Как определить проекцию вектора скорости на ось?

9 ответов на вопрос “Как определить проекцию вектора скорости на ось?”

  1. мамка твоя Ответить

    В векторной форме уравнения записываются легко и кратко. Но для практических вычислений нужно знать проекции вектора на оси координат выбранной системы отсчета. Положение точки А (рис. 2.8) задается радиус-вектором г . Спроецируем вектор г на оси х,у, z.

    Рис. 2.8. Вектор перемещения точки А и её скорость 1)
    Понятно, что х, у9 z зависят от времени t, т. е. *(/), y(t), z(t). Зная зависимость этих координат от времени (закон движения точки), можно найти в каждый момент времени скорость точки.
    Проекции вектора скорости и на оси x,y9z в обозначениях Лейбница:

    г dr
    Эти три равенства эквивалентны векторному равенству и = —.
    d /
    Согласно общей формуле (2.2.2) модуль вектора скорости

    Так как скорость – величина векторная, то её можно представить с помощью единичных векторов i, j, k :

    Ускорение и его составляющие

    В произвольном случае движения скорость нс остается постоянной. Быстрота изменения скорости по времени и направлению характеризуется ускорением
    Ускорение – величина векторная. При криволинейном движении и изменяется также и по направлению. В какую сторону? С какой скоростью? Выражение (2.3.8) на эти вопросы не отвечает.
    Введем единичный вектор т (рис. 2.9), связанный с точкой А и направленный по касательной к траектории движения точки А (векторы т и и в точке А совпадают). Тогда можно записать:
    1 I
    о = от,
    где о = |о| – модуль вектора скорости.

    Рис. 2.9. К выводу тангенциальной составляющей ускорение: единичный вектор х направлен по касательной к траектории
    Найдем ускорение:

    Получаем два слагаемых ускорения: aх – тангенциальное ускоре-
    1 w 1
    пие, совпадающее с направлением о в данной точке, ап – нормальное ускорение, или центростремительное, т. к. направлено оно к центру кривизны, перпендикулярно вектору т .

    где do/dt – скорость изменения модуля вектора скорости о.
    Итак, az показывает изменение вектора скорости по величине:
    • если do/d/ > 0, то аг направлено в ту же сторону, что и вектор о, т. е. ускоренное движение;
    • если do/d/< 0, то ат направлено в противоположную сторону о, т. е. замедленное движение;
    • при do/dt = О ах= 0, о = const – движение с постоянной по модулю скоростью.
    Рассмотрим подробнее втопое слагаемое уравнения (2.3.9):

    Быстрота изменения направления касательной к траектории (dx/d/) определяется скоростью движения точки по окружности и степенью искривленности траекторий (рис. 2.9, 2.10).
    Степень искривленности плоской кривой характеризуется кривизной С. Радиус кривизны г — радиус такой окружности, которая сливается с кривой в данной точке на бесконечно малом ее участке ds.
    Центры таких окружностей – центры кривизны т. О и О’.


    Рис. 2.10. К выводу нормальной составляющей ускорения, показывающей быстроту изменения направления касательной к траектории
    Скорость изменения направления касательной можно выразить как произведение скорости изменения угла на единичный вектор, показывающий направление изменения угла:

    1
    здесь п – единичный вектор, направленный перпендикулярно касательной (т) в данной точке, т. е. по радиусу к центру кривизны.
    За время At материальная точка перемещается вдоль траектории на расстояние ds в пределе (при At —> 0), центры кривизны О и О’ сливаются и угол поворота Д< р равен элементарному углу dep, который определяет поворот dx. Из (2.3.11) следует, что dep = As/г, но т. к. As = ud/, то d(p = ud///
    _ dq> d dx d r dx i)2 r
    Tогда — = —, следовательно — = — n ; наконец, и — = — n , т. с.
    At г At г At г

    Нормальное ускорение показывает быстроту изменения направления вектора скорости. Модуль нормального ускорения

    Центростремительным называют ускорение, когда движение происходит по окружности. А когда движение происходит по произвольной кривой, говорят, нормальное ускорение, перпендикулярное к касательной в любой точке траектории.
    Итак, возвращаясь к выражению (2.3.9), можно записать, что суммарный вектор ускорения при движении точки вдоль плоской кривой равен:

    На рис. 2.11 изображено взаимное расположение векторов ускорения:

    Рис. 2.11. Суммарное ускорение, нормальная и тангенциальная составляющие ускорения
    Как видно из этого рисунка, модуль общего ускорения равен:

    Рассмотрим несколько предельных (частных) случаев:
    • аТ = 0; ап = 0 – равномерное прямолинейное движение;
    • ах = const ;ап = 0 – равноускоренное прямолинейное движение;
    • ах – 0; ап = const – равномерное движение по окружности.
    Прямая задача кинематики сводится к определению кинематических характеристик по известному закону движения.
    При движении с постоянным ускорением (а = const)

    Если и = о0 ± at (а = const), то

    Обратная задача кинематики заключается в нахождении закона движения по известной скорости (ускорению) и начальному кинематическому состоянию.
    Пусть нам известно ускорение точки в каждый момент времени.
    l2
    По определению имеем a(t) =
    т. к.

    отсюда u(/) = u(f0)+Jtf(/)d/,
    ‘i

  2. Владюха_Ростов Ответить

    Чтобы найти проекции вектора скорости на эти направления, можно воспользоваться указанным выше свойством проекции вектора скорости на произвольную неподвижную ось, или же непосредственно исходить из формул преобразования вектора при переходе от одной системы координат к другой. Мы применим здесь оба способа.
     [9]
    Чему равны проекции вектора скорости точки на оси вых координат.
     [10]
    Чему равны проекции вектора скорости точки на естественные оси.
     [11]
    Итак, проекции вектора скорости точки на неподвижные оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки.
     [12]
    Взяв – проекции векторов скорости молекул на линию их центров и перпендикулярно ей, получим для каждой молекулы по две составляющие: ( ylc, i ijj, ( УЗС уз 1) – Если тангенциальные силы в момент столкновения отсутствуют, то составляющие УЦ и y2j при столкновении не изменятся. Остается рассмотреть изменение составляющих, направленных вдоль линии центров.
     [13]
    Следовательно, проекция вектора скорости маятника Фуко на плоскость Оху вращается с постоянной отрицательной угловой скоростью, равной по модулю со sin ср. Это обозначает, что с такой угловой скоростью вращается мгновенная плоскость колебаний маятника Фуко.
     [14]
    При отклонении проекции вектора скорости от указанного направления изменяются коэффициенты теплоотдачи нитей, вследствие чего изменяется их температура и сопротивление. В измерительной диагонали моста появляется напряжение разбаланса, которое через переключатель рода работы П1 подается на вибропреобразователь ВП.
     [15]
    Страницы:  
       1
       2
       3
       4

  3. Malosius Ответить

    3.1. Равнопеременное движение по прямой.3.1.1. Равнопеременное движение по прямой — движение по прямой с постоянным по модулю и направлению ускорением: 3.1.2. Ускорение () — физическая векторная величина, показывающая, на сколько изменится скорость за 1 с.В векторном виде:

    где — начальная скорость тела, — скорость тела в момент времени t.В проекции на ось Ox:

    где — проекция начальной скорости на ось Ox, — проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t.Знаки проекций зависят от направления векторов и оси Ox.




    3.1.3. График проекции ускорения от времени.При равнопеременном движении ускорение постоянно, поэтому будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис.):
    Значение ускорения: чем дальше от оси времени лежит прямая, тем больше модуль ускорения 3.1.4. Скорость при равнопеременном движении.В векторном виде:

    В проекции на ось Ox:

    Для равноускоренного движения:

    Для равнозамедленного движения:

    3.1.5. График проекции скорости в зависимости от времени.График проекции скорости от времени — прямая линия.

    Направление движения: если график (или часть его) находятся над осью времени, то тело движется в положительном направлении оси Ox.Значение ускорения: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль ускорения; где — изменение скорости за время Пересечение с осью времени: если график пересекает ось времени, то до точки пересечения тело тормозило (равнозамедленное движение), а после точки пересечения начало разгоняться в противоположную сторону (равноускоренное движение).
    3.1.6. Геометрический смысл площади под графиком в осях Площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox — время — это путь, пройденный телом.

    На рис. 3.5 нарисован случай равноускоренного движения. Путь в данном случае будет равен площади трапеции:
    (3.9)?3.1.7. Формулы для расчета пути
    Равноускоренное движениеРавнозамедленное движение (3.10) (3.12) (3.11) (3.13) (3.14)
    Все формулы, представленные в таблице, работают только при сохранении направления движения, то есть до пересечения прямой с осью времени на графике зависимости проекции скорости от времени.Если же пересечение произошло, то движение проще разбить на два этапа:до пересечения (торможение):


    После пересечения (разгон, движение в обратную сторону)




    В формулах выше — время от начала движения до пересечения с осью времени (время до остановки), — путь, который прошло тело от начала движения до пересечения с осью времени, — время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, — путь, который прошло тело в обратном направлении за время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, — модуль вектора перемещения за все время движения, L — путь, пройденный телом за все время движения.
    3.1.8. Перемещение за -ую секунду.За время тело пройдет путь:

    За время тело пройдет путь:

    Тогда за -ый промежуток тело пройдет путь:

    За промежуток можно принимать любой отрезок времени. Чаще всего с.Если то

    Тогда за 1-ую секунду тело проходит путь:

    За 2-ую секунду:

    За 3-ю секунду:

    и т. д.Если внимательно посмотрим, то увидим, что и т. д.
    Таким образом, приходим к формуле:

    Словами: пути, проходимые телом за последовательные промежутки времени соотносятся между собой как ряд нечетных чисел, и это не зависит от того, с каким ускорением движется тело. Подчеркнем, что это соотношение справедливо при 3.1.9. Уравнение координаты тела при равнопеременном движенииУравнение координаты

    Знаки проекций начальной скорости и ускорения зависят от взаимного расположения соответствующих векторов и оси Ox.Для решения задач к уравнению необходимо добавлять уравнение изменения проекции скорости на ось:

    3.2. Графики кинематических величин при прямолинейном движении
    3.3. Свободное падение телаПод свободным падением подразумевается следующая физическая модель:1) Падение происходит под действием силы тяжести:2) Сопротивление воздуха отсутствует (в задачах иногда пишут «сопротивлением воздуха пренебречь»);3) Все тела, независимо от массы падают с одинаковым ускорением (иногда добавляют — «независимо от формы тела», но мы рассматриваем движение только материальной точки, поэтому форма тела уже не учитывается);4) Ускорение свободного падения направлено строго вниз и на поверхности Земли равно (в задачах часто принимаем для удобства подсчетов);3.3.1. Уравнения движения в проекции на ось OyВ отличии от движения по горизонтальной прямой, когда далеко не всех задач происходит смена направления движения, при свободном падении лучше всего сразу пользоваться уравнениями, записанными в проекциях на ось Oy.Уравнение координаты тела:

    Уравнение проекции скорости:

    Как правило, в задачах удобно выбрать ось Oy следующим образом:Ось Oy направлена вертикально вверх;Начало координат совпадает с уровнем Земли или самой нижней точкой траектории.При таком выборе уравнения и перепишутся в следующем виде:


    3.4. Движение в плоскости Oxy.
    Мы рассмотрели движение тела с ускорением вдоль прямой. Однако этим равнопеременное движение не ограничивается. Например, тело, брошенное под углом к горизонту. В таких задачах необходимо учитывать движение сразу по двум осям:

    Или в векторном виде:

    И изменение проекции скорости на обе оси:

    3.5. Применение понятия производной и интегралаМы не будем приводить здесь подробное определение производной и интеграла. Для решения задач нам понадобятся лишь небольшой набор формул.Производная:



    где A, B и то есть постоянные величины.Интеграл:



    Теперь посмотрим, как понятие производной и интеграла применимо к физическим величинам. В математике производная обозначается «’», в физике производная по времени обозначается «•» над функцией.Скорость:

    то есть скорость является производной от радиус-вектора.Для проекции скорости:

    Ускорение:

    то есть ускорение является производной от скорости.Для проекции ускорения:

    Таким образом, если известен закон движения то легко можем найти и скорость и ускорение тела.Теперь воспользуемся понятием интеграла.Скорость:

    то есть, скорость можно найти как интеграл по времени от ускорения.

    Радиус-вектор:

    то есть, радиус-вектор можно найти, взяв интеграл от функции скорости.

    Таким образом, если известна функция то легко можем найти и скорость, и закон движения тела.Константы в формулах определяются из начальных условий — значения и в момент времени
    3.6. Треугольник скоростей и треугольник перемещений3.6.1. Треугольник скоростейВ векторном виде при постоянном ускорении закон изменения скорости имеет вид (3.5):

    Эта формула означает, что вектор равен векторной сумме векторов и Векторную сумму всегда можно изобразить на рисунке (см. рис.).
    В каждой задаче, в зависимости от условий, треугольник скоростей будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.3.6.2. Треугольник перемещенийВ векторном виде закон движения при постоянном ускорении имеет вид:

    При решении задачи можно выбирать систему отсчета наиболее удобным образом, поэтому не теряя общности, можем выбрать систему отсчета так, что то есть начало системы координат помещаем в точку, где в начальный момент находится тело. Тогда

    то есть вектор равен векторной сумме векторов и Изобразим на рисунке (см. рис.).
    Как и в предыдущем случае в зависимости от условий треугольник перемещений будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.

  4. Рэйн-Майнкрафт Ответить

    Скорость
    (v) – физическая величина, численно равна
    пути (s), пройденного телом за единицу
    времени (t).

    ПутьПуть
    (S) – длина траектории, по которой двигалось
    тело, численно равен произведению
    скорости (v) тела на время (t) движения.

    Время
    движенияВремя
    движения (t) равно отношению пути (S),
    пройденного телом, к скорости (v) движения.

    Средняя
    скоростьСредняя
    скорость (vср)
    равна отношению суммы участков пути
    (s1 s2,
    s3,
    …), пройденного телом, к промежутку
    времени (t1+
    t2+
    t3+
    …), за который этот путь пройден.

    Средняя
    скорость     –
    это отношение длины пути,
    пройденного телом, ко времени,
    за которое этот путь был пройден.
    Средняя
    скорость при
    неравномерном движении по прямой: это
    отношение всего пути ко всему времени.
    Два
    последовательных этапа с разными
    скоростями: где
    При решении
    задач –
    сколько этапов движения столько будет
    составляющих: 
    Проекции
    вектора перемещения на оси координатПроекция
    вектора перемещения на ось ОХ:

    Проекция
    вектора перемещения на ось OY:

    Проекция
    вектора на ось равна нулю, если вектор
    перпендикулярен оси.

    Знаки
    проекций перемещения: проекцию считают
    положительной, если движение от проекции
    начала вектора к проекции конца происходит
    по направлению оси, и отрицательной,
    если против оси. В данном примере 
    Модуль
    перемещения     –
    это длина вектора перемещения:

    По
    теореме Пифагора:

    Проекции
    перемещения и угол наклона

    В
    данном примере:

    Уравнение
    координаты (в общем виде):


    Радиус-вектор —
    вектор, начало которого совпадает с
    началом координат, а конец — с положением
    тела в данный момент времени. Проекции
    радиус-вектора на оси координат определяют
    координаты тела в данный момент времени.
    Радиус-вектор
    позволяет задать положение материальной
    точки в заданной системе
    отсчета    :

    Равномерное
    прямолинейное движение – определение
    Равномерное
    прямолинейное движение     —
    движение, при котором тело за любые
    равные промежутки времени, совершает
    равные перемещения.
    Скорость
    при равномерном прямолинейном движении    .
    Скорость —
    векторная физическая величина, которая
    показывает, какое перемещение совершает
    тело за единицу времени.
    В
    векторном виде:

    В
    проекциях на ось ОХ: 

    Дополнительные
    единицы измерения скорости:
    1
    км/ч = 1000 м/3600 с,
    1
    км/с = 1000 м/с,
    1
    см/с = 0,01 м/с,
    1
    м/мин =1 м/60 с.
    Измерительный
    прибор — спидометр — показывает модуль
    скорости.
    Знак
    проекции скорости зависит от направления
    вектора скорости и оси координат:

    График
    проекции скорости представляет собой
    зависиость проекции скорости от времени:

    График
    скорости при равномерном прямолинейном
    движении     —
    прямая, параллельная оси времени (1, 2,
    3).
    Если
    график лежит над осью времени (.1), то
    тело движется по направлению оси ОХ.
    Если график расположен под осью времени,
    то тело движется против оси ОХ (2, 3).
    Чем
    дальше график от оси времени, тем больше
    модуль скорости (3).
    Геометрический
    смысл перемещения.

    При
    равномерном прямолинейном движении
    перемещение определяют по формуле .
    Такой же результат получим, если вычислим
    площадь фигуры под графиком скорости
    в осях.
    Значит, для определения пути и модуля
    перемещения при прямолинейном движении
    необходимо вычислять площадь фигуры
    под графиком скорости в осях:

    График
    проекции перемещения     —
    зависимость проекции перемещения от
    времени.

    График
    проекции перемещения при равномерном
    прямолинейном движении —
    прямая, выходящая из начала координат
    (1, 2, 3).
    Если
    прямая (1) лежит над осью времени, то тело
    движется по направлению оси ОХ, а если
    под осью (2, 3), то против оси ОХ.
    Чем
    больше тангенс утла наклона (1) графика,
    тем больше модуль скорости.
    График
    координаты     —
    зависимость координаты тела от времени:

    График
    координаты при равномерном прямолинейном
    движении — прямые (1, 2, 3).
    Если
    с течением времени координата увеличивается
    (1, 2), то тело движется по направлению
    оси ОХ; если координата уменьшается
    (3), то тело движется против направления
    оси ОХ.
    Чем
    больше тангенс угла наклона (1), тем
    больше модуль скорости.
    Если
    графики координат двух тел пересекаются,
    то из точки пересечения следует опустить
    перпендикуляры на ось времени и ось
    координат.
    Относительность
    механического движенияПод
    относительностью мы понимаем зависимость
    чего-либо от выбора системы отсчета.
    Например, покой относителен; движение
    относительно и положение тела относительно.
    Правило
    сложения перемещений.     Векторная
    сумма перемещений

    где —
    перемещение тела относительно подвижной
    системы отсчета (ПСО); —
    перемещение ПСО относительно неподвижной
    системы отсчета (НСО); —
    перемещение тела относительно неподвижной
    системы отсчета (НСО).
    Векторное
    сложение:     
    Сложение
    векторов, направленных вдоль одной
    прямой:

    Сложение
    векторов, перпендикулярных друг другу     

    По теореме
    Пифагора 
    Сложение
    векторов, расположенных под углом      друг
    к другу

    Правило
    сложения скоростей.     Векторная
    сумма скоростей:

    где —
    скорость тела относительно подвижной
    системы отсчета (ПСО); —
    скорость ПСО относительно неподвижной
    системы отсчета (НСО); —
    скорость тела относительно неподвижной
    системы отсчета (НСО).
    Относительная
    скорость.     Векторная
    разность скоростей:


    где —
    скорость первого тела относительно
    второго (относительная скорость); —
    скорость первого тела;—
    скорость второго тела.
    Векторное
    вычитание:

    Вычитание
    векторов, направленных по одной прямой:

    Вычитание
    векторов перпендикулярных друг другу     

    Вычитание
    векторов, расположенных под углом      друг
    к другу:
     

    6

  5. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *