В каких четвертях синус и косинус положительные и отрицательные?

15 ответов на вопрос “В каких четвертях синус и косинус положительные и отрицательные?”

  1. WAWJAVOH Ответить

    5 ноября 2011
    Материалы к уроку

    Знаки триг. функций
    Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
    Синус угла ? — это ордината (координата
    y
    ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол ?.
    Косинус угла ? — это абсцисса (координата
    x
    ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол ?.
    Тангенс угла ? — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты
    y
    к координате
    x
    .
    Обозначение: sin ? =
    y
    ; cos ? =
    x
    ; tg ? =
    y
    :
    x
    .
    Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

    Синим цветом обозначено положительное направление оси
    OY
    (ось ординат), красным — положительное направление оси
    OX
    (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
    sin ? > 0, если угол ? лежит в
    I
    или
    II
    координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата
    y
    ). А координата
    y
    будет положительной именно в
    I
    и
    II
    координатных четвертях;
    cos ? > 0, если угол ? лежит в
    I
    или
    IV
    координатной четверти. Потому что только там координата
    x
    (она же — абсцисса) будет больше нуля;
    tg ? > 0, если угол ? лежит в
    I
    или
    III
    координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg ? =
    y
    :
    x
    , поэтому он положителен лишь там, где знаки
    x
    и
    y
    совпадают. Это происходит в
    I
    координатной четверти (здесь
    x
    > 0,
    y
    > 0) и
    III
    координатной четверти (
    x
    < 0, y < 0). Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:
    Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.
    Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.
    Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):
    sin (3?/4);
    cos (7?/6);
    tg (5?/3);
    sin (3?/4) · cos (5?/6);
    cos (2?/3) · tg (?/4);
    sin (5?/6) · cos (7?/4);
    tg (3?/4) · cos (5?/3);
    ctg (4?/3) · tg (?/6).
    План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (? > 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:
    sin (3?/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ? [90°; 180°], это угол из
    II
    координатной четверти. Но синус во
    II
    четверти положителен, поэтому sin (3?/4) > 0;
    cos (7?/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ? [180°; 270°], это угол из
    III
    координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7?/6) < 0; tg (5?/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ? [270°; 360°], мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5?/3) < 0; sin (3?/4) · cos (5?/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ? [90°; 180°], это II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3?/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ? [90°; 180°] — снова
    II
    четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5?/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3?/4) · cos (5?/6) < 0; cos (2?/3) · tg (?/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ? [90°; 180°] — это II координатная четверть, поэтому cos (2?/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ? [0°; 90°] — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (?/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2?/3) · tg (?/4) < 0; sin (5?/6) · cos (7?/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ? [90°; 180°], речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5?/6) > 0. Аналогично, 315° ? [270°; 360°] — это
    IV
    координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7?/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5?/6) · cos (7?/4) > 0;
    tg (3?/4) · cos (5?/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ? [90°; 180°] — это
    II
    четверть, т.е. tg (3?/4) < 0. Аналогично, угол 300° ? [270°; 360°] — это IV четверть, т.е. cos (5?/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3?/4) · cos (5?/3) < 0; ctg (4?/3) · tg (?/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ? [180°; 270°] — это III координатная четверть, поэтому ctg (4?/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ? [0; 90°] — это
    I
    координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (?/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4?/3) · tg (?/6) > 0.
    В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
    Задача. Найдите sin ?, если sin2 ? = 0,64 и ? ? [?/2; ?].
    Поскольку sin2 ? = 0,64, имеем: sin ? = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол ? ? [?/2; ?] — это
    II
    координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin ? = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.
    Задача. Найдите cos ?, если cos2 ? = 0,04 и ? ? [?; 3?/2].
    Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos2 ? = 0,04 ? cos ? = ±0,2. По условию, угол ? ? [?; 3?/2], т.е. речь идет о
    III
    координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos ? = ?0,2.
    Задача. Найдите sin ?, если sin2 ? = 0,25 и ? ? [3?/2; 2?].
    Имеем: sin2 ? = 0,25 ? sin ? = ±0,5. Снова смотрим на угол: ? ? [3?/2; 2?] — это
    IV
    координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin ? = ?0,5.
    Задача. Найдите tg ?, если tg2 ? = 9 и ? ? [0; ?/2].
    Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg2 ? = 9 ? tg ? = ±3. Но по условию угол ? ? [0; ?/2] — это
    I
    координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg ? = 3. Все!

  2. Yozshurisar Ответить

    Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: “угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти”. Что это такое?
    Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A0(1, 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол ?, попадем в точку A1(x, y). В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A1(x, y), угол ? будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.
    Для наглядности приведем иллюстрацию.

    Угол ?=30° лежит в первой четверти. Угол -210° является углом второй четверти. Угол 585° – угол третьей четверти. Угол -45° –  это угол четвертой четверти.
    При этом углы ±90°, ±180°, ±270°, ±360° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.
    Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.
    Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус – это ордината точки A1(x, y). Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной – отрицательна.
    Косинус – это абсцисса точки A1(x, y). В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

    Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс – отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки – отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.

    Важно помнить!

  3. Ломая_системы Ответить


    Теперь оба катета АО и ОВ стали отрицательными. Вспомним соотношения для косинуса и синуса:
    Cos a = АО/АВ;
    Sin a = ВО/АВ.
    АВ всегда имеет положительный знак в данной системе координат, так как не направлена ни в одну из двух определённых осями сторон. А вот катеты стали отрицательными, а значит и результат для обоих функций тоже отрицательный, ведь если производить операции умножения или деления с числами, среди которых одно и только одно имеет знак «минус», то результат тоже будет с этим знаком.
    Итог на данном этапе:
    1) В какой четверти косинус положительный? В первой из трех.
    2) В какой четверти синус положительный? В первой и второй из трёх.

    Четвёртая четверть (от 270о до 360о)


    Здесь катет АО вновь приобретает знак «плюс», а значит и косинус тоже.
    Для синуса дела всё еще «отрицательны», ведь катет ОВ остался ниже начальной точки О.

    Выводы

    Для того чтобы понимать, в каких четвертях косинус положительный, отрицательный и т.д., нужно запомнить соотношение для вычисления косинуса: прилегающий к углу катет, деленный на гипотенузу. Некоторые учителя предлагают запомнить так: к(осинус) = (к) углу. Если запомнить этот «чит», то автоматически понимаешь, что синус – это отношение противоположного к углу катета к гипотенузе.

  4. Truthsmasher Ответить


    Здесь катет АО вновь приобретает знак «плюс», а значит и косинус тоже.
    Для синуса дела всё еще «отрицательны», ведь катет ОВ остался ниже начальной точки О.

    Выводы

    Для того чтобы понимать, в каких четвертях косинус положительный, отрицательный и т.д., нужно запомнить соотношение для вычисления косинуса: прилегающий к углу катет, деленный на гипотенузу. Некоторые учителя предлагают запомнить так: к(осинус) = (к) углу. Если запомнить этот «чит», то автоматически понимаешь, что синус – это отношение противоположного к углу катета к гипотенузе.
    Запомнить, в каких четвертях косинус положительный, а в каких отрицательный, довольно сложно. Тригонометрических функций много, и все они имеют свои значения. Но все же, как итог: положительные значения для синуса – 1, 2 четверти (от 0о до 180о); для косинуса 1, 4 четверти (от 0о до 90о и от 270о до 360о). В остальных четвертях функции имеют значения с минусом.
    Возможно, кому-то будет легче запомнить, где какой знак, по изображению функции.

    Для синуса видно, что от нуля до 180о гребень находится над линией значений sin(x), значит и функция здесь положительна. Для косинуса так же: в какой четверти косинус положительный (фото 7), а в какой отрицательный видно по перемещению линии над и под осью cos(x). Как итог, мы можем запомнить два способа определения знака функций синус, косинус:
    1. По мнимому кругу с радиусом равным единице (хотя, на самом деле, не важно, какой радиус у круга, но в учебниках чаще всего приводят именно такой пример; это облегчает восприятие, но в то же время, если не оговориться, что это не суть важно, дети могут запутаться).
    2. По изображению зависимости функции по (х) от самого аргумента х, как на последнем рисунке.
    С помощью первого способа можно ПОНЯТЬ, от чего именно зависит знак, и мы подробно разъяснили это выше. Рисунок 7, построенный по этим данным, как нельзя лучше визуализирует полученную функцию и ее знакопринадлежность.

  5. Thordiri Ответить


    знаки синуса знаки косинуса знаки тангенса и котангенса
    Рассмотрим конкретный пример. Рассмотрим дуги в и, соответственно, (рис. 1).

    как прямоугольные по гипотенузе и острому углу

    Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон.


    Функции большего угла приведены к функциям меньшего угла. В этом суть формул приведения.
    Для применения формул приведения тригонометрическую функцию любого угла нужно привести к одному из видов: .
    Формул приведения много, но все они подчиняются двум правилам:
    Первое правило:
    Для аргументов функция меняется на кофункцию, т.е. синус на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот.
    Для аргументов функция не меняется.
    Примеры на первое правило:
    Знак пока не учитываем, он определяется вторым правилом, пока важно понять, в каких случаях функция меняется на кофункцию, а в каких не меняется.
    1)
    2)
    3)
    4)
    Для аргументов вида наименование функции следует изменить на кофункцию.
    5)
    6)
    7)
    8)
    Для аргументов вида наименование функции не меняется.
    Второе правило (для знака приведенной функции, функции угла ).
    1) Считаем угол острым,
    2) Определяем четверть и знак в ней приводимой функции (функции слева).
    3) Ставим этот знак перед приведенной к углу функцией (функцией справа).
    Примечание: Угол может быть любым, острым мы его считаем условно, для применения правила.
    Примеры на второе правило:
    1)
    Рис. 2.

    Угол находится во второй четверти. Во второй четверти , ставим знак плюс.

    2)
    Рис

    Угол находится в третьей четверти. В третьей четверти ставим знак минус.

    3)
    Рис. 4.

    Угол находится во второй четверти. Во второй четверти ставим знак минус.

    4)
    Рис. 5.

    Угол находится в четвёртой четверти. В четвёртой четверти ставим знак минус.

    5)
    Рис. 6.

    Угол находится в третьей четверти. В третьей четверти ставим знак минус.

    6)
    Рис. 7.

    Угол находится во второй четверти, во второй четверти ставим знак минус.

    7)
    Рис. 8.

    Угол находится во второй четверти. Во второй четверти ставим знак минус.

    8)
    Рис. 9.

    Угол находится в четвёртой четверти. В четвёртой четверти ставим знак минус.

    Итак, мы рассмотрели различные примеры применения первого и второго правил формул приведения.
    Рассмотрим приемы, облегчающие запоминание формул приведения.
    1. «Правило лошади». Глядя на числовую окружность легко ответить на вопрос, меняется ли функция на кофункцию.

    Для аргументов , т.е. аргументов, отложенных от вертикальной оси, на вопрос, меняется ли функция на кофункцию, лошадь, глядя на точки , будет утвердительно кивать – функция меняется на кофункцию (рис. 10) .

  6. Dajin Ответить

    Знаки синуса, косинуса тангенса и котангенса по четвертям легко запомнить по ассоциации.

    1) Если использовать ассоциацию косинус — колобок (оба начинаются с ко-, оба двигаются по горизонтали), то знаки косинуса по координатным четвертям очень легко запомнить. Как движется х? Вправо-влево. Вправо — с  плюсом, значит, справа от оси OY косинус имеет знак «+». Слева — с минусом, следовательно, слева от оси OY косинус имеет знак «-«.
    2) Косинус — это х, синус — у. Вверху над осью OX у положителен, значит синус имеет знак «+».
    Поэтому сверху синус с «+», внизу — с «-«.
    3) Знаки тангенса и котангенса обычно запоминают крест-накрест. В I координатной четверти положительны абсолютно все: и синус, и косинус, и тангенс, и котангенс. Следовательно, накрест — в III четверти — тангенс и котангенс имеют знак «+»:

  7. Molas Ответить

    Синус, косинус, тангенс, котангенс



    Прежде чем перейти к этому разделу, напомним определения синуса и косинуса, изложенные в учебнике геометрии 7-9 классов.
    – Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):
    sin t = b/c.
    – Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1):
    cos t = a/c.
    Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.
    Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).

    Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).
    Таким образом, наши формулы обретают иной вид.
    Так как b = y, a = x, c = R, то:
    y x
    sin t = —— , cos t = ——.
    R R
    Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.
    Так как tg t = b/a, ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:
    tg t = y/x,
    ctg = x/y.
    Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:
    y
    sin t = —— = y,
    1
    x
    cos t = —— = x.
    1
    Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.
    Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому).
    Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.
    Косинусом числа t числовой окружности называют абсциссу этого числа:
    cos t = x
    Синус числа t – это его ордината:
    sin t = y
    Тангенс числа t – это отношение синуса к косинусу:
    sin t ?
    tg t = ———, где t ? — + ?k
    cos t 2
    Котангенс числа t – это отношение косинуса к синусу:
    cos t
    ctg t = ———,     где t ? ?k
     sin t
    Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:
    sin t cos t ?k
    tg t · ctg t = ——— · ——— = 1, при t ? ——
    cos t sin t 2
    Уравнения числовой окружности.
    Из предыдущего раздела мы знаем одно уравнение числовой окружности:
    x2 + y2 = 1
    Но поскольку x = cos t, а y = sin t, то получается новое уравнение:
    cos2 t + sin2 t = 1
    Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:

    1-я четверть
    2-я четверть
    3-я четверть
    4-я четверть
    cos t
    +
    –
    –
    +
    sin t
    +
    +
    –
    –
    tg t, ctg t
    +
    –
    +
    –
    Косинус и синус основных точек числовой окружности:

    Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.
    Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.
    1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):
    1 v2 v3
    0; —; ——; ——; 1.
    2 2 2
    Сделайте для себя это «открытие» – и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.
    2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.
    Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.
    На концах оси косинусов (оси х), разумеется, косинусы равны модулю 1, а синусы равны 0.
    На концах оси синусов (оси у) синусы равны модулю 1, а косинусы равны 0.
    Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса 7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.
    3) Теперь перейдем к дробным значениям.
    – Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.
    – В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: v2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.
    – Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (v3/2; 1/2).
    – Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; v3/2).
    Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).
    Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.
    Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.
    Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.
    – Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки ?/3 и 4?/3:
    cos ?/3 = 1/2, sin ?/3 = v3/2
    cos 4?/3 = -1/2, sin 4?/3 = -v3/2
    Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки.
    Важно знать:
    Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» – впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).
    В порядке убывания получается такое чередование значений:
    v3 v2 1 1 v2 v3
    1; ——; ——; —; 0; – —; – ——; – ——; –1
    2 2 2 2 2 2
    Возрастают они строго в обратном порядке.
    Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.
    Тангенс и котангенс основных точек числовой окружности.
    Зная косинус и синус точек числовой окружности, легко можно вычислить их тангенс и котангенс. Делим синус на косинус – получаем тангенс. Делим косинус на синус – получаем котангенс. Результаты этого деления – на рисунке.

    ПРИМЕЧАНИЕ: В некоторых таблицах значения тангенса и котангенса, равные модулю v3/3, указаны как 1/v3. Ошибки тут нет, так как это равнозначные числа. Если числитель и знаменатель числа 1/v3 умножить на v3, то получим v3/3.

    Как запомнить значение тангенсов и котангенсов основных точек числовой окружности.
    Здесь такие же закономерности, что и с синусами и косинусами. И чисел тут всего четыре (в модуле): 0, v3/3, 1, v3.
    На концах осей координат – прочерки и нули. Прочерки означают, что в данных точках тангенс или котангенс не имеют смысла.
    Как запомнить, где прочерки, а где нули? Поможет правило.
    Тангенс – это отношение синуса к косинусу. На концах оси синусов (ось у) тангенс не существует.
    Котангенс – это отношение косинуса к синусу. На концах оси косинусов (ось х) котангенс не существует.
    В остальных точках идет чередование всего лишь трех чисел: 1, v3 и v3/3 со знаками плюс или минус. Как с ними разобраться? Запомните (а лучше представьте) три обстоятельства:
    1) тангенсы и котангенсы всех середин четвертей имеют в модуле 1.
    2) тангенсы и котангенсы ближайших к оси х точек имеют в модуле v3/3; v3.
    3) тангенсы и котангенсы ближайших к оси у точек имеют в модуле v3; v3/3.
    Не ошибитесь со знаками – и вы большой знаток.
    Нелишне будет запомнить, как возрастают и убывают тангенс и котангенс на числовой окружности (см.числовую окружность выше или раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций»). Тогда еще лучше будет понятен и порядок чередования значений тангенса и котангенса.
    Тригонометрические свойства чисел числовой окружности.
    Представим, что определенная точка М имеет значение t.
    Свойство 1:

    sin (–    t) = –sin t


    cos (–    t) = cos t


    tg (–    t) = –tg t


    ctg (–    t) = –ctg t

    Пояснение. Пусть t = –60? и t = –210?.
    cos –60? равен 1/2. Но cos 60? тоже равен 1/2. То есть косинусы –60? и 60? равны как по модулю, так и по знаку: cos –60? = cos 60?.
    cos –210? равен –v3/2. Но cos 210? тоже равен –v3/2. То есть: cos –210? = cos 210?.
    Таким образом, мы доказали, что cos (–t) = cos t.
    sin –60? равен –v3/2. А sin 60? равен v3/2. То есть sin –60? и sin 60? равны по модулю, но противоположны по знаку.
    sin –210? равен 1/2. А sin 210? равен –1/2. То есть sin –210? и sin 210? равны по модулю, но противоположны по знаку.
    Таким образом, мы доказали, что sin (–t) = –sin t.
    Посмотрите, что происходит с тангенсами и котангенсами этих углов – и вы сами легко докажете себе верность двух других тождеств, приведенных в таблице.
    Вывод: косинус – четная функция, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.
    Свойство 2: Так как t = t + 2?k, то:

    sin (t + 2?    k) = sin t


    cos (t + 2?    k) = cos t
    Пояснение: t и t + 2?k – это одна и та же точка на числовой окружности. Просто в случае с 2?k мы совершаем определенное количество полных оборотов по окружности, прежде чем приходим к точке t. Значит, и равенства, изложенные в этой таблице, очевидны.
    Свойство 3: Если две точки окружности находятся друг против друга относительно центра О, то их синусы и косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку, а их тангенсы и котангенсы одинаковы как по модулю, так и по знаку.

    sin (t + ?    ) = –sin t


    cos (t + ?    ) = –cos t

    tg (t + ?    ) = tg t

    ctg (t + ?    ) = ctg t
    Пояснение: Пусть точка М находится в первой четверти. Она имеет положительное значение синуса и косинуса. Проведем от этой точки диаметр – то есть отрезок, проходящий через центр оси координат и заканчивающийся в точке окружности напротив. Обозначим эту точку буквой N. Как видите, дуга MN равна половине окружности. Вы уже знаете, что половина окружности – это величина, равная ?. Значит, точка N находится на расстоянии ? от точки М. Говоря иначе, если к точке М прибавить расстояние ?, то мы получим точку N, находящуюся напротив. Она находится в третьей четверти. Проверьте, и увидите: косинус и синус точки N – со знаком «минус» (x и y имеют отрицательные значения).
    Тангенс и котангенс точки М имеют положительное значение. А тангенс и котангенс точки N? Ответ простой: ведь тангенс и котангенс – это отношение синуса и косинуса. В нашем примере синус и косинус точки N – со знаком «минус». Значит:
    –sin t
    tg (t + ?) = ———— = tg t
    –cos t
    –cos t
    ctg (t + ?) = ———— = ctg t
    –sin t
    Мы доказали, что тангенс и котангенс диаметрально противоположных точек окружности имеют не только одинаковое значение, но и одинаковый знак.
    Свойство 4: Если две точки окружности находятся в соседних четвертях, а расстояние между точками равно одной четверти окружности, то синус одной точки равен косинусу другой с тем же знаком, а косинус одной точки равен синусу второй с противоположным знаком.
    ?
     sin (t + —) = cos t
     2
    ?
    cos (t + —) = –sin t
     2

  8. Felowield Ответить

    Ниже в этом пункте будет встречаться фраза «угол I, II, III и IV координатной четверти». Объясним, что же это за углы.
    Возьмем единичную окружность, отметим на ней начальную точку А(1, 0), и повернем ее вокруг точки O на угол α, при этом будем считать, что мы попадем в точку A1(x, y).
    Говорят, что угол α является углом I, II, III, IV координатной четверти, если точка А1 лежит в I, II, III, IV четверти соответственно; если же угол α таков, что точка A1 лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy, то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.
    Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. На чертежах ниже изображены углы поворота 30, −210, 585 и −45 градусов, которые являются углами I, II, III и IV координатных четвертей соответственно.

    Углы 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов не принадлежат ни одной из координатных четвертей.
    Теперь разберемся, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, углом какой четверти является α.
    Для синуса и косинуса это сделать просто.
    По определению синус угла α – это ордината точки А1. Очевидно, что в I и II координатных четвертях она положительна, а в III и IV четвертях – отрицательна. Таким образом, синус угла α имеет знак плюс в I и II четвертях, а знак минус – в III и VI четвертях.
    В свою очередь косинус угла α – это абсцисса точки A1. В I и IV четвертях она положительна, а во II и III четвертях – отрицательна. Следовательно, значения косинуса угла α в I и IV четвертях положительны, а во II и III четвертях – отрицательны.

    Чтобы определить знаки по четвертям тангенса и котангенса нужно вспомнить их определения: тангенс – это отношение ординаты точки A1 к абсциссе, а котангенс – отношение абсциссы точки A1 к ординате. Тогда из правил деления чисел с одинаковыми и разными знаками следует, что тангенс и котангенс имеют знак плюс, когда знаки абсциссы и ординаты точки A1 одинаковые, и имеют знак минус – когда знаки абсциссы и ординаты точки A1 различны. Следовательно, тангенс и котангенс угла имеют знак + в I и III координатных четвертях, и знак минус – во II и IV четвертях.
    Действительно, например, в первой четверти и абсцисса x, и ордината y точки A1 положительны, тогда и частное x/y, и частное y/x – положительно, следовательно, тангенс и котангенс имеют знаки +. А во второй четверти абсцисса x – отрицательна, а ордината y – положительна, поэтому и x/y, и y/x – отрицательны, откуда тангенс и котангенс имеют знак минус.

    Переходим к следующему свойству синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

  9. Monara Ответить


    |BD| – длина дуги окружности с центром в точке A.
    α – угол, выраженный в радианах.
    Синус (sin α) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
    Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

    Принятые обозначения

    ;
    ;
    .
    ;
    ;
    .

    График функции синус, y = sin x

    График функции косинус, y = cos x

    Свойства синуса и косинуса

    Периодичность

    Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

    Четность

    Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

    Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

    Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n – целое).
    y = sin x y = cos x Область определения и непрерывность – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞ Область значений –1 ≤ y ≤ 1 –1 ≤ y ≤ 1 Возрастание Убывание Максимумы, y = 1 Минимумы, y = –1 Нули, y = 0 Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

    Основные формулы

    Сумма квадратов синуса и косинуса

    Формулы синуса и косинуса от суммы и разности

  10. Rexeye Ответить

    Знак тригонометрической функции зависит от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.Синус угла ? — это ордината (координата y) точки на тригонометрической окружности.Косинус угла ? — это абсцисса (координата x) точки на тригонометрической окружности.Тангенс угла ? — это отношение синуса к косинусу. То есть отношение координаты y к координате x.Котангенс – это отношение косинуса к синус. То есть отношение координаты x к координате y.На рисунке ниже:синим цветом обозначены положительные значения оси ординат (синус);красным цветом – положительные значения оси абсцисс (косинус)Как видно:Синус в I и II четвертях положительный, в III и IV – отрицательный.Косинус в I и IV четвертях положительный, во II и III – отрицательный.Тангенс и котангенс в I и III четвертях положительные, во II и IV – отрицательные. Это следует из того, что тангенс является отношением синуса на косинус. В I четверти синус и косинус положительные, поэтому и тангенс положительный. Во II четверти синус положительный, но косинус отрицательный, поэтому и тангенс отрицательный (плюс на минус дает минус). В данном случае учитываем, что каждые 360° можно отбросить, т.к. 360° составляют полный оборот. То есть через каждые 360° значения sinx, cosx, tgx, ctgx повторяются.Кроме того, функции sin, tg, ctg являются нечетными, поэтому:sin(-?) = -sin?,tg(-?) = -tg?,ctg(-?) = -ctg?.Функция cos – четная, поэтому:cos(-?) = cos?. Следовательно, можно упростить расчеты:а) sin751° = sin(751 – 360·2) = sin(751 – 720) = sin31°.Угол 31° находится в I четверти, а так как sin в I и II четвертях положительный, то sin751° имеет знак плюс.б) tg304°.Угол 304° находится в IV четверти, а так как tg во II и IV четвертях отрицательный, то tg304° имеет знак минус.в) cos543° = cos(543 – 360) = cos183°.Угол 183° находится в III четверти, а так как cos во II и III четвертях отрицательный, то cos543° имеет знак минус. Следовательно, правильный порядок знаковплюс, минус, минус.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *