В каких точках касательная к графику функции параллельна оси ох?

6 ответов на вопрос “В каких точках касательная к графику функции параллельна оси ох?”

Panda__Pro 15-12-2019 Ответить

Вы искали в каких точках касательная к графику функции параллельна оси ох? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и значение производной в точке касания, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение.
Например, «в каких точках касательная к графику функции параллельна оси ох».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как в каких точках касательная к графику функции параллельна оси ох,значение производной в точке касания,как найти производную по графику функции и касательной,как найти производную функции по графику и касательной,как по графику и касательной найти производную функции,касательная и производная,касательная к графику,касательная к графику функции,касательная к графику функции и производная,найти угол наклона касательной к графику функции,определение касательной,производная и касательная,производная и касательная к графику функции,производная функции и касательная к графику,производная функции касательная к графику функции,производная это тангенс угла наклона касательной,тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке,угол наклона к касательной к графику,уравнение касательной через производную,формула касательная,формула касательной. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и в каких точках касательная к графику функции параллельна оси ох. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, как найти производную по графику функции и касательной).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же в каких точках касательная к графику функции параллельна оси ох Онлайн?

Решить задачу в каких точках касательная к графику функции параллельна оси ох вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать – это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
Однокласницы 15-12-2019 Ответить

?
Основные понятия и определения
В общем случае уравнение прямой на плоскости записывается как , где некоторые константы. График функции приведен на рис. 1. Причем здесь . Если , то будет уравнением прямой, параллельной числовой оси

Пусть имеются две прямые, заданные уравнениями и . Если , то данные прямые являются параллельными.
Для того, чтобы эти прямые были взаимно перпендикулярны, требуется выполнение условия .
В частности, прямые и являются параллельными, а прямые и будут взаимно перпендикулярны.
Уравнение касательной
Пусть некоторая функция, дифференцируемая в точке . На графике функции , который приведен на рис. 2, выделена точка , где . Прямая является секущей, а касательная есть предельное положение секущей при условии, что точка стремится к точке .

Для составления уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , обычно используются формулы (1) и (2), известные из школьных учебников по математике:
(1)
или
. (2)
Однако при решении задач на составление уравнений касательных данные формулы не отражают тот факт, что касательная является прямой линией. В этой связи уравнение касательной целесообразно представлять в виде . Сделать это нетрудно, поскольку формула (2) равносильна формуле

Формула (3) имеет вид уравнения прямой линии , где и .
Рассмотрим примеры решения задач на применение формулы (3) при составлении уравнения касательной к графику функции в точке с абсциссой .
Примеры решения задач
Пример 1. Написать уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой
Решение. Воспользуемся формулой (3). Так как и , то и . В таком случае формула (3) принимает вид или .
Ответ: .
Пример 2. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой
Решение. Поскольку и , то
, и из формулы (3) получаем .
Ответ: .
Пример 3. Найти уравнение касательной, проведенной к графику функции , при условии, что касательная параллельна прямой .
Решение. Предположим, что точка касания имеет абсциссу . Так как , то формула (3) принимает вид
или
. (4)
По условию задачи касательная (4) должна быть параллельна к прямой , поэтому или . Если значение подставить в формулу (4), то получим уравнение искомой касательной.
Ответ: .
Примечание. Если в условии данного примера потребовать, чтобы касательная была бы перпендикулярна прямой , то здесь необходимо положить . Тогда и из формулы (4) получим уравнение касательной .
Пример 5. Написать уравнение касательной к графику функции , при условии, что касательная содержит точку с координатами и .
Решение. Так как , то формула (3) принимает вид
или
. (5)
Поскольку касательная (5) содержит точку с координатами и , то подставим в эту формулу значения и получим
или .
Однако квадратное уравнение имеет два корня и , поэтому рассматриваемая задача имеет два решения. Если найденные значения подставить в уравнение (5), то получим уравнения двух касательных.
Ответ: , .
Пример 6. Провести касательную к графику функции в точке с абсциссой и вычислить площадь треугольника, образованного касательной и положительными полуосями системы координат.
Решение. Так как и , то , и уравнение касательной (3) к графику функции в точке с абсциссой принимает вид .
Пусть касательная пересекает оси и в точках и , соответственно. Тогда нетрудно установить, что . Поскольку , то .
Ответ: .
Пример 7. Составить уравнение касательной к графику функции при условии, что касательная проходит через начало координат.
Решение. Так как и , то уравнение касательной (3) принимает вид
, (6)
где абсцисса точки касания.
Так как касательная проходит через начало координат, то . В этой связи из уравнения (6) следует, что
, или .
Поскольку и , то . Следовательно, уравнение искомой касательной имеет вид .
Ответ: .
Пример 8. Найти уравнение общей касательной к графикам функций и .
Решение. Если построить эскиз графиков функций и , то можно увидеть, что существует единственная общая для них касательная . Поскольку эта прямая касается графиков обеих функций, то имеет место система уравнений
или
Поскольку общая касательная к графикам функций и , является единственной, то каждое из уравнений системы должно иметь только по одному корню. А это означает, что дискриминанты уравнений системы должны быть равны нулю. Следовательно, имеем
или
Если из второго уравнения системы вычесть первое, то или . Если значение подставить в любое из уравнений системы, то получим .
Ответ: .
С целью качественной подготовки к вступительным экзаменам по математике в области составления уравнений касательных целесообразно использовать учебные пособия, приведенные в списке рекомендованной литературы.
Рекомендуемая литература
1. Кушнир А.И. Шедевры школьной математики (задачи и решения в двух книгах). – Киев: Астарта, книга 2, 1995. – 512 с.
2. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS, 2016. – 216 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Kekus 15-12-2019 Ответить

Как всегда начинаем с области определения функции. В нашем примере функция определена на всем множестве действительных чисел. Раскроем знак модуля, для этого рассмотрим два промежутка и :

Продифференцируем функцию:

При x=-2 производная не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны:

Таким образом, вычислив значение функции при x=-2, мы можем дать ответ на пункт а): , касательная к графику функции не существует в точке (-2;-2).
b) Касательная параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен нулю (тангенс угла наклона равен нулю). Так как , то нам нужно найти все значения х, при которых производная функции обращается в ноль. Эти значения и будут абсциссами точек касания, в которых касательная параллельна оси Ox.
При решаем уравнение , а при – уравнение :

Осталось вычислить соответствующие значения функции:

Поэтому, – искомые точки графика функции.
Графическая иллюстрация.
График исходной функции изображен черной линией, красными точками отмечены найденные точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

c) Если две прямые на плоскости параллельны, то их угловые коэффициенты равны (об этом написано в статье параллельные прямые, параллельность прямых). Исходя из этого утверждения, нам нужно найти все точки графика функции, в которых угловой коэффициент касательной равен восьми пятым. То есть, нам нужно решить уравнение . Таким образом, при решаем уравнение , а при – уравнение .
Дискриминант первого уравнения отрицателен, следовательно, оно не имеет действительных корней:

Второе уравнение имеет два действительных корня:

Находим соответствующие значения функции:

В точках касательные к графику функции параллельны прямой .
Графическая иллюстрация.
График функции изображен черной линией, красной линией показан график прямой , синими линиями показаны касательные к графику функции в точках .
Kazragar 15-12-2019 Ответить

Чтобы
правильно и рационально решать задачи, связанные
с уравнением касательной, нужно четко понимать, что такое
касательная, владеть техникой составления
уравнения касательной к графику функции и
представлять себе, для решения каких задач (в том
числе и задач с параметрами) можно использовать метод касательной.
Опр.
1. Касательной к графику функции у
= f(x)
называется
предельное положение секущей MN
при

(рис. 1).

Рис. 1
Касательная к кривой может
иметь с ней несколько общих точек или пересекать ее. Можно дать и
другое определение касательной к кривой.
Опр.
2. Касательной к графику функции у
= f(x) в
точке A0(x0;
f(x0))
называется
прямая, проходящая через точку A0,
угловой
коэффициент которой
равен значению производной функции у
=f(x)
в точке
с абсциссой x0.
Уравнение
касательной
к кривой у =
f(x)
в точке с
абсциссой х0
имеет вид:
.
Между
понятием касательной и понятие производной имеется тесная
связь. Геометрический
смысл производной можно выразить так: если функция
у = f(x)
в точке
х0
имеет
производную, то в точке с этой абсциссой определена касательная к
графику функции
,
причем ее
угловой коэффициент
равен
.
Вывод: если в точке х0
есть производная
функции
,
то в точке с
этой абсциссой есть касательная к графику
функции

и наоборот; если
в точке х0
нет производной
функции
,
то в точке с
этой абсциссой нет касательной к графику функции

и наоборот.
Укажем
случаи, когда
функция не имеет в точке касательной, и, следовательно, не
имеет и производной. Таких случаев три: угловая точка, точка
возврата, узловая точка
(рис. 2 а, б, в). Особо
отметим случай, когда в точке функция имеет бесконечную
производную (рис. 2 г).

угловая точка
точка возврата узловая
точка

а) б) в) г)
Рис. 2
Рассмотрим решение
некоторых задач.
Задачи,
связанные с определением того, является ли прямая
у = kx
+ b
касательной к графику функции
у = f(x).
Можно указать два способа решения таких задач.
Находим общие
точки графиков, т. е. решаем уравнение f(x)
= kx
+ b,
а затем для каждого из его решений
вычисляем
.
В тех случаях, когда

= k,
имеет место касание, в других —
пересечение.
Находим корни
уравнения

= k
и для каждого из них проверяем, выполняется ли
равенство f(x)
= kx
+ b.
При его выполнении получаем абсциссы точек
касания.
Обобщая
оба способа, заметим, что для того чтобы прямая у
= kx
+ b
была касательной к графику функции
у = f(x),
необходимо и достаточно существование хотя
бы одного числа х0,
для которого выполняется система

При каких
значениях b
прямая у = 3х +b
является касательной к графику функции у
=?
Решение.
Записав условие касания

получим

Ответ:
.
При каких
значениях а прямая
у=ах+2
является касательной к графику функции

Указание.

Ответ:
а = e-3
При каких
значениях а прямая

является касательной к графику функции

Указание.

Ответ:
а = 7 или а =
-1.
Является ли
прямая

касательной к графику функции
?
Если является, то найти координаты точки касания.
Решение.
Пусть
.
Из условия следует, что должны выполняться равенство
,
где
–
возможная абсцисса точки касания. Имеем:

Если теперь
составить уравнение касательной к графику заданной функции в каждой
из двух найденных точек, то окажется, что в точке

как раз и получится
.
Значит, точка касания имеет координаты (1;-1).
К графику
функции
проведена
касательная, параллельная прямой
.
Найти ординату точки касания.
Решение.
.
Абсцисса интересующей нас точки касания удовлетворяет уравнению
.
Имеем:

Таким образом,
.
Значит,
–
абсцисса точки касания. Чтобы найти ординату точки касания
преобразуем выражение, задающее функцию:

Ответ: 1.
Написать
уравнение всех касательных к графику функции
,
параллельных прямой
.
Решение.
Так как касательная должна быть параллельна прямой
,
то ее угловой коэффициент, равный у'(х0),
где х0
— абсцисса точки касания, совпадает с
угловым коэффициентом данной прямой, т. е.
.
Отсюда

или
.
Далее составляем уравнение касательной для каждой точки.
Ответ:
,.
Найти все
значения
,
при каждом из которых касательная к графикам функций

и
в
точках с абсциссой

параллельны.
Решение.
Известно, что тангенс угла наклона касательной к графику функций

в точке с абсциссой

равен
.
Следовательно, все искомые значения

будут корнями уравнения
,
откуда
.
Используя формулу разности синусов углов, будем иметь
.
Решая полученное уравнение, получаем

Найти
расстояние между касательными к графику функции
,
расположенными параллельно оси
.
Решение.
Найдем критические точки заданной функции:

Так как,
производная в точках

и

равна нулю, то касательные, проведенные к кривой в точках с этими
абсциссами, параллельны оси
.
Найдем значения функций в этих точках.

Итак,
расстояние d
между касательными, параллельными оси
,
равно

С составлением
уравнения касательной, параллельной данной прямой, связана задача о
нахождении кратчайшего расстояния между графиком
некоторой функции f(x)
и прямой
.
Во многих
случаях удается найти касательную к графику
,
параллельную данной прямой

и делящую плоскость на две части, в одной из
которых расположен график функции, а в другой — заданная
прямая. Тогда кратчайшим расстоянием между графиком функции и прямой

является расстояние от точки М(х0;
у0),
в которой проведена параллельная касательная,
до заданной прямой у =
kx
+ b;
это расстояние можно вычислить по формуле

Найти
кратчайшее расстояние между параболой

и прямой

Решение.
Убедившись, что графики не имеют общих
точек (уравнение

не имеет решений), запишем
уравнение такой касательной к графику функции
,
которая параллельна прямой

Уравнение касательной имеет
вид

касание происходит в точке

Прямая у =
х
– 2 и парабола у
= х2
расположены по разные
стороны от касательной. Таким образом, кратчайшее
расстояние между параболой и прямой равно
расстоянию от точки М до
прямой
.
Ответ:

Довольно
сложной является задача составления уравнения всех касательных к
графику функции у = f(x),
проходящих через заданную точку М(х0;
у0),
вообще говоря, не лежащую на графике.
Приведем алгоритм решения этой задачи.
1. Составляем
уравнение касательной к графику функции
у = f(x)
в произвольной
точке графика с абсциссой
t:

2. Решаем
относительно t
уравнение

и для каждого его
решения t
записываем
соответствующую
касательную в виде
.
Написать
уравнение всех касательных к графику функции
,
проходящих через точку
М(2; -2).
Указание.
Уравнение касательной в точке с абсциссой t
имеет вид
.
Так как эта
касательная проходит через точку
(2; -2), то
,
откуда
.
Ответ:
.
Найти
площадь треугольника, образованного касательными, проведенными
к графику функции

через точку

и секущей,
проходящей через точки касания.
Указание.
Уравнение

дает два
решения: t1
= 1, t2
= 4. Таким
образом, точки K1
(1;1) и
K2(4;2)
являются точками касания.
Ответ:
0,25.
Говорят, что
прямая

является общей касательной графиков функции

и
,
если она касается как одного, так и другого
графиков (но совершенно не обязательно в одной и той же точке).
Например, прямая

является общей касательной графиков функций

(в точке М(2; 5) и

(в точке K(0,5;
-1)). Заметим, что графики функций
и

имеют в точке их пересечения М(х0;
у0)
общую невертикальную касательную тогда и
только тогда, когда
.
Доказать,
что параболы

и
имеют
в их общей точке общую касательную. Найти
уравнение этой общей касательной. Решение.
Уравнение
имеет
единственный корень х=2,
т. е. параболы имеют единственную общую точку
М(2;0). Убедимся, что значения производных для
обеих функций в точке х =
2 равны; действительно,
и
.
Далее составляем уравнение касательной.
Ответ:.
В завершении рассмотрим
решение еще нескольких задач на касательную с параметром.
При
каких значениях параметра
касательная
к графику функции

в точке

проходит через точку (2;3)?
Решение.
Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке
:

Так как эта прямая проходит через точку (2;3), то имеет место
равенство
,
откуда находим:
.
Может ли
касательная к кривой

в какой-либо ее точке составлять острый угол с положительным
направлением оси
?
Решение.
Найдем производную функции
.
В любой точке, в которой функция определена, производная
отрицательна. Но производная есть тангенс угла наклона касательной, а
так как он отрицателен, то угол тупой.
Ответ: Не
может.
Найти
значение параметра
,
при котором касательная к графику функции

в точке

проходит через точку М(1;7).
Решение.
Пусть
тогда
.
Составим уравнение касательной:

По условию эта
касательная проходит через точку М(1;7), значит,
,
откуда получаем:

При каких
значениях параметра

прямая

является касательной к графику функции
?
Решение.
Из условия следует, что должно выполнятся равенство
где

абсцисса
точки касания. Значит,
и

связаны между собой равенством

(1). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в
точке

Из условия
следует, что должно выполняться равенство
.
Решив это уравнение, получим
.
Тогда из (1) получаем, что
.
При каком
значении

прямая

является касательной у графику
?
Решение.
Так как прямая

является касательной к графику функции
,
то в точке касания угловой коэффициент касательной равен 3. Но
угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в
этой точке, то есть
,
откуда
,
следовательно,
–
абсцисса точки касания. Найдем теперь
из
условия равенства значений функций
и

при
.
Имеем
,
откуда
.
При каких
значениях параметра а касательные к графику функции
,
проведенные в точках его пересечения с осью оx,
образуют между собой угол 60о?
Решение.
В этой задаче, как и в предыдущих, речь идет о касательных к графику
функции. Составлять уравнение касательной не надо, достаточно
использовать геометрический смысл производной, то есть угловые
коэффициенты касательных. Графиком данной функции является парабола с
ветвями, направленными вверх, пересекающая ось оx
в двух точках (случай а=0
нас не устраивает):

и
учитываем,
что х2>0
(рис. 3)

Рис. 3
Касательные АМ
и ВМ пересекаются под углом 60о
в точке М, лежащей на оси параболы, причем возможны два случая: либо
,
либо смежный угол равен 60о.
в первом случае угол между касательной АО и осью х равен 120о,
следовательно, угол коэффициента касательной равен tg120o,
то есть равен

Далее имеем:
.
Таким образом, получаем, что
,
то
.
Во втором случае
,
поэтому угол между касательной АО и остью ох
равен 150о.
Значит, угловой коэффициент касательной равен tg150o
, то есть он равен
.
Таким образом, получаем, что
,
то есть

Ответ:
.
Литература:
Далингер,
В.А. Начала математического анализа в задачах [Текст]: учебное
пособие / В.А. Далингер. – Омск: Изд-во ГОУ ОМГПУ, 2009. –
312 с.
Звавич, Л.И. Алгебра и
начала анализа. 8-11 кл. [Текст]: пособие для школ и классов с
углубл. изучением математики / Л. И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В.
Чинкина.– М.: Дрофа, 1999. – 352 с.
Faucage 15-12-2019 Ответить

При изучении темы “Касательная к графику
функции” можно выделить 5 типов задач.
I. Задачи на составление уравнения
касательной к графику функции в точке,
принадлежащей графику
Обучение решению задач на касательную
осуществляется при помощи алгоритма.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в
точке х: y = f(х) + f ‘(х)(x – х)

Алгоритм составления уравнения касательной к
графику функции y = f(x):
1. Обозначить х
абсциссу точки касания.
2. Найти f(х)
3. Найти f ‘(x) и f ‘(х) 4. Подставить найденные числа х, f(х), f ‘(х) в общее
уравнение касательной

Задача. Составьте уравнение касательной к
графику функции в точке с
абсциссой х=3.
Решение.
1. х = 3 – абсцисса
точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f ‘(x) = x2 – 4, f ‘(3) = 5. 4.Подставив в
уравнение касательной значения х=3, f(х)=-2,
f ‘(х)=5, получим y =
– 2 + 5(x – 3), т.е. y = 5x – 17. Это и есть
искомое уравнение касательной. Ответ: y = 5x-17.

УПРАЖНЕНИЯ
Найти уравнение касательной к графику функции
f(x) в точке с абсциссой х.
1. f(x)=-x-4x+2, х=-1.
1) y=-2x-3;
2) y=2x-1;
3) y=-2x+3;
4) y=2x+3.
2. f(x)=-x+6x+8, х=-2.
1) y=2x-6;
2 )y=10x+12;
3) y=4x+8;
4) y=-10x+8.
3. f(x)=x+5x+5, х=-1.
1) y=7x+8;
2) y=8x+7;
3) y=9x+8;
4) y=8x+6.
4. f(x)=2cosx, х=
1) y=
2) y=
3) y=
4) y=
5. f(x)=tgx, х= 1) y=x;
2) y=x+
3) y=x-
4) y=x-1.
6. f(x)=1-sin2x, х=0.
1) y=1-2x;
2) y=2x;
3) y = -2x;
4) y=2x+1.
7. f(x)=
х=-2.
1) y = -x+1; 2) y = x+1;
3) y = -x-1;
4) y = -x-2.
8. Уравнение касательной, проведённой к графику
функции y=lnx в точке его пересечения с осью
абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x-2; 2) y = x-1; 3) y = x+1; 4) y = x.
9. Уравнение касательной, проведённой к графику
функции y=e-1 в точке его
пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x; 2) y =
3x-1; 3) y = x-1; 4) y = x.
10. Уравнение касательной, проведённой к графику
функции y=sin(x-)+1 в точке
его пересечения с осью ординат, имеет вид. 1) y = x+1;
2) y = x-1; 3) y =- x-1; 4) y =1- x.
Ответы к упражнениям
Задание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Номер ответа
3
2
2
2
3
1
3
2
4
4

II. Проведение касательной параллельно заданной
прямой
Задача 1. В каких точках касательные к кривой
у=– х– х+1 параллельны прямой
y=2x-1?
Решение. Так как касательные параллельны
прямой у=2х-1 то их угловые коэффициенты
совпадают. Т. е. угловой коэффициент касательной
в этой точке есть к = 2 .
Находим у’ = х-2х-1; к=
у'(х)= х-2х-1=2.
Решив уравнение х-2х-1=2; х-2х-3=0, получим (х)=3, (х)=-1, откуда (у)=
-2, (у)= .
Итак, искомыми точками касания являются А(3;-2) и
В(-1;)
Ответ: (3;-2) и (-1;).

Задача 2. Найти абсциссу точки, в которой
касательная к графику функции f(x) = 2x-lnx,
параллельна прямой у = х.
Решение. Пусть х–
абсцисса точки касания. Угловой коэффициент
касательной в этой точке есть к=1. Находим f ‘(x)=2-. К= f ‘ (х)=2-=1.
Решив уравнение 2-=1, получим х=1.
Ответ: 1.

УПРАЖНЕНИЯ
Найти абсциссу точки, в которой касательная к
графику функции f(x) параллельна прямой у(х).
1. f(x)= х+е, у(х)=
-х.
1) –;
2) 0; 3) ; 4) 1.
2. f(x)=2+х, у(х)= 2х.
1) 1; 2) 4; 3) 0; 4) .
3. f(x)=х-5х, у(х)=
-х.
1) -2; 2) 3; 3) -3; 4) 2.
4. f(x)=2lnх-x, у(х)= 0.
1) -2; 2) 0; 3) 2; 4) 1.
5. f(x)=-х-е, у(х)=
4-2х.
1) 3; 2) 2; 3) 0; 4) –2.
6. Найти сумму абсцисс точек, в которых
касательные к графику функции у=х– 3х+1 параллельны оси абсцисс. 1) 0; 2) 2; 3)
1; 4) –2.
7. Найти сумму абсцисс точек в которых
касательные к кривой у= параллельны прямой у=х+5. 1) –2; 2) 4; 3) 2; 4)
–4.
8. К графику функции у = проведены две параллельные
касательные, одна из которых проходит через
точку графика с абсциссой х= -1. Найдите абсциссу точки, в которой
другая касательная касается графика данной
функции. 1) –2; 2) 2; 3) 1; 4) –3.
9. К графику функции у =- проведены две параллельные
касательные, одна из которых проходит через
точку графика с абсциссой х= 1. Найдите абсциссу точки, в которой
другая касательная касается графика данной
функции. 1) –1; 2) 5; 3) 2; 4) –3.
10. На графике функции у = х (х-4) указать точки, в которых касательные
параллельны оси абсцисс. Найти сумму абсцисс
данных точек. 1) 5; 2) 4; 3) 3; 4) – 27.
Ответы к упражнениям
Задание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Номер ответа
2
1
4
2
2
1
4
3
2
1
III. Задачи на касательную, связанные с ее
угловым коэффициентом
Задача 1. К графику функции f(x) = 3x+5x-15 в точке с абсциссой x= проведена касательная. Найти
тангенс угла наклона касательной к оси Ох.
Решение.
f'(x) является угловым
коэффициентом касательной к графику функции у
=f(x) в точке x. Угловой
коэффициент прямой равен тангенсу угла,
образованного этой прямой с положительным
направлением оси Ох.

k= f ‘(x)=tg, где x–
абсцисса точки касания, а – угол наклона касательной к оси Ох.
f ‘(x)=6x+5;
f ‘(x)= f ‘()=6. tg=6.
Ответ: 6.
Задача 2. Напишите уравнение касательной к
графику функции f(x) = 0,5×2 – 3x + 1, проходящей
под углом 45° к прямой y = 0.
Решение. f ‘(x)= x-3. Из условия f ‘(x) = tg 45° найдем x: x – 3 = 1, x= 4.
1. x= 4 – абсцисса
точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f ‘(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение
касательной
Ответ: y=x-7.

Задача 3. Под каким углом к оси Ох наклонена
касательная к графику функции f(x)=xlnx в точке x=1.
Решение. k= f'(x)=tg.
Находим f ‘(x)= 2xlnx+x=2xlnx+x=x(2lnx+1).
При x=1 получим f ‘(1)=1,
откуда tg=1 и, значит,
=.
Ответ: .
УПРАЖНЕНИЯ
К графику функции f(x) в точке с абсциссой x проведена касательная.
Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох
если:
1. f(x)= 2+x-2x, x=1.
1) -1; 2) –7; 3) 3; 4) 0.
2. f(x)= , x=8.
1) 1; 2) 32; 3) 8; 4) 16.
3. f(x)= 5x-3x-7, x=-1.
1) 21; 2) 14; 3) 9; 4) -21.
4. f(x)= 3x-2lnx, x=2.
1) 10; 2) 8; 3) 11; 4) 11,5.
5. f(x)= -x+14, x=1.
1) -51; 2) –65; 3) 63; 4) 77.

Найти угловой коэффициент касательной
проведённой к графику функции f(x) в точке x
6. f(x)=e-x, x=1.
1) e-2; 2) –1; 3) e-1; 4) –2.
7. f(x)=2sinx+2, x=0.
1) -2; 2) 0; 3) 4; 4) 2.
8. f(x)=4cosx-1, x=.
1) 4; 2) 2; 3) -2; 4) 1.
9. f(x)=2+3, x=4.
1) 3,5; 2) 0,5; 3) 7; 4) 2,5.
10. Под каким углом к оси Ох наклонена
касательная к графику функции f(x)=3lnx – x, в точке x=1. 1) 2)
3) arctg2; 4)
Ответы к упражнениям
Задание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Номер ответа
2
3
1
3
2
1
4
3
2
4

IV. Нахождение касательной проходящей через
точку, внешнюю по отношению к заданному графику
Задача 1. Составить уравнения касательных к
кривой y = x– 4x+3,
проходящих через точку М(2;-5).
Решение.
При х =2, находим у = 4-8+3=-1-5, то есть точка М не лежит на
кривой y = x-4x+3 и не
является точкой касания.
Пусть (х) –
точка касания.
у ‘ =2х-4, k = 2x– 4. Составим
уравнение касательной, проходящей через точку М:
у=-5-(2х-4)(2-х).
Поскольку точка (х)
лежит на кривой, получим y = x-4x+3.
Решим уравнение x-4x+3 = -5-(2х-4)(2-х);
x-4x+3=2x-8x+3, x– 4x=0, (х)=0, (х)= 4.
Таким образом, получили две точки касания А(0;3) и
В(4;3). Итак, существуют две касательные к данной
кривой; одна из них имеет угловой коэффициент k= -4 (при х=0) и уравнение у = -4х+3, а другая –
угловой коэффициент k=4
(при х=4) и уравнение
у=4х-13.
Ответ: у =-4х+3, у = 4х-13.

УПРАЖНЕНИЯ
Через точку М(х;у) проведены две касательные к
графику функции f(x). Найти сумму абсцисс точек
касания.
1. f(x)=4х-8х-2,
М(3;-90).
1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.
2. f(x)=7х-2х-5,
М(2;-93).
1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.
3. f(x)=6х-4х-1,
М(1;-23).
1) 1; 2) 5; 3) 2; 4) 3.
4. f(x)=х-8х-2,
М(1,5;-54).
1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 3.
5. f(x)=х-9х-5,
М(-1,5;4,5).
1) -2; 2) -5; 3) 2; 4) – 3.
6. f(x)=7х-7х-1,
М(2;-50).
1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.
7. Напишите уравнение касательной к графику
функции f(x)= х– 4х + 5, если
эта касательная проходит через точку А(0;4) и
абсцисса точки касания положительна.
1) у = 2х+4; 2) у = -2х+4; 3) у = -4х+4; 4) у = 4х-3.
8. Напишите уравнение касательной к графику
функции f(x)= х+ 3х + 5, если
эта касательная проходит через точку А(0;1) и
абсцисса точки касания отрицательна.
1) у = 2х+1; 2) у = х+1; 3) у = -х+1; 4) у = -2х-5.
9. Напишите уравнения касательных к графику
функции f(x)= -0,5 х+3, если
эта касательные проходят через точку на оси Оу и
образуют между собой угол 90o?.
1) у = х+3,5 и у = х-3,5 ; 2) у = -х+3,5 и у = х+3,5; 3) у = -х+4 и
у =х+4; 4) у = -х+3 и у =х+3.
10. Через точку В(-2;3) проходят касательные к
графику функции у=. Найти уравнения этих касательных.
1) у = 2х+2 и у = -22х+2; 2) у =-х+3 и у = х-3; 3)у =-0,5х+2 и у =х+4;
4)у =-0,5х+2 и у =-0,1х+2,8.
Ответы к упражнениям
Задание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Номер ответа
2
1
3
4
4
1
2
4
2
4

V. Нестандартные задачи, связанные с
касательной
1. Напишите уравнения касательных,
проведенных к графику функции y = 2×2 – 4x + 3 в
точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ:
y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.
2. При каких значениях a касательная,
проведенная к графику функции y = x2 – ax в
точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит
через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5.
3. При каких значениях p прямая y = px – 5
касается кривой y = 3×2 – 4x – 2? Ответ: p1 =
– 10, p2 = 2.
4. Найдите все общие точки графика функции y =
3x – x3 и касательной, проведенной к этому
графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4;
52).
5. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в
которой касательная к графику параллельна
прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3).
6. Напишите уравнение касательной к графику
функции y = x2 + 2x – | 4x |, которая
касается его в двух точках. Сделайте чертеж.
Ответ: y = 2x – 4.
7. На параболе y = x2 взяты две точки с
абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки
проведена секущая. В какой точке параболы
касательная к ней будет параллельна проведенной
секущей? Напишите уравнения секущей и
касательной.
Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4
– уравнение касательной.
8. Найдите угол между касательными к графику функции y
= x3 – 4×2 + 3x + 1, проведенными в точках с
абсциссами 0 и 1. Ответ: = 45°.
9. Напишите уравнение всех общих касательных
к графикам функций y = x2 – x + 1 и y = 2×2 – x
+ 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x.
10. Определите, под какими углами парабола y = x2
+ 2x – 8 пересекает ось абсцисс.
Ответ: 1 =
arctg 6, 2 =
arctg (– 6).
11. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1
пересекаются в точках M и N. Найдите точку K
пересечения прямых, касающихся параболы в точках
M и N. Ответ: K(1; – 9).
12. При каких значениях b прямая y = 9x + b
является касательной к графику функции y = x3
– 3x + 15? Ответ: – 1; 31.
13. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет
только одну общую точку с графиком функции y = 2×2
+ 3x – 2? Для найденных значений k определите
координаты точки.
Ответ: k1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).
14. При каких значениях b касательная,
проведенная к графику функции y = bx3 – 2×2
– 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через
точку M(1; 8)?
Ответ: b = – 3.
Mr.-MONSTER-kill 15-12-2019 Ответить

Тема: Уравнение касательной к графику.
Цель урока: повторить теоретические
знания по данной теме, закрепить их при решении
задач.

Ход урока

1. Устная работа

1) Геометрический смысл производной.
– Если к графику функции у = f(x) в точке с
абсциссой х0 можно провести касательную не
параллельную оси Оу, то производная данной
функции в точке х0 выражает угловой
коэффициент касательной.
2) Записать формулу уравнения касательной.
у =
3) Известно, что угловой коэффициент
касательной к графику функции в точке с
абсциссой х0 равен 0,6. Чему равно значение
производной в этой точке?
– геометрический
смысл.
4) Касательная к графику функции f(x) в точке с
абсциссой х0 образует с положительным
направлением оси Ох угол 450. Найдите
значение производной в точке касания.
, т.к.
5) В каких точках кривой у = 2 – х2
касательная к ней параллельна оси Ох.
(0; 2)
6) Какой угол (острый или тупой ) образует с
положительным направлением оси Ох касательная к
графику функции в точке с абсциссой х0.
а) – острый.
б) – тупой.

2. Проверка домашней работы.

Двое работают у доски во время устной работы.

3. Работа в группах.

Учитель выступает в роли консультанта. Порядок
выполнения заданий не играет роли.
Задача 1. Найти угол между касательными к
графику функции ,
проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.
Решение: . Найдем
тангенсы углов наклона касательных к
положительному направлению оси Ох.

– угол между
касательными;
;
;
.

Задача 2. Является ли прямая у=х-1 касательной
к кривой у=х3-2х+1?
Решение: Найдем общие точки графиков.
х3-2х+1=х-1.
х3-3х+2=0.
х=1 – корень.
Воспользуемся схемой Горнера.
1
-3
2
1
1
1
-2
х2 + х – 2 = 0.
х1= 1, х2 = -2.
у(1) = 0; у(-2) = – 3.
(1;0), (-2;-3) – общие точки.
Найдем угловые коэффициенты касательных в этих
точках:
.
k1= k2=, т.к. угловой коэффициент
прямой у=х-2 равен 1, то в точке (-2;-3) она не может
быть касательной.
Найдем уравнение касательной в точке (1;0)
у=1(х-1); у=х-1.
Ответ: у=х-1 – касательная в точке (1;0) к графику
функции у= х3-2х+1.

Задача 3. На параболе у=х2 взяты две
точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена
прямая. В какой точке параболы касательная будет
параллельна проведенной прямой?
Решение: у=х2 , (1;1), (3;9).
Найдем уравнение прямой .
4х – 4=у – 1.
у = 4х – 3.
Прямые параллельны, если их угловые
коэффициенты равны.
– угловой коэффициент
касательной в точке с абсциссой х0.
2х0 = 4.
х0 = 2.
у(2) = 4.
Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна
заданной прямой.

Задача 4. Составить уравнение касательной к
графику функции у=х3, х>0, отсекающей от
осей координат треугольник, площадь которого
равна .
Решение: Пусть (х0; у(х0)) – точка
касания . Составим уравнение касательной у=х03+3х02(х-х0).
Найдем точки пересечения этой прямой с осями
координат:
с Оу х=0. у= х03+3х03=-2х03
. В(0; – 2х03).
с Ох у=0. х03+3х02(х-х0)
=0.
х03+3х02х-3х03 =0.
3х02х= 2х03
.
А(; 0).
ОВ = 2х03; ОА = .
Sтреуг = ОВ*ОА.

х04 = 1.
х0 = 1 или х0 = – 1.
По условию х0 > 0 х0 = 1 – абсцисса точки касания.
Уравнение касательной у = 13 + 3*13(х –
1).
у = 3х – 2.
Ответ: у = 3х – 2.

4. Итог урока.

Тестовые задания:
В – I.
1. Найдите уравнение касательной к графику
функции в точке с
абсциссой х0 = – 1.
А) у=-2х-3; Б) у= 2х-1; В) у= -2х+3; Г) у= 2х+3.
2. К графику функции у=3(х+2) проведены две
параллельные касательные, одна из которых
проходит через точку графика с абсциссой х0=
– 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая
касательная касается графика данной функции.
А) – 2; Б) 2; В) 1; Г) – 3.
3. Напишите уравнение касательной к графику
функции f(x) = x2 – 4x + 5, если эта касательная
проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки
касания положительна.
А) у = 2х+4; Б) у = -2х+4; В) у = -4х+4; Г) у = 4х-3.
В – II.
1. Найдите уравнение касательной к графику
функции в точке с
абсциссой х0 = – 2.
А) у =2х-6; Б) у = 10х+12; В) у= 4х+8; Г) у= -10х+8.
2. К графику функции у=-4(х-3) проведены две
параллельные касательные, одна из которых
проходит через точку графика с абсциссой х0=
1. Найдите абсциссу точки, в которой другая
касательная касается графика данной функции.
А) – 1; Б) 5; В) 2; Г) – 3.
3. Напишите уравнение касательной к графику
функции f(x) = x2 + 3x + 5, если эта касательная
проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки
касания отрицательна.
А) у = 2х+1; Б) у = х+1; В) у = -х+1; Г) у = -2х-5.
Ключ:
I
1
2
3
В
Г
Б
II
1
2
3
Б
Б
В

5. Подведение итогов

.

6. Домашнее задание:

Найдите уравнение параболы f(x)=ax2 + bx + 1
касающейся прямой у=7х + 2 в точке М (1; 5). Ответ: f(x)=3×2
+ x + 1
Вычислите координаты точек пересечения с осью У
тех касательных к графику , которые образуют угол 1350 с
осью Х. Ответ: (0; 12); (0; 0)

В каких точках касательная к графику функции параллельна оси ох?

6 ответов на вопрос “В каких точках касательная к графику функции параллельна оси ох?”

Добавить комментарий для Panda__Pro Отменить ответ