Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?

11 ответов на вопрос “Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?”

=>ТаНюШкА<= 16-11-2019 Ответить

В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.
Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ? 0, называется квадратным. Как мы видим коэффициент при х2 не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
1)    Если b = 0, с ? 0, то ах2 + с = 0;
2)    Если b ? 0, с = 0, то ах2 + bх = 0;
3)    Если b= 0, с = 0, то ах2 = 0.
Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах2 + с = 0.
Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим
ах2 = ?с. Так как а ? 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х2 = ?с/а.
Если ?с/а > 0 , то уравнение имеет два корня
x = ±v(–c/a).
Если же ?c/a < 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.
Пример 1. Решите уравнение 2х2 ? 32 = 0.
Решение
2х2 = 32
х2 = 32/2
х2 = 16
х = ± 4
Ответ: х1 = ? 4, х2 = 4.
Пример 2. Решите уравнение 2х2 + 8 = 0.
Решение
2х2 = ? 8
х2 = ? 8/2
х2 = ? 4
Ответ: уравнение решений не имеет.
Разберемся как же решаются уравнения вида ах2 + bх = 0.
Чтобы решить уравнение ах2 + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах + b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах + b = 0. Решая уравнение ах + b = 0, получим ах = ? b, откуда х = ? b/a. Уравнение вида ах2 + bх = 0, всегда имеет два корня х1 = 0 и х2 = ? b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.
Закрепим наши знания на конкретном примере.
Пример 3. Решить уравнение 3х2 ? 12х = 0.
Решение
х(3х ? 12) = 0
х= 0 или 3х – 12 = 0
3х = 12
х = 12/3
х = 4
Ответ: х1 = 0, х2 = 4.
Уравнения третьего вида ах2 = 0 решаются очень просто.
Если ах2 = 0, то х2 = 0. Уравнение имеет два равных корня х1 = 0, х2 = 0.
Для наглядности рассмотрим схему.
Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.
Пример 4. Решить уравнение 7х2 = 0.
Решение
х2 = 0
х1,2 = 0
Ответ: х1, 2 = 0.
Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.
Пример 5. Решить уравнение

Решение
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Сократим
5(5х2 + 9) – 6(4х2 – 9) = 90.
Раскроем скобки
25х2 + 45 – 24х2 + 54 = 90.
Приведем подобные
х2 + 99 = 90.
Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный
х2 = – 9.
Ответ: корней нет.
Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.
Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки, мы вместе решим возникшие проблемы.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
o_O-Be3_ToRmAz0v-O_o 16-11-2019 Ответить

Как решать неполные квадратные уравнения? Решение и количество корней зависят от вида уравнения.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.
Повторим теорию и рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений каждого вида.
I. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax?+bx=0.
Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

Общий множитель x выносим за скобки:

Это уравнение — типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Второе уравнение — линейное. Решаем его:

Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax?+bx=0 имеет 2 корня,один из которых равен нулю, а второй — -b/a.
Примеры.

Общий множитель x выносим за скобки:

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Ответ: 0; -18.

Общий множитель 5x выносим за скобки:

Приравниваем к нулю каждый множитель:

Ответ: 0; 3.
II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax?+c=0 (или ax?-c=0).
Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней.
1. Если знаки a и c — разные, уравнение имеет два корня.
В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов (поскольку квадратные корни начинают учить только в курсе 8 класса, коэффициенты a и c в 7 классе обычно являются квадратами некоторых рациональных чисел):

Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель:

Ответ: 7; -7.

Ответ: 2,25; -2,25.
Sinsinger 16-11-2019 Ответить

Иногда существует возможность оптимизировать вид исходного уравнения, что позволит упростить процесс вычисления корней.
К примеру, квадратное уравнение 12·x2?4·x?7=0 явно удобнее для решения, чем 1200·x2?400·x?700=0.
Чаще упрощение вида квадратного уравнения производится действиями умножения или деления его обеих частей на некое число. К примеру, выше мы показали упрощенную запись уравнения 1200·x2?400·x?700=0, полученную делением обеих его частей на 100.
Такое преобразование возможно, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимно простыми числами. Тогда обычно осуществляют деление обеих частей уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.
Как пример используем квадратное уравнение 12·x2?42·x+48=0. Определим НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД(12, 42, 48)=НОД(НОД(12, 42), 48)=НОД(6, 48)=6. Произведем деление обеих частей исходного квадратного уравнения на 6 и получим равносильное ему квадратное уравнение 2·x2?7·x+8=0.
Умножением обеих частей квадратного уравнения обычно избавляются от дробных коэффициентов. При этом умножают на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. К примеру, если каждую часть квадратного уравнения 16·x2+23·x-3=0 перемножить с НОК(6, 3, 1)=6, то оно станет записано в более простом виде x2+4·x?18=0.
Напоследок отметим, что почти всегда избавляются от минуса при первом коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки каждого члена уравнения, что достигается путем умножения (или деления) обеих частей на ?1. К примеру, от квадратного уравнения ?2·x2?3·x+7=0 можно перейти к упрощенной его версии 2·x2+3·x?7=0.

Связь между корнями и коэффициентами

Уже известная нам формула корней квадратных уравнений x=-b±D2·a выражает корни уравнения через его числовые коэффициенты. Опираясь на данную формулу, мы имеем возможность задать другие зависимости между корнями и коэффициентами.
Самыми известными и применимыми являются формулы теоремы Виета:
x1+x2=-ba и x2=ca.
В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней есть второй коэффициент с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. К примеру, по виду квадратного уравнения 3·x2?7·x+22=0 возможно сразу определить, что сумма его корней равна 73, а произведение корней – 223.
Также можно найти ряд прочих связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть выражена через коэффициенты:
x12+x22=(x1+x2)2-2·x1·x2=-ba2-2·ca=b2a2-2·ca=b2-2·a·ca2.
Alsathis 16-11-2019 Ответить

6 июля 2011
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ? 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 ? 4ac.
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
Если D < 0, корней нет; Если D = 0, есть ровно один корень; Если D > 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
x2 ? 8x + 12 = 0;
5×2 + 3x + 7 = 0;
x2 ? 6x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = ?8, c = 12;
D = (?8)2 ? 4 · 1 · 12 = 64 ? 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 32 ? 4 · 5 · 7 = 9 ? 140 = ?131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = ?6; c = 9;
D = (?6)2 ? 4 · 1 · 9 = 36 ? 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо. Задача. Решить квадратные уравнения: x2 ? 2x ? 3 = 0; 15 ? 2x ? x2 = 0; x2 + 12x + 36 = 0. Первое уравнение: x2 ? 2x ? 3 = 0 ? a = 1; b = ?2; c = ?3; D = (?2)2 ? 4 · 1 · (?3) = 16. D > 0 ? уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 ? 2x ? x2 = 0 ? a = ?1; b = ?2; c = 15;
D = (?2)2 ? 4 · (?1) · 15 = 64.
D > 0 ? уравнение снова имеет два корня. Найдем их
\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
Наконец, третье уравнение:
x2 + 12x + 36 = 0 ? a = 1; b = 12; c = 36;
D = 122 ? 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ? уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
\[x=\frac{-12+\sqrt{0}}{2\cdot 1}=-6\]
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
x2 + 9x = 0;
x2 ? 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (?c/a) ? 0. Вывод:
Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (?c/a) ? 0, корней будет два. Формула дана выше;
Если же (?c/a) < 0, корней нет. Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (?c/a) ? 0. Достаточно выразить величину x2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще. Теперь разберемся с уравнениями вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобку
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
x2 ? 7x = 0;
5×2 + 30 = 0;
4×2 ? 9 = 0.
x2 ? 7x = 0 ? x · (x ? 7) = 0 ? x1 = 0; x2 = ?(?7)/1 = 7.
5×2 + 30 = 0 ? 5×2 = ?30 ? x2 = ?6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4×2 ? 9 = 0 ? 4×2 = 9 ? x2 = 9/4 ? x1 = 3/2 = 1,5; x2 = ?1,5.
EQEFUFOX 16-11-2019 Ответить

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.
Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.
$a$ называется первым коэффициентом;
$b$ называется вторым коэффициентом;
$c$ — свободным членом.
Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида $x^2 + px + q = 0$ , первый коэффициент которого равен единице ( $a = 1$ ).
Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 - 8x + 3 = 0$ . Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 - 2x = 0$ .
Значение неизвестного $x$ , при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение $x = 2$ является корнем квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ , потому что $2^2 - 5 \cdot 2 - 6 = 0$ или $0 = 0$ — это верное числовое равенство.
Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.

Решение неполных квадратных уравнений

ax2 + bx = 0, a≠0, b≠0

Пусть неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$ , где a ≠ 0; b≠ 0. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$ .
1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
Мы получим $x (ax + b) = 0$ . Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b = 0$ . Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

2. Решаем получившуюся систему уравнений.
Решив эту систему, мы получим $x = 0$ и $x = - \frac {b}{a}$ . Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x = - \frac {b}{a}$ .
VideoAnswer 16-11-2019 Ответить
VideoAnswer 16-11-2019 Ответить
VideoAnswer 16-11-2019 Ответить
VideoAnswer 16-11-2019 Ответить

Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?

11 ответов на вопрос “Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?”

Добавить ответ Отменить ответ