можно вынуть
    два разноцветных шара?
    Решение:
    = = = = 16 (способов)
    = = 10
    Ответ: 16; 60.

    № 3.     В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все
    разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин,
    после него из оставшихся фруктов Надя выбирает
    яблоко и апельсин. Сколько возможно таких
    выборов? При каком выборе Пети у Нади больше
    возможностей выбора?
    Решение:
    + = + = 21 + 19
    Если Петя берёт 1 яблоко, то у Нади больше
    возможностей для выбора.
    Ответ: 401. Петя берёт 1 яблоко.

    № 4.     Ученику необходимо сдать 4 экзамена на
    протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть
    составлено расписание его экзаменов?
    Решение:
    = = = 5.
    Ответ: 1680

    № 5.     Сколькими способами может расположиться
    семья из трех человек в четырехместном купе, если
    других пассажиров в купе нет?
    Решение:
    = = . Ответ: 24.

    № 6.     Из 30 участников собрания необходимо
    выбрать председателя и секретаря. Сколькими
    способами это можно сделать?
    Решение:
    = = = = = 29870(способов).
    Ответ: 870.

    № 7.     Сколькими способами могут занять первое,
    второе и третье места 8 участниц финального
    забега на дистанции 100 м?
    Решение:
    = = = = 6.
    Ответ: 336.

    № 8.     Сколькими способами можно изготовить
    трехцветный флаг с горизонтальными полосами,
    если есть материал 7 разных цветов?
    Решение:
    = = = = 5 = 210
    (способов).
    Ответ: 210.

    № 9.     Сколькими способами организаторы
    конкурса могут определить, кто из 15 его
    участников будет выступать первым, вторым и
    третьим?
    Решение:
    = = = =
    = = =13 = 2780
    (способов).
    Ответ: 2780.

    № 10.     На плоскости отметили 5 точек. Их
    необходимо обозначить латинскими буквами.
    Сколькими способами это можно сделать, если в
    латинском алфавите 26 букв?
    Решение:
    = = = = 22 (способов)
    Ответ: .

    № 11.     Сколько четырехзначных чисел можно
    составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,если цифры в числе не
    повторяются?
    Решение:
    = = = 2 = 120
    (способов).
    Ответ: 120.

    № 12*.     Сколько четырехзначных чисел можно
    составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8,если цифры в числе не
    повторяются?
    Решение:
    = = – = 5! -4! = 4!(5 – 1)
    = 1.
    Ответ: 96.

    № 13.     Сколько существует семизначных
    телефонных номеров, в которых все цифры разные и
    первая цифра отлична от нуля?
    Решение:
    = = – = – =
    = 44 = 4
    (номеров)
    Ответ: 544320.
    № 14. Сколько разных трехзначных чисел (без
    повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5
    так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2)
    кратными 5?

    Решение:
    2= = = 2 2) = = = = 2
    Ответ: 12; 48.

    № 15*.     Решите уравнение: 1) =20; 2) = 6.
    Решение:
    =20;
    = 20 ОДЗ: х
    = 20
    х2 – х – 20 = 0
    х1=5, х2= – 4(исключить).
    Ответ: 5.
    = 6.

    = 6
    = 6 ОДЗ: х
    = 6
    (х-4)(х-3) = 6
    х2 -3х -4х + 12 – 6 = 0
    х2 – 7х + 6 = 0 х1 = 6, х2 = 1
    (исключить).
    Ответ: 6.

    Перестановки
    № 1.     Сколькими способами 4 мужчины могут
    расположиться на четырехместной скамейке?
    Решение: Р4 = 4! = 1 = 24 (способа)
    Ответ: 24.

    № 2.     Курьер должен разнести пакеты в 7 разных
    учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
    Решение: Р7 = 7! = 1
    Ответ: 5040.

    № 3.     Сколько существует выражений,
    тождественно равных произведению abcde,
    которые получаются из него перестановкой
    множителей?
    Решение: Р5 = 5! =1 (выражений)
    Ответ: 120.

    №4.     Ольга помнит, что телефон подруги
    оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в
    каком порядке эти цифры расположены. Укажите
    наибольшее число вариантов, которые ей придется
    перебрать, чтобы дозвониться подруге.
    Решение:Р3 = 3! = 1(вариантов)
    Ответ: 6.

    № 5.     Сколько шестизначных чисел (без
    повторения цифр) можно составить из цифр:
    1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
    Решение:
    1) Р6 = 1720.
    2) Р6 – Р5 = 6! – 5! = 1
    Ответ: 1) 720; 2) 600.

    № 6.     Сколько среди четырехзначных чисел,
    составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр),
    есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2)
    кратны 5?
    Решение:
    1) Р3 =3! = 1 2) Р3 =3! = 1
    Ответ: 1) 6; 2) 6.

    № 7.     Найдите сумму цифр всех четырехзначных
    чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без
    повторения цифр в числе).
    Решение:
    Р4 = 4! = 1 = 24
    1+3+5+7 = 16 16
    Ответ: 384.

    № 8.     В расписании на понедельник шесть уроков:
    алгебра, геометрия, иностранный язык, история,
    физкультура, химия. Сколькими способами можно
    составить расписание уроков на этот день так,
    чтобы два урока математики стояли подряд?
    Решение:
    2.
    Ответ: 48.

    № 9*.     Сколькими способами можно расставить на
    полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники
    стихотворений, чтобы сборники стихотворений
    стояли рядом в случайном порядке?
    Решение:
    Р75
    = 7! 5! = 1
    Ответ: 604800.

    № 10.     Найдите, сколькими способами 5 мальчиков
    и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду
    места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это
    сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных
    местах, а девочки — на четных?
    Решение:
    Р10 = 10! =1 – расположения 5 мальчиков и 5 девочек в
    любом месте и в любом ряду.
    Если мальчики будут сидеть на нечетных местах,
    а девочки — на четных, то таких способов будет
    равно: Р55
    = 5!5! = 1
    Ответ: 3628800; 14400.

    Сочетания
    № 1.     В классе 7-м учащихся успешно занимаются
    математикой. Сколькими способами можно выбрать
    из них двоих для участия в математической
    олимпиаде?
    Решение: = = = = 21(способ).
    Ответ: 21.

    № 2.     В магазине “Филателия” продается 8
    разных наборов марок, посвященных спортивной
    тематике. Сколькими способами можно выбрать из
    них 3 набора?
    Решение:
    = = = = 56
    (способов).
    Ответ: 56.

    № 3.     Ученикам дали список из 10 книг, которые
    рекомендуется прочитать во время каникул.
    Сколькими способами ученик может выбрать из них 6
    книг?
    Решение:
    = = = = 210
    (способов).
    Ответ: 210.

    № 4.     На полке стоит 12 книг: англо-русский
    словарь и 11 художественных произведений на
    английском языке. Сколькими способами читатель
    может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен
    обязательно; 2) словарь ему не нужен?
    Решение: из 3 книг, которые надо выбрать – нужны
    1 словарь и 2 художественные = Р1 = 1! = 1 (способ) 2
    художественные из 11 художественных можно
    выбрать = = = = 55
    (способов).
    Тогда 1 словарь и 2 художественные книги можно
    выбрать
    = = = = 55 (способов)
    Если не нужен словарь, то
    = = = = 165
    (способов).
    Ответ: 55; 165.

    № 5.     В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек.
    Для уборки территории необходимо выделить
    четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими
    способами это можно сделать?
    Решение:
    = = = = =
    400400(способами)
    Ответ: 400400.

    Решите упражнения 6–26, используя известные
    вам формулы и правила комбинаторики.
    № 6.     Во время встречи 16 человек пожали друг
    другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?
    Решение:
    = = = =
    120(способов).
    Ответ: 120.

    № 7.     Группа учащихся из 30 человек решила
    обменяться фотографиями.
    Сколько всего фотографий необходимо было для
    этого?
    Решение:
    = = = 870
    (фотографий).
    Ответ: 870.

    № 8.     Сколько перестановок можно сделать из
    букв слова “Харьков”?
    Решение: Р7 – Р6 = 7! – 6! = 6!(7-1) = 6! = 1
    Ответ: 4320.

    № 9.     Бригадир должен откомандировать на
    работу бригаду из 5 человек.
    Сколько бригад по 5 человек в каждой можно
    организовать из 12 человек?
    Решение:
    = = = = 3
    Ответ: 3960.

    № 10.     Сколькими разными способами собрание из
    40 человек может выбрать из числа своих членов
    председателя собрания, его заместителя и
    секретаря?
    Решение:
    = = = = 59280
    (способов)
    Ответ: 59280.

    № 11.     Сколько прямых линий можно провести
    через 8 точек, из которых никакие три не лежат на
    одной прямой?
    Решение:
    = = = = 28 (прямых
    линий)
    Ответ: 28.

    № 12.     Сколько разных пятизначных чисел можно
    записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их
    повторения?
    Решение:
    = = = 2(разных
    пятизначных числа)
    Ответ: 126.

    № 13.     Определите число всех диагоналей
    правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника;
    3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.
    Решение: общая формула вычисления диагоналей у
    n- угольника
    = = = ;
    n=5, то = 10
    (диагоналей)
    n=12, то = 66
    (диагоналей)
    n=8, то = 28
    (диагоналей)
    n=15, то =
    105(диагоналей)
    Ответ: 10; 66; 28; 105.

    № 14.     Сколько разных трехцветных флагов можно
    сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?
    Решение: Р3 = 3! = 1 = 6 (флагов).
    Ответ: 6.

    № 15.     Сколько разных плоскостей можно
    провести через 10 точек, если ни какие три из них
    не лежат на одной прямой и никакие четыре точки
    не лежат в одной плоскости?
    Решение: = = = 360 (разных
    плоскостей)
    Ответ: 360.

    № 16*.     Сколько разных пятизначных чисел можно
    записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 без их
    повторения?
    Решение: Р5 – Р4 = 5! – 4! = 4! (5-1) = 4! 4 = 1 3 = 96 (разных
    пятизначных чисел)
    Ответ: 96.

    № 17.     Среди перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5
    сколько таких, которые не начинаются цифрой 5?
    числом 12? числом 123?
    Решение: 4! = 1 3 –
    перестановок начинаются цифрой 5.
    3! = 1 3 6 –
    перестановок начинаются цифрой 12.
    2! = 1
    перестановок начинаются с цифрами 123.

    № 18.     Среди сочетаний из 10 букв a, b, c,
    … по 4 сколько таких, которые не содержат буквы а?
    букв a и b?
    Решение:
    1) – = – = – = – =
    = = 63 (сочетаний
    не содержат букву a)
    2) ) – = – = – = – =
    = = 140
    (сочетаний не содержат букву a и b)
    Ответ: 126; 140.

    № 19.     Среди размещений из 12 букв a, b, c,
    … по 5 сколько таких, которые не содержат буквы а?
    букв a и b?
    Решение:
    – = – = – = =7 = 83160
    (размещений)
    – = – = – = =720(132 – 1) =
    94320 (размещений)
    Ответ: 83160; 94320.

    № 20.     Сколько необходимо взять элементов,
    чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз
    больше, чем число размещений из них по 2?
    Решение:
    = 12 ОДЗ: х N;
    x>4
    = 12


    (х-3)(х-2)(х-1)х = 12х(х-1)
    (х-3)(х-2) = 12
    х2 -2х -3х +6 = 12
    х2 -5х – 6 = 0 =6, =-1
    Ответ: 6.
    28.08.2009

  4. Role player Ответить

    При вычислении вероятностей случайных событий часто приходится использовать формулы комбинаторики. Комбинаторными называются задачи, в которых требуется произвести подсчет всех составленных по некоторому правилу соединений из некоторого числа различных предметов (элементов).
    Различают три типа соединений:
    1. Перестановки – соединения, отличающиеся только порядком следования элементов при их неизменном числе. Общее число перестановок из n элементов обозначается . Это число равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

    Символ (читается: эн факториал) есть сокращенное обозначение произведения
    Пример 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 без повторения цифр?
    Решение: так как искомые соединения содержат все по четыре данных элемента и отличаются друг от друга только порядком следования элементов, то это перестановки, общее число которых:
    (для данного примера можно перебрать все эти варианты: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432 и т.д.)
    Ответ: 24
    2. Размещения – соединения элементов, которые отличаются или порядком элементов в соединении, или самими элементами. Общее число размещений из n элементов по m элементов обозначается , где и вычисляется по формуле
    Пример 2. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения цифр?
    Решение: так как искомые соединения содержат по два элемента из данных четырех элементов и отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или самими элементами, то это размещения, общее число которых: , где n=4, m=2 (для данного примера перечислим все возможные варианты: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43)
    Ответ: 12
    3. Сочетания – соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений в сочетаниях порядок следования элементов не имеет значения. Общее число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается , где и вычисляется по формуле
    Пример 3. На 6 сотрудников выделены 3 одинаковые путевки в дом отдыха. Сколькими способами их можно распределить?
    Решение: так как путевки одинаковые, то число способов их распределения равно числу сочетаний из 6 элементов по 3 элемента (n=6, m=3).
    1 1

    1 1
    Ответ: 20
    Теория вероятностей – математическая наука, которая изучает закономерности в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и события.
    Под вероятностью случайного события понимают численную меру объективной возможности появления этого события.
    Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих событию А, к числу n – всех элементарных исходов. Формула называется классическим определением вероятности.

  5. Betty_Boops Ответить

    Как известно, комбинаторика – раздел
    математики, посвященный решению задач выбора и
    расположения элементов некоторого, как правило
    конечного множества в соответствии с заданными
    правилами.
    Включение в курс математики начальной школы
    задач комбинаторного характера связано с целью
    повышения развивающей функции математики, так
    как комбинаторные задачи требуют сочетания
    эвристического и алгоритмического стиля
    мышления. Эвристическая составляющая мышления
    требуется на этапе восприятия задачи, поиска
    способа решения, составления алгоритма перебора
    или выбора элементов, а алгоритмическая
    составляющая – при четком выполнении алгоритма.
    Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи,
    использование которых целесообразно у учащихся
    начальной школы, обучающихся по учебникам Л.Г.
    Петерсон.
    Сначала покажем способы прямого перебора
    элементов, а затем способ перебора с помощью
    дерева возможностей.

    Способы прямого перебора элементов

    1. Сколько однозначных чисел?
    Рассуждения ученика.
    Однозначные числа – это числа от нуля до девяти,
    следовательно, существует 10 однозначных чисел.
    2. Сколько двузначных чисел?
    Рассуждения ученика. Так как
    двузначные числа – это числа от 10 до 99, то есть
    девяносто девять чисел от 1 до 99, среди них девять
    однозначных, которые нужно отбросить, значит,
    останется 99 – 9 = 90.
    3. Сколько можно составить
    двузначных чисел, в записи которых используются
    только цифры: а) 1 и 2; б) 3 и 0?
    Рассуждения ученика. а)
    Составим первое число 12 и поменяем цифры местами,
    тем самым получим второе число 21.
    Ответ: а) два числа; б) одно
    число – 30.
    4. Какие двузначные числа можно
    составить из цифр 1, 2 и 3, если: а) цифры в
    записи числа не повторяются; б) цифры в записи
    числа могут повторяться?
    Рассуждения ученика.
    а    ) 1 способ. Поставим на первое
    место цифру 1, на второе место можно поставить
    цифры 2 и 3, получим числа 12 и 13, поставим на первое
    место цифру 2, на второе место можно поставить
    либо 1, либо 3, получим еще два числа – 21 и 23,
    поставим на первое место цифру 3, на второе – либо
    цифру 1, либо 2, получим еще два числа – 31, 32.
    2 способ. Из цифр 1 и 2 можно
    составить два числа – 12 и 21, из цифр 1 и 3 – 13 и 31, из
    цифр 2 и 3 – 23 и 32. Ответ: 12, 21, 13, 31, 23, 32.
    б) К полученным шести числам в
    предыдущей задаче нужно добавить числа,
    образованные повторяющимися цифрами: 11, 22, 33, 12, 21,
    13, 31, 23, 32.
    5. Какие трехзначные числа можно
    составить из цифр 4, 5 и 0, если: а) цифры в
    записи числа не повторяются; б) цифры в записи
    числа могут повторяться?
    Рассуждения ученика. а)
    Цифру 0 на первое место поставить нельзя,
    остаются случаи, когда на первом месте записана
    цифра 4 или 5. Если на первое место поставить цифру
    4, то возможны два числа, в которых цифры 0 и 5
    меняются местами, – 405 и 450. Аналогично
    составляются числа, когда на первом месте стоит
    цифра 5, – 504 и 540.
    Ответ: 405, 450, 504, 540.
    б) Если цифры повторяются, то мы
    должны добавить к полученным числам в задании а)
    следующие: с цифрой 4 – число 444; с цифрой 5 – 555, с
    цифрами 4 и 0 – 400, 404, 440; с цифрами 5 и 0 – 500, 505, 550; с
    цифрами 4 и 5 – 445, 454, 455, 544, 545, 554.
    Ответ: 400, 404, 405, 440, 444, 445, 450, 454, 455, 500,
    504, 505, 540, 544, 545, 550, 554, 555.
    6. Составьте все однозначные,
    двузначные и трехзначные числа, которые можно
    записать с помощью цифр 7 и 0 (цифры в числе могут
    повторяться).
    Рассуждения ученика. Составим
    однозначные, двузначные и трехзначные числа.
    Однозначные числа – 7 и 0.
    Двузначные числа – 70 и 77.
    Трехзначные числа – 700, 707, 770, 777.
    Ответ: 0, 7, 70, 77, 700, 707, 770, 777.
    7. Сколько существует двузначных
    чисел, в записи которых используется хотя бы одна
    цифра 5? (Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс.
    Часть 2. № 12. С. 31.)
    Рассуждения ученика. Девять
    двузначных чисел имеют цифру 5 в разряде единиц
    (15, 25 и т.д.) и 10 чисел имеют цифру 5 в разряде
    десятков (50, 51 и т.д.). Число 55 вошло в оба эти
    множества и посчитано дважды. Таким образом,
    получили 9 + 10 – 1 = 18 чисел.
    Ответ: 18 чисел.
    8. Составьте все трехзначные числа,
    сумма цифр которых равна 3. (Петерсон Л.Г.
    Математика. 2 класс. Часть 2. № 9. С. 54.)
    Рассуждения ученика. Составим
    всевозможные суммы трех чисел, результат
    сложения которых равен 3: 1 + 1 + 1 = 3, 1 + 2 + 0 = 3 и 3 + 0 + 0 =
    3. Теперь с помощью использованных цифр составим
    трехзначные числа.
    Из единиц можно составить одно число: 111.
    Из цифр 1, 2 и 0 можно составить 4 чисел: 120, 102, 201, 210.
    Из цифр 3 и 0 можно составить одно число: 300.
    Всего получилось 6 чисел – 111, 102, 120, 201, 210, 300.
    Ответ: 6 чисел.
    9. В аквариуме 3 рыбки: гуппи, сомик и
    меченосец. Толя запустил в аквариум сачок. Что
    может в нем оказаться? Перечисли все возможные
    варианты. (Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс.
    Часть 3. № 10. С. 59.)
    Рассуждения ученика. Возможны
    следующие варианты.
    Может попасть одна из рыбок: гуппи, сомик или
    меченосец – 3 варианта.
    Могут попасться две рыбки: гуппи и сомик, гуппи и
    меченосец, сомик и меченосец – 3 варианта.
    Могут попасться 3 рыбки сразу – 1 вариант.
    Может ничего не попасться – 1 вариант.
    Всего вариантов: 3 + 3 + 1 + 1 = 8.
    Ответ: 8 вариантов.
    10. Сколькими способами можно
    разложить 5 ручек в 2 пенала? (Петерсон Л.Г. Математика.
    2 класс. Часть 3. № 11. С. 59.)
    Рассуждения ученика. Можно
    считать, что ручки одинаковые и пеналы тоже,
    значит, разложить ручки можно так: в один
    положить все 5 ручек, в другой ничего не класть; в
    один положить 4 ручки, в другой – 1; в один
    положить 3 ручки, в другой – 2.
    11. Виталик, Дима и Сергей решили
    вместе сфотографироваться. Сколькими различными
    способами они могут сесть рядом? (Петерсон Л.Г. Математика.
    2 класс. Часть 3. № 1. С. 104.)
    Рассуждения ученика. Обозначим
    мальчиков первыми буквами их имен, тогда получим:
    ВДС, ВСД, ДСВ, ДВС, СВД, СДВ.
    Ответ: 6 способов.
    12. Запиши множество четырехзначных
    чисел, у которых:
    а) все цифры одинаковые; б)
    сумма цифр равна 3. (Петерсон Л.Г. Математика. 3
    класс. Часть 1. № 13. с. 97.)
    Рассуждения ученика.
    а) Ответ: 9 чисел: 1111, 2222, 3333, 4444,
    5555, 6666, 7777, 8888, 9999.
    б) Запишем всевозможные числа, сумма которых
    равна 3:
    3 + 0 + 0 + 0 = 3, 2 + 1 + 0 + 0 = 3, 1 + 1 + 1 + 0 = 3.
    К первой сумме можно отнести записать
    одно число: 3000.
    Ко второй сумме можно отнести 6 чисел: 2100, 2010, 2001,
    1200, 1020, 1002.
    К третьей сумме – 3 числа: 1110, 1101, 1011. Всего 1 + 6 + 3 = 10
    чисел.
    Ответ: 10 чисел.
    13. Запиши множество трехзначных
    чисел, сумма цифр которых равна 9 и которые не
    изменяются при чтении их слева направо и справа
    налево. Представь полученные числа в виде суммы
    разрядных слагаемых. (Петерсон Л.Г. Математика.
    3 класс. Часть 3. № 10. С. 51.)
    Рассуждения ученика. 1 способ.
    Трехзначные числа, которые одинаково читаются
    слева направо и справа налево, имеют вид: 1*1, 2*2, 3*3,
    4*4. Найдем среднюю цифру, вычитая из 9 сумму двух
    известных цифр.
    Ответ: 171, 252, 333, 414.
    2 способ. Рассуждаем по мере
    прочтения текста и переводим каждую фразу с
    естественного языка на математический. Например,
    так: трехзначные числа, обозначим аbc. Так как
    числа не должны изменяться при чтении слева
    направо и справа налево, они имеют вид: аba,
    тогда сумма цифр имеет вид а + b + а = 9.
    Подставляя вместо переменной а цифры 1, 2, 3, 4,
    найдем цифру b, затем запишем число:
    1…1, b = 9 – 2 = 7. Это число 171.
    2…2, b = 9 – 4 = 5. Это число 252.
    3…3, b = 9 – 6 = 3. Это число 333.
    4…4, b = 9 – 8 = 1. Это число 414.
    Ответ: 171, 252, 333, 414.
    14. Сколько различных произведений,
    кратных 10, можно образовать из множителей 2, 3, 5, 7, 9
    (порядок множителей не принимается во внимание)? (Петерсон
    Л.Г.     Математика. 4 класс. Часть 1. № 15. С. 12.)
    Рассуждения ученика. Чтобы
    произведение делилось на 10, нужно, чтобы среди
    множителей были числа 2 и 5.
    Если множители не повторяются, то решение будет
    следующим.
    Составляем произведение из двух множителей – 2 х
    5.
    Составляем произведение из трех множителей – 2 х
    5 х 3, 2 х 5 х 7, 2 х 5 х 9.
    Составляем произведение из четырех множителей –
    2 х 5 х 3 х 7, 2 х 5 х 3 х 9, 2 х 5 х 7 х 9.
    Составляем произведение из пяти множителей – 2 х
    5 х 3 х 7 х 9.
    Ответ: 8 произведений.
    15. Найди сумму всех возможных
    различных двузначных чисел, все цифры которых
    нечетные. (Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс.
    Часть 1. № 9. С. 40.)
    Рассуждения ученика.
    1 и 3 – 13, 31; 1 и 5 – 15, 51;
    1 и 7 – 17, 71; 1 и 9 – 19, 91;
    3 и 5 – 35, 53; 3 и 7 – 37, 73;
    3 и 9 – 39, 93; 5 и 7 – 57, 75;
    5 и 9 – 59, 95; 7 и 9 – 79, 97.
    Запишем нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9.
    Составим всевозможные двузначные числа из
    данных цифр, в записи которых цифры не
    повторяются.
    Добавим числа, в записи которых цифры
    повторяются: 11, 33, 55, 77, 99.
    Найдем их сумму: 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 31 + + 33 + 35 + 37 + 39 + 51 + 53
    + 55 + 57 + 59 + 71 + 73 + 75 + 77 + 79 + 91 + 93 + 95 + 97 + 99 = (11 + 99) + + (13 + 97)
    + (15 + 95) +… + (53 + 57) + 55 = 110 x 12 + 55 = 1375.
    Ответ: 1375.

    Способ перебора с помощью дерева
    возможностей

    16. Сколько двузначных чисел можно
    составить с помощью цифр 1, 2, 3 и 4? (Петерсон Л.Г.
    Математика. 2 класс. Часть 2. № 12. С. 15.)
    Рассуждения ученика. 1 способ.
    Сначала запишем все числа, у которых в разряде
    десятков стоит цифра 1: 11, 12, 13, 14.
    Затем запишем все числа, у которых в разряде
    десятков стоит цифра 2: 21, 22, 23, 24.
    Запишем числа, у которых в разряде десятков стоит
    цифра 3: 31, 32, 33, 34.
    Запишем числа, у которых в разряде десятков стоит
    цифра 4: 41, 42, 43, 44.
    Получилось 16 чисел: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41,
    42, 43, 44.
    Ответ: 16 чисел.
    2 способ. Построение дерева
    возможностей.
    Диалог учителя с учениками.
    Учитель. Сколько существует
    способов поставить цифру на первое место?
    Дети. Четыре: цифры 1, 2, 3 или 4.
    У. Рисуем от корня 4 веточки и
    записываем рядом с веточкой цифры 1, 2, 3 и 4.

    Дети выполняют задание.
    – Цифру 1 мы уже поставили на первое
    место. Сколько у нас есть способов поставить
    цифру на второе место?
    Ответы детей.
    У. Вторую цифру мы можем выбрать
    четырьмя способами, это может быть цифра 1, 2, 3 или
    4. Рисуем от цифры 1 четыре веточки, под каждой
    подписываем цифру 1, 2, 3 или 4. Считаем внизу число
    веточек и получаем ответ на вопрос задачи.
    Д. Таких чисел 16.
    У. Есть ли среди записанных чисел
    число 32? Найдите его.
    Д. Это десятое число.
    У. Запишите все полученные числа.
    Д. 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43,
    44.
    17. У Тани 2 вида ручек и 4 вида
    карандашей. Сколько различных комплектов можно
    из них составить? (Петерсон Л.Г. Математика. 2
    класс. Часть 3. № 2. С. 104.)
    Рассуждения ученика. Рисуем
    дерево возможностей. Обозначим ручки буквой Р,
    карандаши – буквой К. Так как есть 2 вида
    ручек, то от ствола рисуем 2 ветки, так как 4 вида
    карандашей, то от каждой точки рисуем 4 отрезка.
    Считаем число полученных внизу отрезков – 8.

    Ответ: 8 комплектов.
    18. У Юры 2 пирамидки, 3 мяча и 2
    конструктора. Он хочет выбрать из этих игрушек
    одну пирамидку, один мяч и один конструктор.
    Сколькими способами он может это сделать?
    (Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 3. № 5. С.
    102.)
    Рассуждение ученика. Выделяем
    слова: пирамидки, мячи и конструкторы. Начинаем
    строить дерево возможностей. Рисуем сразу 2
    отрезка, потому что у нас 2 пирамидки, от каждой
    точки рисуем 3 отрезка, потому что 3 мяча, от
    каждой точки рисуем 2 отрезка, потому что 2
    конструктора. Считаем число последних
    построенных отрезков, получаем 12 способов.

    Ответ: 12 способов.
    19. В одной вазе лежат апельсин,
    мандарин и банан, в другой – яблоко и груша, а в
    третьей – персик и слива. Найди все способы,
    которыми можно взять по одному фрукту из каждой
    вазы. Сколько всего различных способов? (Петерсон
    Л.Г.     Математика. 3 класс. Часть 1. № 14. С. 15.)
    Рассуждения ученика. Обозначим
    апельсин буквой “А“, мандарин – “М“,
    банан – “Б“. Составим дерево
    возможностей.

    Ответ: 12 способов.
    20. От Бабы Яги до Кащея ведут 3
    дороги, а от Кащея до Кикиморы – 4 дороги.
    Сколькими способами можно дойти от Бабы Яги до
    Кикиморы, если надо зайти к Кащею? (Петерсон Л.Г. Математика.
    3 класс. Часть 1. № 12. С. 27.)

    Рассуждения ученика. Если
    первая цифра в записи числа обозначает номер
    первой дороги, а вторая цифра – номер второй
    дороги, то возможные маршруты запишем числами: 11,
    12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34.
    Ответ: 12 дорог.
    21. Пользуясь деревом возможностей,
    определи, сколько можно составить
    четырехзначных чисел с цифрой тысяч 1 или 2,
    цифрой сотен 0, 4 или 7, цифрой десятков 5 или 3 и
    цифрой единиц 8 или 9. Найди произведение
    наибольшего и наименьшего из этих чисел. (Петерсон
    Л.Г.     Математика. 4 класс. Часть 3. № 19. С. 87.)
    Рассуждение ученика. Составим
    дерево возможностей.
    Наибольшее число – 2759, наименьшее
    число –1038, их произведение – 2863842.

    Ответ: 24 числа, 2863842.

  6. Ga Ответить

    Размещения
    № 1.     Имеем 4 разных конверта без марок и 3
    разные марки. Сколькими способами можно выбрать
    конверт и марку для отправления письма?
    Решение:
    34 = 12
    (способов)
    Ответ: 12 способов.

    № 2.     В коробке находится 10 белых и 6 черных
    шаров.
    1) Сколькими способами из коробки можно вынуть
    один шар любого цвета?
    2) Сколькими способами из коробки можно вынуть
    два разноцветных шара?
    Решение:
    = = = = 16 (способов)
    = = 10
    Ответ: 16; 60.

    № 3.     В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все
    разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин,
    после него из оставшихся фруктов Надя выбирает
    яблоко и апельсин. Сколько возможно таких
    выборов? При каком выборе Пети у Нади больше
    возможностей выбора?
    Решение:
    + = + = 21 + 19
    Если Петя берёт 1 яблоко, то у Нади больше
    возможностей для выбора.
    Ответ: 401. Петя берёт 1 яблоко.

    № 4.     Ученику необходимо сдать 4 экзамена на
    протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть
    составлено расписание его экзаменов?
    Решение:
    = = = 5.
    Ответ: 1680

    № 5.     Сколькими способами может расположиться
    семья из трех человек в четырехместном купе, если
    других пассажиров в купе нет?
    Решение:
    = = . Ответ: 24.

    № 6.     Из 30 участников собрания необходимо
    выбрать председателя и секретаря. Сколькими
    способами это можно сделать?
    Решение:
    = = = = = 29870(способов).
    Ответ: 870.

    № 7.     Сколькими способами могут занять первое,
    второе и третье места 8 участниц финального
    забега на дистанции 100 м?
    Решение:
    = = = = 6.
    Ответ: 336.

    № 8.     Сколькими способами можно изготовить
    трехцветный флаг с горизонтальными полосами,
    если есть материал 7 разных цветов?
    Решение:
    = = = = 5 = 210
    (способов).
    Ответ: 210.

    № 9.     Сколькими способами организаторы
    конкурса могут определить, кто из 15 его
    участников будет выступать первым, вторым и
    третьим?
    Решение:
    = = = =
    = = =13 = 2780
    (способов).
    Ответ: 2780.

    № 10.     На плоскости отметили 5 точек. Их
    необходимо обозначить латинскими буквами.
    Сколькими способами это можно сделать, если в
    латинском алфавите 26 букв?
    Решение:
    = = = = 22 (способов)
    Ответ: .

    № 11.     Сколько четырехзначных чисел можно
    составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,если цифры в числе не
    повторяются?
    Решение:
    = = = 2 = 120
    (способов).
    Ответ: 120.

    № 12*.     Сколько четырехзначных чисел можно
    составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8,если цифры в числе не
    повторяются?
    Решение:
    = = – = 5! -4! = 4!(5 – 1)
    = 1.
    Ответ: 96.

    № 13.     Сколько существует семизначных
    телефонных номеров, в которых все цифры разные и
    первая цифра отлична от нуля?
    Решение:
    = = – = – =
    = 44 = 4
    (номеров)
    Ответ: 544320.
    № 14. Сколько разных трехзначных чисел (без
    повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5
    так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2)
    кратными 5?

    Решение:
    2= = = 2 2) = = = = 2
    Ответ: 12; 48.

    № 15*.     Решите уравнение: 1) =20; 2) = 6.
    Решение:
    =20;
    = 20 ОДЗ: х
    = 20
    х2 – х – 20 = 0
    х1=5, х2= – 4(исключить).
    Ответ: 5.
    = 6.

    = 6
    = 6 ОДЗ: х
    = 6
    (х-4)(х-3) = 6
    х2 -3х -4х + 12 – 6 = 0
    х2 – 7х + 6 = 0 х1 = 6, х2 = 1
    (исключить).
    Ответ: 6.

    Перестановки
    № 1.     Сколькими способами 4 мужчины могут
    расположиться на четырехместной скамейке?
    Решение: Р4 = 4! = 1 = 24 (способа)
    Ответ: 24.

    № 2.     Курьер должен разнести пакеты в 7 разных
    учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
    Решение: Р7 = 7! = 1
    Ответ: 5040.

    № 3.     Сколько существует выражений,
    тождественно равных произведению abcde,
    которые получаются из него перестановкой
    множителей?
    Решение: Р5 = 5! =1 (выражений)
    Ответ: 120.

    №4.     Ольга помнит, что телефон подруги
    оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в
    каком порядке эти цифры расположены. Укажите
    наибольшее число вариантов, которые ей придется
    перебрать, чтобы дозвониться подруге.
    Решение:Р3 = 3! = 1(вариантов)
    Ответ: 6.

    № 5.     Сколько шестизначных чисел (без
    повторения цифр) можно составить из цифр:
    1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
    Решение:
    1) Р6 = 1720.
    2) Р6 – Р5 = 6! – 5! = 1
    Ответ: 1) 720; 2) 600.

    № 6.     Сколько среди четырехзначных чисел,
    составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр),
    есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2)
    кратны 5?
    Решение:
    1) Р3 =3! = 1 2) Р3 =3! = 1
    Ответ: 1) 6; 2) 6.

    № 7.     Найдите сумму цифр всех четырехзначных
    чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без
    повторения цифр в числе).
    Решение:
    Р4 = 4! = 1 = 24
    1+3+5+7 = 16 16
    Ответ: 384.

    № 8.     В расписании на понедельник шесть уроков:
    алгебра, геометрия, иностранный язык, история,
    физкультура, химия. Сколькими способами можно
    составить расписание уроков на этот день так,
    чтобы два урока математики стояли подряд?
    Решение:
    2.
    Ответ: 48.

    № 9*.     Сколькими способами можно расставить на
    полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники
    стихотворений, чтобы сборники стихотворений
    стояли рядом в случайном порядке?
    Решение:
    Р75
    = 7! 5! = 1
    Ответ: 604800.

    № 10.     Найдите, сколькими способами 5 мальчиков
    и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду
    места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это
    сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных
    местах, а девочки — на четных?
    Решение:
    Р10 = 10! =1 – расположения 5 мальчиков и 5 девочек в
    любом месте и в любом ряду.
    Если мальчики будут сидеть на нечетных местах,
    а девочки — на четных, то таких способов будет
    равно: Р55
    = 5!5! = 1
    Ответ: 3628800; 14400.

    Сочетания
    № 1.     В классе 7-м учащихся успешно занимаются
    математикой. Сколькими способами можно выбрать
    из них двоих для участия в математической
    олимпиаде?
    Решение: = = = = 21(способ).
    Ответ: 21.

    № 2.     В магазине “Филателия” продается 8
    разных наборов марок, посвященных спортивной
    тематике. Сколькими способами можно выбрать из
    них 3 набора?
    Решение:
    = = = = 56
    (способов).
    Ответ: 56.

    № 3.     Ученикам дали список из 10 книг, которые
    рекомендуется прочитать во время каникул.
    Сколькими способами ученик может выбрать из них 6
    книг?
    Решение:
    = = = = 210
    (способов).
    Ответ: 210.

    № 4.     На полке стоит 12 книг: англо-русский
    словарь и 11 художественных произведений на
    английском языке. Сколькими способами читатель
    может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен
    обязательно; 2) словарь ему не нужен?
    Решение: из 3 книг, которые надо выбрать – нужны
    1 словарь и 2 художественные = Р1 = 1! = 1 (способ) 2
    художественные из 11 художественных можно
    выбрать = = = = 55
    (способов).
    Тогда 1 словарь и 2 художественные книги можно
    выбрать
    = = = = 55 (способов)
    Если не нужен словарь, то
    = = = = 165
    (способов).
    Ответ: 55; 165.

    № 5.     В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек.
    Для уборки территории необходимо выделить
    четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими
    способами это можно сделать?
    Решение:
    = = = = =
    400400(способами)
    Ответ: 400400.

    Решите упражнения 6–26, используя известные
    вам формулы и правила комбинаторики.
    № 6.     Во время встречи 16 человек пожали друг
    другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?
    Решение:
    = = = =
    120(способов).
    Ответ: 120.

    № 7.     Группа учащихся из 30 человек решила
    обменяться фотографиями.
    Сколько всего фотографий необходимо было для
    этого?
    Решение:
    = = = 870
    (фотографий).
    Ответ: 870.

    № 8.     Сколько перестановок можно сделать из
    букв слова “Харьков”?
    Решение: Р7 – Р6 = 7! – 6! = 6!(7-1) = 6! = 1
    Ответ: 4320.

    № 9.     Бригадир должен откомандировать на
    работу бригаду из 5 человек.
    Сколько бригад по 5 человек в каждой можно
    организовать из 12 человек?
    Решение:
    = = = = 3
    Ответ: 3960.

    № 10.     Сколькими разными способами собрание из
    40 человек может выбрать из числа своих членов
    председателя собрания, его заместителя и
    секретаря?
    Решение:
    = = = = 59280
    (способов)
    Ответ: 59280.

    № 11.     Сколько прямых линий можно провести
    через 8 точек, из которых никакие три не лежат на
    одной прямой?
    Решение:
    = = = = 28 (прямых
    линий)
    Ответ: 28.

    № 12.     Сколько разных пятизначных чисел можно
    записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их
    повторения?
    Решение:
    = = = 2(разных
    пятизначных числа)
    Ответ: 126.

    № 13.     Определите число всех диагоналей
    правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника;
    3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.
    Решение: общая формула вычисления диагоналей у
    n- угольника
    = = = ;
    n=5, то = 10
    (диагоналей)
    n=12, то = 66
    (диагоналей)
    n=8, то = 28
    (диагоналей)
    n=15, то =
    105(диагоналей)
    Ответ: 10; 66; 28; 105.

    № 14.     Сколько разных трехцветных флагов можно
    сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?
    Решение: Р3 = 3! = 1 = 6 (флагов).
    Ответ: 6.

    № 15.     Сколько разных плоскостей можно
    провести через 10 точек, если ни какие три из них
    не лежат на одной прямой и никакие четыре точки
    не лежат в одной плоскости?
    Решение: = = = 360 (разных
    плоскостей)
    Ответ: 360.

    № 16*.     Сколько разных пятизначных чисел можно
    записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 без их
    повторения?
    Решение: Р5 – Р4 = 5! – 4! = 4! (5-1) = 4! 4 = 1 3 = 96 (разных
    пятизначных чисел)
    Ответ: 96.

    № 17.     Среди перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5
    сколько таких, которые не начинаются цифрой 5?
    числом 12? числом 123?
    Решение: 4! = 1 3 –
    перестановок начинаются цифрой 5.
    3! = 1 3 6 –
    перестановок начинаются цифрой 12.
    2! = 1
    перестановок начинаются с цифрами 123.

    № 18.     Среди сочетаний из 10 букв a, b, c,
    … по 4 сколько таких, которые не содержат буквы а?
    букв a и b?
    Решение:
    1) – = – = – = – =
    = = 63 (сочетаний
    не содержат букву a)
    2) ) – = – = – = – =
    = = 140
    (сочетаний не содержат букву a и b)
    Ответ: 126; 140.

    № 19.     Среди размещений из 12 букв a, b, c,
    … по 5 сколько таких, которые не содержат буквы а?
    букв a и b?
    Решение:
    – = – = – = =7 = 83160
    (размещений)
    – = – = – = =720(132 – 1) =
    94320 (размещений)
    Ответ: 83160; 94320.

    № 20.     Сколько необходимо взять элементов,
    чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз
    больше, чем число размещений из них по 2?
    Решение:
    = 12 ОДЗ: х N;
    x>4
    = 12


    (х-3)(х-2)(х-1)х = 12х(х-1)
    (х-3)(х-2) = 12
    х2 -2х -3х +6 = 12
    х2 -5х – 6 = 0 =6, =-1
    Ответ: 6.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *