Сто первых натуральных чисел в каком то порядке записали в ряд?

2 ответов на вопрос “Сто первых натуральных чисел в каком то порядке записали в ряд?”

  1. Cron Ответить

    Решение.а) Пусть на доске написано число 250 и 99 других различных натуральных чисел. Минимально возможная сумма чисел на доске достигается при условии, что сумма 99 различных натуральных чисел минимальна. А это, в свою очередь, возможно, если 99 различных натуральных числа – арифметическая прогрессия с первым членом и разностью Сумма этих чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии, составит: Сумма всех чисел на доске S будет равна: Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 250, больше 5100, следовательно, числа 250 на доске быть не может.
    б) Пусть на доске не записано число 11. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы первых 10 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 1,2,3,..10) и суммы первых 90 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 12,13,14,..101). Найдем эту сумму: Не трудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5100, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 11, больше 5100, следовательно, без числа 11 на доске обойтись нельзя.
    в) Допустим, что на доске выписаны все числа от 1 до 100. Тогда получается, что полученный ряд составляет арифметическую прогрессию с первым членом, разностью По формуле для суммы арифметической прогрессии найдем сумму всех чисел на доске Полученная сумма не удовлетворяет условию задачи. Теперь, чтобы увеличить сумму всех чисел, написанных на доске до обозначенной в условии, попробуем заменить числа, кратные 11 на другие числа, следующие за сотней: 77 заменим на 103, 88 на 102, а 99 на 101. Полученная сумма S будет равна: Подправим сумму S: заменим число 101 на число 109, окончательно получим: При дальнейшей замене чисел, кратных 11 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 11 равно 6.
    Приведем другое решение пункта в).
    Приведем пример, когда на доске написано шесть чисел, кратных 11 (11, 22, 33, 44, 55, 66): 1, 2, … , 76, 78, 79, … , 87, 89, 90, … , 98, 100, 101, 102, 103. Докажем, что на доске не может быть меньше шести чисел, делящихся на 11 без остатка. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 11, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальны. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 11, на наименьшие возможные числа, большие ста. Пусть количество чисел, кратных 11, равно 5. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна: Полученная сумма больше, чем 5100. При дальнейшей замене чисел, кратных 11, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше шести чисел, кратных 11.
    Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 6.

  2. Karol odnoklassnikov Ответить

    Решение. Начинающий может победить при любом начальном положении короля. Суть стратегии в следующем. Подсчитаем число вертикальных ходов, которыми король может с исходного поля дойти до нижней (первой) горизонтали, а также количество «прямых» ходов, которыми король может дойти до верхней (восьмой) горизонтали. Поскольку сумма этих чисел равна 8 – 1 = 7, то одно из них нечётно.
    Пусть, для определённости, надо сделать нечётное число ходов, чтобы дойти до нижней горизонтали. Тогда первый игрок может пойти прямо вниз; номер горизонтали уменьшится
    на 1 и из чётного станет нечётным. Что делать второму? Если он сделает горизонтальный ход или вернётся диагональным ходом на исходную горизонталь, то первый игрок сразу сможет выиграть. Поэтому второй игрок будет вынужден сделать вертикальный или диагональный ход, спустившись ещё ниже.
    В ответ первый игрок опять может пойти вертикально вниз. Второму, чтобы не проиграть, опять придётся опустить короля ещё ниже, и так будет продолжаться до того, как после очередного хода первого игрока король попадёт на нижнюю горизонталь. Тогда второму игроку придётся сделать горизонтальный ход или поднять короля по диагонали вверх, после чего первый игрок побеждает, ставя короля на ранее пройденное поле.
    Заметьте: если бы размеры доски были иными (например, 9?9), то не каждое исходное положение короля приносило бы выигрыш тому, кто делает первый ход: 16 полей (подумайте, какие именно) были бы выигрышными для второго игрока.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *