Сколько различных аккордов содержащих 3 звука можно взять на 13 клавишах?

6 ответов на вопрос “Сколько различных аккордов содержащих 3 звука можно взять на 13 клавишах?”

Zulkigrel 03-10-2019 Ответить

866. Сколько существует способов распределить компанию из восьми друзей по местам двух купе поезда?
Решение.Так как в двух купе поезда восемь мест, столько, сколько и пассажиров, то различные способы их размещения получаются перестановкой (пересаживанием) пассажиров. Число способов размещения 8 пассажиров на 8 местах равно количеству перестановок из 8-ми элементов P8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40160.
Ответ. 40160.
867. Сколько существует способов рассадить 18 учеников 11-А за девятью партами физического кабинета (по 2 за парту)?
Решение. Искомое количество равно количеству размещений без повторения из 18 элементов по 18, что совпадает с количеством перестановок из 18 различных элементов P8 = 18! = 6402373705728000.
Ответ. 18!.
868. Сколько способов выбрать 3-х дежурных из класса, в котором 20 учеников?
Решение. Для выбора дежурных следует произвести неупорядоченную выборку трех учеников из двадцати, то есть сочетание из 20 по 3. Количество таких сочетаний вычисляется по формуле $C_{20}^3 = \frac{20!}{(20-3)!\cdot 3!} = \frac{20!}{17!\cdot 3!} =$ $\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6} = 1140.$
Ответ.
Ответ. 1140.
869. Сколько различных звукосочетаний можно взять на 10 клавишах рояля, если каждое звукосочетание может включать в себя от 3 до 10 звуков?
Решение. Выбор трех нот из десяти является сочетанием по три элемента из десяти. Количество таких сочетаний обозначают $C_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!\cdot 3!} = \frac{10!}{7!\cdot 3!} = 120.$ Столько же существует звукосочетаний из семи нот, так как $C_{10}^7 = C_{10}^{10-7} = C_{10}^3 = 120.$ Звукосочетаний из 4 звуков, так же как и из шести звуков, $C_{10}^4 = C_{10}^6 = \frac{10!}{6!\cdot 4!} = 210.$ По 5 звуков – $C_{10}^5 = \frac{10!}{(10-5)!\cdot 5!} = 252,$ по 8 – $C_{10}^8 = \frac{10!}{2!\cdot 8!} = 45,$ и 10 звукосочетаний по 9 звуков, плюс одно по 10. Всего получим 120+210+252+210+120+45+10+1=968 звукосочетаний.
Ответ. 968.
870. С понедельника по пятницу Оля посещает дополнительные занятия по физике, математике, химии, русскому и английскому языках (по одному предмету в день). Сколько у Оли способов составить расписание дополнительных занятий на неделю?
Решение. Оле придется распределить 5 предметов на 5 дней, что с точки зрения комбинаторики является размещением из 5 элементов по 5. С другой стороны, все 5 дней должны быть заняты каким-нибудь предметом, следовательно, одно расписание получается из другого перестановкой предметов между собоой. Тогда количество различных расписаний равно количеству перестановок из пяти элементов: P5 = 5! = 120.
Ответ. 120.
871. Сколько существует способов трижды посетить бассейн в течение двух недель (по одному разу в день)?
Решение. Для трех посещений бассейна следует выбрать по одному из четырнадцати дней недели, причем порядок выбора дней не существенен, так как они все-равно будут наступать в календарном порядке. Следовательно речь идет о сочетании из 14 элементов по 3. Количество таких сочетаний C314 = 14!/(11!*3!)=14*13*12/6=364.
Ответ. 364.
872. У Коли есть 10 различных марок а у Пети – 12. Сколькими способами мольчики смогут обменяться двумя марками?
Решение. У Коли есть возможность выбрать для обмена C210 пар марок. При этом на каждою выбранную Колей пару Петя сможет предложить любой из имеющихся у него C212 наборов по две марки. По правилу произведения общее количество способов равно C210*C212 = 10!/(8!*2!)*12!/(10!*2!) = 10*9/2*12*11/2 = 2970 способов.
Ответ. 2970.
Решить уравнения (873 – 875):
873. $\frac{A_x^4}{A_{x+1}^3 - C_x^{x - 4}}=\frac{24}{23};$
Решение. Применив формулы количества размещений $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)$ количества сочетаний $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)}{k!},$ получим уравнение:
$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{(x+1)x(x-1)-\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{4!}}=\frac{24}{23},$
$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{x(x-1)\left((x+1)-\frac{(x-2)(x-3)}{24}\right)}=\frac{24}{23},$
$\frac{(x-2)(x-3)}{x+1-\frac{(x-2)(x-3)}{24}}=\frac{24}{23},$
$\frac{(x-2)(x-3)}{\frac{24x+24-(x-2)(x-3)}{24}}=\frac{24}{23},$
$\frac{24(x-2)(x-3)}{24x+24-(x-2)(x-3)}=\frac{24}{23}.$
Разделив обе части уравнения на 24 и применив основное свойство пропорции получим:
23(x-2)(x-3)=24x+24-(x-2)(x-3),
23(x-2)(x-3)+(x-2)(x-3)=24x+24,
24(x-2)(x-3)=24(x+1),
(x-2)(x-3)=x+1,
x2-5x+6-x-1=0,
x2-6x+5=0.
Теорема Виета указывает на то, что последнее квадратное имеет корни 1 и 5. Решение х=1 не удовлетворяет условию задачи, поскольку Akn и Сkn имеют смысл только при неотрицательных значениях n и k.
Ответ.х=5.
874. $C_{x+1}^{x - 2} + 2 C_{x - 1}^3 =7(x - 1);$
Решение. Используя известную формулу количества сочетаний из n элементов по k получим уравнение:
$\frac{(x+1)!}{3!\cdot (x-2)!}+\frac{2(x-1)!}{(x-4)!\cdot 3!}=7(x-1).$
После сокращения соответствующих факториалов получим уравнение:
$\frac{(x+1)x(x-1)}{6}+\frac{2(x-1)(x-2)(x-3)}{6}=7(x-1).$
Так как по условию задачи величина x-2 должна выражаться неотрицательным целым числом, то выражение х-1 отлично от 0 и обе части последнего уравнения можно разделить на х-1. Умножив их при этом на 6 получим:
(x+1)x + 2(x-2)(x-3) = 42.
Упрощение последнего уравнения приводит к квадратному уравнению
3×2-9x-30=0,
x2-3x-10=0,
с корнями -2 и 5. Так как решение х=-2 не удовлетворяет условию задачи, то х=5.
Ответ. х=5.
875. $A_x^3 + C_x^{x - 2}}=14x.$
Решение. Заметим, что заданное уравнение имеет смысл при любых натуральных значениях х, начиная с 2. Применив формулы $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)$ и $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)}{k!},$ получим уравнение:
$\frac{x!}{(x-3)!}+\frac{x!}{2!\cdot(x-2)!}=14x,$
$x(x-1)(x-2)+\frac{x(x-1)}{2}=14x,$
разделив обе части которого на x и умножив на 2 получим:
2(x-1)(x-2)+x-1=28,
2×2-5x-25=0.
Решив полученное квадратное уравнение найдем x1=-2,5, x2=5, но, учитывая сделанное в начале решения замечание, получим х=5.
Ответ. 5.
876. Доказать, что при любых n и k сумма $C_{n + k}^2 + C_{n + k + 1}^2$ является точным квадратом.
Решение. Преобразуем заданное выражение используя формулу $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)}{k!},$ получим:
$C_{n+k}^{2}+ C_{n+k+1}^{2} =\frac{(n+k) (n+k-1)}{2!}+\frac{(n+k+1) (n+k)}{2!}=$ $\frac{n+k}{2}\left(n+k-1+n+k+1\right)=\frac{(n+k)(2n+2k)}{2}=\frac{(n+k)\cdot 2\cdot(n+k)}{2}=(n+k)^2.$ Т.е. сумма $C_{n + k}^2 + C_{n + k + 1}^2$ является квадратом суммы n+k.
Ответ. $C_{n + k}^2 + C_{n + k + 1}^2 = (n+k)^2.$
877. Сумма биномиальных коэффициентов разложения $\left(2nx + \frac{1}{2nx^2}\right)^{3n}$ равна 64. Определить слагаемое, не содержащее x.
Решение. 1) Сумма биномиальных коэффициентов разложения (a+b)k равна 2k. Так как 64=26, следовательно по условию задачи 3n = 6, откуда n = 2 и наше разложение принимает вид $\left(4x + \frac{1}{4x^2}\right)^6.$
2) Слагаемое с номером i = 0,1,…,k в разложении разложения (a+b)k имеет вид $C_k^i\cdot a^{k-i}\cdot b^i,$ т. е. в нашем разложении – $C_6^i\cdot (4x)^{6-i}\cdot \left(\frac{1}{4x^2}\right)^i = C_6^i\cdot \frac{4^{6-i}x^{6-i}}{4^i x^{2i}}.$ Для того, чтобы это слагаемое не содержало х, нужно, чтобы степени х в числителе и знаменателе совпадали. Т.е. с номером i, где 6-i=2i не содержит х, откуда i=2 и искомое слагаемое равно $C_6^2\cdot \frac{4^{6-2}x^{6-2}}{4^2 x^{2\cdot 2}} = \frac{6!}{4!\cdot 2!}\cdot\frac{4^4x^4}{4^2 x^4} = 15\cdot 16= 240.$
Ответ. 240.
878. При каком значении x четвертое слагаемое разложения (5 + 2 x)16 больше двух соседних слагаемых.
Решение. Четвертое слагаемое разложения (5 + 2 x)16 будет иметь вид: $C_{16}^3\cdot 5^{16 - 3} \cdot (2x)^{3}$ . Соседние слагаемые – третье: $C_{16}^2\cdot 5^{16 - 2} \cdot (2x)^{2}$ и пятое: $C_{16}^4\cdot 5^{16 - 4} \cdot (2x)^{4}$ .
Для того, чтобы четвертое слагаемое было больше третьего, необходимо исполнение неравенства
$C_{16}^2\cdot 5^{16 - 2} \cdot (2x)^{2} использовав в котором формулы количества сочетаний и упростив, получим: <img align=$ 0,” />
$x^{2}(56 x - 30) class=$ 0.” />
Применив к последнему неравенству метод интервалов (см. рисунок), получим его решение: $x \in (\frac{30}{56} ; +\infty).$

Аналогично, из условия, что четвертое слагаемого больше пятого, получим неравенство
$C_{16}^4\cdot 5^{16 - 4} \cdot (2x)^{4} упрощая его, получим: <img align=$

Общая область полученных интервалов, очевидно, составит $x \in (\frac{30}{56}; \frac{10}{13}).$
Ответ. $x \in (\frac{30}{56}; \frac{10}{13}).$
879. Найти наибольший коэффициент разложения (a + b)n, если сума всех коэффициентов составляет 4096.
Решение. Сумму всех биномиальных коэффициентов n-ой степени можно получить, если в разложении (a + b)n положить a = b = 1, она равна (1 + 1)n = 2n. По условию задачи это число составляет 4096, следовательно n = 12. Величина биномиальных коэффициентов возрастает от начала разложения и убывает к концу разложения, т.е. наибольший коэффициент имеет средний член разложения – при n = 12 это седьмое слагаемое разложения. Оно имеет коэффициент $C_{12}^6 = \frac{12!}{(12-6)!\cdot 6!} = \frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{6!} =$ $\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{720} =$ $\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{60} =$ $\frac{11\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{6} = 11\cdot 3\cdot 4\cdot 7 = 924.$
Ответ. 924.
880. Определить $A_n^2 ,$ если известно, что пятое слагаемое разложения $\left( \sqrt[3]{x} + \frac{1}{x}\right)^n$ не зависит от x.
Решение. Пятое слагаемое бинома Ньютона $(a + b)^n$ имеет вид $C_n^4\cdot a^{n-4} \cdot b^4$ . В заданном разложении оно будет выглядеть так:
$C_n^4\cdot (\sqrt[3]{x})^{n-4} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^4 =$ $C_n^4\cdot x^{\frac{n-4}{3}} \cdot x^{-4} = C_n^4\cdot x^{\frac{n-4}{3}-4} =$ $C_n^4\cdot x^{\frac{n-4-12}{3}} = C_n^4\cdot x^{\frac{n-16}{3}}.$
Для того, чтобы это слагаемое не зависело от x, нужно, чтобы степень возле x равнялась нулю, что получится при n=16.
Следовательно, в задаче спрашиваеться число $A_{16}^2 = \frac{16!}{(16-2)!} = 16\cdot 15 = 240.$
Ответ. 240.
Вернуться в задачник
Akinozilkree 03-10-2019 Ответить

Цели:
сравнить различные виды комбинаций в
комбинаторике: размещения, перестановки,
сочетания;
повторить формулы для нахождения числа
различных видов комбинаций: размещений,
перестановок, сочетаний;
научиться распознавать задачи на нахождение
размещений, перестановок, сочетаний;
решить простейшие комбинаторные задачи с
помощью формул для нахождения числа размещений,
перестановок, сочетаний.

Ход урока

1. Решим задачу:
“У вас есть 9 разных книг из серии
“Занимательная математика”. Сколькими
способами можно:
1) расставить их на полке;
2) подарить три из них победителям школьной
олимпиады, занявшим первые три призовых места;
3) выбрать три из них для подарка своему
племяннику”
Для ответа на первый вопрос задачи вспомним:
Вопросы учителя
Ответы учеников
1. Как называются различные комбинации
выстраивания нескольких предметов друг за
другом?
– Перестановками
2. Что называется перестановками из n
элементов?
– Перестановками из n элементов
называются комбинации из n элементов,
отличающиеся друг от друга только порядком
следования элементов
3. Чем отличаются друг от друга две
различные перестановки?
– Порядком следования элементов
4. По какой формуле можно вычислить
число всевозможных перестановок из n элементов?
–
5. Рассчитаем число всевозможных
перестановок из 9 книг на полке

Для ответа на второй вопрос задачи вспомним:
Вопросы учителя
Ответы учеников
1. Как можно выбрать три книги из девяти
для трех победителей?
– Произвольно, наборы из трех книг
могут отличаться либо книгами, либо порядком их
дарения
2. Как можно назвать наборы из 9 книг по 3
в каждом?
– Размещениями из 9 книг по 3
3. Что называется размещениями из n
элементов по k элементов?
– Размещениями из n элементов по k
элементов – называются комбинации из n элементов
по k каждой, отличающиеся друг от друга либо
составом, либо порядком расположения элементов
4. Чем отличаются друг от друга две
различные комбинации-размещения?
– Порядком следования элементов–
Составом элементов
5. По какой формуле можно вычислить
число всевозможных размещений из n элементов по k
элементов?
–
6. Рассчитаем число всевозможных
размещений из 9 книг по 3 для победителей

Для ответа на третий вопрос задачи подумаем:
Вопросы учителя
Ответы учеников
1. Важно ли для племянника в каком
порядке располагаются книги в его подарочном
наборе?
– Нет
2. Как можно назвать комбинации из 9 книг
по 3 в каждой?
-Сочетаниями из 9 книг по 3
3. Что называется сочетаниями из n
элементов по k элементов?
– Сочетаниями из n элементов по k
элементов – называются комбинации из n элементов
по k каждой, отличающиеся друг от друга составом
4. Чем отличаются друг от друга две
различные комбинации-сочетания?
– Составом элементов
5. По какой формуле можно вычислить
число всевозможных сочетаний из n элементов по k
элементов?
–
6. Рассчитаем число всевозможных
сочетаний из 9 книг на полке 3 для победителей

2. Сделаем некоторые выводы из решения
задачи:
Вопросы учителя
Ответы учеников
1. В науке и практике часто встречаются
задачи, решая которые приходится составлять
различные комбинации из конечного числа
элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие
задачи называются комбинаторными. Для
нахождения комбинаций – размещений,
перестановок и сочетаний и их числа существуют
специальные способы. Назовите признаки, по
которым можно отличить друг от друга эти
комбинации?
– Порядок следования элементов–
Состав элементов
2. Зафиксируем наличие перечисленных
признаков в обобщающую таблицу:
Признаки

Порядок следования элементов
+
–
+
Состав элементов
–
+
+
Среди перечисленных ниже задач выделить те, в
которых требуется найти
а) размещения;
б) перестановки;
в) сочетания.
Номера выбранных задач и способ нахождения
числа комбинаций записать в таблицу:
Каша-_-ИваШа 03-10-2019 Ответить

1. В теоретической тетради сделать таблицу на 5 столбцов и 3 строки
Столбцы : перестановки, размещения, сочетания, без названия
Строки: без повторений, с повторениями.
Заполнить формулами.
2. Решить задачи:
2.1. Сколько «слов» можно составить из слова «геометрия», «перпендикуляр».
2.2. Сколько возможно вариантов завершения игры в «крестики-нолики».
2.3. Сколько различных аккордов, содержащих 3 звука, можно взять на 13 клавишах одной октавы?
2.4. На окружности отмечено 12 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках.
2.5. В вазе лежат 5 разных яблок и 6 различных апельсинов. Сколькими способами из них можно выбрать 2 яблока и 2 апельсина.
2.6. В чемпионате страны по футболу участвуют 18 команд, каждые 2 команды встречаются на футбольных полях 2 раза. Сколько матчей играется в сезоне?
2.7. Сколькими способами можно разложить 6 монет по двум карманам?
2.8. В 9 классе изучается 13 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание на 6 уроков, если каждый предмет встречается не более 2 раз.
2.9. Сколькими способами можно составить очередность ухода в отпуск 8 сотрудников.
2.10. В двоичной системе счисления, используемой ЭВМ, информация записывается с помощью цифр 1 и 0. Каждое «машинное слово» записывается в ячейке памяти, содержащей 32 пронумерованных двоичных разряда. Сколько различных «слов» можно записать в такой ячейке.
Buzaron 03-10-2019 Ответить

Сколько различных аккордов можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от трех до десяти звуков.
[9]
Аккордом набираются также числа, состоящие из одинаковых цифр ( 55), или соседние числа. При наборе многозначного числа аккорд может повторяться 2 – 3 раза.
[10]
Завершающим аккордом этого периода явилась перестройка, начавшаяся в 1985 году.
[11]
Заключительным аккордом в применении стратегического планирования является разработка правил принятия решений.
[12]

Функциональные схемы аппаратуры.
[13]
Аппаратура Аккорд 50 ПП ( рис. 236, а) также включается в абонентский комплект в качестве УЗО. Приемопередатчик аппаратуры Аккорд 50 ПП с помощью сопрягающего устройства СУ соединяется с вводным фотосчитывающим устройством FS-1500 и выводным ленточным перфоратором ПЛ-150. С приемопередатчиком связан рулонный телеграфный аппарат РТА ( Т-63), который можно использовать для ввода и вывода данных. При работе по сети абонентского телеграфа для вызова нужного абонента используют вызывной прибор ВП. Для защитного кодирования и проверки принятых кодовых комбинаций служит стартстопный электронный приемопередатчик.
[14]
Аппаратура Аккорд 1200 ПП ( рис. 236 б) отличается от аппаратуры Аккорд 50 ПП более высоким быстродействием, так как в ней преобразование импульсов при приеме или передаче осуществляется с помощью модулятора-демодулятора ( МОДЕМ) сигналов. В качестве вызывного устройства в аппаратуре служит телефонный аппарат с номеронабирателем.
[15]
Страницы:
1
2
3
4
неуловимая 03-10-2019 Ответить

Другие темы раздела
Комбинаторика Сколько точек пересечения отрезков находится внутри окружности?
http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1396001.html
• На окружности отмечены 10 точек. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько точек пересе-
чения отрезков находится внутри окружности?
Комбинаторика Сколько существует различных треугольников с вершинами в отмеченных точках?
• На двух параллельных прямых отмечны по 5 точек. Сколько существует различных треугольников
с вершинами в отмеченных точках?
Сколько существует различных треугольников с вершинами в отмеченных точках? Комбинаторика
• На окружности отмечены 10 точек. Сколько существует различных треугольников с вершинами в
отмеченных точках?
Комбинаторика Сколькими способами фишка может переместиться на 10 клеток?
Фишка может перемещаться в одном направлении по разделенной на клетки полосе, передвигаясь
за один ход либо на 1 клетку, либо на 2. Сколькими способами она может переместиться на 10
клеток?
по…
http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1395998.html
Комбинаторика Сколько различных хороводов можно составить?
http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1395711.html
Вокруг новогодней елки водят хоровод 10 малышей. Сколько различных хороводов можно составить
(хороводы одинаковы, если один из другого получается поворотом)?
Прошу помощи в решении!
Комбинаторика Сколько существует шестизначных натуральных чисел с единицами и нулями?
• Сколько существует шестизначных натуральных чисел, в десятичной записи которых содержатся
три единицы и три нуля?
Прошу помощи в решении!
Сколько существует шестизначных натуральных чисел с одной цифрой 7? Комбинаторика
• Сколько существует шестизначных натуральных чисел, десятичная запись которых содержит ровно
одну цифру 7?
Прошу помощи в решении!
Комбинаторика Сколько существует шестизначных натуральных чисел без цифры 7?
• Сколько существует шестизначных натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит
цифру 7?
Прошу помощи в решении!
http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1395706.html
Комбинаторика Каким количеством способов можно поставить на полку в ряд 13 томов собрания сочинений
http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1395699.html
• Каким количеством способов можно поставить на полку в ряд 13 томов собрания сочинений А.С.
Пушкина так, чтобы первый и второй тома не стояли рядом?
Прошу помощи в решении!
Комбинаторика Сколько существует шестизначных натуральных чисел с двумя цифрами 7?
• Сколько существует шестизначных натуральных чисел, десятичная запись которых содержит ровно
две цифры 7?
Прошу помощи в решении!
http://www.cyberforum.ru/combinatorics/thread1395618.html
VideoAnswer 03-10-2019 Ответить

Сколько различных аккордов содержащих 3 звука можно взять на 13 клавишах?

6 ответов на вопрос “Сколько различных аккордов содержащих 3 звука можно взять на 13 клавишах?”

Добавить ответ Отменить ответ