Сколько всего различных замкнутых ломаных можно построить с вершинами авсд?

1 ответ на вопрос “Сколько всего различных замкнутых ломаных можно построить с вершинами авсд?”

  1. VineLood Ответить

    Цель: подвести учащихся к
    необходимости систематического поиска
    вариантов для решения задач, готовящих их к
    изучению комбинаторики.
    ХОД ЗАНЯТИЯ
    1. Сегодняшнее наше занятие посвящено
    задачам, которые решаются способом перебора.
    Начнем с задачи № 104, которую вы решали в начале
    года, оформляя ее на альбомных листах. Вы уже
    знали, что ломаных должно быть 12, и поэтому
    стремились изобразить именно 12 ломаных, но у
    многих одна и та же ломаная начерчена несколько
    раз, например, ABCD, DCBA – это одна и та же ломаная.
    Давайте, прежде, чем чертить, переберем все
    варианты.
    Во-первых, повторим понятие ломаная.

    Рисунок 1
    Итак, задача № 104. Сколько всего различных
    незамкнутых ломаных можно построить с
    вершинами в точках A, B, C, D? [1]

    Рисунок 2
    Решение.
    Вначале давайте в качестве одного конца
    возьмем точку А. Её можно соединить с точками В, С
    и D, далее, точку В соединяем с точкой С или с
    точкой D, точку С с точкой В или с точкой D, точку D с
    точкой В или с точкой С. Изобразим это на рисунке.

    Рисунок 3
    Получили ломаные ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB. Всего 6
    ломаных.
    Аналогично:

    Рисунок 4
    Получили ломаные BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA. Всего 6
    ломаных. Ломаные BCDA и BDCA были получены в первом
    случае, поэтому их исключаем, остаётся 4 ломаных.
    С концом в точке С рассмотрим следующие
    ломаные:

    Рисунок 5
    Их 6: CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA. Ломаные CADB, CBDA, CDAB, CDBA
    были получены ранее, поэтому их исключаем,
    остаётся 2 ломаных.

    Рисунок 6
    С концом в точке D получим ломаные DACB, DABC, DBCA, DBAC,
    DCAB, DCBA. Всего 6 ломаных, и все они были уже получены
    ранее.
    Таким образом, из 24 рассмотренных получается
    6+4+2=12 различных ломаных или 24 : 2 = 12.
    Ответ: 12.
    Задача № 105.
    Сколько всего различных замкнутых ломаных
    можно построить с вершинами в точках A, B, C, D? [1]

    Рисунок 7
    Решение.
    Поскольку ACDB = DBAC = BDCA = CABD = BDCA = CABD = ACDB = DBAC, то,
    используя решение задачи № 104, получим 24 : 8 = 3.
    Ответ: 3.
    2. Задача.
    Заполнить клетки крестика цифрами 1, 3, 5, 7, 9 так,
    чтобы сумма цифр, стоящих по горизонтали,
    равнялась сумме цифр, стоящих по вертикали. [2]

    Рисунок 8
    В условии задачи не уточнено, что надо
    заполнить клетки всеми возможными способами или
    указать хотя бы один способ заполнения. Учащиеся
    находят несколько способов, обычно ставя в центр
    крестика цифру 5. но некоторые могут поставить в
    центр и другую цифру. И тогда возникает вопрос: а
    любую ли из этих цифр можно поставить в центр
    крестика? В ходе обсуждения выясняем, что в центр
    можно поставить или 5, или 1, или 9. 3 или 7 поставить
    нельзя, так как суммы при этом будут
    неодинаковыми. Предлагается найти все способы
    для каждой из трех цифр: 5, 1 и 9. Рассуждения такие:
    пусть в центре стоит цифра 5, поставим слева цифру
    1, тогда справа может стоять только 9, вверху 3 или
    7, тогда внизу 7 или 3, то есть способов два. Если
    слева поставить цифры 3 ,7, 9, то способов будет еще
    шесть, всего восемь. Добавим восемь способов с
    цифрой 1 в центре и восемь способов с цифрой 9 в
    центре, всего получится двадцать четыре способа.
    Ответ: 24 способа заполнения.
    3. Итак, подведём итоги. Некоторые
    задачи математики можно решить способом
    систематического перебора, то есть придумав
    какой-то порядок для нахождения всех вариантов.
    Такие задачи в математике называются
    комбинаторными.
    Дома ребятам предлагается на альбомном листе
    еще раз начертить все ломаные к задаче 1 и все
    крестики к задаче 2.
    Используемая литература:
    Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика 5
    класс – М.: Мнемозина, 2009 год
    Журнал «Математика в школе» №4 – 2006 г. с. 42-45

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *