В каком отношении делится каждая из медиан треугольника их общей точкой пересечения?

10 ответов на вопрос “В каком отношении делится каждая из медиан треугольника их общей точкой пересечения?”

  1. Hot button Ответить

    Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с  начала 8 класса.
    Теорема
    (Свойство медиан треугольника)
    Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
    Дано: ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы
    Доказать:


    Доказательство:
    1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO
    (то есть AM=OM, BN=ON).
    2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.
    Тогда MN — средняя линия  треугольника AOB и

    3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.
    Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и

  2. Daitaur Ответить

    Определение. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

    Рис.1
    Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
    На рисунке 1 медианой является отрезок BD.
    Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника).
    Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

    Рис.2
    и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)


    Поскольку отрезок BD является медианой, то

    что и требовалось доказать.
    Утверждение 2. Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
    Доказательство. Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

    Рис.3
    Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

    Рис.4
    Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

    Рис.5
    Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC. Следовательно,

    Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC. Следовательно,

    откуда вытекает, что стороны ED и FG четырёхугольника FEDG равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммом, а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам (рис.6).

    Рис.6
    Таким образом,
    | FO | = | OD | , | GO | = | OE | .
    Следовательно,
    | AF | = | FO | = | OD | , | CG | = | GO | = | OE | .
    Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
    Доказательство завершено.
    Следствие. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
    Доказательство. Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O, которая делит эту медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины A (рис.7).

    Рис.7
    Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
    Определение. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
    Утверждение 3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

    Рис.8
    Доказательство. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна  площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

    Рис.9
    Тогда


    В силу утверждения 1,

  3. PAPANARO Ответить

    Задание
    В равнобедренном треугольнике с боковой стороной см провели медиану см. Найти площадь треугольника .

    Решение
    Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, тогда , откуда следует

    Найдем площадь треугольника . Так как треугольник равнобедренный, то медиана является высотой, т.е. треугольник – прямоугольный и его площадь

    С помощью теоремы Пифагора найдем катет :

    Подставим полученные результаты в формулу площади:

    Теперь найдем площадь треугольника :

    Ответ
    см

  4. Sirallador Ответить

    Задание
    В равнобедренном треугольнике с основанием см и углом провели медианы и , которые пересеклись в точке . Найти длину отрезка .

    Решение
    Медиана делит основанием на два равных отрезка см. Так как треугольник равнобедренный, то она является и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник и найдем :

    Так как медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, то

    Ответ
    см

  5. Я-Такая! Ответить

    II способ
    Пусть AF?BK=O.
    Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то


    Так как AF=BK (по условию), то AO=BO.
    Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB.
    Отсюда ?OAB=?OBA (как углы при основании).
    Рассмотрим треугольники ABF и BAK.
    1)AF=BK (по условию),
    2) сторона AB — общая,
    3) ?OAB=?OBA (по доказанному).
    Значит треугольники ABF и BAK равны ( по 1 признаку).
    Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:?ABF=?BAK.
    Отсюда треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по признаку).
    Что и требовалось доказать.

  6. INTEL INSIDE Ответить

    a,b,c — стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно,
    p — полупериметр треугольника,
    al,bl — длины отрезков, на которые биссектриса lc делит сторону c,
    ?,?,? — внутренние углы треугольника при вершинах A,B,C соответственно,
    hc — высота треугольника, опущенная на сторону c.
    Метод площадей.
    Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений).
    Можно выделить 2 направления этого метода:
    1) Метод сравнения: связан с большим кол-вом формул S одних и тех же фигур
    2) Метод отношения S: основан на след опорных задачах:

    Теорема Чевы
    Пусть точки A’,B’,C’ лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA’,BB’,CC’ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
    Доказательство.
    Обозначим через точку  пересечения отрезков   и . Опустим из точек С и А перпендикуляры на прямую ВВ1 до пересечения с ней в точках Kи L соответственно (см. рисунок).
    Поскольку треугольники  и  имеют общую сторону , то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL иCK :

    Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники и  подобны по острому углу.
    Аналогично получаем и
    Перемножим эти три равенства:
    что и требовалось доказать.
    Замечание. Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.
    Теорема (обратная теорема Чевы). Пусть точки A’,B’,C’ лежат на сторонах BC,CA и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение
    Тогда отрезки AA’,BB’,CC’ и пересекаются в одной точке.
    Теорема Менелая
    Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причем C1 – точка ее пересечения со стороной AB, A1 – точка ее пересечения со стороной BC, и B1 – точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда

    Доказательство. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B1C1.
    ТреугольникиAC1B1иCKB1подобны (LC1AB1= LKCB1, LAC1B1= LCKB1). Следовательно,
    ТреугольникиBC1A1иCKA1такжеподобны (LBA1C1=LKA1C, LBC1A1=LCKA1). Значит,

    Из каждого равенства выразим CK:

    Откуда что и требовалось доказать.
    Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник ABC. Пусть точка C1 лежит на стороне AB, точка A1 – на стороне BC, а точка B1 – на продолжении стороны AC, причем выполняется соотношение
    Тогда точки A1,B1 и C1 лежат на одной прямой.

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *