О каких теоретико множественных понятиях идет речь в следующих заданиях?

12 ответов на вопрос “О каких теоретико множественных понятиях идет речь в следующих заданиях?”

  1. Телохранитель Ангела Ответить

    18. Из множества К = {216, 546, 153, 171, 234} выпишите числа, которые: 1) делятся на 3; 2) делятся на 9; 3) не делятся на 4; 4) не делятся на 5. Есть ли среди полученных подмножеств такое, которое равно множеству К?
    19. Установите, в каком отношении находятся множества решений неравенств и сами неравенства: 1) х < 12 и х < 10; 2) х 15; 3) х 10; 4) х -36. 20. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А и В, если: 1) А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 3; 2) А - множество квадратов, B- множество прямоугольников; 3) А – множество квадратов, В – множество прямоугольных треугольников; 4) А – множество квадратов, B – множество прямоугольников с равными сторонами. 21. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А, В и С, если известно, что: 1) А I В и В I А; 2) А I В, С пересекается с В, но не пересекается с А; 3) А, В и С пересекаются, но ни одно не является подмножеством другого. Творческие задания
    1. Запишите множество, состоящее из скаута и отряда, командиром которого он является.
    2. Покажите, что, выполняя задание: «Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза», учащиеся встречаются с двумя способами задания множества.
    3. Покажите, что, выполняя задание: «Какое число лишнее в ряду: 470, 720, 330, 400, 510, 640», учащиеся, по существу, пользуются понятиями характеристического свойства элементов множества и принадлежности элемента множеству.
    4. Приведите примеры трех заданий из учебников математики для начальных классов, при выполнении которых осуществляется переход от одного способа задания множества к другому.
    5. О каких теоретико–множественных понятиях идет речь в следующих заданиях, выполняемых учащимися начальных классов: а) Запиши по порядку числа от 10 до 19. Подчеркни и прочитай четные числа; б) Из ряда чисел от 1 до 20 выпиши по порядку числа, которые делятся на 5; в) Запиши три числа, которые при делении на 7 дают в остатке 4.
    6. Изобразите на диаграмме Эйлера – Венна следующие множества: множество всех отличников 3–Б класса школы № 5, множество мальчиков этого же класса, множество девочек этого же класса. Покажите на диаграмме фигуру, изображающую множество всех учеников 3-Б класса, фигуру, изображающую множество мальчиков-отличников.
    ТЕМА 3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ (ЛЕКЦИЯ)
    Содержание
    1. Пересечение множеств
    2. Объединение множеств
    3. Законы пересечения и объединения множеств (С/Р)
    4. Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого
    Основная литература [ ];
    Дополнительная литература [ ]

    Пересечение множеств
    Из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества. Считают, что эти новые множества являются результатом операций над множествами.
    Пример
    Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8 } и В = {5, 6, 7, 8, 9}.
    Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В: С = {6, 8 }. Так, полученное множество С называют пересечением множеств А и В.
    Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
    Пересечение множеств А и В обозначают А C В. Тогда определение можно представить в символической записи:
    х I A C B U х I A и х I B.
    Если изображать множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной частью.
    В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А C В = ?.
    Замечание. Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением
    O Нахождение пересечения множеств в конкретных случаях
    · Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А C В, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат А и В, т.е. их общие элементы.
    · Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А C В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
    Пример
    Найдем пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – двузначных натуральных чисел.
    Характеристическое свойство элементов множества А – «быть четным натуральным числом», характеристическое свойство элементов множества В – « быть двузначным натуральным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четным и двузначным натуральным числом». Таким образом, множество А C В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 I А C В, поскольку число 24 четное и двузначное.
    Пример
    Найти пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4. Данные множества А и В бесконечные, и множество В – подмножество множества А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А и множеству В, будут элементы множества В. Следовательно, А C В = В.

    Объединение множеств
    Для того, чтобы объяснить школьнику, что 2 + 3 = 5, учитель берет 2 красных кружка и 3 синих. Просит перечислить эти кружки, затем предлагает к красным кружкам придвинуть синие (т.е. объединить эти две совокупности, два множества) и пересчитать все кружки совокупности. Устанавливается, что их 5, т.е. 2 +3 = 5. Таким образом, сложение чисел опирается на операцию объединения двух множеств.
    В рассмотренном примере объединялись множества, не имеющие общих элементов. В математике приходится выполнять объединение и пересекающихся множеств.
    Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
    Объединение множеств А и В обозначают A E B. В символической записи: х I A E B U х IA или х I B.
    Если изобразить пересекающиеся множества при помощи кругов Эйлера, то их объединение изобразится заштрихованной областью (рис. 1). Если множества А и В не пересекаются, то их объединение изображают так (рис. 2).

    Рис 1. Рис. 2.

  2. Landardin Ответить

    Творческие задания
    1. Запишите множество, состоящее из скаута и отряда, командиром которого он является.
    2. Покажите, что, выполняя задание: «Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза», учащиеся встречаются с двумя способами задания множества.
    3. Покажите, что, выполняя задание: «Какое число лишнее в ряду: 470, 720, 330, 400, 510, 640», учащиеся, по существу, пользуются понятиями характеристического свойства элементов множества и принадлежности элемента множеству.
    4. Приведите примеры трех заданий из учебников математики для начальных классов, при выполнении которых осуществляется переход от одного способа задания множества к другому.
    5. О каких теоретико–множественных понятиях идет речь в следующих заданиях, выполняемых учащимися начальных классов: а) Запиши по порядку числа от 10 до 19. Подчеркни и прочитай четные числа; б) Из ряда чисел от 1 до 20 выпиши по порядку числа, которые делятся на 5; в) Запиши три числа, которые при делении на 7 дают в остатке 4.
    6. Изобразите на диаграмме Эйлера – Венна следующие множества: множество всех отличников 3–Б класса школы № 5, множество мальчиков этого же класса, множество девочек этого же класса. Покажите на диаграмме фигуру, изображающую множество всех учеников 3-Б класса, фигуру, изображающую множество мальчиков-отличников.
    ТЕМА 2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
    Содержание
    1. Пересечение множеств.
    2. Объединение множеств.
    3. Законы пересечения и объединения множеств.
    4. Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого.
    5. Понятие разбиения множества на классы.
    6. Декартово произведение множеств.
    Основная литература [7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];
    Дополнительная литература [82, 87, 92]

    Пересечение множеств
    A A
    В
    CB
    Из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества. Считают, что эти новые множества являются результатом операций над множествами.
    Пример
    Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8 } и В = {5, 6, 7, 8, 9}.
    Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В: С = {6, 8 }. Так, полученное множество С называют пересечением множеств А и В.
    Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
    Пересечение множеств А и В обозначают А C В. Тогда определение можно представить в символической записи:
    х I A C B U х I A и х I B.
    Если изображать множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной частью.
    В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А C В = ?.
    Замечание. Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением
    O Нахождение пересечения множеств в конкретных случаях
    · Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти АCВ, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат А и В, т.е. их общие элементы.
    · Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А C В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
    Пример
    Найдем пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – двузначных натуральных чисел.
    Характеристическое свойство элементов множества А – «быть четным натуральным числом», характеристическое свойство элементов множества В – «быть двузначным натуральным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четным и двузначным натуральным числом». Таким образом, множество А C В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 I АCВ, поскольку число 24 четное и двузначное.
    Пример
    Найти пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4. Данные множества А и В бесконечные, и множество В – подмножество множества А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А и множеству В, будут элементы множества В. Следовательно, А C В = В.

    Объединение множеств
    Для того, чтобы объяснить школьнику, что 2 + 3 = 5, учитель берет 2 красных кружка и 3 синих. Просит перечислить эти кружки, затем предлагает к красным кружкам придвинуть синие (т.е. объединить эти две совокупности, два множества) и пересчитать все кружки совокупности. Устанавливается, что их 5, т.е. 2 +3 = 5. Таким образом, сложение чисел опирается на операцию объединения двух множеств.
    В рассмотренном примере объединялись множества, не имеющие общих элементов. В математике приходится выполнять объединение и пересекающихся множеств.
    Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
    Объединение множеств А и В обозначают A E B. В символической записи: х I A E B U х IA или х I B.
    Если изобразить пересекающиеся множества при помощи кругов Эйлера, то их объединение изобразится заштрихованной областью (рис. 1). Если множества А и В не пересекаются, то их объединение изображают так (рис. 2).
    A
    В
    A
    В
    Рис 1. Рис. 2.

  3. YanFox Ответить

    18. Из множества К = {216, 546, 153, 171, 234} выпишите числа, которые: 1) делятся на 3; 2) делятся на 9; 3) не делятся на 4; 4) не делятся на 5. Есть ли среди полученных подмножеств такое, которое равно множеству К?
    19. Установите, в каком отношении находятся множества решений неравенств и сами неравенства: 1) х < 12 и х < 10; 2) х 15; 3) х 10; 4) х -36. 20. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А и В, если: 1) А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 3; 2) А - множество квадратов, B- множество прямоугольников; 3) А – множество квадратов, В – множество прямоугольных треугольников; 4) А – множество квадратов, B – множество прямоугольников с равными сторонами. 21. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А, В и С, если известно, что: 1) А I В и В I А; 2) А I В, С пересекается с В, но не пересекается с А; 3) А, В и С пересекаются, но ни одно не является подмножеством другого. Творческие задания
    1. Запишите множество, состоящее из скаута и отряда, командиром которого он является.
    2. Покажите, что, выполняя задание: «Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза», учащиеся встречаются с двумя способами задания множества.
    3. Покажите, что, выполняя задание: «Какое число лишнее в ряду: 470, 720, 330, 400, 510, 640», учащиеся, по существу, пользуются понятиями характеристического свойства элементов множества и принадлежности элемента множеству.
    4. Приведите примеры трех заданий из учебников математики для начальных классов, при выполнении которых осуществляется переход от одного способа задания множества к другому.
    5. О каких теоретико–множественных понятиях идет речь в следующих заданиях, выполняемых учащимися начальных классов: а) Запиши по порядку числа от 10 до 19. Подчеркни и прочитай четные числа; б) Из ряда чисел от 1 до 20 выпиши по порядку числа, которые делятся на 5; в) Запиши три числа, которые при делении на 7 дают в остатке 4.
    6. Изобразите на диаграмме Эйлера – Венна следующие множества: множество всех отличников 3–Б класса школы № 5, множество мальчиков этого же класса, множество девочек этого же класса. Покажите на диаграмме фигуру, изображающую множество всех учеников 3-Б класса, фигуру, изображающую множество мальчиков-отличников.
    ТЕМА 2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
    Содержание
    1. Пересечение множеств.
    2. Объединение множеств.
    3. Законы пересечения и объединения множеств.
    4. Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого.
    5. Понятие разбиения множества на классы.
    6. Декартово произведение множеств.
    Основная литература [7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];
    Дополнительная литература[82, 87, 92]

  4. Gam Ответить

    19 В том случае, когда указаны характеристические свойства множеств А и В w известно, что В а А, то множество В’А задают также с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х е А и х В». Так, если А множество четных чисел, а В множество чисел, кратных 4, то В’А множество, содержащее такие четные числа, которые не делятся на 4. Например, 22 е В’А, так как 22 е А (т.е. оно четное) и 22 г В (т.е. оно не кратно 4). Нахождение разности это третья операция над множествами. Нам известно, что пересечение множеств более сильная операция, чем объединение. А как быть с разностью? Например, каков порядок выполнения действий в выражении А \ В п С? Условились считать, что пересечение более «сильная» операция, чем нахождение разности. Поэтому порядок выполнения действий в выражении А \В п С такой: сначала находят пересечение множеств В и С,а затем разность множеств А и В п С. Что касается объединения и нахождения разности множеств, то их считают равноправными. Например, в выражении А \ В*и С надо сначала найти разность множеств А и В, а затем полученное множество объединить с множеством С. Разность множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств Л, В и С справедливы следующие равенства: 1)(A \B)\C=(A \Q \B; 2) (А и В) \ С = (А \ Q и {В \ С); 3) (А \ В) п С = (А пс) \ ( В п С); 4) А \ {В и С) = (А \ В) u (А \ Q ; 5) А \ (В о С) = (А \ В) п (А \ С). Упражнения 1. Сформулируйте условия, при которых истинны следующие высказывания: а) 5 е А \ В; б) 7 г А \ В. 2. Известно, что х е А \ В. Следует ли из этого, что: а) х е А\ б) х е В? 3. Найдите разность множеств А и В, если: а) Л = {1,2, 3,4, 5,6}, В = {2, 4, 6, 8, 10}; б)л = {1, 2, 3, 4, 5, 6},В = 0; в)а = {\,2, 3,4, 5,6}, Д = {1, 3, 5}; гм = {1, 2, 3,4, 5,6}, В={6, 2, 3, 4, 5, 1}. 4. В каких случаях, выполняя упр. 3, вы находили дополнение подмножества В до множества А1 5. Даны множества: А натуральных чисел, кратных 3, В натуральных чисел, кратных 9. а) Сформулируйте характеристическое свойство множества В’А. 28

    20 б) Верно ли, что 123 е В’А, а 333 г В’А1 6. Покажите, выполнив чертеж, дополнение множества Y до множества X, если: а) X множество точек прямой АВ, Y множество точек отрезка АВ\ б) X множество точек квадрата, Y множество точек круга, вписанного в этот квадрат. 7. Из каких чисел состоит дополнение: а) множества натуральных чисел до множества целых; б) множества целых чисел до множества рациональных; в) множества рациональных чисел до множества действительных. 8. Постройте три круга, изображающие три попарно пересекающихся множества А, В и С, и выделите каким-либо образом области, представляющие множества: а) А и В \ С, б) А \ В о С; в) А \ С и В \ С, г) А \ В и С; д) А \ (В и С); е) (А \ В) гл С. Для каждого случая выполните отдельный рисунок. 9. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера, что для любых множеств А, В и С верны равенства: а) А \ (В и О = (А \ В) u (А \ Q; б) А \ (В гл Q = (А \ В) гл (А \ Q; в) (А и В) \ С= (А \ С) и (В \ Q; г) (А \ В) п С = (A n Q \ (В п С). 10. А множество натуральных чисел, кратных 7, В множество натуральных чисел, кратных 3, С множество четных натуральных чисел. Из каких чисел состоят множества: а)(лп )\С; б) (Л и Я) \ С; в)аглс\в\ t)c kjb\a1 11. О какой операции и над какими множествами идет речь в следующих задачах. а) У Коли 10 книг, 2 книги он подарил товарищу. Сколько книг осталось у Коли? б) В зале было 100 стульев. После того как вынесли несколько стульев, в зале осталось 86 стульев. Сколько стульев вынесли из зала? 1.8. Понятие разбиения множества на классы Понятия множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации действии распределения объектов по классам. Классификацию мы выполняем часто. Так, натуральные числа представляем как два класса четные и нечетные. Углы на плоскости разбиваем на три класса: прямые, острые и тупые. 29

    21 Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество Xразбито на классы Х ь Хъ…, Х, если: подмножества Хь Х2,…, Х,… попарно не пересекаются; объединение подмножеств Х ь Х2,…, Х,… совпадает с множеством X. Если не выполнено хотя бы одно из условий, классификацию считают неправильной. Например, если из множества X треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, поскольку подмножества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными). В данном случае не выполнено первое условие разбиения множества на классы. Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять с помощью свойств множеств. Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Оно обладает различными свойствами. Положим, что нас интересуют числа, обладающие свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т. е. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел (рис. 1.12). Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два класса. Вообще, если на множестве X задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый класс объектов, обладающих этим свойством, второй дополнение первого класса до множества X. Во втором классе содержатся такие объекты множества X, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической. Рассмотрим теперь ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, такие свойства натуральных чисел, как «быть кратным 3» и «быть кратным 5». С помощью этих свойств из множества N натуральных чисел можно выделить два подмножества: А подмножество чисел, кратных 3, и В подмножество чисел, кратных 5. Эти множеподмножеством другого (рис. 1.13). Проанализируем ства пересекаются, но ни одно из них не является получившийся рисунок. Конечно, разбиения множества натуральных чисел на подмножества А и В не произошло. Но круг, изображающий множество N, Рис можно рассматривать как состоящий из четырех 30

    22 Рис Рис непересекающихся областей на рисунке они пронумерованы. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IV из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N. Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса. Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, с помощью таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса (рис. 1.14): I класс чисел, кратных 6; II класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III класс чисел, не кратных3. Упражнения 1. Из множества X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделили подмножества Х ь Х2 и Х3. В каком из следующих случаев множество X оказалось разбитым на классы: а) Хх= {1, 3, 5, 7, 11}, * 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, Х3 = {9}; б) Х х= {1, 3, 5, 7, 9, 11}, = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, Х3 = {10, 11, 12}; в) Х х= {3, 6, 9, 12}, Х2 = {1, 5, 7, 11}, Х3 = {2, 10}? 2. Из множества Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделим подмножества: а) А четных чисел, В нечетных чисел; б) А чисел, кратных 2; В чисел, кратных 3; С чисел, кратных 4; в) А нечетных однозначных чисел; В четных двузначных чисел. В каком случае произошло разбиение множества X на классы? 3. Из множества треугольников выделили подмножества треугольников: а) прямоугольные, равнобедренные, равносторонние; б) остроугольные, тупоугольные, прямоугольные; 31

    23 Рис в) равносторонние, прямоугольные, тупоугольные. В каком случае произошло разбиение множества треугольников на классы? 4. На какие классы разбивается множество точек плоскости с помощью: а) окружности; б) круга; в) прямой? 5. Перечертите фигуры, приведенные на рис. 1.15, и на каждой из них выделите (различными видами штриховки) непересекающиеся области. 6. На множестве натуральных чисел рассматривается свойство «быть кратным 7». Сколько классов разбиения множества N оно определяет? Назовите по два элемента из каждого класса. 7. Из множества четырехугольников выделили подмножество фигур с попарно параллельными сторонами. На какие классы разбивается множество четырехугольников с помощью свойства «иметь попарно параллельные стороны»? Начертите по два четырехугольника из каждого класса. 8. Изобразите с помощью кругов Эйлера множество N натуральных чисел и его подмножества: четных чисел и чисел, кратных 7. Можно ли утверждать, что множество N разбито: а) на два класса: четных чисел и чисел, кратных 7; б) на четыре класса: четных чисел, кратных 7; четных чисел, не кратных 7; нечетных чисел, кратных 7; нечетных чисел, не кратных 7? 9. На множестве четырехугольников рассматриваются два свойства: «быть прямоугольником» и «быть квадратом». На какие классы разобьется множество четырехугольников с помощью этих свойств? Начертите по два четырехугольника из каждого класса. 10. Изменится ли ответ в упр. 9, если на множестве четырехугольников рассмотреть свойства: а) «быть прямоугольником» и «быть ромбом»; б) «быть прямоугольником» и «быть трапецией»? 11. На рис изображены множества: X студентов группы, А спортсменов этой группы, В отличников этой группы. а) Укажите классы разбиения множества X, полученные с помощью свойств «быть спортсменом» и «быть отличником», и охарактеризуйте каждый из них. 32

    24 б) Сколько получилось бы классов разбиения, если бы ни один отличник группы не был спортсменом? Выполните соответствующий рисунок и назовите классы разбиения. 12. Покажите, что решение нижеприведенных задач связано с разбиением заданного мно- рис ^ 16 жества на классы. а) 18 редисок связали в пучки по 6 редисок в каждом. Сколько получилось пучков? б) 18 карандашей раздали 6 ученикам поровну. Сколько карандашей у каждого? 13. О каких множествах и операциях над ними идет речь в нижеприведенных задачах. а) С одной грядки сняли 25 кочанов капусты, а с другой 15 кочанов. Всю эту капусту разложили в корзины, по 8 кочанов в каждую. Сколько потребовалось корзин? б) Для школьного сада привезли 24 саженца яблонь. На одном участке посадили 6 саженцев, а на другом остальные, в 3 ряда поровну. Сколько саженцев посадили в каждом ряду? 1.9. Декартово произведение множеств Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами. Упорядоченную пару, образованную из элементов а и Ь, принято записывать, используя круглые скобки: (а; Ь). Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b второй координатой (компонентой) пары. Пары (а; Ь) и (с; d) равны в том и только в том случае, когда а – с и b = d. В упорядоченной паре (а; Ь) может быть, что а = Ь. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5). Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств. Пусть, например, А = {1, 2, 3}, В = {3, 5}. Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая множеству В. Если мы перечислим все такие пары, то получим множество: {(1; 3), (1; 5), (2; 5), (2; 3), (3; 3), (3; 5)}. 33

    25 Видим, что, имея два множества А и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств А и В. Д екарт овым произведением множеств А и В называют множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В. Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Используя это обозначение, определение декартова произведения можно записать так: А х В = {(х; у) л: е А и у е В}. Задача 1. Найдите декартово произведение множеств А и В, если: а) А = {т; р}, B={e,f, k}\ б)л = Д= {3, 5}. Решение, а) Действуем согласно определению образуем все пары, первая компонента которых выбирается из А, а вторая из В\ АхВ={(т; е), (m;f), (т; k), (р; е), (p;f), (р; к)}. б) Декартово произведение равных множеств находят, образуя всевозможные пары из элементов данного множества: АхА = {(3; 3), (3; 5), (5; 3), (5; 5)}. Выясним, какими свойствами обладает операция нахождения декартова произведения. Так как декартовы произведения Ах В и ВхА состоят из различных элементов, то декартово произведение множеств А и В свойством коммутативности не обладает. Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности. Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т. е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства: (А и В)хС= (Ах С) и (ВхС), (А\В)хС=(АхС)\(ВхС). Задача 2. Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова произведения относительно объединения, если: А = {3; 4; 5}, В = {5; 7}, С={7; 8}. Решение. Найдем объединение множеств А и В: А и В ={3, 4, 5, 7}. Далее перечислим элементы множества (А и В)хС, используя определение декартова произведения: (А и В)хС={(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}. 34

    26 Чтобы найти элементы множества (Ах С) и (ВхС), перечислим сначала элементы множеств А х С и Их С: АхС= {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)}; ВхС={(5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}. Найдем объединение полученных декартовых произведений: (Ах С) и (ВхС) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}. Видим, что множества (A
    27 У 5 Т f Т 3 г 3 У * Рис Рис Решение, а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая и сами эти числа, то Ах В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, вторая любое действительное число из промежутка [3, 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками (рис. 1.19). б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой пары, принадлежащей множеству А х В, может быть любое число из промежутка [1, 3], а второй любое действительное число из промежутка [3, 5], и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств A w В, образуют квадрат (рис. 1.20). Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать. в) Этот случай отличается от предыдущего тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т. е. абсцисса точек, изображающих элементы множества Ах В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3, 5]. Множество таких точек образует полосу (рис. 1.21). г) Декартово произведение R x R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R xr содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости. у У * 0 х 36 Рис Рис. 1.21

    28 В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и более элементов. Например, запись числа 367 это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» это упорядоченный набор из десяти элементов. Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Д лина кортежа это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) это кортеж длины 10. Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще п множеств. Декартовым произведением множеств А ь Аг,…,Ап называют множество всех кортежей длины п, первая компонента которых принадлежит множеству вторая множеству Аъ…, п-я множеству Ап. Декартово произведение множеств А ь А2,…, А обозначают так: АххА2х… хап. Задача 4. Даны множества: А, = {2, 3}, Аг = {3, 4, 5}, А3 = {6, 7}. Найти А хха2ха3. Решение. Элементами множества А {ха2ха 3 будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству A h вторая множеству А2, третья множеству А3. А,хА2хА3 = {(2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 5, 6), (2,5,7), (3, 3, 6), (3, 3, 7), (3, 4, 6), (3, 4, 7), (3, 5, 6), (3, 5, 7)}. Упражнения 1. Дано уравнение 2х – 3 = у. Запишите несколько решений данного уравнения. Что представляет собой каждое решение? Является ли пара (4, 5) решением данного уравнения? А пара (5, 4)? 2. Элементами множеств Аж В являются пары чисел: А = {( 1, 12), (2, 9), (3,6), (4, 3), (5,0)}, В ={(1,9), (2, 7), (3,6), (4, 7), (5,0)}. Найдите пересечение и объединение данных множеств. 3. Перечислите элементы декартова произведения А х В, если: а) А = {а, Ь, с, d), В = {Ь, к, /}; б) А = В = {а, Ь, с}; в) А = {а, Ь, с}, В = Запишите различные двузначные числа, используя цифры 3,4 и 5. Сколько среди них таких, запись которых начинается с цифры 3? Как связано решение данной задачи с понятием декартова произведения множеств? 37

    29 О * а Рис х 5. Даны два множества: А = {1, 3, 5} и В = {2, 4}. Перечислите элементы множеств Лх.Я и ВхА. Верно ли, что: а) множества Ах В и ВхА содержат одинаковое число элементов; б) множества АхВ и ВхА равны? 6. Проверьте справедливость равенства и В)хС= (ЛхС) и и (ВхС) для множеств А = {3, 5, 7}, В= {7, 9}, С= {0, 1}. Выполняется ли для них равенство (А \ В) х С = (А х С) \ (Вх С)? 7. Сколько букв в слове «барабан»? Сколько различных букв в этом слове? Сформулируйте эту задачу, используя понятия множества и кортежа. 8. Чем отличается множество цифр в записи числа от кортежа цифр в его записи? 9. Изобразите на координатной плоскости точки: (-1, 0), (-1, 4), (3, 0), (3, 4) и последовательно их соедините. Какая фигура получилась? 10. Какую фигуру образуют точки, если их абсциссы принадлежат множеству [-2, 2], а ординаты множеству [-3, 3]? 11. Изобразите в прямоугольной системе координат множество Ах В, если: а) А = [-2, 2], В = {2, 3, 4}; б)а = [-2, 2], В = (2, 4); в) Л = R, В =[2, 4]. 12. Определите, декартово произведение каких множеств Хи Y изображено на рис. 1.22, а…г Число элементов в объединении и разности конечных множеств Нам известно, как находят объединение двух конечных непересекающихся множеств. Например, если А = {х, у, z}, а В = {к, I, т, р), то А и В = {х, у, z, к, /, т, р). Чтобы ответить на вопрос: «Сколько элементов в полученном множестве?» достаточно пересчитать их. 38

    30 А как определять число элементов в объединении конечных множеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов? Условимся предложение «Множество А содержит а элементов» записывать в таком виде: п(а) = а. Например, если А = {х, у, z}, то утверждение «Множество А содержит три элемента» можно записать так: п(а) = 3. Можно доказать, что если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В b элементов и множества Aw В не пересекаются, то в объединении множеств А и В содержится а + b элементов, т. е. п(а и В) = п{а) + п(в) = а + b. (1) Это правило нахождения числа элементов в объединении двух конечных непересекающихся множеств можно обобщить на случай t попарно непересекающихся множеств, т.е. если множества АЬА2,…, Л, попарно не пересекаются, то п(ауи Аг и… и А,) = n(at) + п(а2) п(а,). Пусть, например, А = {х, у, z}, В = {к, /, т, р }, С = {q, s}. Найдем число элементов в объединении данных множеств. Пересчитав элементы данных множеств, получаем, что п(а) = 3, п(в) = 4, п(с) = 2. Видим, что А п В = 0, А п С – 0, В гл С = 0, т.е. данные множества попарно не пересекаются. Тогда, согласно правилу нахождения числа элементов в объединении конечных множеств, получаем: п(а и й и С ) = п(а) + п(в) + п(с) = = 9. Таким образом, в объединении заданных трех множеств содержится 9 элементов. Нетрудно убедиться в том, что если В с А, то п(в’а) = п(а) – п(в), i.e. число элементов дополнения подмножества В до данного конечного множества А равно разности численностей этих множеств. Пусть, например, А = {х, у, z, Р, t}, а В = {х, р, t}. Найдем число хмементов в дополнении подмножества В до множества А. Пересчитав элементы множеств А и В, получаем, что п(а) = 5, п(в) = 3. Тогда п{в’л) = п(а) – п(в) = 5-3 = 2. Таким образом, в дополнении множества В до множества Л содержится два элемента. Формула (1) позволяет находить число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств. А если множества Л и В имеют общие элементы, то как найти число элементов в их объединении? Пусть, например, А = {х, у, z}, а В = {х, z, Р, s, к}. Тогда А и В= {х, у, z, р, s, к}, т.е. если п(а) = 3, а п(в) = 5иА глвф0,то п(а и В) = 6. Нетрудно видеть, что в данном случае п(а п В) = 2 и, шачит, общие элементы множеств А и В в объединении этих множеств записаны только один раз. В общем виде правило подсчета числа элементов в объединении двух конечных множеств может быть представлено в виде формулы: п(а и В) = п(а) + п(в) – п{а гл В). 39

    31 г Рис V л(с)=40 Полученные формулы для подсчета числа элементов в объединении и разности множеств можно использовать для обоснования выбора действия при решении задач следующего вида. Задача 1. Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21 немецкий язык, а 15 английский и немецкий языки. Сколько студентов курса не изучает ни английский, ни немецкий языки? Решение. Пусть А множество студентов курса, изучающих английский язык, В множество студентов курса, изучающих немецкий язык, С множество всех студентов курса. По условию задачи: п(а) = 32, п(в) = 21, п(а п В) = 15, п(с) = 40. Требуется найти число студентов курса, не изучающих ни английский, ни немецкий язык. 1 способ. 1) Найдем число элементов в объединении данных множеств А и В. Для этого воспользуемся формулой: п(а и В) = п(а) + п(в) – – п(а п В) = = 38. 2) Найдем число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки: = 2. 2 способ. 1) Изобразим данные множества с помощью кругов Эйлера и определим число элементов в каждом из непересекающихся подмножеств (рис. 1.23). Так как в пересечении множеств А и В содержится 15 элементов, то студентов, изучающих только английский язык, будет 17 (32-15 = 17), а студентов, изучающих только немецкий, 6 (21-15 = 6). Тогда п{а и В) = = 38, и, следовательно, число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки, будет = 2. Упражнения 1. Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 в баскетбольной, 8 человек занимаются и в той, и в другой секции. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секции? 40

    32 2. В третьем классе дети коллекционируют марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты 5 человек. Всего коллекционеров 11. О бъясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? только монеты? 3. Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в лыжной секции. Сколько учащихся занимается и в хоре, и в лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих за Рис нятий хора или лыжной секции? 4. В группе туристов, состоящей из 100 человек, 10 человек не знали ни немецкий, ни французский языки, 75 знали немецкий, 83 французский. Сколько туристов знали два языка? 5. Катя положила в коробку 4 зеленых круга, 6 треугольников и 3 красных многоугольника. Всего в коробке оказалось 11 фигурок. Сколько среди них красных треугольников? 6. В делегации 6 человек, знающих французский или немецкий язык. Трое из них говорят только на французском, двое только на немецком. Сколько человек говорят на двух языках французском и немецком? 7. Правильно ли представлено на рисунке 1.24 условие следующей задачи: «Из 100 человек английский язык изучают 28, немецкий 30, французский 42, английский и немецкий 8, английский и французский 10, немецкий и французский 5. Все три языка изучают три студента. Сколько студентов изучает только один язык? Сколько студентов не изучает ни одного языка? 8. Решите задачу из задания 7. 9 В школе 70 учеников. Из них 27 ходят в драмкружок, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не ходят в драмкружок? 10. Даны 40 чисел. Из них 10 чисел кратны 3; 15 чисел кратны 2; 20 чисел не кратны ни 2, ни 3. Сколько среди данных 40 чисел, кратных 6? 11. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги А, В и С. Результаты опроса оказались таковы: книгу А читали 25 учащихся, книгу В 22, книгу С также 22. Книгу А или В читали 33 ученика, А или С 32, В или С 31; все три книги прочли 10 учащихся. Сколько учеников прочли только по одной книге? Сколько учащихся не читали ни одной из этих трех книг? 41

    33 1.11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств Нам известно, как находят декартово произведение конечных множеств. Например, если А = {х, у, z}, В = {т, р), то А х В = {(х, т), (х,р), (у, т), (у, р), (z, т), (z,p)}- Чтобы ответить на вопрос «Сколько элементов в полученном множестве?», достаточно пересчитать их. А как определить число элементов в декартовом произведении множеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов? Можно доказать, что если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В b элементов, то в декартовом произведении множеств А и В содержится а-b элементов, т.е. п{а х В) = п(а) п(в) = а Ь. Правило распространяется на случай t множеств, т.е. п(ахха2х х…ха,) = п(а,) п(а2)… п(а,). Например, если в множестве А содержится 3 элемента, в множестве В 4 элемента, в множестве С 5 элементов, то в их декартовом произведении будет содержаться = 60 упорядоченных наборов из трех элементов. Полученные формулы можно использовать при решении задач следующего вида. Задача 1. У Маши 3 различные юбки и 4 различные кофты. Сколько различных комплектов, состоящих из юбки и кофты, она может составить? Решение. Пусть А множество юбок у Маши, В множество кофт у нее. Тогда, по условию задачи, п(а) = 3, п(в) = 4. Требуется найти число возможных пар, образованных из элементов множеств А и В, т.е. п(ахв). Но, согласно правилу, п(ахв) = п(а) п(в) = = 3 4 = 12. Таким образом, из 3 юбок и 4 кофт Маша может составить 12 различных комплектов. Задача 2. Сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 5, 4 и 7? Решение. Запись любого двузначного числа состоит из двух цифр и представляет собой упорядоченную пару. В данном случае эти пары образуются из элементов множества А = {5, 4, 7}. В задаче требуется узнать число таких пар, т.е. число элементов в декартовом произведении АхА. Согласно правилу, п(а ха) = п(а) п{а) = 3-3 = 9. Значит, двузначных чисел, записанных с помощью цифр 5, 4 и 7, будет 9. Часто при решении задач, аналогичных рассмотренным выше, требуется не только ответить на вопрос о том, сколько существует возможных вариантов ее решения, но и осуществить перебор этих вариантов. Например, в задаче 2 можно предложить записать все двузначные числа, используя цифры 5, 4 и 7. 42

    34 Первая цифра (цифра десятков) Вторая цифра (цифра единиц) Полученное ? ??5 74 7у число Рис Для осуществления такого перебора строится схема, называемая деревом возможных вариантов. Так, для задачи 2 она будет иметь вид (рис. 1.25). Эта схема действительно похожа на дерево, правда, растет оно вниз и у него нет ствола. То, что дерево растет как бы «вверх ногами», удобно при построении схем такого вида. Знак «*» изображает корень дерева, ветвями которого являются различные варианты решения задачи. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать цифру десятков для этого есть три варианта: 5, 4 или 7. 11оэтому из «*» проведены три отрезка и на их концах поставлены цифры 5, 4 и 7. Затем надо выбрать цифру единиц, а для этого также есть три варианта: 5, 4 или 7. Поэтому от цифр 5, 4 и 7 проведено по три отрезка, на концах которых опять стоят цифры 5, 4 или 7. Чтобы прочитать полученные варианты, надо пройти по всем ветвям построенного дерева сверху вниз. Упражнения 1. Множество А содержит 7 элементов. Сколько элементов в множестве В, если декартово произведение А х В состоит из: а) 42 элементов; б) 7 элементов; в) А х В = Сколько различных наборов можно составить из книги и блокнота, если имеется 20 видов различных книг и 15 видов различных блокнотов? 3. Решите нижеприведенные задачи методом перебора всех возможных вариантов, а затем покажите, что решение этих задач связано с определением числа элементов декартова произведения множеств. а) В костюмерной танцевального кружка имеются белые и розовые кофты, а также синие, черные и коричневые юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов? б) Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 4 и 7? 43

    35 в) На вершину горы ведут две дороги. Сколькими способами можно подняться и спуститься с нее? Решите следующие задачи, построив дерево возможных вариантов. а) У продавца имеется три вида мороженого: клубничное, сливочное и ореховое. Наташа и Катя решили купить по одной порции. Сколько существует вариантов такой покупки? б) В понедельник в первом классе должно быть три урока: математика, чтение и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день? в) Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

  5. Gadi Ответить

    Творческие задания
    1. Запишите множество, состоящее из скаута и отряда, командиром которого он является.
    2. Покажите, что, выполняя задание: «Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза», учащиеся встречаются с двумя способами задания множества.
    3. Покажите, что, выполняя задание: «Какое число лишнее в ряду: 470, 720, 330, 400, 510, 640», учащиеся, по существу, пользуются понятиями характеристического свойства элементов множества и принадлежности элемента множеству.
    4. Приведите примеры трех заданий из учебников математики для начальных классов, при выполнении которых осуществляется переход от одного способа задания множества к другому.
    5. О каких теоретико–множественных понятиях идет речь в следующих заданиях, выполняемых учащимися начальных классов: а) Запиши по порядку числа от 10 до 19. Подчеркни и прочитай четные числа; б) Из ряда чисел от 1 до 20 выпиши по порядку числа, которые делятся на 5; в) Запиши три числа, которые при делении на 7 дают в остатке 4.
    6. Изобразите на диаграмме Эйлера – Венна следующие множества: множество всех отличников 3–Б класса школы № 5, множество мальчиков этого же класса, множество девочек этого же класса. Покажите на диаграмме фигуру, изображающую множество всех учеников 3-Б класса, фигуру, изображающую множество мальчиков-отличников.
    ТЕМА 2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
    Содержание
    1. Пересечение множеств.
    2. Объединение множеств.
    3. Законы пересечения и объединения множеств.
    4. Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого.
    5. Понятие разбиения множества на классы.
    6. Декартово произведение множеств.
    Основная литература [7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];
    Дополнительная литература[82, 87, 92]

    Пересечение множеств
    Из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества. Считают, что эти новые множества являются результатом операций над множествами.
    Пример
    Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8 } и В = {5, 6, 7, 8, 9}.
    Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В: С = {6, 8 }. Так, полученное множество С называют пересечением множеств А и В.
    Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
    Пересечение множеств А и В обозначают А C В. Тогда определение можно представить в символической записи:
    х I A C B U х I A и х I B.
    Если изображать множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной частью.
    В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А C В = ?.
    Замечание. Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением
    O Нахождение пересечения множеств в конкретных случаях
    · Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти АCВ, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат А и В, т.е. их общие элементы.
    · Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А C В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
    Пример
    Найдем пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – двузначных натуральных чисел.
    Характеристическое свойство элементов множества А – «быть четным натуральным числом», характеристическое свойство элементов множества В – «быть двузначным натуральным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четным и двузначным натуральным числом». Таким образом, множество А C В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 I АCВ, поскольку число 24 четное и двузначное.
    Пример
    Найти пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4. Данные множества А и В бесконечные, и множество В – подмножество множества А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А и множеству В, будут элементы множества В. Следовательно, А C В = В.

    Объединение множеств
    Для того, чтобы объяснить школьнику, что 2 + 3 = 5, учитель берет 2 красных кружка и 3 синих. Просит перечислить эти кружки, затем предлагает к красным кружкам придвинуть синие (т.е. объединить эти две совокупности, два множества) и пересчитать все кружки совокупности. Устанавливается, что их 5, т.е. 2 +3 = 5. Таким образом, сложение чисел опирается на операцию объединения двух множеств.
    В рассмотренном примере объединялись множества, не имеющие общих элементов. В математике приходится выполнять объединение и пересекающихся множеств.
    Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
    Объединение множеств А и В обозначают A E B. В символической записи: х I A E B U х IA или х I B.
    Если изобразить пересекающиеся множества при помощи кругов Эйлера, то их объединение изобразится заштрихованной областью (рис. 1). Если множества А и В не пересекаются, то их объединение изображают так (рис. 2).

    Рис 1. Рис. 2.

  6. otherside Ответить

    10. Перечислите элементы следующих множеств: А – множество нечетных однозначных чисел; В – множество натуральных чисел, не меньших 5; С – множество двузначных чисел, делящихся на 10.
    11. Укажите характеристическое свойство элементов множества: а) {а, е, е, и, о, у, э, ю, я, ы}; б) {23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15 }; в) {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.
    12. Изобразите на координатной прямой множество решений неравенства ( х- действительное число): 1) х > 5,3; 2) х ? -3,8; 3) – 4,5? х < 4; 4) 2,7 ? х ? 9. 13. Найдите множество действительных корней уравнения: 1)3х=х+8; 2) 3х+5=3(х+1); 3) 3(5х+10)=30+15х; 4) х (х+16)=0. 14. А - множество двузначных чисел, запись которых оканчивается цифрой 1. Принадлежит ли этому множеству числа 28, 31, 321, 61? 15. Дано множество А = {5, 10, 15, 25}. Укажите два подмножества, равные множеству А. 16. Известно, что элемент асодержится в множестве А и в множестве В. Следует ли отсюда, что: 1) А I В; 2) В I А; 3) А = В? 17. Известно, что каждый элемент множества А содержится в множестве В. Верно ли, что тогда: 1) А I В; 2) А = В? 18. Из множества К = {216, 546, 153, 171, 234} выпишите числа, которые: 1) делятся на 3; 2) делятся на 9; 3) не делятся на 4; 4) не делятся на 5. Есть ли среди полученных подмножеств такое, которое равно множеству К? 19. Установите, в каком отношении находятся множества решений неравенств и сами неравенства: 1) х < 12 и х < 10; 2) х 15; 3) х 10; 4) х -36. 20. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А и В, если: 1) А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 3; 2) А - множество квадратов, B- множество прямоугольников; 3) А – множество квадратов, В – множество прямоугольных треугольников; 4) А – множество квадратов, B – множество прямоугольников с равными сторонами. 21. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А, В и С, если известно, что: 1) А I В и В I А; 2) А I В, С пересекается с В, но не пересекается с А; 3) А, В и С пересекаются, но ни одно не является подмножеством другого. Творческие задания
    1. Запишите множество, состоящее из скаута и отряда, командиром которого он является.
    2. Покажите, что, выполняя задание: «Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза», учащиеся встречаются с двумя способами задания множества.
    3. Покажите, что, выполняя задание: «Какое число лишнее в ряду: 470, 720, 330, 400, 510, 640», учащиеся, по существу, пользуются понятиями характеристического свойства элементов множества и принадлежности элемента множеству.
    4. Приведите примеры трех заданий из учебников математики для начальных классов, при выполнении которых осуществляется переход от одного способа задания множества к другому.
    5. О каких теоретико–множественных понятиях идет речь в следующих заданиях, выполняемых учащимися начальных классов: а) Запиши по порядку числа от 10 до 19. Подчеркни и прочитай четные числа; б) Из ряда чисел от 1 до 20 выпиши по порядку числа, которые делятся на 5; в) Запиши три числа, которые при делении на 7 дают в остатке 4.
    6. Изобразите на диаграмме Эйлера – Венна следующие множества: множество всех отличников 3–Б класса школы № 5, множество мальчиков этого же класса, множество девочек этого же класса. Покажите на диаграмме фигуру, изображающую множество всех учеников 3-Б класса, фигуру, изображающую множество мальчиков-отличников.
    ТЕМА 2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
    Содержание
    1. Пересечение множеств.
    2. Объединение множеств.
    3. Законы пересечения и объединения множеств.
    4. Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого.
    5. Понятие разбиения множества на классы.
    6. Декартово произведение множеств.
    Основная литература [7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];
    Дополнительная литература [82, 87, 92]

  7. MrDruddeGames Ответить

    Модулярная арифметика (представление чисел в системах остаточных классов) обладает внутренним параллелизмом данных и поэтому является перспективным инструментом эффективной организации высокоточных вычислений. Однако из-за высокой сложности немодульных операций, таких как сравнение, вычисление знака, контроль переполнения динамического диапазона, масштабирование и деление, сфера эффективного применения модулярной обработки ограничена достаточно узким классом специфических задач. Рассмотрены способы оценки позиционной величины чисел в модулярном представлении. Приведена новая интервально-позиционная характеристика модулярной арифметики, обеспечивающая получение достоверной аппроксимации относительной величины числа за O(n) операций с плавающей точкой в последовательном случае и за O(log n) операций при использовании параллельного алгоритма, где n – количество модулей системы остаточных классов. Разработан новый алгоритм сравнения чисел в системе остаточных классов на основе вычисления и анализа интервально-позиционных характеристик. Предложенный алгоритм не требует хранения в памяти подстановочных таблиц больших размеров, обеспечивает корректность результата сравнения и отличается высоким быстродействием. Выполненный анализ вычислительной сложности показывает, что, в зависимости от сочетания входных данных, ускорение предлагаемого алгоритма может достигать 0,18n раз по сравнению с аналогичным алгоритмом на основе преобразования модулярных чисел в систему счисления со смешанными основаниями. Обсуждаются вопросы точности вычисления интервально-позиционной характеристики. Рассмотрен новый быстрый алгоритм, позволяющий в условиях ограниченной разрядности машинной арифметики вычислить интервально-позиционную характеристику с относительной погрешностью, не превышающей априорно заданного предела Сформулированы рекомендации по практическому применению полученных результатов.

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *