Можно ли расставить в таблице 4х4 различные натуральные числа?

2 ответов на вопрос “Можно ли расставить в таблице 4х4 различные натуральные числа?”

  1. Feran Ответить

    Ответ оставил Гость
    Таблица 4х6, то есть всего 24 натуральных числа, не превосходящие 30, без повторений.
    Очевидно, что единицу использовать нельзя, поскольку у любого натурального числа с 1 только один общий делитель = 1, а делителей, которые превосходят 1, нет.
    Рассмотрим теперь простые числа, не превосходящие 30.
    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
    Сосед по общей стороне клеточки, для указанных простых чисел, может быть только кратным этому простому числу (причем не равен самому числу).
    Рассмотрим указанные простые числа по убыванию:
    29, кратные натуральные для 29 это 58=29*2>30, (или еще больше 29*3, 29*4 и т. д.), то есть 29 не годиться для записи в таблицу.
    23, кратные натуральные для 23 это 46=29*2>30 (или еще больше), то есть 23 для записи в таблицу не годиться.
    19 и 17 – тоже не годятся по той же причине.
    13 – кратные натуральные для 13, это 26=13*2, далее 13*3 = 39 – и другие уже не подходят (т.к. больше 30). То есть для 13 лишь один кандидат в соседи – это 26. Но соседей у клеточки всегда два или более. Поэтому 13 – тоже не подходит.
    По той же причине 11 – тоже не подходит (один кандидат в соседи = 22, другие же превосходят 30).
    Таким образом из первых 30 натуральных чисел не подходят следующие: 1, 29, 23, 19, 17, 13, 11 – это уже 7 чисел не подходят. Осталось всего 30-7 = 23 числа. Но 23 числа – это слишком мало, чтобы заполнить таблицу 4*6, которой требуется 24 числа.
    Ответ. Нельзя.

  2. Rexeye Ответить

    Начнём от противного. Предположим мы разложили в таблицу из 24-ёх ячеек разные натуральные числа не превышающие 30, наибольший общий делитель которых больше 1. Обозначим его Х. Если Х состоит из одного простого множителя (число называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) то легко видеть, что наибольшее количество чисел из нат. чисел с 1 по 30, которые делятся на Х, при Х=2, но при Х=2 этих чисел не больше 15.
    Пусть Х состоит из двух простых множителей. Видно, что наибольшее количество чисел из нат. чисел с 1 по 30, которые делятся на Х, при Х=2*2. Но таких чисел не более 15. Если, например, Х=2*3, то таких чисел не более 10 (т. к. на 3 может делится только каждое 3 число из нат. чисел от 1 до 30).
    Пусть Х состоит из трех простых множителей. Единственный возможный вариант, когда Х<=30, это когда Х=2*3*5=30. Но, в таком случае, из этих нат. чисел существует только одно число, которое делится на Х, это 30. Поэтому, при любом Х, количество чисел из нат. чисел с 1 по 30, которые делятся на Х, не превышает 15. Следовательно, разложить в таблице из 24-ёх ячеек, эти числа невозможно, чтобы их общий делитель был больше 1. Что и требовалось доказать.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *