Что такое нод и нок в математике 5 класс?

11 ответов на вопрос “Что такое нод и нок в математике 5 класс?”

  1. eli6 Ответить

    Наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел называется наибольшее число, на которое будут делится оба числа без остатка.
    Обозначение: НОД(А; В).
    ПРИМЕР. Найдем НОД чисел 4 и 6.
    Число 4 без остатка делится на: 1, 2 и 4.
    Число 6 без остатка делится на: 1, 2, 3 и 6.
    Наибольшим общим делителем чисел 4 и 6 будет число 2.
    НОД(4;6) = 2
    Это простой пример. А как быть с большими числами, для которых надо отыскать НОД?
    В таких случаях числа раскладываются на простые множители, после чего одинаковые множители в обоих разложениях отмечаются – произведение отмеченных простых множителей и составит НОД.
    ПРИМЕР. Найдем НОД чисел 81 и 45.
    81 = 3 · 3 · 3 · 3
    45 = 3 · 3 · 5
    НОД(81;45) = 3 · 3 = 9
    В тех случаях, когда у двух чисел нет одинаковых простых множителей, единственным натуральным числом, на которое нацело будут делиться такие числа будет 1. НОД таких чисел = 1. Например: НОД (7;15) = 1.

    Что такое НОК

    Число А называют кратным числу В, если А делится на В без остатка (нацело). Например, 10 делится нацело на 5, поэтому, 10 кратно 5; 11 не делится нацело на 5, поэтому, 11 не кратно 5.
    Наименьшим общим кратным (НОК) двух натуральных чисел называется наименьшее число, кратное этим двум числам.
    Обозначение: НОК(А; В).
    Правило отыскания НОК:
    разложить оба числа на простые множители, отметить одинаковые простые множители в обоих разложениях, если таковые имеются;
    произведение всех простых множителей одного из чисел (собственно, само число) и всех не отмеченных множителей другого числа составят НОК.
    ПРИМЕР. Найдем НОК чисел 81 и 45.
    81 = 3 · 3 · 3 · 3
    45 = 3 · 3 · 5
    НОК(81;45) = 81 · 5 = 405
    405 является наименьшим кратным для чисел 81 и 45: 405/81 = 5; 405/45 = 9.
    Если у двух чисел нет одинаковых простых множителей, то НОК для таких чисел будет равен произведению этих чисел.
    14 = 2 · 7
    15 = 3 · 5
    НОК(14;15) = 14 · 15 = 210

  2. vladich174 Ответить

    Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.
    Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.
    Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.
    Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно, НОД (27, 9) = 9.
    В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:
    Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
    Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
    Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
    Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
    Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

  3. Nester_666 Ответить

    НОД и НОК
    НОД
    Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b – это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.
    Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из этих чисел.
    I способ нахождения НОД
    методом перебора делителей
    1. Найти делители каждого числа;
    2. Найти общие делители;
    3. Выбрать наибольший общий делитель.
    Найти НОД 10 и 15.
    Д (10) = {1, 2, 5, 10}
    Д (15) = {1, 3, 5, 15}
    Д (10, 15) = {1, 5}
    НОД (10; 15) = 5
    I способ нахождения НОК
    методом перебора кратных
    1. Берем большее из чисел
    2. Находим числа кратные выбранному (умножая выбранное число последовательно на 1, 2, 3, 4, 5 , и тд)
    3. Каждое полученное кратное проверяем делится ли оно на оставшиеся число; первое такое кратное и есть НОК.
    Найти НОК 18 и 24
    24•1=24 (не делится на 18)
    24•2=48 (не делится на 18)
    24•3=72 – делится на 18
    НОК (24, 18)=72
    II способ нахождения НОД
    через разложения на простые множители
    1. Разложить числа на простые множители;
    2. Подчеркнуть одинаковые простые множители в обоих числах;
    3. Найти произведение одинаковых простых множителей и записать ответ.
    Найти НОД 48 и 36.

    НОД (48; 36) = 2 • 2 • 3 = 12
    II способ нахождения НОК
    через разложения на простые множители
    1. Разложить на простые множители каждое число;
    2. Выписать все множители из разложения одного любого числа;
    3. Добавить к ним недостающие множители из разложения другого числа;
    4. Найти произведение получившихся множителей.
    Найти НОК 24 и 60.

    60 = 2 • 2 • 3 • 5
    24 = 2 • 2 • 2 • 3
    НОК (24; 60) = 2 • 2 • 3 • 5 • 2 =120
    Примечание 1: Если a и b взаимно простые* числа, то НОД(a,b)=1
    Например: НОД(4,9)=1
    Примечание 1: Если a и b взаимно простые* числа, то НОК(a,b)=a•b
    Например: НОК(4, 9)=4•9=36
    Примечание 2: Если a делится на b, то НОД(a,b)=b
    Например: НОД(120, 60)=60
    Примечание 2: Если a делится на b, то НОК(a,b)=a
    Например: НОК(120, 60)=120
    Взаимно простые числа – это те, у которых нет общих простых делителей. (Например: 4 и 9)
    Примечание 1: Простые числа (1,2,3,5,7,11,13,17 и т.д.) – взаимно просты
    Примечание 2: Два соседних натуральных числа (например: 24 и 25) – взаимно просты

  4. VladislaV.Rus Ответить

    Порядок действий

    1. Прежде всего действия в скобках.
    2. Потом умножение, деление.
    3. И только в конце сложение, вычитание.

    Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа.

    Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 1 является делителем любого натурального числа.
    Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Например, числа 2, 3, 11, 23 — простые числа.
    Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Например, числа 4, 8, 15, 27 — составные числа.

    Признак делимости произведения нескольких чисел: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Произведение 24 • 15 • 77 делится на 12, поскольку множитель этого числа 24 делится на 12.
    Признак делимости суммы (разности) чисел: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Если а : b и c : b, то (а + c) : b. А если а : b, а c не делится на b, то a + c не делится на число b.
    Если а : c и c : b, то а : b. Исходя из того, что 72 : 24 и 24 : 12, делаем вывод, что 72 : 12.
    Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.

    Основная теорема арифметики: любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители только одним способом.

    При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись «столбиком» В таком случае делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.
    Например, задание: разложить на простые множители число 330. Решение:

    Признаки делимости  на  2,  5,  3,  9,  10,  4,  25  и  11.


    Существуют признаки делимости на 6, 15, 45 и т. д., то есть на числа, произведение которых можно разложить на множители 2, 3, 5, 9 и 10.

    Наибольший общий делитель 

    Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел (НОД).   Например, НОД (10; 25) = 5;   а НОД (18; 24) = 6;    НОД (7; 21) = 1.

    Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то эти числа называются взаимно простыми.

    Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД)

  5. amosk59 Ответить

    Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД.
    Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК.

    Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

    Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.

    Некоторые признаки делимости чисел

    1. Признак делимости числа на 2
    Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.
    Пример: определить, делится ли на 2 число 34938.
    Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 – значит число делится на два.
    2. Признак делимости числа на 3
    Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.
    Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.
    Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.
    3. Признак делимости числа на 5
    Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.
    Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.
    Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 – значит число НЕ делится на пять.
    4. Признак делимости числа на 9
    Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
    Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.
    Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.

    Как найти НОД и НОК двух чисел

    Как найти НОД двух чисел

    Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.
    Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36):
    Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
    Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
    Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 – это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

    Как найти НОК двух чисел

    Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.
    Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:
    Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
    НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
    НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

    Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел

    Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).
    Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)
    Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.
    Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
    Найдём обшие множители: 1, 2 и 2.
    Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
    Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96.
    Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, НОД = 1·2·2·3 = 12.
    НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

  6. empy2004 Ответить

    Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.
    Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:

    Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:
    22 · 32 · 5 · 7 · 11 = 13 860
    Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.
    Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.
    Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 – взаимно простые. Поэтому
    НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.
    Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

  7. Screamy666 Ответить

    НОД, НОД
    НОД — это наибольший общий делитель.
    НОК — это наименьшее общее кратное.
    Определения:
    Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.
    Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка
    Способы нахождения НОД двух чисел:
    1 способ (следует из определения): Метод полного перебора для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел.
    Выписываем все делители числа а;
    Выписываем все делители числа b;
    Выбираем среди них общие делители;
    Среди общих делителей выбираем самое большое число – это и есть НОД(a, b).
    2 способ : Метод перебора делителей меньшего числа для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел.
    Найти делители меньшего из данных чисел.
    Найти, начиная с большего, тот из выписанных делителей, который является также делителем другого числа.
    Записать найденное число – НОД.
    3 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители.
    Находим разложение чисел на простые множители.
    Подчеркиваем общие числа.
    Находим произведение подчеркнутых чисел у одного числа.
    Записываем ответ.
    4 способ: Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел вычитанием.
    Из большего числа вычитается меньшее.
    Если получается 0, то числа равны друг другу и являются наибольшим общим делителем.
    Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяется на результат вычитания.
    Переход к пункту 1.
    Способы нахождения НОК двух чисел:
    1 способ: Метод перебора
    1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.
    2 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители
    Разложить данные числа на простые множители.
    Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним – разложение остальных чисел.
    Подчеркнуть в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа и добавить эти множители в разложение большего числа.
    Полученное произведение записать в ответ.
    Свойства наибольшего общего делителя:
    НОД(a, b) = НОД(b, a)
    НОД(a, b) = НОД(-a, b)
    НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
    НОД(a, 0) = |a|
    НОД(a, к • a) = |a|, при любом к ∈ Z
    НОД(a, НОД(b, с)) = НОД(НОД(a, b), c)
    Свойства наименьшего общего кратного:
    НОК(a, b) = НОК(b, a)
    НОД(a, b) = НОД(-a, b)
    НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
    НОК(a, НОК(b, с)) = НОК(НОК(a, b), c)

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *