Что такое иррациональное число и рациональное число примеры?

9 ответов на вопрос “Что такое иррациональное число и рациональное число примеры?”

  1. Graghma Ответить

    Помимо «рациональных чисел» нам известны и так называемые «иррациональные числа». Вкратце попробуем дать определение данным числам.
    Еще древние математики, желая вычислить диагональ квадрата по его сторонам, узнали о существовании иррационального числа.
    Исходя из определения о рациональных числах, можно выстроить логическую цепь и дать определение иррациональному числу.
    Итак, по сути, те действительные числа, которые не являются рациональными, элементарно и есть иррациональными числами.
    Десятичные дроби же, выражающие иррациональные числа, не периодичны и бесконечны.

    Примеры иррационального числа

    Рассмотрим для наглядности небольшой пример иррационально числа. Как мы уже поняли, бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными, к примеру:
    Число «-5,020020002… (прекрасно видно, что двойки разделены последовательностью из одного, двух, трех и т.д. нулей)
    Число «7,040044000444… (здесь ясно, что число четверок и количество нулей каждый раз цепочкой увеличивается на единицу).
    Всем известное число Пи (3,1415…). Да, да — оно тоже является иррациональным.
    Вообще все действительные числа являются как рациональными так и иррациональными. Говоря простыми словами, иррациональное число нельзя представить ввиде обыкновенной дроби х/у.

    Общее заключение и краткое сравнение между числами

    Мы рассмотрели каждое число по отдельности, осталось отличие между рациональным числом и иррациональным:
    Иррациональное число встречается при извлечении квадратного корня, при делении окружности на диаметр и т.д.
    Рациональное число представляет обыкновенную дробь.
    Заключим нашу статью несколькими определениями:
    Арифметическая операция, произведенная над рациональным числом, кроме деления на 0 (нуль), в конечном результате приведет тоже к рациональному числу.
    Конечный результат же, при совершении арифметической операции над иррациональным числом, может привести как к рациональному так и к иррациональному значению.
    Если же в арифметической операции принимают участие и те и другие числа (кроме деления или умножения на нуль), то результат нам выдаст иррациональное число.

  2. НеПодарок Ответить

    Когда число задано не в виде десятичной дроби, а в виде некоторого числового выражения, корня, логарифма и т.п., то ответить на вопрос, является ли оно иррациональным, во многих случаях достаточно сложно.
    Несомненно, при ответе на поставленный вопрос очень полезно знать, какие числа не являются иррациональными. Из определения иррациональных чисел следует, что иррациональными числами не являются рациональные числа. Таким образом, иррациональными числами НЕ являются:
    натуральные числа;
    целые числа;
    обыкновенные дроби;
    смешанные числа;
    конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.
    Также не является иррациональным числом любая композиция рациональных чисел, связанных знаками арифметических операций (+, −, ·, :). Это объясняется тем, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел является рациональным числом. Например, значения выражений и являются рациональными числами. Здесь же заметим, что если в подобных выражениях среди рациональных чисел содержится одно единственное иррациональное число, то значение всего выражения будет иррациональным числом. Например, в выражении число – иррациональное, а остальные числа рациональные, следовательно – иррациональное число. Если бы было рациональным числом, то из этого следовала бы рациональность числа , а оно не является рациональным.
    Если же выражение, которым задано число, содержит несколько иррациональных чисел, знаки корня, логарифмы, тригонометрические функции, числа π, e и т.п., то требуется проводить доказательство иррациональности или рациональности заданного числа в каждом конкретном случае. Однако существует ряд уже полученных результатов, которыми можно пользоваться. Перечислим основные из них.
    Доказано, что корень степени k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k-ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень задает иррациональное число. Например, числа и – иррациональные, так как не существует целого числа, квадрат которого равен 7, и не существует целого числа, возведение которого в пятую степень дает число 15. А числа и не являются иррациональными, так как и .
    Что касается логарифмов, то доказать их иррациональность иногда удается методом от противного. Для примера докажем, что log23 является иррациональным числом.
    Допустим, что log23 рациональное число, а не иррациональное, то есть его можно представить в виде обыкновенной дроби m/n. Свойства логарифма и свойства степени позволяют записать следующую цепочку равенств: . Последнее равенство невозможно, так как в его левой части нечетное число, а в правой части – четное. Так мы пришли к противоречию, значит, наше предположение оказалось неверным, и этим доказано, что log23 – иррациональное число.
    Заметим, что lna при любом положительном и отличном от единицы рациональном a является иррациональным числом. Например, и – иррациональные числа.
    Также доказано, что число ea при любом отличном от нуля рациональном a является иррациональным, и что число πz при любом отличном от нуля целом z является иррациональным. К примеру, числа – иррациональные.
    Иррациональными числами также являются тригонометрические функции sin, cos, tg и ctg при любом рациональном и отличном от нуля значении аргумента. Например, sin1, tg(−4), cos5,7, являются иррациональными числами.
    Существуют и другие доказанные результаты, на мы ограничимся уже перечисленными. Следует также сказать, что при доказательстве озвученных выше результатов применяется теория, связанная с алгебраическими числами и трансцендентными числами.
    В заключение отметим, что не стоит делать поспешных выводов относительно иррациональности заданных чисел. К примеру, кажется очевидным, что иррациональное число в иррациональной степени есть иррациональное число. Однако это не всегда так. В качестве подтверждения озвученного факта приведем степень . Известно, что – иррациональное число, а также доказано, что – иррациональное число, но – рациональное число. Также можно привести примеры иррациональных чисел, сумма, разность, произведение и частное которых есть рациональные числа. Более того, рациональность или иррациональность чисел π+e, π−e, π·e, ππ, πe и многих других до сих пор не доказана.

  3. Kefyn Ответить

    Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.
    Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос “рационально ли число?” является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.
    Если число задано в виде выражения, содержащего только рациональные числа и арифметические действия между ними, то результат выражения – рациональное число.
    Например, значение выражения 2·318-0,250,(3) является рациональным числом и равно 18.
    Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.
    Теперь разберемся со знаком корня.
    Оказывается, что число mn, заданное в видя корня степени n от числа m рационально лишь тогда, когда m является n-ой степенью какого-то натурального числа.
    Обратимся к примеру. Число 2 не является рациональным. Тогда как 9, 81 – рациональные числа. 9 и 81 – полные квадраты чисел 3 и 9 соответственно. Числа 199, 28, 151 не являются рациональными числами, так как числа под знаком корня не являются полными квадратами каких-либо натуральных чисел.
    Теперь возьмем более сложный случай. Является ли рациональным число 2435? Если возвести 3 в пятую степень, получается 243, поэтому исходное выражение можно переписать так: 2435=355=3. Следовательно, данное число рационально. Теперь возьмем число 1215. Это число нерационально, так как не существует натурального числа, возведение которого в пятую степень даст 121.
    Для того, чтобы узнать, является ли логарифм какого-то числа a по основанию b рациональным числом необходимо применить метод от противного. К примеру, узнаем, рационально ли число log25. Предположим, что данное число рационально. Если это так, то его можно записать в виде обыкновенной дроби log25=mn.По свойствам логарифма и свойствам степени справедливы следующие равенства:
    5=2log25=2mn5n=2m
    Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число log25 не является рациональным числом.
    Стоит отметить, что при определении рациональности и иррациональности чисел не стоит принимать скоропостижных решений. Например, результат произведения иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом. Наглядный пример: 2·2=2.
    Также существуют иррациональные числа, возведение которых в иррациональную степень дает рациональное число. В степени вида 2log23 основание и показатель степени являются иррациональными числами. Однако само число является рациональным: 2log23=3.

  4. AtomZ Ответить

    Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество рациональных чисел, которое принято обозначать буквой Q .
    Каждое из рациональных чисел можно представить в виде
    ,
    где m – целое число, а n – натуральное число.
    При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.
    Числа


    и т.п. являются примерами иррациональных чисел.
    Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.
    При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.
    Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.
    Множество вещественных чисел обозначают буквой R .

    Иррациональность числа

    Проведем доказательство иррациональности числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число является рациональным числом. Тогда существует дробь вида
    ,
    удовлетворяющая равенству

    и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.
    Используя данное равенство, получаем:


    Отсюда вытекает, что число m2 является четным числом, а, значит, и число m является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число m является нечетным числом, то найдется такое целое число k , которое удовлетворяет соотношению
    m = 2k + 1 .
    Следовательно,
    m2 = (2k + 1)2 =
    = 4m2 + 4k +1 ,
    т.е. m является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число m является четным числом. Значит, найдется такое целое число k , которое удовлетворяет соотношению
    m = 2k .
    Поэтому,


    Отсюда вытекает, что число n2 является четным, а, значит, и число n является четным числом.
    Итак, число m является четным, и число n является четным, значит, число 2 является общим делителем числителя и знаменателя дроби
    .
    Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению

    не существует. Следовательно, число  является иррациональным числом, что и требовалось доказать.

    Десятичные приближения иррациональных чисел
    с недостатком и с избытком

    Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число

    Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической  десятичной дробью.
    Последовательностью десятичных приближений числа с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.
    Если последний десятичный знак каждого десятичного приближения числа с недостатком увеличить на 1 , то получится десятичное приближение числа с избытком.
    Само число располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.
    Для числа возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:

    и т.д.
    Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.

    На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

  5. hvasnpure Ответить

    Немного теории

    Рациональное число – число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Любое рациональное число представимо в виде периодической бесконечной десятичной дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q.
    Если действительное число не является рациональным, то оно иррациональное число. Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа бесконечны и не периодичны. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I.
    Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена (ненулевой степени) с рациональными коэффициентами. Любое неалгебраическое число называется трансцендентным.
    Некоторые свойства:
    Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел Q и множество натуральных чисел N эквивалентны, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (все элементы множества рациональных чисел можно перенумеровать).
    Множество Q рациональных чисел является замкнутым относительно сложения, вычитания, умножения и деления, то есть сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными числами.
    Все рациональные числа являются алгебраическими (обратное утверждение – неверное).
    Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
    Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
    Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число (а значит, и бесконечное множество иррациональных чисел).
    Множество иррациональных чисел несчётно.
    При решении задач бывает удобно вместе с иррациональным числом a + bvc (где a, b – рациональные числа, с – целое, не являющееся квадратом натурального числа) рассмотреть «сопряжённое» с ним число a – bvc: его сумма и произведение с исходным – рациональные числа. Так что a + bvc и a – bvc являются корнями квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

    Задачи с решениями

    1. Докажите, что
    а) число v7;
    б) число lg 80;
    в) число v2 + 3v3;
    является иррациональным.
    Решение

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *