Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 013679?

3 ответов на вопрос “Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 013679?”

  1. Afrojak Ответить


    Первые 2 числа с можно выбрать с повторениями способами. Каждая такая пара имеет при делении на 3 в остатке или 0, или 1, или 2, тогда третье число должно иметь дополняющий к 3 остаток (т.е. 0 или 2 или 1 соответственно). Среди чисел 1…6 есть по 2 числа каждого вида. Поэтому для любой из 36 пар первых чисел найдётся ровно 2 третьих числа, чтобы сумма чисел делилась на 3.

    Сообщение от MrOnlineCoder

    Фактически, нужно найти все наборы цифр
    Найти все наборы или посчитать количество таких наборов? Это не одно и то же. В первом случае нужен алгоритм перечисления таких троек, во втором – формула, которая написана выше.

    Сообщение от MrOnlineCoder

    из множества чисел размером n
    Размытая формулировка. Это числа от 1 до n или n каких-то чисел? Во втором случае нельзя. В первом … давайте проверим.
    Возьмём в вашей задаче числа от 1 до 7. При сложении чисел складываются их остатки при делении на 3. Взяли мы, как и раньше, первые 2 числа, что можно сделать 49 способами. Проблемы две:
    1) пар с разными остатками будет не одинаковое количество (49 не делится на 3 без остатка)
    2) третьих чисел с дополняющими до 3 остатками будет тоже не одинаковое количество, как было в исходной задаче: с остатком 1 3 шт, с остатком 2 2 шт и с остатком 0 2 шт. Поэтому написать ответ 49*2=98 уже не выйдет. Таких троек 114. В общем виде для какого-то n и какого-то q скорее всего не выйдет написать общую формулу количества. По крайней мере, сразу не видно, как это сделать.
    1

  2. JIorD Ответить

    Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных
    комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных
    объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных
    событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное
    количество различных вариантов развития событий.

    Основная формула комбинаторики

    Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из ni элементов.
    Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов,
    которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n1*n2*n3*…*nk.
    Пример 1. Поясним это правило на простом
    примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из
    n1 элементов, а вторая – из n2 элементов. Сколько
    различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом,
    чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли
    первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные
    пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента
    можно составить n2. Затем мы берем второй элемент из первой группы
    и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n2.
    Так как в первой группе всего n1 элемент, всего возможных
    вариантов будет n1*n2.
    Пример 2. Сколько
    трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если
    цифры могут повторяться?
    Решение: n1=6
    (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n2=7
    (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5,
    6), n3=4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4,
    6).
    Итак, N=n1*n2*n3=6*7*4=168.
    В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n1=n2=…nk=n
    можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем
    элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов
    выбора равно nk. Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.
    Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел
    можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
    Решение. Для каждого разряда
    четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=54=625.
    Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это
    множество в комбинаторике называется генеральной
    совокупностью    .

    Число размещений из n элементов по m

    Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется
    любой упорядоченный набор из m различных
    элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
    Пример 4. Различными размещениями из трех
    элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2,
    3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга
    как элементами, так и их порядком.
    Число размещений в комбинаторике обозначается Anm и вычисляется по
    формуле:

    Замечание: n!=1*2*3*…*n (читается: “эн факториал”), кроме того
    полагают, что 0!=1.
    Пример 5. Сколько существует двузначных
    чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные
    и нечетные?
    Решение: т.к. нечетных цифр
    пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на
    две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

    Определение 2. Сочетанием
    из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из
    генеральной совокупности в n
    элементов.
    Пример 6. Для множества {1, 2,
    3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

    Число сочетаний из n элементов по m

    Число сочетаний обозначается Cnm и вычисляется по формуле:

    Пример 7. Сколькими способами читатель может
    выбрать две книжки из шести имеющихся?
    Решение: Число способов равно
    числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

    Перестановки из n элементов

    Определение 3. Перестановкой
    из n элементов
    называется любой упорядоченный набор
    этих элементов.
    Пример 7a. Всевозможными перестановками
    множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3,
    2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).
    Число различных перестановок из n элементов обозначается Pn и
    вычисляется по формуле Pn=n!.
    Пример 8. Сколькими способами семь книг
    разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
    Решение:эта задача о числе
    перестановок семи разных книг. Имеется P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040
    способов осуществить расстановку книг.
    Обсуждение. Мы видим,
    что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам
    (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный,
    т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на
    определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов
    одновременно.
    Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их
    наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).
    Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам
    нужны.
    И последнее, важно знать, является ли для нас
    существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на
    следующем примере.
    Пример 9. На родительском собрании
    присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава
    родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
    Решение: В этом примере нас
    не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его
    составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же
    вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.
    Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за
    определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе
    комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество
    разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в
    этом случае числом размещений
    из 20 элементов по 5.
    Задачи для самопроверки
    1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5,
    6, если цифры могут повторяться?
    2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева
    направо и справа налево?
    3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно
    составить расписание на один день?
    4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе
    20 человек?
    5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми
    различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
    6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию,
    состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это
    можно сделать?

    Copyright © 2004-2019

  3. Vular Ответить

    Размещения
    № 1.     Имеем 4 разных конверта без марок и 3
    разные марки. Сколькими способами можно выбрать
    конверт и марку для отправления письма?
    Решение:
    34 = 12
    (способов)
    Ответ: 12 способов.

    № 2.     В коробке находится 10 белых и 6 черных
    шаров.
    1) Сколькими способами из коробки можно вынуть
    один шар любого цвета?
    2) Сколькими способами из коробки можно вынуть
    два разноцветных шара?
    Решение:
    = = = = 16 (способов)
    = = 10
    Ответ: 16; 60.

    № 3.     В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все
    разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин,
    после него из оставшихся фруктов Надя выбирает
    яблоко и апельсин. Сколько возможно таких
    выборов? При каком выборе Пети у Нади больше
    возможностей выбора?
    Решение:
    + = + = 21 + 19
    Если Петя берёт 1 яблоко, то у Нади больше
    возможностей для выбора.
    Ответ: 401. Петя берёт 1 яблоко.

    № 4.     Ученику необходимо сдать 4 экзамена на
    протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть
    составлено расписание его экзаменов?
    Решение:
    = = = 5.
    Ответ: 1680

    № 5.     Сколькими способами может расположиться
    семья из трех человек в четырехместном купе, если
    других пассажиров в купе нет?
    Решение:
    = = . Ответ: 24.

    № 6.     Из 30 участников собрания необходимо
    выбрать председателя и секретаря. Сколькими
    способами это можно сделать?
    Решение:
    = = = = = 29870(способов).
    Ответ: 870.

    № 7.     Сколькими способами могут занять первое,
    второе и третье места 8 участниц финального
    забега на дистанции 100 м?
    Решение:
    = = = = 6.
    Ответ: 336.

    № 8.     Сколькими способами можно изготовить
    трехцветный флаг с горизонтальными полосами,
    если есть материал 7 разных цветов?
    Решение:
    = = = = 5 = 210
    (способов).
    Ответ: 210.

    № 9.     Сколькими способами организаторы
    конкурса могут определить, кто из 15 его
    участников будет выступать первым, вторым и
    третьим?
    Решение:
    = = = =
    = = =13 = 2780
    (способов).
    Ответ: 2780.

    № 10.     На плоскости отметили 5 точек. Их
    необходимо обозначить латинскими буквами.
    Сколькими способами это можно сделать, если в
    латинском алфавите 26 букв?
    Решение:
    = = = = 22 (способов)
    Ответ: .

    № 11.     Сколько четырехзначных чисел можно
    составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,если цифры в числе не
    повторяются?
    Решение:
    = = = 2 = 120
    (способов).
    Ответ: 120.

    № 12*.     Сколько четырехзначных чисел можно
    составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8,если цифры в числе не
    повторяются?
    Решение:
    = = – = 5! -4! = 4!(5 – 1)
    = 1.
    Ответ: 96.

    № 13.     Сколько существует семизначных
    телефонных номеров, в которых все цифры разные и
    первая цифра отлична от нуля?
    Решение:
    = = – = – =
    = 44 = 4
    (номеров)
    Ответ: 544320.
    № 14. Сколько разных трехзначных чисел (без
    повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5
    так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2)
    кратными 5?

    Решение:
    2= = = 2 2) = = = = 2
    Ответ: 12; 48.

    № 15*.     Решите уравнение: 1) =20; 2) = 6.
    Решение:
    =20;
    = 20 ОДЗ: х
    = 20
    х2 – х – 20 = 0
    х1=5, х2= – 4(исключить).
    Ответ: 5.
    = 6.

    = 6
    = 6 ОДЗ: х
    = 6
    (х-4)(х-3) = 6
    х2 -3х -4х + 12 – 6 = 0
    х2 – 7х + 6 = 0 х1 = 6, х2 = 1
    (исключить).
    Ответ: 6.

    Перестановки
    № 1.     Сколькими способами 4 мужчины могут
    расположиться на четырехместной скамейке?
    Решение: Р4 = 4! = 1 = 24 (способа)
    Ответ: 24.

    № 2.     Курьер должен разнести пакеты в 7 разных
    учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
    Решение: Р7 = 7! = 1
    Ответ: 5040.

    № 3.     Сколько существует выражений,
    тождественно равных произведению abcde,
    которые получаются из него перестановкой
    множителей?
    Решение: Р5 = 5! =1 (выражений)
    Ответ: 120.

    №4.     Ольга помнит, что телефон подруги
    оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в
    каком порядке эти цифры расположены. Укажите
    наибольшее число вариантов, которые ей придется
    перебрать, чтобы дозвониться подруге.
    Решение:Р3 = 3! = 1(вариантов)
    Ответ: 6.

    № 5.     Сколько шестизначных чисел (без
    повторения цифр) можно составить из цифр:
    1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
    Решение:
    1) Р6 = 1720.
    2) Р6 – Р5 = 6! – 5! = 1
    Ответ: 1) 720; 2) 600.

    № 6.     Сколько среди четырехзначных чисел,
    составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр),
    есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2)
    кратны 5?
    Решение:
    1) Р3 =3! = 1 2) Р3 =3! = 1
    Ответ: 1) 6; 2) 6.

    № 7.     Найдите сумму цифр всех четырехзначных
    чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без
    повторения цифр в числе).
    Решение:
    Р4 = 4! = 1 = 24
    1+3+5+7 = 16 16
    Ответ: 384.

    № 8.     В расписании на понедельник шесть уроков:
    алгебра, геометрия, иностранный язык, история,
    физкультура, химия. Сколькими способами можно
    составить расписание уроков на этот день так,
    чтобы два урока математики стояли подряд?
    Решение:
    2.
    Ответ: 48.

    № 9*.     Сколькими способами можно расставить на
    полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники
    стихотворений, чтобы сборники стихотворений
    стояли рядом в случайном порядке?
    Решение:
    Р75
    = 7! 5! = 1
    Ответ: 604800.

    № 10.     Найдите, сколькими способами 5 мальчиков
    и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду
    места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это
    сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных
    местах, а девочки — на четных?
    Решение:
    Р10 = 10! =1 – расположения 5 мальчиков и 5 девочек в
    любом месте и в любом ряду.
    Если мальчики будут сидеть на нечетных местах,
    а девочки — на четных, то таких способов будет
    равно: Р55
    = 5!5! = 1
    Ответ: 3628800; 14400.

    Сочетания
    № 1.     В классе 7-м учащихся успешно занимаются
    математикой. Сколькими способами можно выбрать
    из них двоих для участия в математической
    олимпиаде?
    Решение: = = = = 21(способ).
    Ответ: 21.

    № 2.     В магазине “Филателия” продается 8
    разных наборов марок, посвященных спортивной
    тематике. Сколькими способами можно выбрать из
    них 3 набора?
    Решение:
    = = = = 56
    (способов).
    Ответ: 56.

    № 3.     Ученикам дали список из 10 книг, которые
    рекомендуется прочитать во время каникул.
    Сколькими способами ученик может выбрать из них 6
    книг?
    Решение:
    = = = = 210
    (способов).
    Ответ: 210.

    № 4.     На полке стоит 12 книг: англо-русский
    словарь и 11 художественных произведений на
    английском языке. Сколькими способами читатель
    может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен
    обязательно; 2) словарь ему не нужен?
    Решение: из 3 книг, которые надо выбрать – нужны
    1 словарь и 2 художественные = Р1 = 1! = 1 (способ) 2
    художественные из 11 художественных можно
    выбрать = = = = 55
    (способов).
    Тогда 1 словарь и 2 художественные книги можно
    выбрать
    = = = = 55 (способов)
    Если не нужен словарь, то
    = = = = 165
    (способов).
    Ответ: 55; 165.

    № 5.     В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек.
    Для уборки территории необходимо выделить
    четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими
    способами это можно сделать?
    Решение:
    = = = = =
    400400(способами)
    Ответ: 400400.

    Решите упражнения 6–26, используя известные
    вам формулы и правила комбинаторики.
    № 6.     Во время встречи 16 человек пожали друг
    другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?
    Решение:
    = = = =
    120(способов).
    Ответ: 120.

    № 7.     Группа учащихся из 30 человек решила
    обменяться фотографиями.
    Сколько всего фотографий необходимо было для
    этого?
    Решение:
    = = = 870
    (фотографий).
    Ответ: 870.

    № 8.     Сколько перестановок можно сделать из
    букв слова “Харьков”?
    Решение: Р7 – Р6 = 7! – 6! = 6!(7-1) = 6! = 1
    Ответ: 4320.

    № 9.     Бригадир должен откомандировать на
    работу бригаду из 5 человек.
    Сколько бригад по 5 человек в каждой можно
    организовать из 12 человек?
    Решение:
    = = = = 3
    Ответ: 3960.

    № 10.     Сколькими разными способами собрание из
    40 человек может выбрать из числа своих членов
    председателя собрания, его заместителя и
    секретаря?
    Решение:
    = = = = 59280
    (способов)
    Ответ: 59280.

    № 11.     Сколько прямых линий можно провести
    через 8 точек, из которых никакие три не лежат на
    одной прямой?
    Решение:
    = = = = 28 (прямых
    линий)
    Ответ: 28.

    № 12.     Сколько разных пятизначных чисел можно
    записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их
    повторения?
    Решение:
    = = = 2(разных
    пятизначных числа)
    Ответ: 126.

    № 13.     Определите число всех диагоналей
    правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника;
    3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.
    Решение: общая формула вычисления диагоналей у
    n- угольника
    = = = ;
    n=5, то = 10
    (диагоналей)
    n=12, то = 66
    (диагоналей)
    n=8, то = 28
    (диагоналей)
    n=15, то =
    105(диагоналей)
    Ответ: 10; 66; 28; 105.

    № 14.     Сколько разных трехцветных флагов можно
    сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?
    Решение: Р3 = 3! = 1 = 6 (флагов).
    Ответ: 6.

    № 15.     Сколько разных плоскостей можно
    провести через 10 точек, если ни какие три из них
    не лежат на одной прямой и никакие четыре точки
    не лежат в одной плоскости?
    Решение: = = = 360 (разных
    плоскостей)
    Ответ: 360.

    № 16*.     Сколько разных пятизначных чисел можно
    записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 без их
    повторения?
    Решение: Р5 – Р4 = 5! – 4! = 4! (5-1) = 4! 4 = 1 3 = 96 (разных
    пятизначных чисел)
    Ответ: 96.

    № 17.     Среди перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5
    сколько таких, которые не начинаются цифрой 5?
    числом 12? числом 123?
    Решение: 4! = 1 3 –
    перестановок начинаются цифрой 5.
    3! = 1 3 6 –
    перестановок начинаются цифрой 12.
    2! = 1
    перестановок начинаются с цифрами 123.

    № 18.     Среди сочетаний из 10 букв a, b, c,
    … по 4 сколько таких, которые не содержат буквы а?
    букв a и b?
    Решение:
    1) – = – = – = – =
    = = 63 (сочетаний
    не содержат букву a)
    2) ) – = – = – = – =
    = = 140
    (сочетаний не содержат букву a и b)
    Ответ: 126; 140.

    № 19.     Среди размещений из 12 букв a, b, c,
    … по 5 сколько таких, которые не содержат буквы а?
    букв a и b?
    Решение:
    – = – = – = =7 = 83160
    (размещений)
    – = – = – = =720(132 – 1) =
    94320 (размещений)
    Ответ: 83160; 94320.

    № 20.     Сколько необходимо взять элементов,
    чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз
    больше, чем число размещений из них по 2?
    Решение:
    = 12 ОДЗ: х N;
    x>4
    = 12


    (х-3)(х-2)(х-1)х = 12х(х-1)
    (х-3)(х-2) = 12
    х2 -2х -3х +6 = 12
    х2 -5х – 6 = 0 =6, =-1
    Ответ: 6.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *