Если дискриминант равен 0 то сколько корней?

6 ответов на вопрос “Если дискриминант равен 0 то сколько корней?”

  1. ALDEBARAN Ответить

    Эта подсказка поможет легко запомнить формулу корней квадратного уравнения (точнее, корня, ведь в этом случае он один), если дискриминант равен 0.
    Учить эту формулу не нужно!
    Итак, в процессе решения квадратного уравнения

    находим дискриминант квадратного уравнения по формуле:

    Если дискриминант больше нуля (D>0), то квадратное уравнение имеет два корня:

    Достаточно запомнить только одну эту формулу, и использовать ее же, если дискриминант равен 0. Ведь квадратный корень из нуля равен нулю, а от прибавления или вычитания нуля число не изменится:

    Таким образом, если дискриминант равен 0 (D=0), корень квадратного уравнения равен

  2. Mazukora Ответить

    6 июля 2011
    Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
    Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ? 0.
    Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
    Не имеют корней;
    Имеют ровно один корень;
    Имеют два различных корня.
    В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

    Дискриминант

    Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 ? 4ac.
    Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
    Если D < 0, корней нет; Если D = 0, есть ровно один корень; Если D > 0, корней будет два.
    Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
    Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
    x2 ? 8x + 12 = 0;
    5×2 + 3x + 7 = 0;
    x2 ? 6x + 9 = 0.
    Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
    a = 1, b = ?8, c = 12;
    D = (?8)2 ? 4 · 1 · 12 = 64 ? 48 = 16
    Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
    a = 5; b = 3; c = 7;
    D = 32 ? 4 · 5 · 7 = 9 ? 140 = ?131.
    Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
    a = 1; b = ?6; c = 9;
    D = (?6)2 ? 4 · 1 · 9 = 36 ? 36 = 0.
    Дискриминант равен нулю — корень будет один.
    Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
    Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

    Корни квадратного уравнения

    Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

    Основная формула корней квадратного уравнения
    Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо. Задача. Решить квадратные уравнения: x2 ? 2x ? 3 = 0; 15 ? 2x ? x2 = 0; x2 + 12x + 36 = 0. Первое уравнение: x2 ? 2x ? 3 = 0 ? a = 1; b = ?2; c = ?3; D = (?2)2 ? 4 · 1 · (?3) = 16. D > 0 ? уравнение имеет два корня. Найдем их:

    Второе уравнение:
    15 ? 2x ? x2 = 0 ? a = ?1; b = ?2; c = 15;
    D = (?2)2 ? 4 · (?1) · 15 = 64.
    D > 0 ? уравнение снова имеет два корня. Найдем их
    \[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
    Наконец, третье уравнение:
    x2 + 12x + 36 = 0 ? a = 1; b = 12; c = 36;
    D = 122 ? 4 · 1 · 36 = 0.
    D = 0 ? уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
    \[x=\frac{-12+\sqrt{0}}{2\cdot 1}=-6\]
    Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

    Неполные квадратные уравнения

    Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
    x2 + 9x = 0;
    x2 ? 16 = 0.
    Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
    Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
    Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
    Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:

    Решение неполного квадратного уравнения
    Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (?c/a) ? 0. Вывод:
    Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (?c/a) ? 0, корней будет два. Формула дана выше;
    Если же (?c/a) < 0, корней нет. Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (?c/a) ? 0. Достаточно выразить величину x2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще. Теперь разберемся с уравнениями вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
    Вынесение общего множителя за скобку
    Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
    Задача. Решить квадратные уравнения:
    x2 ? 7x = 0;
    5×2 + 30 = 0;
    4×2 ? 9 = 0.
    x2 ? 7x = 0 ? x · (x ? 7) = 0 ? x1 = 0; x2 = ?(?7)/1 = 7.
    5×2 + 30 = 0 ? 5×2 = ?30 ? x2 = ?6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
    4×2 ? 9 = 0 ? 4×2 = 9 ? x2 = 9/4 ? x1 = 3/2 = 1,5; x2 = ?1,5.

  3. VideoAnswer Ответить

  4. VideoAnswer Ответить

  5. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *