Сколько различных трехзначных чисел можно составить с помощью цифр 7 и 3?

1 ответ на вопрос “Сколько различных трехзначных чисел можно составить с помощью цифр 7 и 3?”

  1. a-kazakov Ответить

    Задача 1a
    Задача 1b
    При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?
    При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 6 друзей?
    Ответ: 30
    Ответ: 15
    Решение.
    Каждый из 6-ти специалистов отдал по 5 карточек (всем, кроме себя). Потребовалось
    6·5 = 30 карточек.
    Решение.
    В одном рукопожатии равноправно участвуют два человека. 6 друзей объединялись в группы по 2 без учёта порядка следования. Такие группировки (выборки) называются сочетаниями. Число сочетаний определяем по формуле
    С62 = 6!/2!/(6 – 2)! = 6!/2!/4! = 5·6/2 = 15.
    о вычислениях подробнее
    Задача 2a
    Задача 2b
    В хоровом кружке занимаются 9 человек. Необходимо выбрать двух солистов. Сколькими способами это можно сделать?
    В спортивной команде 9 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
    Ответ: 36
    Ответ: 72
    Решение.
    Два солиста равноправны. (Может быть, и петь планируют дуэтом.) Нас не волнует порядок следования в группе из 2-ух человек, выбранных из 9-ти. Значит определяем число сочетаний из 9 по 2.
    С92 = 9!/2!/(9 – 2)! = 9!/2!/7! = 8·9/2 = 36.
    Решение.
    Казалось бы, мы снова выбираем 2-ух человек из 9-ти, но теперь между ними качественная разница. Они будут выполнять разные обязанности в команде. Мы выбираем капитана И заместителя независимо друг от друга. Поэтому применим правило умножения вариантов (И-правило). Из 9-ти человек капитана можно выбрать 9-тью способами. Его заместителя из оставшихся 8-ми человек – 8-мью способами. Общее число вариантов: 9·8 = 72. (Заметьте, что если сначала выбрать заместителя из 9 человек, а потом капитана из оставшихся 8-ми, результат будет тот же.)
    Можно рассуждать иначе. Есть два места для капитана и его заместителя, нужно разместить на них 2-ух человек, выбрав их из 9-ти. Такие группировки (выборки) называются размещениями. Число размещений определяем по формуле
    А92 = 9!/(9 – 2)! = 9!/7! = 8·9 = 72.
    о формуле подробнее
    Задача 3a
    Задача 3b
    Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на 6 стульях?
    В понедельник в пятом классе 5 уроков: музыка, математика, русский язык, литература и история. Сколько различных способов составления расписания на понедельник существует?
    Ответ: 720
    Ответ: 120
    Решение.
    Легко понять, что в этой задаче речь идет о перестановках. 6 гостей занимают все 6 стульев и могут только меняться местами. Число перестановок из 6 определяем по формуле
    P6 = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.
    Решение.
    Может быть, не так очевидно, но это тоже перестановки. С точки зрения математики, вообще та же самая задача. Представьте себе, что расписание составляете вы. Чертите таблицу с пятью строками для пяти уроков (“готовите стулья”) и вписываете в каждую строку название одного из 5-ти предметов (“рассаживаете гостей”).
    Число перестановок из 5 определяем по формуле
    P5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120.
    Задача 4a
    Задача 4b
    Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?
    Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?
    Ответ: 10
    Ответ: 720
    Решение.
    В шахматной партии 2 равноправных участника (точно также, как в задаче о рукопожатиях). Значит из 5-ти человек формируем группы по 2 без учета порядка следования – сочетания. Определяем число сочетаний из 5 по 2.
    С52 = 5!/2!/(5 – 2)! = 5!/2!/3! = 4·5/2 = 10.
    Решение.
    На пьедестале почёта находятся 3 команды из 10, и для них очень существенно, кто какое место занял, т.е. порядок следования. Составление групп с учетом порядка следования – размещения. Число размещений определяем по формуле
    А103 = 10!/(10 – 3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720.
    Другой способ решения с использованием И-правила, как в задаче 2б. Однако, чем больше выборка, тем удобнее сразу применять готовую формулу.
    Задача 5a
    Задача 5b
    В меню столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 6 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить?
    Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?
    Ответ: 48
    Ответ: 20
    Решение.
    Выбираем три блюда: первое, И второе, И третье. Едим каждое блюдо отдельно (независимо друг от друга). Следовательно, можем применить правило умножения вариантов (И-правило). Из 2-ух первых блюд одно можно выбрать 2-мя способами, из 6-ти вторых одно можно выбрать 6-тью способами, из 4-ёх третьих одно – 4-мя способами.
    2·6·4 = 48.
    Решение.
    Чем отличается салат от описанного ранее обеда? Обед едим последовательно, а салат перемешиваем. Выбранные овощи в салате равноправны, очередность их попадания в общее блюдо не важна. Значит наши выборки это сочетания из 6 по 3.
    С63 = 6!/3!/(6 – 3)! = 6!/3!/3! = (4·5·6)/(1·2·3) = 20.
    Задача 6a
    Задача 6b
    В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими разными способами можно выбрать покупку из одного блокнота и одной ручки?
    В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки?
    Ответ: 28
    Ответ: 84
    Решение.
    Выбираем одну ручку И один блокнот. Одну ручку из 4-ёх 4-мя способами, один блокнот из 7-ми – 7-ю способами. Применяем правило умножения
    4·7 = 28.
    Решение.
    Выбираем одну ручку И два блокнота. Снова можем применить правило умножения вариантов. Одну ручку из 4-ёх можем выбрать 4-мя способами, два блокнота из 7-ми – ? способами.
    Чтобы определить сколько способов выбора 2-ух блокнов из 7-ми, воспользуемся формулой для числа сочетаний, т.к. для нас несущественно в каком порядке это было сделано.
    С72 = 7!/2!/(7 – 2)! = 7!/2!/5! = 6·7/2 = 21.
    Теперь применяем правило умножения
    4·21 = 84.
    Задача 7a
    Задача 7b
    На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?
    Секретный замок состоит из 4 барабанов, на каждом из которых можно выбрать цифры от 0 до 9. Сколько различных вариантов выбора шифра существует?
    Ответ: 5040
    Ответ: 10000
    Решение.
    Число способов встать в очередь равно числу перестановок 7-ми друзей в пределах этой очереди.
    P7 = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040.
    Задача такая же, как о гостях и стульях, но обратите внимание, насколько быстро растет число вариантов при увеличении числа переставляемых предметов.
    Решение.
    На каждом барабане можно выбрать 1-ну цифру из 10-ти 10-тью способами и независимо от других, поэтому применяем правило умножения:
    10·10·10·10 = 10000.
    Можно также считать, что нужно разместить 10 цифр на 4-ёх местах с повторениями. В комбинаторике существует раздел “Выборки с повторениями” (см. подробнее). В данном случае нам нужна формула для размещений.
    Число размещений с повторениями определяется как nk,
    где n – количество элементов для выбора (здесь n = 10 цифр), k – объём выборки или количество возможных повторов одного элемента (здесь k = 4, одна и та же цифра может быть установлена на всех четырех барабанах). Таким образом, искомое число вариантов
    104 = 10000.
    Задача 8a
    Задача 8b
    Сколько различных трёхзначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).
    Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 3, 7? (Цифры могут повторяться).
    Ответ: 6
    Ответ: 27
    Решение.
    Трёхзначное число состоит из 3-ёх цифр, которые нам даны. Поскольку цифры не могут повторяться, то получать различные числа можно только путем их перестановки. Число перестановок из 3-ёх определяем по формуле
    P3 = 3! = 1·2·3 = 6.
    Решение.
    Если цифры могут повторяться, то по разрядам их можно размещать независимо от друг от друга. Значит можем применить правило умножения вариантов (И-правило). Одну цифру из трёх для разряда сотен можно выбрять 3-мя способами, И одну цифру из тех же трёх для разряда десятков – 3-мя способами, И одну из трёх для разряда единиц – 3-мя способами. Общее число вариантов
    3·3·3 = 27.
    Задача 9a
    Задача 9b
    Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 7 и 3?
    Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).
    Ответ: 8
    Ответ: 6
    Решение.
    Трёхзначное число из двух цифр неизбежно будет содержать повторения, поэтому можно воспользоваться формулой для числа размещений с повторениями, как в задаче 7b. Здесь количество элементов для выбора n = 2 цифры, количество возможных повторов одного элемента k = 3 раза, цифра в трёхзначном числе может повториться трижды, например, 777. Таким образом, искомое число вариантов
    23 = 8.
    Но можно и проще, так как эта задача полностью аналогична задаче 8b. Также используем И-правило, выбирая одну из 2-ух цифр независимо для каждой из трёх позиций,
    2·2·2 = 8.
    В свою очередь, в задаче 8b можно было воспользоваться формулой для числа размещений с повторениями: 33 = 27.
    Дело в том, что формула как раз выводится с применением И-правила и теми же рассуждениями, какие описаны в решении этих задач.
    Решение.
    Классический случай размещений: выбираем из 3-ёх элементов без повторов и размещаем на 2-ух позициях – в разряд десятков и в разряд единиц. Число размещений определяем по формуле
    А32 = 3!/(3 – 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
    Задача 10a
    Задача 10b
    Сколько нечетных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 8, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).
    Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 7, 6, 5, 0, если цифры в записи числа не могут повторяться?
    Ответ: 6
    Ответ: 18
    Решение.
    Искомое число должно оканчиваться цифрой 3, так как 4, 6 и 8 делятся на 2 без остатка. Поэтому позиция единиц у нас уже занята, и остается разместить 3 цифры на 2-ух позициях – десятков и сотен. Число размещений из 3 по 2 определяем по формуле
    А32 = 3!/(3 – 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
    Решение.
    Сначала определим, сколько всего можно составить групп из 4-ёх заданных цифр по 3 с учётом порядка следования и без повторений.
    А43 = 4!/(4 – 3)! = 4!/1! = 1·2·3·4/1 = 24.
    Но не все эти группы будут трёхзначными числами. Те из них, которые начинаются с цифры 0, по существу, – двузначные числа.
    Сколько таких групп? Если на первом месте стоит 0, то на позициях десятков и единиц располагаются 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Определяем число размещений из 3 по 2
    А32 = 3!/(3 – 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
    Вычитая из общего числа вариантов лишние, получим
    24 – 6 = 18.
    Задача 11a
    Задача 11b
    Сколько четных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).
    Сколько четных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры в записи числа могут повторяться).
    Ответ: 12
    Ответ: 32
    Решение.
    Четными будут числа, оканчивающиеся на 4 ИЛИ на 6. Поэтому подсчитаем количество вариантов, заканчивающихся на одну из этих цифр, а затем воспользуемся правилом сложения (ИЛИ-правилом), чтобы определить общее число вариантов.
    Если число оканчивается 4-кой, то на позициях сотен и десятков могут находиться любые 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Число размещений из 3 по 2
    А32 = 3!/(3 – 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
    Также получается, если число оканчивается 6-кой: А32 = 6.
    Общее число вариантов 6 + 6 = 12.
    Решение.
    Так же, как в предыдущем случае рассмотрим отдельно числа, заканчивающиеся 4-кой и 6-кой, а затем воспользуемся правилом сложения вариантов.
    Пусть позиция единиц у нас занята цифрой 4. В этот раз в позиции десятков может стоять любая из четырёх заданных цифр (4 варианта) И в позиции сотен любая из этих же 4-ёх цифр (4 варианта), всего 4·4 = 16.
    Если число оканчивается на 6, теми же рассуждениями получаем еще 16 вариантов.
    Всего 16 + 16 = 32.
    Задача 12a
    Сколько различных дробей можно составить с использованием цифр 2, 3, 4? (В числителе и знаменателе не может быть одна и та же цифра.)
    Ответ: 18
    Решение.
    Заметим, что не только в числителе и знаменателе не может быть одна и та же цифра, но цифры вообще не могут повторяться, иначе задача не имела бы смысла. В число дробей входили бы, например, 2/3, 2/33, 2/333, 2/3333 и т.п. Таких вариантов бесконечное число.
    Далее заметим, что текст “с использованием цифр” может быть понят неоднозначно: с использованием всех трёх или с выбором из них. Здесь рассмотрим более общий случай – с выбором. Выборка не может состоять меньше, чем из двух цифр, чтобы хватило и на числитель, и на знаменатель.
    Дроби бывают правильные, в которых знаменатель больше числителя, например, 4/23, и неправильные, в которых числитель больше знаменателя, например, 23/4.
    Таким образом, возможны такие виды дробей */* ИЛИ **/* ИЛИ */**, где звёздочкой обозначено место для одной из заданных цифр. Подсчитаем число вариантов для каждого вида дроби отдельно, а затем сложим результаты в соответствии с ИЛИ-правилом.
    Случай */* определяется числом размещений из 3 по 2, так как используем не все заданные цифры и важен порядок следования (например, сравните 4/3 и 3/4).
    А32 = 3!/(3 – 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
    Случай */** определяется числом перестановок из 3, так как для такой дроби нужно использовать все заданные цифры. Дроби будут различаться только расположением цифр по позициям.
    P3 = 3! = 1·2·3 = 6.
    Случай **/* аналогичен предыдущему, также определяется числом перестановок из 3. P3 = 6.
    Общее число вариантов 6 + 6 + 6 = 18.
    Если вы получили ответ 12, а не 18, обязательно разберитесь почему. Это иначе понятое условие задачи? Забыты неправильные дроби? Ошибка в комбинаторике?

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *