В каких состояниях температура газа при циклическом процессе?

13 ответов на вопрос “В каких состояниях температура газа при циклическом процессе?”

Siralv 26-12-2019 Ответить

Сообщение от maks.runner

Помогите решить, желательно с подробными действиями, чтобы было понятно)) спасибо…
С одним молем идеального одноатомного газа совершают цикл, который на диаграмме PV изображается окружностью. Нижней точке окружности соответствует давление 100 кПа, верхней 200 кПа. Максимальный объем в цикле равен 16,6 л. Минимальный объем равен 8,3 л. Найти максимальную температуру.
maks.runner, хорошей новостью является то, что в заданных условиях

а далее мне эта задачка видится, чисто алгебраической и это новость, – так себе, поскольку как математик математику признаюсь, что моё счастье форуме состоит в том, что меня за мои математические труды на этом форуме ещё не бьют.
Попробую порассуждать, а Вам решать, что верно, а что нет. В числовом виде P(V) окружностью не является, это эллипс который графически выглядит как окружность. Чтобы сохранить уравнение окружности примем по оси V масштабный коэффициент A=100/8,3. То есть координата X =AV. А по оси Y масштаб останется равным единице: Y=P
Радиус окружности равен r=50 (R занято универсальной газовой постоянной)), Yc=150, Xc=12,45 A, – то есть тоже 150. Забавное совпадение. Уравнение окружности:

распадается на два уравнения, верхней и нижней полуокружности, соответственно:

и

Вернёмся к P и V:

и

вспомнив хорошую новость умножим обе части обоих уравнений на

и получим две кривые температуры (в смысле функции)) :

и

индексы символизируют верхнюю и нижнюю часть полуокружности (не верхнее и нижнее значение температуры))
Обе являются функциями только V.
Теперь необходимо продифференцировать, приравнять к нулю и найти значения объёмов при которых наблюдается экстремум. Рискну предсказать, что один соответствует минимуму, а один максимуму T. Это выяснится подстановкой в уравнение состояния (PV=RT), хотя и на глаз будет видно: меньшему объёму соответствует большая температура. Отнеситесь критически и в бой. Удачи.
ps: признайтесь, где такие задачи задают?
Добавлено через 9 минут

Сообщение от IGPIGP

и получим две кривые температуры (в смысле функции)) :

и

кривые таки, потому, что радиус выразил криво. Надо бы:

и

просмотрите всё внимательно, может, что-то и пригодится.
Добавлено через 9 часов 18 минут
Вот здесь:

Сообщение от IGPIGP

…Чтобы сохранить уравнение окружности примем по оси V масштабный коэффициент A=100/8,3…
и тут:

Сообщение от IGPIGP

… Xc=12,45 A, – то есть тоже 150…
неточно. Не учёл, что объём в литрах. Перевод в М3 приведёт к тому что:
…Чтобы сохранить уравнение окружности примем по оси V масштабный коэффициент A=100000/8,3…
и
…Xc=(12,45E-3) A, – то есть тоже 150…
2
Люби меня 26-12-2019 Ответить

Данную задачу легко решить методом исключения.
2 утверждение не подходит так как третья точка имеет самую маленькую концентрацию и давление а значит и температура там минимальна.
3 неверно так как в этом процессе произошло уменьшение плотности, а она в свою очередь обратно пропорциональна объему (масса константа по условию)
5 неверно тк в процессе 3-1 возросло давление при неизменной концентрации, очевидно что газ нагрели а изменения объема не произошло. А если не происходит изменение объема, то и работа не совершается.
1 утверждение верное. Изменение плотности не пропорционально изменению давления, следовательно произошло изменение температуры.
Для того что бы проверить четвертое утверждение таки придется прибегнуть к формулам, (держитесь).
Уравнение Менделеева-Клапейрона
[math]\mathrm{PV}=\mathrm{?RT}[/math]
Упростим формулу
[math]\mathrm P\frac{\mathrm m}{\mathrm\rho}=\frac{\mathrm m}{{\mathrm M}_\mathrm r}\mathrm{RT},\;\;\mathrm P=\frac{\mathrm{?RT}}{{\mathrm M}_\mathrm r},\;\;\mathrm T=\frac{{\mathrm{PM}}_\mathrm r}{\mathrm{R?}}[/math]
Если подставить известные величины, не забыв исключить константы то можно заметить что минимальная температура будет в состоянии 2, а максимальная в состоянии 1.
14
JOHYVPAL 26-12-2019 Ответить

Методика решения задач с
использованием диаграмм состояния

10-й класс. углубленный
курс

Метод решения задач с
использованием диаграмм состояния успешно
зарекомендовал себя при изуче- нии тем «Газовые
законы», «Термодинамика», «Тепловые двигатели».
Этот метод может быть использован также и на
уроках, и на факультативных занятиях.
1. При нагревании газа получена
зависимость, показанная на рисунке. Определите,
сжимался газ или расширялся? [Масса газа
постоянна. – Ред.]

Решение

Нужно провести из начала
координат прямые (пунктир на чертеже),
проходящие через состояния 1 и 2.
Эти прямые соответствуют процессам при
постоянных объемах V1 и V2.
Поскольку V2 > V1, газ
расширялся.

2. Как менялась температура
[заданной массы. – Ред.] идеального газа
(увеличивалась или уменьшалась) в процессе,
график которого в координатах p, V изображен
на рисунке?

Решение
Проведем гиперболы,
касательные к кривой. Так как гипербола в
координатах p, V является графиком изотермы:
pV = nRT
= const, то T1 < T2. Следовательно, от состояния 1 до состояния 2 температура газа повышалась, а от состояния 2 до состояния 1 – понижалась.

3. Получены две
экспериментальные зависимости (см. рисунок). В
каком случае масса газа больше? Давление в первом
и во втором случае одинаково.

Решение

Так как V1 > V2,
то m1 > m2.

4. Над идеальным газом производят
два замкнутых процесса: 1–2–3–1 и 3–2–4–3.
В каком из них газ совершает бо1льшую работу?

Решение
Изобразим изменение
состояния газа на p–V-диаграмме.
Очевидно, что А2 > А1.

5. Моль идеального одноатомного
газа переводится из начального состояния 1 в
конечное состояние 4 в ходе процесса 1–2–3–4.
определите подведенное к газу количество
теплоты, если разность начальной и конечной
температур DT = 100 К. Считать R = 8,3 Дж/(моль • К).

Решение

Из р–Т-диаграммы
видно, что T2 – T1 = T4 – T3
= DТ.
Воспользуемся формулой Q = DU + A ‘:
– тепло подводится;

– тепло отводится, T уменьшается;

– тепло подводится.

6. Моль одноатомного [идеального.
– Ред.] газа совершает замкнутый цикл,
состоящий из трех процессов: адиабатического
расширения, изотермического сжатия и изохорного
нагревания. Какая работа была совершена газом в
адиабатическом процессе, если при изохорном
нагревании подвели Q = 10 кДж тепла? R = 8,3 Дж/(К • моль).
[Для произвольного идеального газа результат тот
же. – Ред.]

Решение
Q12 = 0 Ю = –DU12 .
T2 = T3 Ю – DU31 = DU12.
V1 = V3 Ю Q31 = DU31 = 10 кДж,
т.к. A’31 = 0.

Таким образом, A ’12 = –DU12 = DU31 = Q31 =
10 кДж.
7. Один моль одноатомного
идеального газа совершает замкнутый цикл,
состоящий из процесса с линейной зависимостью
давления от объема, изобары и изохоры. Найдите
количество теплоты, подведенное к газу на
участках цикла, где его температура растет.
Температура газа в состояниях 1 и 2 равна
300 К. Отношение объемов на изобаре
Направление обхода цикла
указано стрелками. R = 8,3 Дж/(моль • К).

Решение

б) На участке 1–2 p = a – bV, т.е.:
p1 = a – bV1;
p2 = a – bV2.
Решая систему, находим:

Таким образом,
Умножив обе части на V,
получим:

На участке 1–4 температура
растет!
в)

Qподвед = Q31 + Q14 = 1245
Дж + 726,25 Дж d 1970 Дж.
8. Состояние [одного моля
идеального одноатомного. – Ред.] газа
меняется, как представлено на диаграмме p, T,
причем p ~ T на участке 1–2 и
на участке 2–3. Найдите теплоемкости газа
на участках 1–2 и 2–3.

Решение
а) На участке 1–2

б) На участке 2–3 таким
образом, V ~ p. Работа газа в этом
случае:

[В решении этой задачи помещен
рисунок, предложенный редакцией, т.к. авторский
рисунок ошибочен. – Ред]
9. КПД тепловой машины,
работающей по циклу, состоящему из изотермы 1–2,
изохоры 2–3 и адиабаты 3–1, равен h. Разность
максимальной и минимальной температур газа в
цикле равна DT.
Найдите работу, совершенную n
молями одноатомного идеального газа в
изотермическом процессе.

Решение
Q12 – количество теплоты,
полученное от нагревателя; Q23 – количество
теплоты, отданное холодильнику; Q31 = 0,
т.к. 3–1 – адиабата.

Итак:
(адиабата);

(изотерма).
Поэтому

Задачи для
самостоятельного решения
1. Поршень в цилиндре с воздухом
прилегает к стенкам цилиндра неплотно, поэтому
медленно пропускает воздух. Снятая во время
нагревания при постоянном давлении зависимость
объема от температуры изображена на рисунке.
Увеличивалась или уменьшалась масса воздуха в
цилиндре? (Ответ. Масса газа в состоянии 1
больше, чем в состоянии 2.)

2. На рисунке показан
циклический процесс, проведенный над некоторой
массой [идеального. – Ред.] газа. Изобразите
этот процесс в координатах p, T и V, T (1–2
и 4–5 – изотермы).
3. На p–T-диаграмме изображен
замкнутый процесс, который совершает некоторая
масса кислорода. Известно, что максимальный
объем, который занимал газ в этом процессе, Vмакс = 16,6 дм3.
Определите массу газа и его объем в точке 1.
Значения T1, T2, p1 и p2
указаны на рисунке.
(Ответ. V1 = 12,4 дм3; m = 16 г.)

4. Найдите работу,
совершаемую молем идеального газа в цикле,
состоящем из двух участков линейной зависимости
давления от объема и изохоры. Точки 1 и 3
лежат на прямой, проходящей через начало
координат. Температуры в точках 2 и 3
одинаковы. Считать заданными температуры T1
и T2 в точках 1 и 2. (Ответ )

5. В тепловом процессе моль
[одноатомного. – Ред.] идеального газа
переводят из начального состояния в конечное,
как показано на рисунке. Какое количество
теплоты подведено к газу, если разность
начальной и конечной температур DT = 100 °C? (Ответ. 415 Дж.)

6. Моль идеального газа
переводят из состояния 1 в состояние 2: в
первом случае – адиабатически, а во втором –
сначала по изобаре 1–3, а затем по изохоре 3–2.
Минимальная температура Tмин = 300 К.
Количество теплоты, подведенное к газу в
процессе 1–3–2, равно 2,6 кДж. Чему
равна работа газа в адиабатическом процессе?
(Ответ. А12 = –
12 560 Дж.)

7. Один моль идеального газа
изменяет свое состояние согласно
представленному циклу. 1–4 и 2–3 – изохоры,
3–4 – изобара, 1–2 – прямая.
Температуры в состояниях 1, 2, 3, 4
равны соответственно T1, T2, T3,
T4. Какую работу совершает газ за один
цикл?
(Ответ. .)

8. В каждом из процессов,
изображенных на диаграмме, температура
изменяется на одну и ту же величину. В каком из
этих процессов газ получает наибольшее
количество теплоты? (Ответ. в изобарном
процессе.)
9. Состояние [моля идеального. – Ред.]
газа меняется, как представлено на диаграмме p, V,
причем p ~ V2 на участке 1–2.
Найдите теплоемкость газа в этом процессе. (Ответ. .)
[Авторский ответ ошибочен.
– Ред.]

4 10. Найдите КПД тепловых
машин, работающих по циклам 1–2–3–1 и 1–3–4–1,
если КПД машины, работающей по циклу 1–2–3–4–1,
равен h.
В качестве рабочего тела во всех слу-
чаях используется [один и тот
же. – Ред.] идеальный газ.
(Ответ: )

44 11. Определите КПД цикла,
состоящего из двух адиабат и двух изохор,
совершаемого одноатомным идеальным газом.
Известно, что в процессе адиабатного расширения
устанавливается температура T2 = 0,75 T1,
а в
процессе адиабатного сжатия T3 = 0,75 T4.
(Ответ: h = 25 %.)
[Для произвольного идеального
газа результат тот же. – Ред.]
Saithilbine 26-12-2019 Ответить

Пример 4. Газ, состоящий из смеси 2,0 г водорода и 4,2 г гелия, при изобарном нагревании совершил работу 46 кДж. Во сколько раз увеличился объем газа, если его начальная температура была равна 300 К? Молярные массы водорода и гелия равны 2,0 и 4,0 г/моль соответственно.
Решение. Запишем формулу для расчета работы смеси газов при изобарном процессе:
A = p?V = p(V
2 ? V
1),
где p — давление смеси газов (постоянная величина), p = const; V
1 — объем смеси газов в начальном состоянии; V
2 — объем смеси газов в конечном состоянии.
Давление смеси газов определяется законом Дальтона:
p = p
1 + p
2,
где p
1 — парциальное давление водорода; p
2 — парциальное давление гелия.
Давления указанных газов в смеси определяются следующими выражениями:
парциальное давление водорода
p
1
=
m
1
M
1
R
T
1
V
1
,
где m
1 — масса водорода; M
1 — молярная масса водорода; T
1 — температура смеси газов в начальном состоянии; V
1 — объем смеси газов в начальном состоянии; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ? К);
парциальное давление гелия
p
2
=
m
2
M
2
R
T
1
V
1
,
где m
2 — масса гелия; M
2 — молярная масса гелия.
Подстановка закона Дальтона и явного вида выражений для парциальных давлений водорода и гелия в формулу для работы, совершаемой смесью указанных газов, дает
A
=
(
p
1
+
p
2
)
(
V
2
?
V
1
)
=
(
m
1
M
1
R
T
1
V
1
+
m
2
M
2
R
T
1
V
1
)
(
V
2
?
V
1
)
.
Преобразование данного уравнения к виду
A
=
(
m
1
M
1
+
m
2
M
2
)
R
T
1
V
1
(
V
2
?
V
1
)
=
(
m
1
M
1
+
m
2
M
2
)
R
T
1
(
V
2
V
1
?
1
)
позволяет выразить искомое отношение объемов
V
2
V
1
=
A
(
m
1
M
1
+
m
2
M
2
)
R
T
1
+
1
.
Вычислим:
V
2
V
1
=
46
?
10
3
(
2,0
?
10
?
3
2,0
?
10
?
3
+
4,2
?
10
?
3
4,0
?
10
?
3
)
?
8,31
?
300
+
1
=
10
.
Следовательно, при совершении указанной работы объем смеси увеличился в 10 раз.
Modirne 26-12-2019 Ответить

Пример 7. Абсолютная температура 5,00 моль идеального одноатомного газа меняется по закону: T = V
2/R, где V — объем газа в кубических метрах; R — универсальная газовая постоянная. Какое количество теплоты нужно сообщить газу в ходе этого процесса для нагревания его на 10,0 К?
Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа, определяется первым началом термодинамики:
Q = A + ?U,
где A — работа, совершенная газом в указанном процессе; ?U — изменение внутренней энергии газа.
Для определения количества теплоты необходимо рассчитать работу, совершенную газом, и изменение его внутренней энергии.
Чтобы рассчитать работу, совершенную газом, необходимо установить зависимость давления газа p от его объема V, т.е. p(V). Для этого из уравнения состояния
pV = ?RT
выразим температуру
T
=
p
V
?
R
и подставим ее в заданный в условии задачи закон:
p
V
?
R
=
V
2
R
.
Преобразование дает линейную зависимость
p = ?V.
На рисунке показана полученная зависимость и соответствующие изменения объема и давления газа при изменении его температуры на ?T; заштрихованная площадь (трапеция) соответствует искомой работе газа:
A
=
1
2
(
p
1
+
p
2
)
(
V
2
?
V
1
)
,
где p
1, V
1 — давление и объем газа при температуре T
1; p
2, V
2 — давление и объем газа при температуре T
2.
Зависимость p(V) позволяет определить начальное и конечное давления газа в ходе процесса:
начальное давление —
p
1 = ?V
1;
конечное давление —
p
2 = ?V
2.
Подстановка выражений для давления в формулу работы дает
A
=
?
2
(
V
1
+
V
2
)
(
V
2
?
V
1
)
=
1
2
(
?
V
2
2
?
?
V
1
2
)
.
Зависимость температуры от объема, заданная в условии задачи, позволяет преобразовать формулу к виду
A
=
1
2
(
?
V
2
2
?
?
V
1
2
)
=
1
2
(
?
R
T
2
?
?
R
T
1
)
=
1
2
?
R
?
T
.
Чтобы рассчитать изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа, воспользуемся формулой
?
U
=
3
2
?
R
?
T
.
Таким образом, количество теплоты, которое следует сообщить газу для указанного повышения температуры, определяется выражением
Q
=
A
+
?
U
=
1
2
?
R
?
T
+
3
2
?
R
?
T
=
2
?
R
?
T
и составляет
Q = 2 ? 5,00 ? 8,31 ? 10,0 = 831 Дж.
свободный ангел 26-12-2019 Ответить

Алгоритм решения:
Рассматриваем рисунок, данный в задании.
Анализируем газовые процессы, и проверяем правильность первого утверждения.
Проверяем, истинно ли второе утверждение.
Анализируем третье утверждение
Проверяем, верно ли четвертое утверждение.
Проверяем, какой происходит процесс на промежутке DA.
Записываем результат.
Решение:
1. На приведенном в задании рисунке изображен процесс циклического характера, причем на участках цикла AB и CD объем не изменяется. Этот процесс изохорного типа.
На участках BC и DA график указывает на процесс изотермического типа. Причем, на первом из участков происходит расширение, а на втором сжатие. Расширяясь, газ выполняет положительную работу. При сжатии работу выполняет поршень. И она отрицательная. В результате поршень возвращается в начальное положение. Это означает, что разница объёмов в конце цикла нулевая. Работа имеет большее значение на том промежутке, где температурный показатель выше. Это происходит при расширении, на участке ВС. Тогда положительная работа больше по модулю, чем отрицательная. Следовательно, газ выполнил в результате положительную работу, и предложение 1 истинно.
2. На промежутке AB процесс относится к изохорному типу. При нем объем постоянный. Это видно при сравнении газовых процессов на графиках вверху. Работа не выполняется. Температура на промежутке АВ и энергия внутреннего теплового движения возрастают. Поскольку повышается температурный показатель, растет внутреннее давление при неизменном объеме. Следовательно и значение внутренней энергии возрастает. И второе предложение является правильным.
3. На промежутке ВС температурный показатель и энергия газа не меняются, потому как этот процесс является изотермическим. Следовательно, третье предложение ложное.
4. На промежутке СD газ не выполняет никакой работы, поскольку процесс здесь изохорного типа. Тогда четвертое предложение ложно.
5. На промежутке DA газ сжимают изотермическим способом, поскольку повышается показатель давления. Тогда и пятое утверждение ложно.
Ответ: 1 2

Второй вариант задания (Демидова, № 2)
DiskREid 26-12-2019 Ответить

Внутренняя энергия газа может изменяться в результате совершения газом работы и сообщения ему теплоты. Поэтому принято говорить о двух формах передачи энергии от одних тел к другим: о теплоте и работе.
Работа газа при произвольном процессе рассчитывается как площадь криволинейной трапеции под графиком p(V). На рис. 6.1 показана произвольная зависимость давления газа p от его объема V (объем газа в начальном состоянии V 1; объем газа в конечном состоянии V 2). Площадь заштрихованной фигуры совпадает с работой, совершенной газом.

Рис. 6.1
Если зависимость p(V) представляет собой прямую линию, то работа численно равна площади прямолинейной трапеции.
В Международной системе единиц работа, совершаемая газом, измеряется в джоулях (1 Дж).
Работа газа при изобарном процессе (p = const) может быть вычислена по одной из формул:
A = p?V, или A = ?R?T,
где p — давление газа; ?V — изменение объема газа при переходе из начального в конечное состояние, ?V = V 2 ? V 1; V 1 — объем газа в начальном состоянии; V 2 — объем газа в конечном состоянии; ? — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная, R ? 8,31 Дж/(моль ? К); ?T — соответствующее изменение температуры газа, ?T = T 2 ? T 1; T 1 — абсолютная температура начального состояния; T 2 — абсолютная температура конечного состояния.
Работа газа при изохорном процессе (V = const) не совершается:
A = 0.
Работа газа при круговом (циклическом) процессе рассчитывается как площадь фигуры, ограниченной графиком функции p(V). На рис. 6.2 показан график произвольного кругового процесса; цифрами обозначены: 1 — исходное состояние идеального газа (оно совпадает с конечным); 2, 3 — промежуточные состояния газа.

Рис. 6.2
Площадь заштрихованной фигуры совпадает с работой, совершенной газом при циклическом процессе.
Работа, совершаемая газом за цикл, может быть:
· положительной (прямой цикл);
· отрицательной (обратный цикл).
Пример 3. График циклического процесса, происходящего с некоторой массой идеального газа, в координатах p(V) имеет вид прямых, соединяющих точки (0,0250 м3; 75,0 кПа), (0,0750 м3; 125 кПа), (0,0750 м3; 75,0 кПа). Определить абсолютную величину работы, совершаемой газом за цикл.
Решение. На рисунке изображен график циклического процесса в указанных термодинамических координатах p(V).

Величина искомой работы равна площади треугольника, ограниченного прямыми, соединяющими указанные точки:
A=12(125?75,0)?103?(0,0750?0,0250)=1,25?103 Дж=1,25 кДж.
Газ за цикл совершает работу 1,25 кДж.
Stonestone 26-12-2019 Ответить

Ответ
2 – 3
Задание
Идеальный газ переводится из первого состояния во второе двумя способами ( и ), как показано на рисунке. Теплота, полученная газом, изменение внутренней энергии и работа газа при переходе его из одного состояния в другое связаны соотношениями …

Ответ

Задание
Диаграмма циклического процесса идеального одноатомного газа представлена на рисунке. Работа газа в килоджоулях в циклическом процессе равна …

Ответ 90
Задание
Формула Больцмана характеризует распределение частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения, в потенциальном силовом поле, в частности распределение молекул по высоте в изотермической атмосфере. Соотнесите рисунки и соответствующие им утверждения.

Ответ
1. Распределение молекул в силовом поле при очень высокой температуре, когда энергия хаотического теплового движения значительно превосходит потенциальную энергию молекул.
2. Распределение молекул не является больцмановским и описывается функцией .
3. Распределение молекул воздуха в атмосфере Земли.
4. Распределение молекул в силовом поле при температуре .
Задание
Одноатомному идеальному газу в результате изобарического процесса подведено количество теплоты . На увеличение внутренней энергии газа
расходуется часть теплоты , равная (в процентах) …
Ответ 60
Задание
Адиабатному расширению газа ( давление, объем, температура, энтропия) соответствует диаграмма …

Ответ 1 4
Задание
Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении равна где – универсальная газовая постоянная. Число вращательных степеней свободы молекулы равно …
Ответ 2
Задание
Зависимость концентрации молекул идеального газа во внешнем однородном поле силы тяжести от высоты для двух разных температур ( ) представлена на рисунке …
Ответ

Задание
Если не учитывать колебательные движения в линейной молекуле углекислого газа (см. рис.), то отношение кинетической энергии вращательного движения к полной кинетической энергии молекулы равно …

Ответ

Задание
Если количество теплоты, отдаваемое рабочим телом холодильнику, увеличится в два раза, то коэффициент полезного действия тепловой машины …
Ответ
уменьшится на
Задание
Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре зависит от их конфигурации и структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле и самой молекулы. При условии, что имеет место только поступательное и вращательное движение молекулы как целого, средняя кинетическая энергия молекул азота равна …
Ответ

Задание
Если количество теплоты, отдаваемое рабочим телом холодильнику, увеличится в два раза, то коэффициент полезного действия тепловой машины
Ответ
уменьшится на
Задание
Malbine 26-12-2019 Ответить

(47)
Так как pv1 = RT1 и pv2 = RT2, то одновременно
l = R(T2 – T1) (48)
Количество теплоты, сообщаемое газу при нагревании (или отдаваемое им при охлаждении), находим из уравнения (26):
(49)
где срср – средняя массовая изобарная теплоемкость в интервале температур от t1 до t2 ;при ср = соnst
q = ср(t2 – t1). (50)

Рис. 12. Изображение изобарного процесса в р, v- и Т,s – координатах
Измемение энтропии при ср = соnst равно:
s2 – s1 = срln (Т2/Т1) (51)
т. е. температурная зависимость энтропии при изобарном процессе тоже имеет логарифмический характер, но поскольку ср>сv, то изобара в Т, s -диаграмме идет более полого, чем изохора.
Изотермический процесс. При изотермическом процессе температура
постоянна, следовательно, pv=RT=const, или
р2/р1 = v1/v2 (52)
т. е. давление и объем обратно пропорциональны друг другу, так что при изо-термическом сжатии давление газа возрастает, а при расширении – падает (закон Бойля — Мариотта, 1662 г.).

Графиком изотермического процесса в р,v-координатах, как показывает
уравнение (52), является равнобокая гипербола, для которой координатные оси служат асимптотами (рис.13).
Рис. 13. Изображение изотермического процесса в р, v- и Т, s –координатах
Работа процесса:
(53)
Так как температура не меняется, то внутренняя энергия идеального газа в данном процессс остается постоянной (?u = 0) и вся подводимая к газу теплота полностью превращается в работу расширения:
q=l (54)
При изотермическом сжатии от газа отводится теплота в количестве, равном затраченной иа сжатие работе.
Из соотношений (32) и (52) следует, что изменение энтропии в изотермическом процессе выражается формулой
. (55)
Адиабатный процесс.Процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой, называется адиабатным, т. е. ?q = 0. Для того чтобы осуществить такой процесс, следует либо теплоизолировать газ, т. е. поместить его в адиабатную оболочку, либо провести процесс настолько быстро, чтобы изменение температуры газа, обусловленное его теплообменом с окружающей средой, было пренебрежимо мало по сравнению с изменением температуры, вызванным расширением или сжатием газа. Как правило, это возможно, ибо теплообмен происходит значителыю медленнее, чсм сжатие или расширение газа.
Уравнения первого закона термодинамики для адиабатного процесса прини-мают вид: срdТ – vdр=0; сv dТ + рdv=0. Поделив первое уравнение на второе, получим
, или
Интегрируя последнее уравнение при условии, что k = ср/сv =соnst, находим
и .
После потенцирования имеем , или
(56)
Это и есть уравнения адиабаты идеального газа при постоянном отношении теплоемкостей (k = соnst).
Величина
k= ср/сv (57)
называется показателем адиабаты. Подставив ср = сv + R, получим k = 1+Rсv . Согласно классической кинетической теории теплоемкость газов не зависит от температуры,поэтому можно считать, что величина k также не зависит от температуры и определяется числом степеней свободы молекулы. Для одноатомного газа k=1,66, для двухатомного k =1,4, для трех- и многоатомных газов k =1,33.
Поскольку k > 1, то в координатах р, v (рис. 14) линия адиабаты идет круче линии изотермы: при аднабатном расширении давление понижается быстрее, чем при изотермическом, так как в процессе расширения уменьшается температура газа.

Рис. 14. Изображение адиабатного процесса в р,v- и Т,s- координатах
Определив из уравнения состояния, написанного для состояний 1 и 2, отношение объемов или давлений и подставив их в (56), получим уравнение адиа-батного процесса в форме, выражающей зависимость температуры от обьема или давления:
;
(58)
Работа расширепия при адиабатном процессе согласно первому закону термодинамики совершается за счет уменьшения внутренней энергии и может быть вычислена по одной из следующих формул:
(59)
Так как при р1v1=RТ1 и р2 v2=RТ2 , то
(60)
В данном процессе теплообмен газа с окружающей средой исключается, поэтому q = 0. Выражение с = ?q/dТ показывает, что теплоемкость адиабатного процесса равна нулю.
Поскольку при адиабатном процессе ?q = 0, энтропия рабочего тела не изме-няется (ds = 0 и s=соnst). Следовательно, на Т, s– диаграмме адиабатный процесс изображается вертикально.
Политропиый процесс и его обобщающее значение. Любой произвольный процесс можно описать в р, v– координатах (по крайней мере на небольшом участке) уравнением
рvn= соnst , (61)
подбирая соответствующее значение n. Процесс, описываемый уравнением (4.21), называется политропным. Показатель политропы п может принимать любое численное значение в пределах от – ? до +? , но для данного процесса он является величиной постоянной.
Из уравнения (61) и уравнения Клапейрона нетрудно получить выражения, устанавливающие связь между р, v и Т в любых двух точках на политропе, аналогично тому, как это было сделано для адиабаты:
; ; (62)
Работа расширения газа в политропном процессе имсст вид .
Так как для политропы в соответствии с (62)
,
то
(63)
Уравнение (63) можно преобразовать к виду:
;
; (64)

Количество подведенной (или отведенной) в процессе теплоты можно определить с помощью уравнения первого закона термодинамики: q=(u2 – u1) + l.
Поскольку u2 – u1 =сv (Т2 — Т1); , то
, (65)
где
(66)
представляет собой теплоемкость идеального газа в политропном процессе. При постоянных сv, k и n теплоемкость сn = const, поэтому политропный процесс иногда определяют как процесс с постоянной теплоемкостью. Изменение энтропии
(67)
Политропный процесс имеет обобщающее значение, ибо охватывает всю совокупность основных термодинамических процессов. Ниже приведены характеристики термодинамических процессов.
Процесс п сn
Изохорный +? сv
Изобарный 0 ср
Изотермический 1 ?
Адиабатный k 0
На рис. 15 показано взаимное расположение на р, v- и Т,s– диаграммах поли-тропных процессов с разными значениями показателя политропы. Все процессы начинаются в одной точке («в центре»).
Изохора (п= ± ?) делит поле диаграммы на две области: процессы, нахо-дящиеся правее изохоры, характеризуются положительнй работой, так как сопровождаются расширением рабочего тела; для процессов, расположенных правее изохоры, характерна отрицательная работа.
Процессы, расположенные правее и выше адиабаты, идут с подводом теп-лоты к рабочему телу; процессы, лежащие левее и ниже адиабаты, протекают с отводом теплоты.
Для процессов, расположенных над изотермой (n = 1), характерно увеличе-ние внуиренней энергии газа; процессы, расположенные под изотермой, сопро-вождаются уменьшением внутренней энергии.

Рис. 15. Изображение основных термодинамических процессов идеального газа в р, v– и Т, s-координатах
Процессы, расположенные между адиабатой и изотермой, имеют отрица-тельную теплоемкость, так как ?q и du (а следовательно, и dТ), имеют в этой области противоположные знакн. В таких процессах | l | › | q|, поэтому на произ-водство работы при расширении тратится не только подводимая теплота, но и часть внутренней энергии рабочего тела.
Sargas 26-12-2019 Ответить

6. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давление газа в два раза больше наименьшего, а наибольший объем в четыре раза больше наименьшего. Определить термический КПД ? цикла.
7. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T1 нагревателя равна 470 К, температура Т2 охладителя равна 280 К. При изотермическом расширении газ совершает работу A=100 Дж. Определить термический КПД ? цикла, а также количество теплоты Q2, которое газ отдает охладителю при изотермическом сжатии.
8. Идеальный двухатомный газ совершает цикл Карно, график которого изображен на рис. 11.5. Объемы газа в состояниях В и С соответственно V1=12 л и V2=16 л. Найти термический КПД ? цикла.

Энтропия.
1. Найти изменение DS энтропии при нагревании воды массой m=100 г от температуры t1=0°C до температуры t2=100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.
2. Найти изменение DS энтропии при превращении массы 10г льда (T1=253К) в пар (T2=373К).
3. Найти изменение DS энтропии при переходе массы 8г. кислорода от объема 10л. При температуре 353К к объему 40л. При температуре 573К.
4. Кислород массой 10г. нагревается от температуры 323К до температуры 423К. Найти изменение энтропии, если нагревание происходит: а) изохорически; б) изобарически.
5. Изменение энтропии на участке между двумя адиабатами в цикле Карно 4,9к Дж/К. Разность температур между двумя изотермами 100К. Какое количество теплоты превращается в работу в этом цикле?
6. Рабочее тело – идеальный газ(гелий) – теплового двигателя совершает цикл, состоящий из последовательных процессов:
1-2 изотерма
2-3 адиабата
3-4 изотерма
4-1 адиабата
Построить график цикла в осях (PV) и определить:
O термический КПД теплового двигателя;
O полную работу А, совершаемую за весь цикл;
O количество теплоты Q1, полученное от нагревателя за один цикл;
O количество теплоты Q2, отданное холодильнику за один цикл;
O определить изменение энтропии газа

Д.З.
№1. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре T1=300K. Водород начал расширяться адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти температуру Т2, в конце адиабатного расширения и работу А, совершенную газом. Изобразить процесс графически.
№2. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/3 количества теплоты Q1, полученного от нагревателя, отдает охладителю. Температура Т2 охладителя равна 280 К. Определить температуру T1 нагревателя.
№3. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T1 нагревателя в три раза выше температуры Т2 охладителя. Нагреватель передал газу количество теплоты Q1=42 кДж. Какую работу А совершил газ?
№4. Идеальный газ совершает цикл Карно. Работа A1 изотермического расширения газа равна 5 Дж. Определить работу A2 изотермического сжатия, если термический КПД ? цикла равен 0,2.
№5. Кислород занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением р1=200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м2, a затем при постоянном объеме до давления Рис 11.1 р2=500 кПа. Построить график процесса и найти: 1) изменение DU внутренней энергии газа; 2) совершенную им работу A; 3) количество теплоты Q, переданное газу.
№6. Кислород массой m=2 кг увеличил свой объем в n=5 раз один раз изотермически, другой – адиабатно. Найти изменения энтропии в каждом из указанных процессов.
№7. Водород массой m=100 г был изобарно нагрет так, что объем его увеличился в n=3 раза, затем водород был изохорно охлаждён так, что давление его уменьшилось в n=3 раза. Найти изменение ?S энтропии в ходе указанных процессов.
Dajin 26-12-2019 Ответить

. (2.3.8)
Решая систему уравнений (2.3.7), (2.3.8), находим максимальные скорости поршней
, .
Задача 3 . Температура некоторой массы идеального газа молярной массы меняется по закону , где . Найти работу, совершенную газом при увеличении объема от до . Поглощается или выделяется энергия в таком процессе?
Решение
Элементарная работа идеального газа определяется по формуле
. (2.3.9)
Выразим давление газа при помощи уравнения состояния идеального газа и уравнения , заданного по условию. Получаем
,
следовательно, (2.3.9) приводится к виду
. (2.3.10)
Интегрируя (2.3.10) от до , получаем
.
Поскольку, согласно закону расширения газа, с увеличением объема растет температура, совершенная газом работа и изменение его внутренней энергии положительны. Следовательно, по первому началу термодинамики газ должен поглощать тепло.
Задача 4. Азот, находившийся при температуре , подвергли адиабатному расширению, в результате которого его объем увеличился в раз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4 кДж. Определить массу азота.
Решение
Работа газа при адиабатном расширении определяется по формуле ,
где показатель адиабаты , – число степеней свободы двухатомной молекулы.
Из первого закона термодинамики следует, что при адиабатном процессе ( )
. (2.3.11)
Учитывая, что по условию , из (2.3.11) получаем выражение для массы азота
.
Подставляя числовые значения, находим
.
Задача 5. Найти молярную теплоемкость идеального газа, расширяющегося по закону . При каких значениях теплоемкость будет равна нулю? Бесконечности?
Решение
Согласно определению молярной теплоемкости
. (2.3.12)
Воспользуемся первым началом термодинамики
, (2.3.13)
где внутренняя энергия одноатомного газа
. (2.3.14)
Для определения элементарной работы газа вычислим дифференциалы от уравнения состояния идеального газа и от заданного по условию закона его расширения:
(2.3.15)
и
. (2.3.16)
Решая совместно (2.3.15), (2.3.16), получаем
. (2.3.17)
Тогда из (2.3.12), (2.3.13), (2.3.14), (2.3.17) находим
.
Из условий и получаем и соответственно.

Задача 6. Коэффициент полезного действия цикла 1-2-3-4-1, представленного на рисунке, равен . Определить КПД цикла 1-3-4-1.
Решение
По определению КПД
. (2.3.18)
Работа, совершенная газом за цикл, равна площади фигуры на диаграмме. Очевидно, что работы газа в циклах 1-2-3-4-1 и 1-3-4-1 связаны друг с другом соотношением .
Участок 1-2 соответствует изохорному нагреванию, а участок 2-3 – изобарному расширению, следовательно, на этих участках газ получает тепло. Участок 3-4 соответствует изохорному охлаждению, а участок 4-1 – изобарному сжатию, следовательно, на этих участках газ отдает тепло. Так как участки 3-4 и 4-1 для обоих циклов одинаковы, количество теплоты , отдаваемое газом холодильнику в этих циклах одинаково.
Поскольку , из (2.3.18) получаем
. (2.3.19)
Подставляя найденное значение в формулу КПД цикла 1-3-4-1, находим
.

Задача 7. С одним молем одноатомного идеального газа совершают циклический процесс 1-2-3-1, изображенный на рисунке. В процессе 2-3 давление газа линейно зависит от объема, причем объем увеличивается вдвое. Состояниям 2 и 3 соответствует одинаковая температура. Найти КПД тепловой машины, работающей по такому циклу.
Решение
Определим при помощи условия соотношения между параметрами газа в состояниях 1, 2 и 3. Согласно уравнению состояния идеального газа для состояний 2 и 3 имеем
, . (2.3.20)
Так как , , то из (2.3.20) следует
, , . (2.3.21)
Количество теплоты, полученное газом при изохорном нагревании 1-2 равно
. (2.3.22)
Определяя параметры линейного уравнения зависимости давления от объема для участка 2-3, получаем
,
тогда элементарная работа газа на этом участке
. (2.3.23)
Интегрируя (2.3.23) от до , получаем
.
Так как на участке 2-3 внутренняя энергия газа не меняется, то по первому закону термодинамики
. (2.3.24)
Следовательно, на этом участке газ также получает тепло. На участке изобарного сжатия газ отдает холодильнику количество теплоты
. (2.3.25)
Подставляя (2.3.22), (2.3.24), (2.3.25) в определение КПД, находим
.
Задача 8. На сколько возрастет энтропия воды, находящейся при , при превращении ее в пар?
Решение
Изменение энтропии системы определяется по формуле
. (2.3.26)
Количество теплоты, необходимое для нагревания воды, вычисляется по формуле
, (2.3.27)
где – удельная теплоемкость воды. Подставляя (2.3.27) в (2.3.26) и интегрируя, находим
, (2.3.28)
где – температура кипения воды.
Кипение воды происходит при постоянной температуре, поэтому
, (2.3.29)
где – удельная теплота парообразования воды.
Из (2.3.26), (2.3.28), (2.3.29), находим изменение энтропии в рассматриваемом процессе
.
Подставим значения:

.

В каких состояниях температура газа при циклическом процессе?

13 ответов на вопрос “В каких состояниях температура газа при циклическом процессе?”

Добавить ответ Отменить ответ