В какие моменты возвращающая сила действующая на колеблющееся тело?

12 ответов на вопрос “В какие моменты возвращающая сила действующая на колеблющееся тело?”

  1. ЗLIou_KlIOuN Ответить

    Билет 16
    Гармони?ческий
    осцилля?тор
     (в классической
    механике
    ) — система,
    которая при смещении из положения
    равновесия
     испытывает
    действие возвращающей силы F,
    пропорциональной смещению x (согласно закону
    Гука
    ):

    где k — коэффициент
    жёсткости
     системы.
    Если F —
    единственная сила, действующая на
    систему, то систему
    называют простым или консервативным
    гармоническим осциллятором
    .
    Свободные колебания такой системы
    представляют собой периодическое
    движение около положения равновесия
    (гармонические колебания). Частота и
    амплитуда при этом постоянны, причём
    частота не зависит от амплитуды.
    Если
    имеется ещё и сила
    трения
     (затухание),
    пропорциональная скорости движения
    (вязкое
    трение
    ),
    то такую систему называют затухающим или диссипативным
    осциллятором
    .
    Если трение не слишком велико, то система
    совершает почти периодическое движение —
    синусоидальные колебания с постоянной
    частотой и экспоненциально убывающей
    амплитудой. Частота свободных колебаний
    затухающего осциллятора оказывается
    несколько ниже, чем у аналогичного
    осциллятора без трения.
    Если
    осциллятор предоставлен сам себе, то
    говорят, что он совершает свободные
    колебания
    .
    Если же присутствует внешняя сила
    (зависящая от времени), то говорят, что
    осциллятор испытывает вынужденные
    колебания
    .
    Механическими
    примерами гармонического осциллятора
    являются математический
    маятник
     (с
    малыми углами отклонения), груз
    на пружине
    торсионный
    маятник
     и
    акустические системы. Среди других
    аналогов гармонического осциллятора
    стоит выделить электрический
    Механи?ческое
    равнове?сие
     —
    состояние механической
    системы,
    при котором сумма всех сил,
    действующих на каждую её частицу, равна
    нулю и сумма моментов всех
    сил, приложенных к телу относительно
    любой произвольно взятой оси вращения,
    также равна нулю.
    В
    состоянии равновесия тело находится в
    покое (вектор скорости равен нулю) в
    выбранной системе
    отсчета либо
    движется равномерно прямолинейно или
    вращается без касательного ускорения.
    В
    случае, когда вторая производная
    отрицательна, потенциальная энергия
    системы находится в состоянии локального
    максимума. Это означает, что положение
    равновесия неустойчиво.
    Если система будет смещена на небольшое
    расстояние, то она продолжит своё
    движение за счёт сил, действующих на
    систему.
    Возвращающая
    сила

    Гармоническое
    колебаник точки характеризуется тем,
    что на неё действует сила, пропорциональная
    отклонению её от положения равновесия
    и направленная к этому положению. Она
    и называется возвращающей. Природа этой
    силы может быть какой угодно.
    Билет
    17

    Простое
    гармоническое движение
     —
    это движение простого гармонического
    осциллятора
    ,
    периодическое движение, которое не
    является ни вынужденным,
    ни затухающим.
    Тело в простом гармоническом движении
    подвергается воздействию единственной
    переменной силы,
    которая по модулю прямо пропорциональна
    смещению x от
    положения равновесия и направлена в
    обратную сторону.
    Это
    движение является периодическим:
    тело колеблется около
    положения равновесия по синусоидальному закону.
    Каждое последующее колебание такое же,
    как и предыдущее,
    и периодчастота и амплитуда колебаний
    остаются постоянными. Если принять, что
    положение равновесия находится в точке
    с координатой, равной нулю, то
    смещение x тела
    от положения равновесия в любой момент
    времени даётся формулой:

    где A —
    амплитуда колебаний, f —
    частота, ? — начальная
    фаза
    .
    Билет
    19

    Затухающий
    гармонический осциллятор

    Основная
    статья: 
    Затухающие
    колебания

    Взяв
    за основу ту же модель, добавим в неё
    силу вязкого трения. Сила вязкого трения
    направлена против скорости движения
    груза относительно среды и пропорциональна
    этой скорости. Тогда полная сила,
    действующая на груз, записывается так:

    Проводя
    аналогичные действия, получаем
    дифференциальное уравнение, описывающее
    затухающий осциллятор:

    Здесь
    введено обозначение: .
    Коэффициентносит
    название постоянной затухания. Он тоже
    имеет размерность частоты.
    Решение
    же распадается на три случая.
    При
    малом трении ()
    общее решение записывается в виде:
    ,
    где 
    частота свободных колебаний.
    Затухание называюткритическим.
    Начиная с такого значения показателя
    затухания, осциллятор будет совершать
    так называемое неколебательное движение.
    В граничном случае движение происходит
    по закону:

    При
    сильном же трении решение
    выглядит следующим образом:
    ,
    где 
    Критическое
    затухание примечательно тем, что именно
    при критическом затухании осциллятор
    быстрее всего стремится в положение
    равновесия. Если трение меньше
    критического, он дойдёт до положения
    равновесия быстрее, однако «проскочит»
    его по инерции, и будет совершать
    колебания. Если трение больше критического,
    то осциллятор будет экспоненциально
    стремиться к положению равновесия, но
    тем медленнее, чем больше трение.
    Поэтому
    в стрелочных индикаторах (например, в
    амперметрах) обычно стараются ввести
    именно критическое затухание, чтобы
    прочитать его показания можно было
    максимально быстро.
    Затухание
    осциллятора также часто характеризуют
    безразмерным параметром,
    называемым добротностью.
    Добротность обычно обозначают буквой .
    По определению, добротность равна:

    Чем
    больше добротность, тем медленнее
    затухают колебания осциллятора.
    У
    осциллятора с критическим затуханием
    добротность равна 0,5. Соответственно,
    добротность указывает характер поведения
    осциллятора. Если добротность больше
    0,5, то свободное движение осциллятора
    представляет собой колебания; со временем
    он пересечёт положение равновесия
    неограниченное количество раз.
    Добротность, меньшая или равная 0,5,
    соответствует неколебательному движению
    осциллятора; в свободном движении он
    пересечёт положение равновесия не более
    одного раза.
    Добротность
    иногда называют коэффициентом усиления
    осциллятора, так как при некоторых
    способах возбуждения при совпадении
    частоты возбуждения с резонансной амплитуда
    колебаний оказывается примерно в раз
    больше, чем при возбуждении на низкой
    частоте.
    Также
    добротность примерно равна количеству
    колебательных циклов, за которое
    амплитуда колебаний уменьшается в раз,
    умноженному на.
    В
    случае колебательного движения затухание
    ещё характеризуют такими параметрами,
    как:
    Время
    жизни
     колебаний
    (оно же время
    затухания
    ,
    оно же время
    релаксации
    ) ? —
    время, за которое амплитуда колебаний
    уменьшится в e раз.

    Это
    время рассматривается как время,
    необходимое для затухания (прекращения)
    колебаний (хотя формально свободные
    колебания продолжаются бесконечно
    долго).
    Логарифмический
    декремент затухания
    .
    Определяется как логарифм отношения
    двух последовательных максимальных
    отклонений в одну сторону: Величина,
    обратнаяd,
    есть количество колебаний, которое
    пройдёт за время затухания ?.
    Уравнение
    гармонических колебаний
     имеет
    вид:

    ,
    где
    A – амплитуда
    колебаний 
    (величина
    наибольшего отклонения системы от
    положения равновесия)
     круговая
    (циклическая) частота.
     Периодически
    изменяющийся аргумент косинуса 
    называетсяфазой
    колебаний
    .
    Фаза колебаний определяет смещение
    колеблющейся величины от положения
    равновесия в данный момент времени t.
    Постоянная ? представляет
    собой значение фазы в момент времени
    t = 0 и называется начальной
    фазой колебания
    .
    Значение начальной фазы определяется
    выбором начала отсчета. Величина x может
    принимать значения, лежащие в пределах
    от -A до +A.
    Промежуток времени T, через
    который повторяются определенные
    состояния колебательной системы, называется
    периодом колебаний
    .
    Косинус – периодическая функция с
    периодом 2?, поэтому за промежуток
    времени T, через который фаза колебаний
    получит приращение равное 2?, состояние
    системы, совершающей гармонические
    колебания, будет повторяться. Этот
    промежуток времени T называется периодом
    гармонических колебаний.
    Билет
    20

    Вынужденные
    колебания
     — колебания,
    происходящие под воздействием внешних
    сил, меняющихся во времени.
    Автоколебания отличаются
    от вынужденных колебаний тем, что
    последние вызваны периодическим внешним
    воздействием и происходят с частотой этого
    воздействия, в то время как возникновение
    автоколебаний и их частота определяются
    внутренними свойствами самой
    автоколебательной системы.
    Наиболее
    простой и содержательный пример
    вынужденных колебаний можно получить
    из рассмотрения гармонического
    осциллятора
     и
    вынуждающей силы, которая изменяется
    по закону: .
    Резонанс
    Из
    решения видно, что при частоте вынуждающей
    силы, равной частоте свободных колебаний,
    оно не пригодно — возникает резонанс,
    то есть «неограниченный» линейный рост
    амплитуды со временем. Из курса математического
    анализа известно,
    что решение в этом случае надо искать
    в виде: .
    Подставим этот анзац в дифференциальное
    уравнение и
    получим, что :

    Таким
    образом, колебания в резонансе будут
    описываться следующим соотношением:

    Резонансными
    кривыми
     называются
    зависимости тока и напряжения от частоты.
    В качестве их примера на рис. 3 приведены
    типовые кривые I(f); идля
    цепи на рис. 1 при U=const.
    Важной
    характеристикой резонансного контура
    является добротность Q,
    определяемая отношением напряжения на
    индуктивном (емкостном) элементе к
    входному напряжению:
    ,
    (5)

    и характеризующая “избирательные”
    свойства резонансного контура, в
    частности его полосу
    пропускания
     .
    Другим
    параметром резонансного контура
    является характеристическое
    сопротивление
    ,
    связанное с добротностью соотношением
    ,
    (6)
    или
    с учетом (4) и (5) для можно
    записать:
    .
    (7)
    Рассмотрим
    временные параметры интегрирующей
    RC-цепи, определяемые из переходной
    характеристики, при подаче на вход
    RC-цепи прямоугольного импульса напряжения
    Билет
    21

    Если
    имеется материальная точка ,
    к которой приложена сила ,
    то момент силы относительно точки равен
    векторному произведению радиус-вектора ,
    соединяющего точки и ,
    на вектор силы :
    .

    [Править]Момент силы относительно оси

    Моментом
    силы относительно оси называется момент
    проекции силы на плоскость, перпендикулярную
    оси, относительно точки пересечения
    оси с этой плоскостью.
    дальнейшем
    нам придется столкнуться с проекцией
    момента импульса на некоторуюфиксированную
    (закрепленную)
     ось
    (например, ось z).
    Эта
    величина называется моментом
    импульса относительно оси
    .
    Пусть частица массы m движется по
    окружности радиуса R вокруг этой оси.
    Выберем
    точку О, относительно которой определяются
    вектора и,
    на оси z. Тогда.
    Величинаназываетсямоментом
    инерции
     частицы
    относительно оси.Таким
    образом,
    Lz=Iw,
    т.е. момент
    импульса относительно оси равен
    произведению момента инерции на угловую
    скорость вращения.

    Закон
    изменения момента импульса относительно
    оси:
    ,
    где
    Mz — проекция момента силы на ту же ось
    (или момент силы относительно оси).
    Билет
    22

    Абсолю?тно
    твёрдое те?ло
     —
    второй опорный объект механики наряду
    с материальной
    точкой
    .
    Механика абсолютно твердого тела
    полностью сводима к механике материальных
    точек (с наложенными связями), но имеет
    собственное содержание (полезные понятия
    и соотношения, которые могут быть
    сформулированы в рамках модели абсолютно
    твердого тела), представляющее большой
    теоретический и практический интерес.
    Существует
    несколько определений:
    Абсолютно
    твёрдое тело — модельное понятие
    классической механики, обозначающее
    совокупность материальных точек,
    расстояния между которыми сохраняются
    в процессе любых движений, совершаемых
    этим телом. Иначе говоря, абсолютно
    твердое тело не только не изменяет свою
    форму, но и сохраняет неизменным
    распределение массы внутри.
    Абсолютно
    твёрдое тело — механическая
    система
    ,
    обладающая
    только поступательными и вращательными степенями
    свободы
    .
    «Твёрдость» означает, что тело не может
    быть деформировано,
    то есть телу нельзя передать никакой
    другой энергии, кроме кинетической
    энергии
     поступательного
    или вращательного движения.
    Абсолютно
    твёрдое тело — тело (система),
    взаимное положение любых точек которого
    не изменяется, в каких бы процессах оно
    ни участвовало.
    Таким
    образом, положение абсолютно твердого
    тела полностью определяется, например,
    положением жестко привязанной к нему
    декартовой системы координат (обычно
    ее начало координат делают совпадающим
    с центром масс твердого тела).
    В
    трёхмерном пространстве и в случае
    отсутствия (других) связей абсолютно
    твёрдое тело обладает 6 степенями
    свободы: три поступательных и три
    вращательных. Исключение составляет двухатомная
    молекула
     или,
    на языке классической механики, твёрдый
    стержень нулевой толщины. Такая система
    имеет только две вращательных степени
    свободы.
    Абсолютно
    твёрдых тел в природе не существует,
    однако в очень многих случаях, когда
    деформация тела мала и ей можно пренебречь,
    реальное тело может (приближенно)
    рассматриваться как абсолютно твёрдое
    тело без ущерба для задачи.
    В
    рамках релятивистской механики понятие
    абсолютно твёрдого тела внутренне
    противоречиво, что показывает, в
    частности, парадокс
    Эренфеста
    .
    Другими словами, модель абсолютно
    твердого тела вообще говоря совершенно
    неприменима к случаю быстрых движений
    (сопоставимых по скорости со скоростью
    света), а также к случаю очень сильных
    гравитационных полей [1].
    Вращением
    вокруг неподвижной оси
     называется
    такое движение твердого тела, при котором
    во все время движения две его точки
    остаются неподвижными. Прямая, проходящая
    через эти точки, называется осью вращения.
    Все остальные точки тела движутся в
    плоскостях, перпендикулярных оси
    вращения, по окружностям, центры которых
    лежат на оси вращения. Положение
    вращающегося твердого тела определяется
    одним параметром – углом ? между начальным
    положением АМ0О
    некоторой плоскости, связанной с телом
    и проходящей через ось, и ее положением
    АМО в данный момент времениЗакон
    вращательного движения:

    Проекция
    вектора угловой скорости на ось и
    определяется зависимостью:

    Угловая
    скорость ? рад/сек связана с числом
    оборотов в минуту n зависимостями:

    Проекция
    вектора угловой скорости на ось u
    определяется зависимостью

    Скорость
    и ускорение точки М вращающегося твердого
    тела определяются соотношениями (рис.
    1):

    или
    в скалярной форме:


    Частные
    случаи:
    1)
    равномерное вращение (?=0):

    2)
    равнопеременное вращение (?u=const):


    Предположим,
    что точка О неподвижна. В случае одной
    материальной точки, дифференцируя (3),
    получаем
    .
    При
    неподвижной точке О вектор ,
    равный,
    параллелени
    поэтому.
    Кроме того.
    Таким
    образом .
    (5)
    Это
    уравнение моментов для одной материальной
    точки
    Момент
    инерции
     — скалярная физическая
    величина
    ,
    мера инертности во вращательном
    движении
     вокруг
    оси, подобно тому, как масса тела является
    мерой его инертности в поступательном
    движении
    .
    Характеризуется распределением масс
    в теле: момент инерции равен сумме
    произведений элементарных масс на
    квадрат их расстояний до базового
    множества (точки, прямой или плоскости).
    Единица
    измерения СИкг·м?.
    Для
    абсолютно твёрдого тела полную кинетическую
    энергию
     можно
    записать в виде суммы кинетической
    энергии поступательного и вращательного
    движения:

    где:
     —
    масса
    тела
     —
    скорость
    центра масс тела
     —
    момент
    инерции тела
     —
    угловая
    скорость тела.
    Билет
    23

    ако?н
    сохране?ния моме?нта и?мпульса
     (закон
    сохранения углового момента) — один
    из фундаментальных законов
    сохранения
    .
    Математически выражается через векторную
    сумму всех моментов
    импульса
     относительно
    выбранной оси для замкнутой
    системы тел
     и
    остается постоянной, пока на систему
    не воздействуют внешние силы. В
    соответствии с этим момент
    импульса
     замкнутой
    системы в любой системе координат не
    изменяется со временем.
    Закон
    сохранения момента импульса есть
    проявление изотропности
    пространства относительно поворота
    .
    В
    упрощённом виде: ?L(вектор)=const ,если
    система находится в равновесии.
    Билет
    24

    Поскольку
    твердое тело обладает в общем случае
    шестью степенями свободы, то общая
    система уравнений движения должна
    содержать шесть независимых уравнений.
    Их можно представить в виде, определяющем
    производные по времени от двух векторов:
    импульса и момента тела.
    Первое
    из этих уравнений получается просто
    путем суммирования уравнений =f для
    каждой из составляющих тело частиц,
    где p —
    импульс частицы, а f —
    действующая на нее сила. Вводя полный
    импульс тела
    P = p = ?V
    и
    полную действующую на него силу f=F,
    получим
     = F.
    (34.1)
    Хотя
    мы определили F как
    сумму всех сил f,
    действующих на каждую их частиц, в том
    числе со стороны других частиц тела,
    фактически в F входят
    лишь силы, действующие со стороны внешних
    источников. Все силы взаимодействия
    между частицами самого тела взаимно
    сокращаются; действительно, при отсутствии
    внешних сил импульс тела, как и всякой
    замкнутой системы, должен сохраняться,
    т.е. должно быть F=0.
    Если U —
    потенциальная энергия твердого тела
    во внешнем поле, то сила F может
    быть определена путем дифференцирования
    ее по координатам центра инерции тела:
    F =
    .
    (34.2)
    Действительно,
    при поступательном перемещении тела
    на ?R настолько
    же меняются и радиус-векторы каждой
    точки тела, а потому изменение потенциальной
    энергии
    ??= ?R =
    ??R f =
    ?F?R .
    Отметим
    в этой связи, что уравнение (34.1) может
    быть получено и как уравнение Лагранжа
    по отношению к координатам центра
    инерции
     
    с
    функцией Лагранжа (32.4),
    для которой
     = ?V = P,
    = ?=F.
    Перейдем
    к выводу второго уравнения движения,
    определяющего производную по времени
    от момента импульса M.
    Для упрощения вывода удобно выбрать
    «неподвижную» (инерциальную) систему
    отсчета таким образом, чтобы в данный
    момент времени центр инерции тела
    покоился относительно нее.
    Имеем
     = [rp]
    [p]
    [r].
    В
    силу сделанного нами выбора системы
    отсчета (в котором V=0)
    значение в
    данный момент времени совпадает со
    скоростьюv=.
    Поскольку же векторыv и p =
    mv имеют
    одинаковое направление, то [p]=0.
    Заменив также на
    силуf,
    получим окончательно:
     = K,
    (34.3)
    где
    K = [rf].
    (34.4)
    Поскольку
    момент М определен
    относительно центра инерции (см.
    здесь)
    ,
    он не меняется при переходе от одной
    инерциальной системы отсчета к другой.
    Это видно из формулы (9.5) с R=0.
    Отсюда следует, что зфавнение движения
    (34.3), полученное здесь при определенном
    выборе системы отсчета, тем самым, в
    силу галилеевского принципа относительности,
    справедливо в любой инерциальной
    системе.
    Вектор
    [rf]
    называется моментом силы f,
    так что K есть
    сумма моментов всех сил, действующих
    на тело. Как и в полной силе F,
    в сумме (34.4) фактически должны учитываться
    лишь внешние силы; в соответствии с
    законом сохранения момента импульса
    сумма моментов всех сил, действующих
    внутри замкнутой системы, должна
    обращаться в нуль.
    Условия
    равновесия абсолютно твердого
    тела

    относительно
    инерциальной системы отсчета.
    1.
    Векторная сумма всех сил, действующих
    на тело, равна нулю: .
    2.
    Сумма моментов всех
    внешних сил, действующих на тело,
    относительно любой оси равна нулю: .
    Ось может быть как реальной (неподвижной),
    так и мысленно проведенной через любую
    точку пространств.
    Билет
    25

    Идеа?льная
    жи?дкость
     —
    в гидродинамике —
    воображаемая (идеализированная) жидкость,
    в которой, в отличие от реальной жидкости,
    отсутствует вязкость .
    В идеальной жидкости отсутствует внутреннее
    трение
    ,
    то есть, нет касательных напряжений
    между двумя соседними слоями.
    Моделью
    идеальной жидкости пользуются при
    теоретическом рассмотрении задач, в
    которых вязкость не является определяющим
    фактором и ею можно пренебречь. В
    частности, такая идеализация допустима
    во многих случаях течения,
    рассматриваемых гидроаэромеханикой,
    и даёт хорошее описание реальных течений
    жидкостей и газов на достаточном удалении
    от омываемых твёрдых поверхностей и
    поверхностей раздела с неподвижной
    средой. Математическое описание течений
    идеальных жидкостей позволяет найти
    теоретическое решение ряда задач о
    движении жидкостей и газов в каналах
    различной формы, при истечении струй и
    при обтекании тел.
    Пусть .
    Используя известную формулу
    ,
    перепишем
    соотношение в форме

    Беря ротор и
    учитывая, что
    ,
    а
    частные производные коммутируют,
    получаем что

    Билет
    26
    Уравнение
    Бернулли для стационарного течения
    идеальной несжимаемой жидкости

    Фо?рмула
    Торриче?лли
     –
    связывает скорость истечения жидкости
    из малого отверстия в открытом сосуде
    с высотой жидкости над отверстием[1].
    Формула
    Торричелли утверждает, что
    скорость истечения
    жидкости через отверстие в тонкой
    стенке, находящееся в ёмкости на
    глубинеот
    поверхности, такая же, как и у тела,
    свободно падающего с высоты,
    то есть

    где ускорение
    свободного падения
    .
    Последнее
    выражение получено в результате
    приравнивания приобретённой кинетической
    энергии и
    потерянной потенциальной энергии.
    Эта
    формула была получена (хотя и не в
    приведённой выше форме) итальянским
    учёным Эванджелиста
    Торричелли
    ,
    в 1643 году. Позже было показано, что эта
    формула является следствием закона
    Бернулли
    .
    Билет
    27

    В 1851 Джордж
    Стокс
     получил
    выражение для силы трения (также
    называемой силой лобового
    сопротивления
    ),
    действующей на сферические объекты с
    очень маленькими числами
    Рейнольдса
     (например,
    очень маленькие частицы) в
    непрерывной вязкой жидкости,
    решая уравнение
    Навье — Стокса
    :

    где
     —
    сила
    трения, так же называемая силой Стокса,
     —
    радиус
    сферического объекта,
     — динамическая
    вязкость
     жидкости,
     —
    скорость
    частицы.
    Если
    частицы падают в вязкой жидкости под
    действием собственного веса, то
    установившаяся скорость достигается,
    когда эта сила трения совместно с силой
    Архимеда
     точно
    уравновешиваются силой
    гравитации
    .
    Результирующая скорость равна

    где
    Vs —
    установившаяся скорость частицы (м/с)
    (частица движется вниз если ,
    и вверх в случае),
     —
    радиус
    Стокса частицы (м),
    g — ускорение
    свободного падения
     (м/с?),
    ?p — плотность частиц
    (кг/м?),
    ?f —
    плотность жидкости (кг/м?),
     —
    динамическая вязкость жидкости
    (Па с).
    БИЛЕТ
    28

    При?нцип
    относи?тельности
     —
    фундаментальный физический принцип,
    согласно которому все физические
    процессы в инерциальных
    системах отсчёта
     протекают
    одинаково, независимо от того, неподвижна
    ли система или она находится в состоянии
    равномерного и прямолинейного движения.
    Отсюда
    следует, что все законы природы одинаковы
    во всех инерциальных системах отсчёта.[1]
    Различают принцип
    относительности 
    Эйнштейна (который
    приведён выше) и принцип
    относительности
     Галилея,
    который утверждает то же самое, но не
    для всех законов природы, а только для
    законов классической механики,
    подразумевая применимость преобразований
    Галилея
    ,
    оставляя открытым вопрос о применимости
    принципа относительности
    к оптике иэлектродинамике.
    В
    современной литературе принцип
    относительности в его применении к
    инерциальным системам отсчета (чаще
    всего при отсутствии гравитации или
    при пренебрежении ею) обычно выступает
    терминологически как лоренц-ковариантность (или
    лоренц-инвариантность).

  2. перец Ответить

    Макеты страниц

    § 17. СИЛА И ЭНЕРГИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ. ПРОСТЕЙШИЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

    Всякое колебательное движение есгь движение, происходящее с ускорением, поэтому на колеблющиеся тела должны действовать силы, сообщающие им эти ускорения. В частности, если точечное тело массой совершает гармоническое колебание, то, согласно второму закону механики, на него должна действовать сила, равная

    где Направление силы совпадает с направлением ускорения, а вектор ускорения при гармонических колебаниях, согласно формуле (4.5), всегда направлен к положению равновесия. Таким образом, для того чтобы тело совершало гармоническое колебательное движение, на него должна действовать сила, всегда направленная к положению равновесия, а по величине — прямо пропорциональная смещению от этого положения. При исследовании колебательных систем можно легко найти коэффициент пропорциональности между действующей на тело силой и смещением х этого тела от положения равновесия; тогда, зная еще и массу колеблющегося тела, можно вычислить частоту и период колебания; из соотношения следует:

    Силы, всегда направленные к положению равновесия, называются возвращающими. Рассмотрим несколько примеров:
    1. Колебательная система, состоящая из массы и пружины (см. рис. 1.36, б). Возвращающей силой является упругая сила, действующая на тело со стороны деформированной пружины. Эта сила при малых деформациях прямо пропорциональна изменению длины пружины Приложив к пружине внешние силы и измерив вызванные ими удлинения
    (или сжатия) пружины, можно найти коэффициент упругости пружины и по формуле (4.10) рассчитать частоту колебаний тел, прикрепленных к концам пружины. При этом колебания будут гармоническими и со постоянны) только в том случае, если на колеблющееся, тело не действуют никакие другие силы, кроме возвращающей причем коэффициент от которого, согласно формуле (4.10), зависит частота колебаний, должен все время сохраняться постоянным. В частности, если температура пружины изменяется, то а следовательно, и частота колебаний также изменяются; колебания не будут гармоническими.
    2. Система, совершающая крутильные (поворотные) колебания (см. рис. 1.38, б). При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент, приостанавливающий отклонение тела от состояния равновесия и затем сообщающий ему обратное движение. Возвращающий момент возникает при деформации (кручении) пружины (или стержня), к которой прикреплено колеблющееся тело. При малых углах отклонения этот момент прямо пропорционален углу отклонения.
    Если крутильные колебания гармонические, т. е.

    то угловая скорость и угловое ускорение при повороте также изменяются по гармоническому закону:

    Возвращающий момент найдем как произведение углового ускорения на момент инерции колеблющегося тела:

    где постоянная величина (если момент инерции тела при колебаниях не изменяется). Этот коэффициент можно найти, приложив к пружине (или стержню) внешние скручивающие моменты и измеряя углы скручивания а:

    тогда частота и период колебаний определяются по формулам:

    Согласно выражению (4.13), при гармонических крутильных колебаниях возвращающий момент должен быть точно пропорционален углу отклонения; если эта пропорциональность не соблюдается (например, при очень больших углах поворота), то колебания не будут гармоническими (хотя при отсутствии трения будут незатухающими).
    3. Физический маятник (рис. 1.40). Возвращающим моментом является момент силы тяжести, имеющий знак,
    противоположный знаку угла отклонения а и равный

    где расстояние от точки опоры до центра тяжести тела.
    При малых углах отклонения (угол а — в радианах); тогда возвращающий момент

    пропорционален углу отклонения и колебания маятника будут гармоническими.
    Сравнивая с выражением (4.13), получим следовательно,

    При больших углах отклонения, а также при деформации тела во время колебаний (переменные колебания оказываются негармоническими, хотя они при отсутствии или компенсации трения могут быть незатухающими.

    Рис. 1.40

    Рис. 1.41
    4. Математический маятник представляет собой точечное тело массой подвешенное к невесомой и нерастяжимой нити длиной I (рис. 1.41). Возвращающей силой является проекция силы тяжести на направление движения тела; имеем:

    в радианах). Замечаем, что условие пропорциональности между возвращающей силой и смещением от положения равновесия х здесь также не соблюдается, поэтому колебания этого маятника не являются гармоническими. Но если углы а малы, так что то

    так как эта сила всегда направлена к положению равновесия и поэтому имеет знак, противоположный знаку то

    В этом случае колебания можно полагать гармоническими; сравнивая с выражением (4.9), получаем:

    т. е. частота и период колебаний не зависят от массы колеблющегося тела, а определяются только длиной нити и ускорением силы тяжести (колебаниями маятников пользуются для определения Для постоянства коэффициента а следовательно, и частоты колебаний со необходимо постоянство Между тем сила действующая вдоль нити, может вызвать ее удлинение, которое будет минимальным в крайних положениях и максимальным при прохождении тела через точку О. Поэтому, чтобы колебания маятника были гармоническими, необходимо кроме малости углов отклонения дополнительно еще и условие нерастяжимости нити.

    Рис. 1.42
    Из этих примеров видно, что при малых амплитудах частота (или период) колебаний определяется только свойствами системы. Однако при больших отклонениях от положения равновесия линейная зависимость возвращающей силы от смещения а также возрастающего момента от угла поворота строго не соблюдается и частота колебаний зависит в некоторой степени также и от амплитуды колебаний или
    Колебательные движения в механических системах сопровождаются периодическими превращениями кинетической энергии колеблющихся тел в потенциальную энергию взаимодействия частей системы и обратно. При этом энергией колебаний называют ту часть полной энергии системы, которая участвует в этих превращениях.
    Например, энергия пружинного маятника, колеблющегося в прле тяготения Земли, состоит из потенциальной энергии деформированной пружины, потенциальной энергии положения груза и его кинетической энергии (рис. 1.42):

    где а — постоянное удлинение пружины, вызванное силой тяжести; высота груза в равновесном состоянии. Сокращая, получим

    Переменная часть этого выражения есть энергия колебаний в системе:

    Энергию колебательного движения можно представить в зависимости от амплитудных значений смещения и скорости: при при Следовательно,


    Рис. 1.43
    Таким образом энергия колебаний периодически переходит из кинетической формы в потенциальную; период этих превращений вдвое меньше периода самих колебаний, так как амплитудные значения смещения или скорости появляются два раза за период, а энергия не зависит от знака этих величин. На рис. 1.43 показаны изменения со временем составных частей этой энергии: потенциальной

    и кинетической

  3. приняли в Рай Ответить

    Определение
    гармонических колебаний. Характеристики
    гармонических колебаний: смещение от
    положения равновесия, амплитуда
    колебаний, фаза колебания, частота и
    период колебаний. Скорость и ускорение
    колеблющейся точки. Энергия
    гармонического
    осциллятора. Примеры гармонических
    осцилляторов: математический, пружинный,
    крутильный и физиче
    ский
    маятники.

    Акустика, радиотехника,
    оптика и другие разделы науки и техники
    базируются на учении о колебаниях и
    волнах. Большую роль играет теория
    колебаний в механике, в особенности в
    расчетах на прочность летательных
    аппаратов, мостов, отдельных видов машин
    и узлов.
    Колебания
    являются процессами, повторяющимися
    через одинаковые промежутки времени
    (при этом далеко не все повторяющиеся
    процессы являются колебаниями!). В
    зависимости от физической природы
    повторяющегося процесса различают
    колебания механические, электромагнитные,
    электромеханические и т.п. При механических
    колебаниях периодически изменяются
    положения и координаты тел.
    Возвращающая
    сила

    – сила, под действием которой происходит
    колебательный процесс. Эта сила стремится
    тело или материальную точку, отклоненную
    от положения покоя, вернуть в исходное
    положение.
    В зависимости от
    характера воздействия на колеблющееся
    тело различают свободные (или собственные)
    колебания и вынужденные колебания.
    В зависимости от
    характера воздействия на колеблющуюся
    систему различают свободные колебания,
    вынужденные, автоколебания и параметрические
    колебания.
    Свободными
    (собственными)
    колебаниями называются такие колебания,
    которые происходят в системе,
    предоставленной самой себе после того,
    как ей был сообщен толчок, либо она была
    выведена из положения равновесия, т.е.
    когда на колеблющееся тело действует
    только возвращающая сила.. Примером
    могут служить колебания шарика,
    подвешенного на нити. Для того, чтобы
    вызвать колебания, надо либо толкнуть
    шарик, либо, отведя в сторону, отпустить
    его. В том случае, если не происходит
    рассеивания энергии, свободные колебания
    являются незатухающими. Однако, реальные
    колебательные процессы являются
    затухающими, т.к. на колеблющееся тело
    действуют силы сопротивления движению
    (в основном силы трения).
    ·
    Вынужденными
    называются
    такие колебания, в процессе которых
    колеблющаяся система подвергается
    воздействию внешней периодически
    изменяющейся силы (например, колебания
    моста, возникающие при прохождении по
    нему людей, шагающих в ногу). Во многих
    случаях системы совершают колебания,
    которые можно считать гармоническими.
    ·
    Автоколебания,
    как и вынужденные колебания, сопровождаются
    воздействием на колеблющуюся систему
    внешних сил, однако, моменты времени,
    когда осуществляются эти воздействия,
    задаются самой колеблющейся системой.
    То есть система сама управляет внешним
    воздействием. Примером автоколебательной
    системы являются часы, в которых маятник
    получает толчки за счет энергии поднятой
    гири или закрученной пружины, причем
    эти толчки происходят в моменты
    прохождения маятника через среднее
    положение.
    ·
    Параметрические
    колебания
    осуществляются при периодическом
    изменении параметров колеблющейся
    системы (качающийся на качелях человек
    периодически поднимает и опускает свой
    центр тяжести, тем самым меняя параметры
    системы). При определенных условиях
    система становится неустойчивой –
    случайно возникшее отклонение из
    положения равновесия приводит к
    возникновению и нарастанию колебаний.
    Это явление называется параметрическим
    возбуждением колебаний (т.е. колебания
    возбуждаются за счет изменения параметров
    системы), а сами колебания –
    параметрическими.
    Несмотря
    на разную физическую природу, для
    колебаний характерны одни и те же
    закономерности, которые исследуются
    общими методами. Важной кинематической
    характеристикой является форма колебаний.
    Она определяется видом той функции
    времени, которая описывает изменение
    той или иной физической величины при
    колебаниях. Наиболее важными являются
    такие колебания, при которых колеблющаяся
    величина изменяется со временем по
    закону синуса или косинуса
    .
    Они называются гармоническими.
    Гармоническими
    колебаниями

    называются колебания, при которых
    колеблющаяся физическая величина
    изменяется по закону синуса (или
    косинуса).
    Этот вид
    колебаний особенно важен по следующим
    причинам. Во-первых, колебания в природе
    и в технике часто имеют характер очень
    близких к гармоническим. Во-вторых,
    периодические процессы иной формы (с
    другой зависимостью от времени) могут
    быть представлены как наложение, или
    суперпозиция,
    гармонических
    колебаний.

  4. Adogda Ответить

    21. Уравнение
    движения маятника.

    Колебательное
    движение

    – частный случай периодического
    движения.
    Периодическое
    движение

    – движение, для которого характерна
    регулярная повторяемость некоторых
    физических параметров.
    В случае механических
    колебаний повторяются изменения
    положений и скоростей каких-либо тел
    или частей тела, и эти изменения могут
    происходить под воздействием силы
    тяжести, силы упругости, капиллярных
    сил.
    Силу, под
    воздействием которой происходит
    колебательный процесс, называют
    возвращающей
    силой,
    т.к.
    она стремится вернуть в начальное
    положение тело или точку.
    Бывают колебания
    свободные (собственные), вынужденные,
    автоколебания и параметрические.
    Свободными
    колебаниями

    называются колебания, которые происходят
    в системах предоставленных самим
    себе. После того, как им был сообщен
    толчок, либо они были выведены из
    состояния равновесия.
    Свободные колебания
    имеют место тогда, когда на колеблющееся
    тело действует только возвращающая
    сила.
    Вынужденными
    называются колебания, в процессе
    которых колебательная система
    подвергается воздействию внешней
    периодически изменяющейся силы.
    Гармоническими
    называются колебания, при которых
    колеблющаяся величина изменяется со
    временем по закону синуса или косинуса.
    Расстояние
    проекции точки от положения равновесия
    называется смещением.(x)
    Наибольшее
    смещение от положения равновесия
    называется амплитудой
    смещения

    (А).
    Период
    (Т)
    – время одного полного колебания. По
    истечении времени равного периоду
    все повторяется. За 1 период – 4
    амплитуды.
    Уравнение
    движения:

    1)




    2)


    – возвращающий момент сил пропорционален
    углу поворота.




    3)

    – момент инерции тела относительно
    оси вращения.


    23. Фазовая
    траектория гармонического осциллятора.

    Состояние
    движущегося объекта.
    В
    классической механике состояние
    полностью задано, если нам известно

    – обе величины зависят от времени,
    значение движения рассматривается
    как последовательный переход из одного
    в другой.
    Уравнение
    состояния.

    Фазовая
    траектория гармонического осциллятора

    (площадь).



    Общий
    случай:

    Каноническая
    форма уравнения движения гармонического
    осциллятора.


    Однородное
    дифференциальное уравнение 2-ого
    порядка.
    Найти
    функциальную зависимость

    при подстановке, которой в уравнение
    оно обращается в тождество.






    24. Осциллятор
    с затуханием.

    Затухающие
    колебания

    – колебания, при которых период и
    циклическая частота не меняются, а
    амплитуда уменьшается.
    В реальной
    колебательной системе имеются силы
    сопротивления, действия которых
    приводят к уменьшению энергии системы.
    Если эта энергия не восполняется за
    счет работы внешних сил, колебания
    будут затухать.
    Затухающие
    колебания в любой колебательной
    системе обусловлено потерями энергии
    в этой системе.
    На некоторое тело
    массой

    действует квазиупругая сила и сила
    трения.
    Возвращающая
    сила подобна упругой силе, поэтому
    она называется квазиупругой
    силой
    .
    Силу, под
    воздействием которой происходит
    колебательный процесс, называют
    возвращающей
    силой,
    т.к.
    она стремится вернуть в начальное
    положение тело или точку.
    :


    :



    ,
    ,

    – каноническая форма уравнения
    осциллятора с затуханием.

    – координата
    положения тела в некий момент времени;

    – скорость этого объекта в этот же
    момент времени;

    – ускорение, с которым движется тело
    в тот же момент времени;

    – собственная частота;

    – масса тела;

    – коэффициент упругого тела


    – время затухания
    колебаний. Время в течение, которого
    амплитуда уменьшается в е-раз, называется
    временем
    релаксации
    .

    ?
    (капа) –
    коэффициент пропорциональности между
    силой трения и скоростью объекта.



    25. Вынужденное
    колебание осциллятора. Резонанс.

    Движение системы
    под воздействием внешней периодической
    силы называют вынужденными колебаниями,
    саму внешнюю силу называют вынуждающей
    силой.
    Уравнение
    вынужденных колебаний:
    ,
    где принято обозначение
    .
    Затухание
    собственных колебаний означает
    окончание переходного режима
    установившихся вынужденных колебаний,
    характеристики которого определяются
    функцией

    и параметрами
    ,
    но не зависят от начальных условий.
    В

    ынужденные колебания под действием
    гармонической вынуждающей силы
    .
    Будем искать их в виде гармонических
    колебаний такой же частоты, но со
    сдвигом по фазе:
    .
    ,

    Максимальное
    значение амплитуды установившихся
    колебаний достигается при резонансной
    частоте

    и равно
    ,
    где

    – циклическая частота затухающих
    колебаний. При

    зависимость

    содержит резкий и узкий максимум при
    резонансной частоте, которая в этом
    пределе близка к собственной частоте
    колебаний системы. Это явление
    называется резонансом, а кривые
    зависимости

    – резонансными кривыми. Отношение

    к статическому отклонению

    равно

    (
    – логарифмический декремент затухания;
    величину

    называют добротностью колебательной
    системы). Ширина максимума на уровне

    равна коэффициенту затухания:
    .
    Амплитуда
    установившихся колебаний скорости
    достигает максимального значения

    при
    .
    Если
    в начальный момент смещение и скорость
    точки равнялось нулю, то в рассматриваемом
    пределе начальным условиям удовлетворяет
    решение:
    22. Механическая
    энергия гармонического осциллятора.



    собственная
    частота гармонического осциллятора







    Полная механическая
    энергия гармонического осциллятора.
    Замкнутая
    система. (Энергия сохраняется).
    .
    При

    амплитуда растет пропорционально
    времени:
    ;
    затухание на этом этапе влияния не
    оказывает.

    Т. к.

    уменьшается, то и полная энергия
    уменьшается, а значит осциллятор с
    затуханием не замкнутая система.
    Закон убывания
    во времени
    :
    Амплитуда
    затухающих колебаний уменьшается с
    течением времени по экспоненциальному
    закону и тем быстрее, чем больше
    коэффициент затухания, чем больше
    коэффициент сопротивления и чем меньше
    масса колеблющегося тела.
    Скорость убывания
    амплитуды оценивается величиной,
    которая называется декремент
    затухания
    .
    Логарифмический
    декремент затухания
    :

    Логарифмический
    декремент затухания обратен по величине
    числу колебаний за время, за которое
    амплитуда уменьшилась в е-раз.
    Коэффициент
    затухания обратен по величине тому
    промежутку времени, за который амплитуда
    уменьшилась в е-раз.

    Добротность
    осциллятора – количественная мера
    степени замкнутого осциллятора.
    Безразмерная физическая величина.
    Чем больше
    ,
    тем ближе осциллятор к замкнутой
    системе.
    При слабом
    затухании добротность системы с
    точностью до множителя 2
    равна отношению энергии системы в
    данный момент времени, к уменьшению
    этой энергии за период.
    32. Постулаты
    теории относительности.

    В основе специальной
    теории относительности лежат постулаты
    Эйнштейна:
    Принцип
    относительности: никакие опыты
    (механические, электрические,
    оптические), проведенные внутри данной
    инерциальной системы отсчета, не дают
    возможности обнаружить, покоится ли
    эта система или движется равномерно
    и прямолинейно; все
    законы природы инвариантны

    по отношению к переходу от одной
    инерциальной системы отсчета к другой.
    Принцип
    инвариантности скорости света:
    скорость
    света в вакууме

    не зависит от скорости движения
    источника света или наблюдателя и
    одинакова
    во всех инерциальных системах отсчета
    .
    Движение –
    изменение положения в пространстве
    относительно других тел.
    Для
    описания движения используется
    воображаемая С.О.


    – радиус-вектор,
    задающий положение точки

    относительно
    .

    – радиус-вектор,
    задающий положение точки

    относительно
    .

    – радиус-вектор,
    задающий положение точки

    относительно
    .

    – интервал времени,
    измеренный по часам не штрихованной
    системы.

    – интервал времени,
    измеренный по часам штрихованной
    системы.







    – преобразование
    Галилея.
    Следствие из
    преобразования Галилея – Классический
    закон сложения скоростей.
    Преобразование
    Галилея не накладывает ограничения
    на

    .
    Реально природа ограничивает значения
    скорости до определенного максимального
    значения.
    В природе нет
    ситуации, когда
    .

    – скорость света
    .
    Для скорости
    света классический закон сложения
    скоростей не действует.
    Не
    зависимо от того, в какой системе
    отсчета мы работаем, скорость света
    одна и та же.
    34. Лоренцево
    сокращение длины и интервалов времени.

    Рассмотрим
    стержень, расположенный вдоль оси

    покоящийся относительно
    .
    ()
    Длина стержня в системе

    будет
    ,
    где

    и

    – не изменяющиеся со временем

    координаты начала и конца стержня, а
    индекс 0 показывает, что в системе
    отсчета

    стержень покоится. Определим длину
    этого стержня в системе

    (),
    относительно которой он движется со
    скоростью
    .
    Для этого необходимо измерить координаты
    его концов

    и

    в системе

    в один и тот же момент времени
    .
    Их разность

    и определяет длину стержня в системе
    .
    Используя преобразование Лоренца,
    получим
    ,
    т. е.
    .
    Длина стержня,
    измеренная в системе, относительно
    которой он движется, оказывается
    меньше длины, измеренной в системе,
    относительно которой стержень покоится.
    Если стержень покоится в системе
    ,
    то, определяя его длину в системе
    ,
    опять-таки придем к тому же выражению.

    – Лоренцево
    сокращение длины.
    Линейный размер
    тела, движущегося относительно
    инерциальной системы отсчета,
    уменьшается в направлении движения
    в

    раз, т. е. лоренцево сокращение длины
    тем больше, чем больше скорость
    движения. Из второго и третьего
    уравнений преобразований Лоренца
    следует, что

    и

    т. е. поперечные
    размеры тела не зависят от скорости
    его движения и одинаковы во всех
    инерциальных системах отсчета.
    Линейные размеры
    тела наибольшие в той инерциальной
    системе отсчета, относительно которой
    тело покоится.
    Длительность
    событий в разных системах отсчета
    .
    Пусть в некоторой точке с координатой
    ,
    покоящейся относительно системы
    ,
    происходит событие, длительность
    которого
    ,
    где индексы 1 и 2 соответствуют началу
    и концу события. Длительность этого
    же события в системе
    :,
    причем началу и концу события
    соответствуют
    35. Релятивистский
    закон сложения скоростей.








    Преобразование
    Лоренца:



    Преобразование
    проекций скоростей при переходе из
    одной системы отсчета в другую.

    – релятивистская
    поправка.

    – безразмерная величина.


    36. Импульс и
    энергия в релятивистской механике.

    Классическая
    механика:

    – обобщенная мера движения данного
    конкретного объекта (импульс).

    – инерционность
    объекта;

    – скорость движения
    этого объекта относительно выбранной
    С.О.

    В природе

    Система замкнутая.
    Закон сохранения
    импульса:

    – сохраняющийся
    суммарный импульс.


    мерное пространство.




    – энергия частицы,
    измеренная относительно не штрих.
    С.О.

    – энергия частицы,
    измеренная относительно штрихованной
    С.О.

    – х-ая проекция
    суммарного импульса системы относительно
    не штрихованной С.О.


    – х-ая проекция
    суммарного импульса системы относительно
    штрихованной С.О.


    – полная энергия
    механической системы.
    З.С.И.



    ,
    ;
    .

    – длительность
    события, происходящего в некоторой
    точке, наименьшая в той инерциальной
    системе отсчета, относительно которой
    эта точка неподвижна.
    Часы,
    движущиеся относительно инерциальной
    системы отсчета, идут медленнее
    покоящихся часов, т. е. ход часов
    замедляется в системе отсчета,
    относительно которой часы движутся.
    33.
    Преобразование Лоренца.

    Необходимо
    ввести Систему Единого Времени (СЕВ).
    Эйнштейн первый
    стал серьезно задумываться о СЕВ.


    Два события будем
    считать одновременными, если показания
    часов в тех точках пространства, где
    эти события происходят, одинаково.

    Часы в штрихованной
    С.О. и в не штрихованных С.О.
    синхронизированы.



    – координаты
    относительно не штрихованной С.О.


    – время, измеренное
    по часам не штрихованной С.О.


    – координаты
    относительно штрихованной С.О.


    – время, измеренное
    по часам штрихованной С.О.


    Время
    мера последовательности событий.
    Событие
    – факт положения тела в пространстве.

    – релятивистская
    поправка.

    – безразмерная величина.


    – классическое
    преобразование Галилея.
    Лоренцево
    преобразование не меняют З.С.И. и З.С.Э.


    – масса покоя,
    измеренная относительно С.О., относительно
    которой объект покоится.







    – энергия покоя.

    – универсальная
    физическая константа.

  5. Doomwalker Ответить

    Макеты страниц

    Демпфирующая сила, действующая на колеблющееся тело

    Как следует из (5.13.6), напряжение трения на границе представляется действительной частью выражения

    Трение на поверхности опережает по фазе на скорость внешнего потока (т. е. оно проходит свой цикл раньше на одну восьмую периода колебаний); это связано с тем, что градиент давления, обусловленный колебаниями, действует на все слои жидкости одинаково и вследствие этого в замедленных слоях вблизи границы происходит более быстрое нарастание скорости в направлении ускорения, чем это происходит в удаленных от границы слоях. Из-за того, что это различие фаз не равно в случае колебания твердого тела относительно фиксированного положения на каждом цикле тело совершает отличную от нуля работу против напряжений трения и на тело действует демпфирующая сила. Зная форму тела и скорость внешнего
    безвихревого течения на границе, мы можем легко определить величину силы, действующей на колеблющееся в покоящейся на бесконечности жидкости тело, поступательная скорость которого равна действительной части выражения действительное число, а к — постоянный единичный вектор); эта сила обусловлена касательным напряжением на поверхности тела, определяемым соотношением (5.13.8).
    Однако имеется еще вклад нормального напряжения на поверхности в результирующую силу, действующую на тело. Давление на поверхности приближенно равно тому, которое было бы в случае полностью невязкой жидкости и всюду безвихревого течения; точность этого приближения увеличивается по мере стремления отношения к нулю, т. е. при Следовательно, в качестве первого приближения для результирующей силы давления на поверхность тела можно взять полную силу, действующую на то же самое тело, колеблющееся в невязком потоке. Но безвихревое течение, возникшее в результате движения тела в невязкой жидкости, определяется единственным образом заданием его мгновенной скорости и должно периодически изменяться с той же самой частотой что и частота колебаний тела; аналогичным образом кинетическая энергия жидкости является чисто периодической величиной, а поскольку никакого накопления энергии здесь не происходит, то результирующая работа, выполненная телом за один цикл для преодоления нормальных напряжений, в безвихревом потоке равна нулю. (См. также § 6.4, где непосредственно показано, что сила сопротивления при ускоренном движении тела в невязкой жидкости имеет фазу, отличающуюся на от фазы скорости тела.) Таким образом, необходимо найти более подходящее приближение для давления на поверхности. Касательные силы на поверхности дают вклад в демпфирующую (безразмерную) силу порядка Это определяется тем, как именно вязкость входит в выражение (5.13.8); вклад от нормальных напряжений должен иметь такой же порядок. Однако доказать это нелегко. Стоке (1881) сумел вычислить поле течения для случая малых колебаний сферы и цилиндра без использования каких-либо предположений о величине числа Рейнольдса; как можно увидеть из его результатов, при имеется вклад в давление на поверхности тела, обусловленный наличием пограничного слоя; поправка к давлению на поверхности в безвихревом потоке оказалась в точности такой, как если бы, во-первых, сферу или цилиндр заменили другими, радиусы которых превышают прежние на величину порядка во-вторых, центры этих эффективно увеличенных тел сместили вниз по потоку от центров исходных тел на величину порядка первое приводит к небольшому увеличению мгновенной результирующей силы, обусловленной нормальными напряжениями, а второе дает вклад в силу
    давления, который находится в фазе со скоростью тела, т. е. это вклад в демпфирующую силу.
    Для определения демпфирующей силы мы используем несколько иной (и более простой) метод. Как уже отмечалось, безвихревое течение и связанное с ним течение в пограничном слое (5.13.6) дают хорошую аппроксимацию распределения скорости во всем поле течения. Следовательно, мы располагаем всем необходимым, чтобы оценить полную скорость диссипации энергии в жидкости и тем самым определить среднюю скорость, с которой тело производит работу. Итак, полная скорость диссипации в пограничном слое (толщина которого а скорость внешнего потока имеет порядок на единицу объема жидкости или в расчете на всю площадь А поверхности тела; вклад от области безвихревого течения имеет порядок на единицу объема жидкости или для всего поля течения; ясно, что последним вкладом можно пренебречь. Внутри пограничного слоя местная скорость жидкости почти параллельна границе, так что для скорости диссипации энергии на единицу объема в некоторой точке пограничного слоя из (5.13.6) получаем

    где через обозначена действительная часть соответствующей комплексной величины; здесь величина действительная, так как все области внешнего безвихревого потока совершают колебания в одной и той же фазе. Среднее значение за один цикл скорости диссипации энергии в пограничном слое на единицу площади поверхности тела для точки, где безвихревой поток колеблется с амплитудой таким образом, равно

    а средняя полная скорость диссипации получается путем интегрирования по поверхности тела А. Теперь, если через обозначить демпфирующую силу, действующую на тело в фазе со скоростью тела то средняя скорость, с которой тело совершает работу против приложенных к нему сил со стороны жидкости, равна следовательно,

    Чтобы продвинуться дальше, нам нужно знать форму тела и по ней определить Для сферы из (2.9.28) (после подходящего изменения обозначений) находим

    а для кругового цилиндра (на единицу длины) из (2.10.12) получаем

    где радиус, полярный угол, причем направление совпадает в обоих случаях с направлением вектора k. Таким образом,

    Из (5.13.8) можно легко найти, что вклад в от касательных напряжений на поверхности тела составляет 2/3 полной величины для сферы и 1/2 — для цилиндра; остальная доля демпфирующей силы, очевидно, обусловлена действием нормальных напряжений, зависящих от наличия пограничного слоя. Выразим в безразмерных коэффициентах, как это обычно принято, полученные выше демпфирующие силы:

    где амплитуда колебаний центра тела. Изменение демпфирующей силы по закону в случае безотрывного течения в пограничном слое нами уже отмечалось; новое состоит в том, что число Рейнольдса основано на амплитуде колебаний, а не на линейном размере тела.
    Для свободно колеблющегося упругого кругового цилиндра плотности такого, как струна фортепиано, средняя полная энергия цилиндра равна на единицу длины и затухание колебаний под действием сил вязкости определяется уравнением

    Таким образом, и поэтому удельное уменьшение энергии цилиндра за один цикл приближенно равно

    Измерения скорости потери энергии свободно колеблющегося кругового цилиндра за счет демпфирования жидкости показали,
    что при больших значениях отношения измеренная демпфирующая сила хорошо согласуется с полученной выше оценкой для колебаний с амплитудой не превышающей .

  6. Bleck Blog Ответить

    Федеральное
    агентство железнодорожного транспорта
    Уральский
    государственный университет путей
    сообщения
    Филиал
    УрГУПС в г. Нижний Тагил
    Кафедра
    «Общепрофессиональные дисциплины»
    Отчет по лабораторной
    работе №5
    «Масса на пружине»
    Преподаватель :
    Студент
    :
    Нижний
    Тагил
    201
    Колебания груза на пружине
    Колебания массы
    на пружине при отсутствии вынуждающей
    силы называются свободными. Свободные
    колебания при отсутствии трения являются
    гармоническими.
    Колебательное
    движение груза на пружине происходит
    под действием упругой силы
    по вертикальному направлению.
    По
    второму закону Ньютона
    или
    ,
    где
    – масса колеблющегося тела,– коэффициент упругости (жёсткость)
    пружины. Пружинный маятник совершает
    гармонические колебания по законус циклической частотойи периодом.
    Формула справедлива для упругих колебаний
    в пределах, в которых выполняется закон
    Гука, т.е. масса пружины мала по сравнению
    с массой тела. Потенциальная энергия
    пружинного маятника равна.
    Гармоническими
    колебаниями

    называются такие колебания, в которых
    колеблющаяся величина изменяется по
    закону синуса
    или косинуса.
    Уравнение гармонического колебания
    или
    ,,
    (1)
    где
    коэффициент
    упругости (жёсткость)
    ,
    масса
    колеблющейся системы,
    смещение
    колеблющейся системы,
    сила
    упругости (возвращающая сила)
    .
    Решение дифференциального уравнения
    имеет вид
    или
    ,
    где

    колеблющаяся
    величина
    (смещение,
    скорость, ускорение, сила, импульс и
    др.),
    время,
    амплитуда
    колебания, равная максимальному
    отклонению колеблющейся величины от
    положения равновесия,
    циклическая
    (круговая) частота.
    Циклическая частота
    численно равна числу полных колебаний,
    совершаемых за времяс, т.е.,частота
    колебаний
    равна числу полных колебаний, совершаемых
    за единицу времени.Период
    колебаний

    – время, за которое совершается одно
    полное колебание.Фаза
    колебания

    определяет значениев данный момент времени,
    или какую часть от амплитудысоставляет смещениев данный момент времени.Начальная
    фаза
    колебания
    определяет момент начала отсчёта
    времени, т.е. при.
    Характеристики
    гармонического свободного колебания
    материальной точки (массы на пружине),
    совершаемого по закону
    ,
    при
    ,
    .
    Здесь
    индексом 0
    обозначены (,,,,,,)
    – максимальные (амплитудные) значения
    величин.
    Скорость
    м.т.
    ,
    где.
    Ускорение
    м.т.
    ;.
    Возвращающая
    сила, действующая на м. т.
    ;.
    Импульс
    м.т.
    ;.
    Кинетическая
    энергия м.т.
    ;.
    Среднее
    значение кинетической энергии м.т. за
    один период
    .
    Потенциальная
    энергия м.т.
    ;.
    Среднее
    значение потенциальной энергии м.т.
    .
    Колебание
    м.т. совершается по закону
    ,
    при,.
    Скорость
    м.т.
    ,
    где.
    Ускорение
    м.т.
    ;.
    Возвращающая
    сила, действующая на м.т.
    ;.
    Импульс
    м.т.
    ;.
    Кинетическая
    энергия м.т.
    ;.
    Потенциальная
    энергия м.т.
    ;.
    По закону сохранения механической
    энергии максимальные значения,
    средние значения за период.
    Полная энергия колеблющейся м. т. равна.
    Так как,.
    Согласно выражениям
    (2) квадрат у синуса и косинуса в
    кинетической и потенциальной энергии
    показывает, что эти величины со временем
    изменяются с удвоенной частотой
    .
    (2)
    Ускорение, скорость,
    смещение м. т. находятся в последовательности
    .
    Ускорение опережает скорость по фазе
    на,
    а смещение – на.
    Скорость опережает смещение по фазе на.
    Вторая производная от смещения по
    времени пропорциональна смещению и
    имеет обратный ему знак.
    Сила, действующая на колеблющуюся м.
    т.,.
    Она пропорциональна смещению м. т. из
    положения равновесия и направлена к
    положению равновесия.
    Затухающими
    колебаниями называются колебания,
    энергия которых уменьшается с течением
    времени. Энергия расходуется на работу
    против сил трения. Затухающие колебания
    совершаются при одновременном действии
    сил: упругой силы и силы сопротивления
    среды. Уравнение затухающего колебания
    при небольших затуханиях вытекает из
    второго закона Ньютона
    ,
    т.е.
    ,
    или
    ,
    или,
    (3)
    где
    – масса колеблющегося тела,=– его ускорение,Fупр=

    – упругая (возвращающая) сила,сила
    сопротивления

    среды,
    коэффициент
    сопротивления

    среды,
    =
    скорость движения тела в среде. Решение
    дифференциального уравнения (3) даёт
    зависимость смещенияот времени
    ,
    где
    коэффициент
    затухания
    ,
    – циклическая частота затухающих
    колебаний системы,– собственная циклическая частота
    свободных колебаний системы. Отношение
    двух последующих амплитуд одного и того
    же знакаи,
    отстоящих друг от друга на период,
    называетсядекрементом
    затухания

    .
    Натуральный логарифм от отношения двух
    последующих амплитуд, отстоящих друг
    от друга на период,
    называетсялогарифмическим
    декрементом затухания

    .Время
    релаксации

    равно промежутку времени
    ,
    в течение которого амплитуда затухающих
    колебаний уменьшается враз. Логарифмический декремент затухания,
    где=/T –
    число колебаний, совершаемых за время
    релаксации, т.е. за время уменьшения
    амплитуды в
    раз.Добротностью
    колебательной системы
    называется число, равное умноженному
    на 2? отношению полной энергии к величине
    потери энергии за период за счёт её
    диссипации. Добротностьпропорциональна числу колебаний,
    совершаемых системой за время релаксации.

  7. ABYTU Ответить

    Макеты страниц

    § 25. Частные случаи колебаний

    Соответственно с тем, что мы оперируем в механике с двумя видами потенциальной энергии — упругой и тяготения, и механические колебания тел можно разбить эти два случая.
    Тела, колеблющиеся под действием сил упругости, наиболее часто совершают линейные колебания сжатия и растяжения; распространены и крутильные колебания.
    Если тело, подвешенное на резиновом шнуре, пружине или проволоке, будет смещено от положения равновесия в направлении шнура, оси пружины или проволоки, то возникнут линейные колебания под действием возвращающей силы упругости. Коэффициент есть в этом случае жесткость колеблющегося тела.
    В какой мере этот коэффициент определяет возникающий период и частоту колебания, видно из следующего примера. Одинаковые грузы с массой подвешены к трем пружинам различной жесткости. Под действием этих нагрузок пружины растянуты соответственно на см и Тогда коэффициенты жесткости будут соответственно иметь значения:

    Периоды и частоты колебаний этих маятников будут

    В крутильных колебаниях возвращение к равновесию происходит под действием крутильного момента, который при малых отклонениях от равновесия прямо пропорционален угловому смещению. Если, скажем, на проволоке висит массивная шайба с моментом инерции I и проволока закручена на какой-то угол, то уравнение крутильных колебаний шайбы будет выглядеть так:
    Роль коэффициента возвращающей силы здесь играет вращательный момент, отнесенный к единице углового смещения, роль массы
    играет момент инерции. Значит, период свободных крутильных колебаний представится формулой

    Чем больше момент инерции, тем меньше частота колебаний.
    Пример. Пусть диск с массой и радиусом 5 см подвешен к стальной нити и совершает крутильные колебания с периодом с. Момент инерции диска Тогда коэффициент возвращающей силы . Если к той же нити подвесить диск прежней массы, но радиуса 1 см, то период крутильных колебаний будет уже не 1 с, а
    Тела, колеблкхциеся под действием сил тяготения, — это маятники. Если маятник можно примерно представить как материальную точку, подвешенную к невесомой нити, то говорят о математическом маятнике (рис. 38).
    Из рисунка мы легко найдем выражение возвращающей силы это составляющая веса по направлению касательной к, траектории. Если отклонения от равновесия малы, то синус угла можно заменить на значение угла далее, заменить его на частное от деления смещения на длину нити В этом приближении смещения по хорде и дуге совпадают по величине. Таким образом, возвращающая сила равна а ее коэффициент равен В выражении для периода колебаний сокращается масса колеблющейся точки

    Рис. 38.
    Независимость периода колебаний маятника от массы является примером общей особенности движения материальных точек в поле тяготения. Действительно, сила, действующая на такую материальную точку по закону тяготения, будет пропорциональна массе, поэтому в уравнении движения масса сократится. Итак, мы пришли к известному выводу, заключающемуся в- том, что в данном месте поля тяготения период колебаний математического маятника будёт зависеть только от его длины.
    Измерения периода колебаний маятника могут быть использованы для определения Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения фигуры Земли и гравиметрическая разведка (небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опьгга изменения значений могут произойти благодаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород).

    Рис. 39.
    Если речь идет о малых колебаниях физического тела, которое никак нельзя приближенно заменить точкой, то говорят о физическом маятнике. На рис. 39 показано твердое тело; ось вращения (колебания) проходит через него. Период колебаний физического маятника вычисляется по той же формуле, что и период крутильных колебаний:

    поскольку уравнение

    справедливо для любых движений тела, поворачивающегося около оси. Однако в случае поля тяготения мы легко можем выразить вращательный момент, отаееенный к единице углового смещения, через более непосредственные характеристики маятника. Из того же рисунка видно, что вращательный момент равен произведению веса тела на расстояние от центра тяжести до точки подвеса и на синус угла отклонения от положения равновесия Считая, как все время в этом разделе, отклонения от положения равновесия небольшими, получим для вращательного момента выражение откуда Таким образом, период колебаний физического маятника дается выражением

    Величину называют приведенной длиной физического маятника. Такую длину имел бы математический маятник с тем же периодом колебания.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *