При каких а и в система имеет бесчисленное множество решений онлайн?

16 ответов на вопрос “При каких а и в система имеет бесчисленное множество решений онлайн?”

  1. Winston. Ответить


    Сычев
    Юрий Дмитриевич
    репетитор по математике, физике
    Образование:
    • Артиллерийская радиотехническая …

    Краснов
    Юрий Михайлович
    репетитор по литературе, русскому языку
    Образование:
    • Специальность – филолог, преподаватель …

    Соловков
    Дмитрий Андреевич
    репетитор по химии, биологии
    Опыт:
    • Стаж педагогической деятельности — 23 года.
    Достижения:
    • Учитель …

    Семячко
    Сергей Владимирович
    репетитор по истории, логике
    Образование:
    • Тверской (Калининский) государственный университет, исторический …

    Богатенко
    Роман Владимирович
    история, обществознание, шахматы
    Образование:
    • Омский государственный университет …

    Лёкур
    Седа Владимировна
    репетитор по французскому языку
    Образование:
    • Колорадский университет (University …

    Зайцев
    Дмитрий Андреевич
    репетитор по математике, химии
    Образование:
    • МГУ им. М.В. Ломоносова, химический факультет, специальность …

    Соловьева
    Анастасия Вадимовна
    репетитор по химии
    Образование:
    • РХТУ им. Д.И. Менделеева, факультет естественных наук, специальность …

  2. saz11 Ответить

    Произвольная система линейных уравнений имеет вид:
    a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
    a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
    ……………………………………………
    am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
    Системы линейных неоднородных уравнений (количество переменных равно количеству уравнений, m = n).
    Произвольные системы линейных неоднородных уравнений (m > n или m < n). Системы линейных однородных уравнений. Определение. Решением системы называется всякая совокупность чисел c1,c2,…,cn, подстановка которых в систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.
    Определение. Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.
    Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
    Определение. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения – неопределенной.

    Алгоритм решения систем линейных уравнений

    Находим ранги основной и расширенной матриц. Если они не равны, то по теореме Кронекера-Капелли система несовместна и на этом исследование заканчивается.
    Пусть rang(A) = rang(B). Выделяем базисный минор. При этом все неизвестные системы линейных уравнений подразделяются на два класса. Неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор, называют зависимыми, а неизвестные, коэффициенты при которых не попали в базисный минор – свободными. Заметим, что выбор зависимых и свободных неизвестных не всегда однозначен.
    Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
    Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
    Полученная система решается одним из способов: метод Крамера, метод обратной матрицы или метод Жордана-Гаусса. Находятся соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.

  3. yrfen Ответить


    Ушакова
    Дарья Андреевна
    репетитор по химии
    Образование:
    • Окончила химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, специализация …

    Коноплин
    Константин Александрович
    музыка, сольфеджио, фортепиано
    Образование:
    • Окончил Иркутское областное музыкальное училище, отделение …

    Голдаева
    Анна Алексеевна
    математика, высшая математика, теория вероятностей
    Образование:
    • МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический …

    Михайлов
    Андрей Анатольевич
    математика, физика, химия, высшая математика
    Образование:
    • Московский автодорожный институт, …

    Jeffery Allan Goza
    репетитор по английскому языку
    Образование:
    • Бакалавр молекулярной биологии и биохимии, 1992 г.
    • Ученая …

    Цыплаков
    Иван Петрович
    история, обществознание, философия
    Образование: МПГУ, исторический факультет, …

    Верещак
    Максим Иосифович
    репетитор по истории, обществознанию
    Образование:
    • Академия повышения квалификации …

    Радостин
    Сергей Владимирович
    репетитор по истории, обществознанию
    Образование:
    • МПГУ, исторический факультет, …

  4. crunkmn Ответить

    Продолжаем разбираться с системами линейных уравнений. До сих пор я рассматривал системы, которые совместны и имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: методом подстановки («школьным»), по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Однако на практике широко распространены еще два случая:
    – Система несовместна (не имеет решений);
    – Система совместна и имеет бесконечно много решений.
    Примечание: термин «совместность» подразумевает, что у системы существует хоть какое-то решение. В ряде задач требуется предварительно исследовать систему на совместность, как это сделать – см. статью о ранге матриц.
    Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса. На самом деле, к ответу приведет и «школьный» способ, но в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных. Те, кто не знаком с алгоритмом метода Гаусса, пожалуйста, сначала изучите урок метод Гаусса для чайников.
    Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же, разница будет в концовке решения. Сначала рассмотрим пару примеров, когда система не имеет решений (несовместна).
    Пример 1
    Решить систему линейных уравнений

    Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных, то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить.
    Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

    (1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1.
    (2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5.
    (3) После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3.
    (4) К третьей строке прибавляем вторую строку.
    Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: . Ясно, что так быть не может. Действительно, перепишем полученную матрицу   обратно в систему линейных уравнений:
    Если в результате элементарных преобразований получена строка вида , где  – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений).
    Как записать концовку задания? Нарисуем белым мелом: «в результате элементарных преобразований получена строка вида , где » и дадим ответ: система не имеет решений (несовместна).
    Если же по условию требуется ИССЛЕДОВАТЬ систему на совместность, тогда необходимо оформить решение в более солидном стиле с привлечением понятия ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли.
    Обратите внимание, что здесь нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса – решений нет и находить попросту нечего.
    Пример 2
    Решить систему линейных уравнений

    Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Снова напоминаю, что ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, у алгоритма Гаусса нет сильной «жёсткости».
    Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же, как только появилась строка вида , где . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица . Матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет никакой необходимости, так как появилась строка вида , где . Следует сразу дать ответ, что система несовместна.
    Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия.
    Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее.
    Пример 3
    Решить систему линейных уравнений

    Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом его и универсальность.
    Начало опять стандартное. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

    Вот и всё, а вы боялись.
    (1) Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –4. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1.
    Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1 – именно так!
    (2) Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить.
    Здесь опять нужно проявить повышенное внимание, а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки (особенно, чайнику) не лишним будет вторую строку умножить на –1, а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них.
    В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду:

    При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом.
    Перепишем соответствующую систему уравнений:

    «Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки тоже нет. Значит, это третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений. Иногда по условию нужно исследовать совместность системы (т.е. доказать, что решение вообще существует), об этом можно прочитать в последнем параграфе статьи Как найти ранг матрицы? Но пока разбираем азы:
    Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы.
    Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса.
    Сначала нужно определить, какие переменные у нас являются базисными, а какие переменные свободными. Не обязательно заморачиваться терминами линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные.
    Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы.
    В данном примере базисными переменными являются  и
    Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две:  – свободные переменные.
    Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные.
    Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх.
    Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную :

    Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала в него подставляем найденное выражение :

    Осталось выразить базисную переменную  через свободные переменные :

    В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные ( и ) выражены только через свободные переменные :


    Собственно, общее решение готово:

    Как правильно записать общее решение?
    Свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные  следует записать на второй и четвертой позиции:
    .
    Полученные же выражения для базисных переменных  и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:

    Придавая свободным переменным   произвольные значения, можно найти бесконечно много частных решений. Самыми популярными значениями являются нули, поскольку частное решение получается проще всего. Подставим  в общее решение:

     – частное решение.
    Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим  в общее решение:

     – еще одно частное решение.
    Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений (так как свободным переменным мы можем придать любые значения)
    Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение  и подставьте его в левую часть каждого уравнения исходной системы:

    Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись.
    Но, строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какое-нибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно.
    Поэтому более основательна и надёжна проверка общего решения. Как проверить полученное общее решение ?
    Это несложно, но довольно муторно. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае  и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы.
    В левую часть первого уравнения системы:

    Получена правая часть исходного уравнения.
    В левую часть второго уравнения системы:

    Получена правая часть исходного уравнения.
    И далее  – в левые части третьего и четвертого уравнение системы. Это дольше, но зато гарантирует стопроцентную правильность общего решения. Кроме того, в некоторых заданиях требуют проверку общего решения.
    Пример 4
    Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

    Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений. Что важно в самом процессе решения? Внимание, и еще раз внимание. Полное решение и ответ в конце урока.
    И еще пара примеров для закрепления материала
    Пример 5
    Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения

    Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

    (1) Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.
    (2) К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –5. К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –7.
    (3) Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем.
    Вот такая красота:

    Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому  – базисные переменные.
    Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна:
    Обратный ход:
    Выразим базисные переменные через свободную переменную:
    Из третьего уравнения:

    Рассмотрим второе уравнение  и подставим в него найденное выражение :



    Рассмотрим первое уравнение  и подставим в него найденные выражения  и :


    Да, всё-таки удобен калькулятор, который считает обыкновенные дроби.
    Таким образом, общее решение:

    Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная  одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных ,  тоже заняли свои порядковые места.
    Сразу выполним проверку общего решения. Работа для негров, но она у меня уже выполнена, поэтому ловите =)
    Подставляем трех богатырей , ,  в левую часть каждого уравнения системы:




    Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, общее решение найдено верно.
    Теперь из найденного общего решения  получим два частных решения. Шеф-поваром здесь выступает единственная свободная переменная . Ломать голову не нужно.
    Пусть , тогда  – частное решение.
    Пусть , тогда  – еще одно частное решение.
    Ответ: Общее решение: , частные решения: , .
    Зря я тут про негров вспомнил… …потому что в голову полезли всякие садистские мотивы и вспомнилась известная фотожаба, на которой куклуксклановцы в белых балахонах бегут по полю за чернокожим футболистом. Сижу, тихо улыбаюсь. Знаете, как отвлекает….
    Много математики вредно, поэтому похожий заключительный пример для самостоятельного решения.
    Пример 6
    Найти общее решение системы линейных уравнений.

    Проверка общего решения у меня уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, главное, чтобы совпали общие решения.
    Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.
    Остановлюсь на некоторых особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах.
    В общее решение системы иногда может входить константа (или константы), например: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.
    Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных. Метод Гаусса работает в самых суровых условиях, следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.
    И, конечно, повторюсь в своем совете – чтобы комфортно себя чувствовать при решении системы методом Гаусса, следует набить руку и прорешать хотя бы десяток систем.
    Желаю успехов!
    Решения и ответы:
    Пример 2: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

    Выполненные элементарные преобразования:
    (1) Первую и третью строки поменяли местами.
    (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –6.  К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –7.
    (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
    В результате элементарных преобразований получена строка вида , где , значит, система несовместна.
    Ответ: решений нет.
    Пример 4: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

    Выполненные преобразования:
    (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 2.  К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
    Для второй ступеньке нет единицы, и преобразование (2) направлено на её получение.
    (2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –3.
    (3) Вторую с третью строки поменяли местами (переставили полученную –1 на вторую ступеньку)
    (4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.
    (5)У первых двух строк сменили знак (умножили на –1), третью строку разделили на 14.
    Обратный ход.
     – базисные переменные (те, которые на ступеньках),  – свободные переменные (те, кому не досталось ступеньки).
    Выразим базисные переменные через свободные переменные:
    Из третьего уравнения:
    Рассмотрим второе уравнение:
    Подставим в него найденное выражение :

    Рассмотрим первое уравнение:
    Подставим в него найденные выражения: , :

    Общее решение:
    Найдем два частных решения
    Если , то
    Если , то
    Ответ: Общее решение: , частные решения: , .
    Проверка: подставим найденное решение (выражения базисных переменных ,  и ) в левую часть каждого уравнения системы:



    Получены соответствующие правые части, таким образом, общее решение найдено верно.
    Пример 6: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

    (1) Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –3.
    (2) К третьей строке прибавляем вторую строку. К четвертой строке прибавляем вторую строку.
    (3) Третья и четвертая строки пропорциональны, одну из них удаляем.
     – базисные переменные,  – свободная переменная. Выразим базисные переменные через свободную переменную:







    Ответ: Общее решение:
    Автор: Емелин Александр

    Высшая математика для заочников и не только >>>
    (Переход на главную страницу)
    Как можно отблагодарить автора?
    Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

  5. saliddin1999 Ответить

    Давайте вашу систему слегка модифицируем. А именно – выкинем второе уравнение. И увидим, что решение
    x1 = x2
    x3 = x4
    Что это значит? Что переменным x2, x4 можно давать любые значения. А x1, x3 к ним уже будут привязаны
    Дадим значения x2 = 1, x4 = 3. Очень хорошо. Решением станет вектор V1 = (1, 1, 3, 3)
    Теперь пусть x2 = 2, x4 = 6. Вектор V2 = (2, 2, 6, 6) тоже решение. Но образуют ли они фундаментальную систему? Увы нет! Так как другое возможное решение VV = (2,2,5,5) линейно через V1, V2 не выразить никак. А вот V1, VV – образуют. Ибо они линейно независимы и их количество равно размерности подпространства решений и по всяким там алгебраическим теоремам они являются базисом этого подпространства.
    Но обычно (чтоб проще было считать, если понадобится) дают такие простые значения
    x2 = 1, x4 = 0. W1 = (1,1,0,0)
    x2 = 0, x4 = 1. W2 = (0, 0, 1, 1)
    Вектора W1,W2 образуют ФСР. Но и V1, VV – тоже.
    Теперь вернемся к нашим баранам. К исходной системе из поста 1. Распишем его решение так
    x1 = x4
    x2 = x4
    x3 = x4
    И можно сказать, что x4 – свободна, ей можно давать любые значения. А остальные от нее зависят Дадим x4 значение 25. Получим вектор U = (25,25,25,25), Он (множество состоящее из этого единственного вектора) будет ФСР
    Можно свободной переменной объявить и x1. Дела это не меняет.

  6. 39311 Ответить

    После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями.
    Существуют следующие элементарные преобразования:
    1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:
    2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .
    3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули.
    4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.
    5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2: . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.
    На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

    Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:
    «Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »
    «Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »
    «Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »
    «И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »
    Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.
    Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений
    ! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!
    Вернемся к нашей системе . Она практически разобрана по косточкам.
    Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

    (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.
    (2) Делим вторую строку на 3.
    Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид.
    В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

    Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.
    В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .
    Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:


    Ответ:
    Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
    Пример 1
    Решить методом Гаусса систему уравнений:

    Запишем расширенную матрицу системы:

    Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения:

    И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?
    Сначала смотрим на левое верхнее число:

    Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

    Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче.
    Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

    Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:

    Результат записываем во вторую строку:

    Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3:

    Результат записываем в третью строку:

    На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

    Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО:

    А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.
    Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:

    В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

    На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

    Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2:

    Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.
    Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.
    В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

    Круто.
    Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.
    В третьем уравнении у нас уже готовый результат:
    Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:


    И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:



    Ответ:
    Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.
    Пример 2
    Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

    Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.
    Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!
    Пример 3
    Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

    Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

    Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так:
    (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

    Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).
    Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее:

    (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
    (3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.
    (4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
    (5) Третью строку разделили на 3.
    Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.
    Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:



    Ответ: .
    Пример 4
    Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

    Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.
    В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса.
    Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например:

    Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод. В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули:

    Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.
    Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .
    Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.
    Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.
    Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.
    Дождливая осенняя погода за окном…. Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:
    Пример 5
    Решить методом Гаусса систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

    Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.
    Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением. Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.
    Желаю успехов!
    Решения и ответы:
    Пример 2: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

    Выполненные элементарные преобразования:
    (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем!
    (2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание, что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее.
    (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5.
    (4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.
    Обратный ход:


    Ответ: .
    Пример 4: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

    Выполненные преобразования:
    (1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке».
    (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.
    Со второй «ступенькой» всё хуже, «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы
    (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1.
    (4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3.
    Нужная вещь на второй ступеньке получена.
    (5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6.
    (6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83.
    Обратный ход:


    Ответ:
    Пример 5: Решение: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:


    Выполненные преобразования:
    (1) Первую и вторую строки поменяли местами.
    (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –3.
    (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1.
    (4) У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки.
    (5) К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на –5.
    Обратный ход:




    Ответ:
    7.Ранг матрицы. Теорема Корнекера-Капелли.






    8. Однородные системы
    В рамках уроков метод Гаусса и Несовместные системы/системы с общим решениеммы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений, где свободный член(который обычно находится справа) хотя бы одного из уравнений был отличен от нуля.
    И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы, мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений.
    По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

  7. romanas Ответить

    При решении используется метод прямоугольника, в результате применения которого получается диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.
    Система линейных уравнений:
    2×1 + x2 – x3 + 3×4 – 2×5 = 2
    x1 – x2 + x4 = 0
    x1 – x3 + x4 – 2×5 = -1
    Запишем ее через матрицу.
    21-13-2
    1-1010
    10-11-2
    Векторы столбцы базисного решения представляют собой единичные векторы и образуют базис, а соответствующие им переменные называются базисными. Чтобы получить единичные векторы и используют метод Жордана-Гаусса (см. также правило прямоугольника). Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.
    Решение системы линейных уравнений называется базисным, если свободные переменные (m>n) обращаются в ноль.
    Пример №1. Найти три базисных решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса, указать среди них опорные.
    Решение. Запишем систему в виде:
    2
    1
    -1
    3
    -2
    2
    1
    -1
    1
    1
    -1
    1
    -2
    -1
    Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
    Разрешающий элемент равен (2).
    На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
    Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
    Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
    НЭ = СЭ – (А*В)/РЭ
    РЭ – разрешающий элемент (2), А и В – элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
    Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

  8. Vamp1RUS Ответить

    Решение.
    Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу системы
    к эквивалентной матрице ,
    которой соответствует уравнение
    , эквивалентное исходной системе. Таким образом, общее решение может
    быть записано в форме
    , или  ,  . Решений бесчисленное множество – любая пара, связанная
    указанной зависимостью, обращает левые части уравнений данной системы
    в нуль. В системе
    – число неизвестных и число уравнений.
    , матрица системы,
    расширенная матрица системы. В
    силу теоремы Кронекера-Капелли система имеет бесчисленное множество
    решений, зависящих от одного параметра
    . Иногда общее решение удобнее использовать в форме
     .
    5. При каких значениях  система

    имеет нетривиальные (ненулевые) решения ? Найти эти решения.
    Решение.
    Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, когда
    ее определитель равен нулю. Из этого условия и найдем соответствующие
    значения  :
     .
    Найдем теперь соответствующие решения.
    1) При  система
    имеет вид :
     .
    Определитель этой системы равен нулю. Это означает наличие линейной
    зависимости между уравнениями системы. Замечаем, что первое уравнение
    получается из второго и поэтому его можно отбросить. Имеем
     .
    Так как определитель из коэффициентов при неизвестных  не равен нулю, то в качестве
    базисных неизвестных возьмем
    (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и перенесем члены с  в правые части уравнений :
    .
    Полученную систему можно решить по формулам Крамера :

    где  ,  ,  .
    Тогда  ,  . Полагая  , где  произвольное действительное число , получаем решение
    системы :  ,
     ,  .
    2) При  система
    имеет вид :
     .
    Можно решить эту систему и методом Гаусса. Составим расширенную
    матрицу  полученной
    системы :
     и приведем
    ее к матрице ступенчатого вида :

     .
    Восстановим систему для полученной матрицы
       
      .
    Полагая  ,
    где произвольное
    действительное число, получаем решение системы : .
    Ответ : При
    система имеет нетривиальные решения :
    ,  ,  ,
    . При  система
    имеет нетривиальные решения : ,
     .

  9. Alex_Say Ответить

    Для того чтобы система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.
    Теорема. Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.
    Теорема. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
    Определение. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.
    Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из (n-r) решений.

    Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений

    Находим ранг матрицы.
    Выделяем базисный минор. Выделяем зависимые (базисные) и свободные неизвестные.
    Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
    Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
    Решаем полученную систему методом исключения неизвестных. Находим соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.
    Если ранг матрицы не равен количеству переменных, то находим фундаментальное решение системы.
    В случае rang = n имеем тривиальное решение.
    Пример. Найти базис системы векторов (а1, а2,…,аm), ранг и выразить векторы по базе. Если а1=(0,0,1,-1), а2=(1,1,2,0), а3=(1,1,1,1), а4=(3,2,1,4), а5=(2,1,0,3).
    Выпишем основную матрицу системы:
    001-11120111132142103x1x2x3x4
    Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
    Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
    001-100-11111132142103
    Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:
    001-100-110-1-2132142103
    Умножим 4-ую строку на (-2). Умножим 5-ую строку на (3). Добавим 5-ую строку к 4-ой:
    001-100-110-1-210-1-212103
    Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:
    001-100-1100000-1-212103
    В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
    001-100-110-1-212103
    Добавим 2-ую строку к 1-ой:
    000000-110-1-212103
    В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
    00-110-1-212103
    Найдем ранг матрицы.
    00-110-1-212103x1x2x3x4
    Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.
    Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4 – свободные.
    Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
    00-1-10-1-2-1210-3x1x2x3x4
    Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
    – x3 = – x4
    – x2 – 2×3 = – x4
    2×1 + x2 = – 3×4
    Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
    Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4, то есть нашли общее решение:
    x3 = x4
    x2 = – x4
    x1 = – x4

  10. Ulakrosh1968 Ответить

    Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг этой системы равен количеству переменных.
    Совместная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если ранг этой системы меньше количества переменных.
    Пример №1. Исследовать систему алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы) с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
    Запишем систему в виде:

    Для удобства вычислений поменяем строки местами:

    Добавим 2-ую строку к 1-ой:

    Добавим 3-ую строку к 2-ой:

    Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

    Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

    Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

    Добавим 2-ую строку к 1-ой:

    Это соответствует системе:
    -3×2 + 9×3 = 6
    -4×1 + 5×2 + 7×3 – 10×4 = 0
    За базисные переменные примем x1 и x2. Тогда свободные x3,x4.
    Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.
    Пример №2.
    Запишем систему в виде:

    Для удобства вычислений поменяем строки местами:

    Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

    Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

    Умножим 3-ую строку на (3). Умножим 4-ую строку на (-2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

    Добавим 2-ую строку к 1-ой:

    Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

    Добавим 2-ую строку к 1-ой:

    3×2 -2×3 – 3×4 = 10
    3×1 -x2 -2×3 = 1
    Необходимо переменные x3,x4 принять в качестве свободных переменных и через них выразить базисные – x1, x2.
    Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.
    Пример №3. Дана система линейных уравнений у которой число уравнений равно числу неизвестных. При каком условии эта система имеет единственное решение?
    Ответ: Система имеет единственное решение, если ранг этой системы будет равен количеству переменных.

  11. kkosy Ответить

    Другие темы раздела
    Алгебра Найти возможные значения
    https://www.cyberforum.ru/algebra/thread704308.html
    Для действительных чисел a,b,c выполняются равенства a+b+c=2, ab+bc+ ca=1.
    Найти все значения, которые может принимать произведение abc.
    Снизуу получил оценку abc>=2. Наврал. Мой ответ:…
    Решение показательных неравенств Алгебра
    Помогите, кто сколько может, постоянно ошибаюсь со знаками
    Уравнение. На олимпиаде Алгебра
    2{x}^{4}+3{x}^{3}-3{x}^{2}-3x+2=0
    Не эт чё такое такие сложные уранение на олимпиаде.
    на егэ в сто раз легче.
    Алгебра Линейная оболочка
    Существует семейство V(u(1), …, u(n)) над полем K(a(1), …, a(n)) в пространстве V.
    Забежим вперед и допустим, что V2(g(1), …, g(n)) – подпространство V, т.е линейная оболочка, а V для V2…
    https://www.cyberforum.ru/algebra/thread702691.html
    Алгебра Конечномерное пространство
    https://www.cyberforum.ru/algebra/thread702411.html
    Объясните, пожалуйста, вот это
    Если в линейном пространстве существует такое конечное семейство векторов, что каждый вектор пространства является линейной комбинацией этого семейства, то…
    Алгебра Найти базисное решение системы
    2×1+x2-2×3+x4=3
    x1+2×2-x3+2×4=2
    3×1+3×2-3×3+3×4=5
    Привет, решите кто знает эту систему. Задание в название темы, если можно подробно чтобы я понял. Спасибо заранее
    Алгебра Из чисел 7,1,4,100,25,3 нужно получить 239
    Из чисел 7,1,4,100,25,3 нужно получить 239 каждое это число и сумму из них можно использ всего 1раз. умнож,делить ‘+’ ‘-‘
    Алгебра Решение систем квадратных неравенств с двумя и более неизвестными
    подскажите пожалуйста, как решать системы квадратных неравенств с двумя и более неизвестными.
    https://www.cyberforum.ru/algebra/thread701562.html
    Алгебра доказать тождество тригонометрия
    https://www.cyberforum.ru/algebra/thread701346.html
    ctgx-sinx/(1-cosx)=-1/sinx
    Алгебра Объясните,пожалуйста, принцып решения тригонометрических неравенств
    Объясните,пожалуйста, принцып решения тригонометрических неравенств, на примере данного нер-ва:
    a-|sin X|>=(x+п)^2
    https://www.cyberforum.ru/algebra/thread701342.html

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *