Что такое относительная погрешность и абсолютная погрешность?

19 ответов на вопрос “Что такое относительная погрешность и абсолютная погрешность?”

  1. Zalas Ответить

    Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного
    числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)*.
    Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При
    округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность
    составляет 1300 – 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 – 1280 = 4.
    Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение
    абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.
    Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная
    погрешность составляет 200 – 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 или, округленно, 3/197 = 1,5 %.
    В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности.
    Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
    Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая – 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза
    неизвестен. Но абсолютная погрешность не
    превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ? 1,4%.
    Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее
    относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.
    В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность – 1,4 %.
    Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Так, в примере 3 можно принять за предельную абсолютную
    погрешность 100 г, 150 г и вообще всякое число, большее чем 50 г. На практике берется по возможности меньшее значение
    предельной погрешности. В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно
    предельной погрешностью. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность
    (абсолютная или oотносительная). Когда она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
    составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания
    предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого
    соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа.
    Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой ? («дельта»); предельная относительная
    погрешность — греческой буквой ? («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой а, то

    ? = ?/a.

    Пример 4. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная
    относительная погрешность этого измерения?
    Здесь а = 17,9 см; можно принять ? = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, a значительно уменьшить, предельную погрешность ни удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша ребра могут разниться на бoльшую величину). Относительная погрешность равна 0,1/17,9.
    Округляя, находим ? = 0,1/18 ? 0,6%.
    Пример 5. Цилиндрический поршень имеет около 35 мм в диаметре. С какой точностью нужно его измерить микрометром, чтобы
    предельная относительная погрешность составляла 0,05%?
    Решение. По условию, предельная абсолютная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная
    абсолютная погрешность равна 36*(0,05/100) = 0,0175 (мм) или, усиливая, 0,02 (мм). Можно воспользоваться
    формулой ? = ?/a.
    Подставляя в неё а = 35, ? = 0,0005, имеем 0,0005 = ?/35. Значит, ? = 35 • 0,0005 = 0,0175 (мм).

    * Иначе говоря, если a есть приближенное число, а х – его точное значение, то абсолютная погрешность есть абсолютное
    значение разности a – х. В некоторых руководствах абсолютной погрешностью называется сама
    разность a – х (или разность х – a). Эта величина может быть положительной или отрицательной.

  2. *Pup*sik* Ответить

    Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:
    Таким образом:
    После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы. Так, и только так!
    В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: (формулы можно найти в той же таблице).
    Дальнейшее шаблонно:

    Таким образом: (при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.
    Ответ:
    Пример 7
    Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.
    Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
    Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.
    Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
    Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта.
    Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка, куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение .
    Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.
    Пример 8
    Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.
    Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а .
    А вот и рабочая формула:

    Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же!
    По условию требуется найти приближенное значение функции в точке .
    Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели:
    ,
    Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка:
    ,
    И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть – надо его съесть.
    Вычислим значение функции в точке :

    Дифференциал функции в точке найдём по формуле:

    Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке .
    Вычислим частные производные первого порядка в точке :


    Полный дифференциал в точке :

    Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке :

    Вычислим точное значение функции в точке :

    Вот это значение является абсолютно точным.
    Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.
    Абсолютная погрешность:

    Относительная погрешность:

    Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:
    Пример 9
    Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.
    Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: .
    Общая закономерность такова – чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой.
    Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).
    Пример 10
    С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.

    Решение: Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:

    Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: . Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.
    Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , .
    Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: , .
    Вычислим значение функции в точке :

    Дифференциал в точке найдем по формуле:

    Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке .
    Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:
    ;


    .
    Полный дифференциал в точке :

    Таким образом, приближенное значение данного выражения:

    Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527
    Найдем относительную погрешность вычислений:

    Ответ: ,
    Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной.
    Пример 11
    С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.

    Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
    Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий – это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:
    Пример 12
    С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если
    Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения.
    Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах.
    Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора!

    Решения и ответы:

    Пример 2:
    Решение: Используем формулу:
    В данном случае: , ,

    Таким образом:
    Ответ:
    Пример 4:
    Решение: Используем формулу:
    В данном случае: , ,

    Таким образом:
    Вычислим более точное значение функции с помощью микрокалькулятора:

    Абсолютная погрешность:

    Относительная погрешность:

    Ответ: , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
    Пример 5:
    Решение: Используем формулу:
    В данном случае: , ,

    Таким образом:
    Ответ:
    Пример 7:
    Решение: Используем формулу:
    В данном случае: , ,

    Таким образом:
    Ответ:
    Пример 9:
    Решение: Используем формулу:
    В данной задаче:
    , , , , .

    Вычислим частные производные первого порядка в точке :

    Полный дифференциал в точке :

    Таким образом:
    С помощью калькулятора вычислим точное значение функции в данной точке:

    Абсолютная погрешность:

    Относительная погрешность:

    Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:
    Пример 11:
    Решение: С помощью полного дифференциала вычислим данное выражение приближенно:

    В данной задаче:

    ,
    ,


    Вычислим частные производные первого порядка в точке :




    Полный дифференциал в точке :

    Таким образом, приближенное значение данного выражения:

    Значение, вычисленное с помощью микрокалькулятора: 2,007045533
    Найдем относительную погрешность вычислений:

    Ответ: ,
    Пример 12:
    Решение: Используем формулу: .
    В данной задаче: , , , , .


    Вычислим частные производные первого порядка в точке :

    Полный дифференциал в точке :

    Таким образом:

    Ответ:
    Автор: Емелин Александр

  3. Kagul Ответить

    ?х = ± К?хmax / 100
    Пример вычислений по этой формуле: миллиамперметр класса К=0.5, предназначенный для измерения токов до Imax = 250 мА, показал силу тока
    I = 180 мА.
    Абсолютная погрешность при этом: ?I = 0,5?250 / 100 = 1,25 мА.
    Результат измерений: I = 180±1,25 мА. Правильнее записать этот результат с округлением до единиц младшего разряда результата 180, то есть считать окончательным результатом запись I = 180±1 мА.
         Относительная погрешность ?х результата измерений – это отношение абсолютной погрешности ?х к величине x результата измерения:
                                                         ?х = ?х / х                              (2)
        Относительная погрешность – величина безразмерная. Поскольку, как правило, ?х ‹‹ х, относительную погрешность обычно выражают в процентах. Например, результату измерений I = 180±1 мА соответствует относительная погрешность ?I = 1 / 180 = 0,00555 = 0,56%
    Относительную погрешность удобно использовать для сопоставления точности измерений, выполняемых разными методами; измерений, выполняемых в разных диапазонах измеряемой величины и даже для сравнения точности измерения разных физических величин.
    6. Результаты измерений в категориях математической статистики.
    С точки зрения теории вероятностей величина, которая при измерениях не может быть установлена точно, может рассматриваться как случайная величина, и может анализироваться методами теории вероятностей и математической статистики, знакомыми вам по математическому блоку курса «Физика, математика».
    Вместе с тем, измерения – это вид деятельности, имеющий многовековую историю, сложившийся круг понятий и методов.
    Вам остается убедиться, что недавно изучавшаяся вами математическая статистика и традиционная теория измерений хорошо дополняют друг друга.
    Если бы идеально точные измерения были возможны, то каждый результат такого измерения можно бы представить, как точку, положение которой на числовой оси твердо установлено и сомнениям не подлежит.
    В реальных измерениях результат измерений – это некоторый интервал х±?х (от х-?х до х+?х), в котором содержится истинное значение измеряемой величины – доверительный интервал.
    Но доверительный интервал задается в привязке к результату х состоявшегося измерения. Если провести повторное измерение, доверительный интервал может измениться. Утверждение о том, что истинное значение измеряемой величины содержится в обсуждаемом интервале, справедливо лишь с некоторой вероятностью Р, которая называется доверительной вероятностью.
         Величина ? = 1 – Р – уровень значимости – вероятность того, что истинное значение измеряемой величины не содержится в доверительном интервале.
    Проведение повторных измерений приводит к уменьшению ширины доверительного интервала или к уменьшению уровня значимости и увеличению доверительной вероятности; выбор при этом – за экспериментатором.  
         Указания, как определять границы доверительных интервалов, приведены в данном пособии в описаниях лабораторных работ всюду, где это необходимо.

  4. Mrs.АНАНАСЬКА Ответить

    Например, если записано 12.45, то это не значит, что величина, характеризуемая этим числом, не содержит тысячных долей. Можно утверждать, что тысячные доли при измерении не учитывались, следовательно, абсолютная погрешность меньше половины единицы последнего разряда: . Аналогично, относительно приближенного числа 1.283, можно сказать, что абсолютная погрешность меньше 0.0005: .
    Приближенные числа принято записывать так, чтобы абсолютная погрешность не превышала единицы последнего десятичного разряда. Или, иначе говоря, абсолютная погрешность приближенного числа характеризуется числом десятичных знаков после запятой.
    Как же быть, если при тщательном измерении какой-нибудь величины получится, что она содержит целую единицу, 2 десятых, 5 сотых, не содержит тысячных, а десятитысячные не поддаются учету? Если записать 1.25, то в этой записи тысячные не учтены, тогда как на самом деле мы уверены, что их нет. В таком случае принято ставить на их месте 0, – надо писать 1.250. Таким образом, числа 1.25 и 1.250 обозначают не одно и то же. Первое – содержит тысячные; мы только не знаем, сколько именно. Второе – тысячных не содержит, о десятитысячных ничего сказать нельзя.
    Сложнее приходится при записи больших приближенных чисел. Пусть число жителей деревни равно 2000 человек, а в городе приблизительно 457 000 жителей. Причем относительно города в тысячах мы уверены, но допускаем погрешность в сотнях и десятках. В первом случае нули в конце числа указывают на отсутствие сотен, десятков и единиц, такие нули мы назовем значащими; во втором случае нули указывают на наше незнание числа сотен, десятков и единиц. Такие нули мы назовем незначащими. При записи приближенного числа, содержащего нули надо дополнительно оговаривать их значимость. Обычно нули – незначащие. Иногда на незначимость нулей можно указывать, записывая число в экспоненциальном виде (457*103).
    Сравним точность двух приближенных чисел 1362.3 и 2.37. В первом абсолютная погрешность не превосходит 0.1, во втором – 0.01. Поэтому второе число выглядит более точным, чем первое.
    Подсчитаем относительную погрешность. Для первого числа ; для второго . Второе число значительно (почти в 100 раз) менее точно, чем первое. Получается это потому, что в первом числе дано 5 верных (значащих) цифр, тогда как во втором – только 3.
    Все цифры приближенного числа, в которых мы уверены, будем называть верными (значащими) цифрами. Нули сразу справа после запятой не бывают значащими, они лишь указывают на порядок стоящих правее значащих цифр. Нули в крайних правых позициях числа могут быть как значащими, так и не значащими. Например, каждое из следующих чисел имеет 3 значащие цифры: 283*105, 200*102, 22.5, 0.0811, 2.10, 0.0000458.
    Пример
    Сколько значащих (верных) цифр в следующих числах:
    0.75 (2), 12.050 (5), 1875*105 (4), 0.06*109 (1)
    Оценить относительную погрешность следующих приближенных чисел:
    0.989 (0.1%),
    нули значащие: 21000 (0.005%),
    0.000 024 (4%),
    0.05 (20%)
    Нетрудно заметить, что для примерной оценки относительной погрешности числа достаточно подсчитать количество значащих цифр. Для числа, имеющего только одну значащую цифру относительная погрешность около 10%;
    с 2-мя значащими цифрами – 1%;
    с 3-мя значащими цифрами – 0.1%;
    с 4-мя значащими цифрами – 0.01% и т.д.
    При вычислениях с приближенными числами нас будет интересовать вопрос: как, исходя из данных приближенных чисел, получить ответ с нужной относительной погрешностью.
    Часто при этом все исходные данные приходится брать с одной и той же погрешностью, именно с погрешностью наименее точного из данных чисел. Поэтому часто приходится более точное число заменять менее точным – округлять.
    округление до десятых 27.136 » 27.1,
    округление до целых 32.8 » 33.
    Правило округления: Если крайняя левая из отбрасываемых при округлении цифр меньше 5, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют; если крайняя левая из отбрасываемых цифр больше 5 или если она равна 5, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на 1.
    Пример
    округлить до десятых 17.96 (18.0)
    округлить до сотых 14.127 (14.13)
    округлить, сохранив 3 верные цифры: 83.501 (83.5), 728.21 (728), 0.0168835 (0.01688).

  5. Mananaya Ответить

    При проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных измерений одной и той же постоянной неизменяющейся величины мы получаем результаты измерений – некоторые из них отличаются друг от друга, а некоторые совпадают. Такие расхождения в результатах измерений говорят о наличии в них случайных составляющих погрешности.
    Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих источников, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на результат измерения, но суммарное воздействие всех источников может оказаться достаточно сильным.
    Случайные ошибки являются неизбежным следствием любых измерений и обусловлены:
    а) неточностью отсчетов по шкале приборов и инструментов;
    б) не идентичностью условий повторных измерений;
    в) беспорядочными изменениями внешних условий (температуры, давления, силового поля и т.д.), которые невозможно контролировать;
    г) всеми другими воздействиями на измерения, причины которых нам неизвестны. Величину случайной погрешности можно свести к минимуму путем многократного повторения эксперимента и соответствующей математической обработки полученных результатов.
    Случайная ошибка может принимать различные по абсолютной величине значения, предсказать которые для данного акта измерения невозможно. Эта ошибка в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. При отсутствии систематических ошибок они служат причиной разброса повторных измерений относительно истинного значения.
    Допустим, что при помощи секундомера измеряют период колебаний маятника, причем измерение многократно повторяют. Погрешности пуска и остановки секундомера, ошибка в величине отсчета, небольшая неравномерность движения маятника – все это вызывает разброс результатов повторных измерений и поэтому может быть отнесено к категории случайных ошибок.
    Если других ошибок нет, то одни результаты окажутся несколько завышенными, а другие несколько заниженными. Но если, помимо этого, часы еще и отстают, то все результаты будут занижены. Это уже систематическая ошибка.
    Некоторые факторы могут вызвать одновременно и систематические и случайные ошибки. Так, включая и выключая секундомер, мы можем создать небольшой нерегулярный разброс моментов пуска и остановки часов относительно движения маятника и внести тем самым случайную ошибку. Но если к тому же мы каждый раз торопимся включить секундомер и несколько запаздываем выключить его, то это приведет к систематической ошибке.
    Случайные погрешности вызываются ошибкой параллакса при отсчете делений шкалы прибора, сотрясении фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха и т.п.
    Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений позволяем уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений. Ниже будет показано, что для этого необходимо произвести не одно, а несколько измерений, причем, чем меньшее значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно провести.
    В связи с тем, что возникновение случайных погрешностей неизбежно и неустранимо, основной задачей всякого процесса измерения является доведение погрешностей до минимума.
    В основе теории погрешностей лежат два основных предположения, подтверждаемых опытом:
    1. При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т.е погрешности в сторону увеличения и уменьшения результата встречаются достаточно часто.
    2. Большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые, таким образом, вероятность возникновения погрешности уменьшается с ростом ее величины.
    Поведение случайных величин описывают статистические закономерности, которые являются предметом теории вероятностей. Статистическим определением вероятности wi события i является отношение
    , (4.1)
    где n – общее число опытов, ni – число опытов, в которых событие i произошло. При этом общее число опытов должно быть очень велико (n ®¥). При большом числе измерений случайные ошибки подчиняются нормальному распределению (распределение Гаусса), основными признаками которого являются следующие:
    1. Чем больше отклонение значения измеренной величины от истинного, тем меньше вероятность такого результата.
    2. Отклонения в обе стороны от истинного значения равновероятны.
    Из приведенных выше допущений вытекает, что для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. Пусть произведено n измерений: x1, x2, … xn – одним и тем же методом и с одинаковой тщательностью. Можно ожидать, что число dn полученных результатов, которые лежат в некотором достаточно узком интервале от x до x + dx, должно быть пропорционально:
    – величине взятого интервала dx;
    – общему числу измерений n.
    Вероятность dw(x) того, что некоторое значение x лежит в интервале от x до x + dx, определяется следующим образом:
    (при числе измерений n ®¥).
    Функция f (х) называется функцией распределения или плотностью вероятности.
    В качестве постулата теории ошибок принимается, что результаты прямых измерений и их случайные погрешности при большом их количестве подчиняются закону нормального распределения.
    Найденная Гауссом функция распределения непрерывной случайной величины x имеет следующий вид:
    , где mиs – параметры распределения.
    Параметрmнормального распределения равен среднему значению axn случайной величины, которое при произвольной известной функции распределения определяется интегралом
    .
    Таким образом, величина m является наиболее вероятным значением измеряемой величины x, т.е. ее наилучшей оценкой.
    Параметр s2 нормального распределения равен дисперсии D случайной величины, которая в общем случае определяется следующим интегралом
    .
    Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины.
    Среднее отклонение (погрешность) случайной величины asn определяется с помощью функции распределения следующим образом

    Средняя погрешность измерений asn, вычисленная по функции распределения Гаусса, соотносится с величиной среднего квадратического отклонения s следующим образом:
    < s> = 0,8s .
    Параметры s и m связаны между собой следующим образом:
    .
    Это выражение позволяет находить среднее квадратическое отклонение s , если имеется кривая нормального распределения.
    График функции Гаусса представлен на рисунках. Функция f (x) симметрична относительно ординаты, проведенной в точке x = m; проходит через максимум в точке x = m и имеет перегиб в точках m ±s. Таким образом, дисперсия характеризует ширину функции распределения, или показывает, насколько широко разбросаны значения случайной величины относительно ее истинного значения. Чем точнее измерения, тем ближе к истинному значению результаты отдельных измерений, т.е. величина s – меньше. На рисунке A изображена функция f (x) для трех значений s.
    А

    Б

    Площадь фигуры, ограниченной кривой f (x) и вертикальными прямыми, проведенными из точек x1 и x2 (рис.Б), численно равна вероятности попадания результата измерения в интервал Dx = x1 – x2, которая называется доверительной вероятностью. Площадь под всей кривой f (x) равна вероятности попадания случайной величины в интервал от 0 до ¥, т.е.
    ,
    так как вероятность достоверного события равна единице.
    Используя нормальное распределение, теория ошибок ставит и решает две основные задачи. Первая – оценка точности проведенных измерений. Вторая – оценка точности среднего арифметического значения результатов измерений.5. Доверительный интервал. Коэффициент Стъюдента.
    Теория вероятностей позволяет определить величину интервала, в котором с известной вероятностью w находятся результаты отдельных измерений. Эта вероятность называется доверительной вероятностью, а соответствующий интервал (< x> ± Dx)w называется доверительным интервалом. Доверительная вероятность также равна относительной доле результатов, оказавшихся внутри доверительного интервала.
    Если число измерений n достаточно велико, то доверительная вероятность выражает долю из общего числа n тех измерений, в которых измеренная величина оказалась в пределах доверительного интервала. Каждой доверительной вероятности w соответствует свой доверительный интервал.
    Для примера обозначим на числовой оси точками результаты n = 10 условных измерений. Они группируются вокруг средней величиныaаn.
    [ ( ) ] a
    aаn
    Круглыми скобками обозначим доверительный интервал, внутри которого находятся 5 экспериментальных значений из 10, т.е. доверительная вероятность w1 50%. Квадратным скобкам соответствует доверительный интервал для вероятности w2 80%. Чем шире доверительный интервал, тем больше вероятность получить результат внутри этого интервала. В теории вероятностей устанавливается количественная связь между величиной доверительного интервала, доверительной вероятностью и числом измерений.
    Если в качестве доверительного интервала выбрать интервал, соответствующий средней погрешности, то есть Da = aDаn, то при достаточно большом числе измеренийон соответствует доверительной вероятности w 60%. При уменьшении числа измерений доверительная вероятность, соответствующая такому доверительному интервалу (aаn ± aDаn), уменьшается.
    Таким образом, для оценки доверительного интервала случайной величины можно пользоваться величиной средней погрешностиaDаn.
    Для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа, а именно, величину доверительного интервала и величину доверительной вероятности. Указание одной только величины погрешности без соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла.
    Если известна средняя погрешность измерения asn, доверительный интервал, записанный в виде (< x> ± asn)w, определен с доверительной вероятностью w = 0,57.
    Если известно среднее квадратическое отклонение s распределения результатов измерений, указанный интервал имеет вид (< x>± tws)w, где tw – коэффициент, зависящий от величины доверительной вероятности и рассчитывающийся по распределению Гаусса.
    Наиболее часто используемые величиныDx приведены в таблице 1.
    Таблица 1.
    w
    0,68
    0,9
    0,95
    Dx
    s
    1,7s
    2s

  6. ^_^BioSferA^_^ Ответить

    . (1.3)
    Равенство (1.3) определяет границы, в которых находится неизвестное точное число (говорят, что приближенное число выражает точное с предельной абсолютной погрешностью). Нетрудно видеть, что чем меньше , тем точнее определяются эти границы.
    Например, если измерения некоторой величины дали результат см, при этом точность этих измерений не превосходила 1 см, то истинная (точная) длина см.
    Пример 1.1. Дано число . Найти предельную абсолютную погрешность числа числом .
    Решение: Из равенства (1.3) для числа ( =1,243; =0,0005) имеем двойное неравенство , то есть
    (*)
    Тогда задача ставится так: найти для числа предельную абсолютную погрешность , удовлетворяющую неравенству . Учитывая условие (*), получим (в (*) вычитаем из каждой части неравенства)
    .
    Так как в нашем случае , то , откуда =0,0035.
    Ответ: =0,0035.
    Предельная абсолютная погрешность часто плохо дает представление о точности измерений или вычислений. Например, =1 м при измерениях длины здания укажет, что они проводились не точно, а та же погрешность =1 м при измерениях расстояния между городами дает очень качественную оценку. Поэтому вводят другую величину.
    Определение 1.3. Истинной относительной погрешностью числа , являющегося приближенным значением точного числа , называется отношение истинной абсолютной погрешности числа к модулю самого числа :
    . (1.4)
    Например, если соответственно точное и приближенное значения, то
    .
    Однако формула (1.4) неприменима, если не известно точное значение числа. Поэтому по аналогии с предельной абсолютной погрешностью вводят предельную относительную погрешность.
    Определение 1.4. Предельной относительной погрешностью числа , являющегося приближенным значением неизвестного точного числа , называется возможно меньшее число , которого не превосходит истинная относительная погрешность , то есть
    . (1.5)
    Из неравенства (1.2) имеем ; откуда, учитывая (1.5)
    . (1.6)
    Формула (1.6) имеет большую практическую применимость по сравнению с (1.5), так как в ней не участвует точное значение. Учитывая (1.6), (1.3), можно найти границы, в которых заключается точное значение неизвестной величины:

    (приближенное число выражает неизвестное точное число с предельной относительной погрешностью ). Ясно, что чем меньше , тем точнее вычисляются границы точного числа .
    Пример 1.2. Учитывая данные примера 1.1, найти .
    Решение: Имеем =0,0035, . Тогда = 0,0028.
    Пример 1.3. Выяснить, какое из приближенных равенств точнее:
    .
    Решение:Для решения задачи необходимо найти предельные относительные погрешности чисел ( ), ( ) и сравнить их.
    1) Находим сначала предельные абсолютные погрешности. При помощи калькулятора вычисляем числа , с большим числом знаков: =0,2727(27), =4,2426…. Тогда имеем (по определению)
    ,
    .
    2) Теперь вычисляем предельные относительные погрешности, пользуясь формулой (1.6):
    ,
    .
    Итак, . Значит, первое равенство точнее второго.

  7. Craft_Play Ответить

    Процедура измерения состоит из следующих этапов: принятие модели объекта измерения, выбор метода измерения, выбор устройства измерения, проведение эксперимента для получения результата. Все эти составляющие приводят к тому, что результат измерения отличается от истинного значения измеряемой величины на некоторую величину, называемую погрешностью измерения. Измерение можно считать законченным, если определена измеряемая величина и указана возможная степень ее отклонения от истинного значения.
    Причины возникновения погрешностей чрезвычайно многочисленны, поэтому классификация погрешностей, как и всякая другая классификация, носит достаточно условный характер.
    Следует различать погрешность средства измерений и погрешность результата измерения этим же средством измерений. Погрешности измерений зависят от метрологических характеристик используемых средств измерений, совершенства выбранного метода измерений, внешних условий, а также от свойств объекта измерения и измеряемой величины. По способу выражения погрешности средств измерений делятся на абсолютные, относительные и приведенные
    Абсолютная погрешность D – это погрешность, выраженная в единицах измеряемой физической величины
    D = Xизм – Xд
    (((3.3)
    где Xизм — измеренное значение физической величины, Xд – действительное значение физической величины.
    Относительная погрешность отн – выражается отношением абсолютной погрешности средства измерений к результату измерений или к действи­тельному значению измеренной физической вели­чины
    отн = (D/Xд) 100%.
    (.(3.4)
    Для измерительного прибора ?отн характеризует погрешность в данной точке шкалы, зависит от значения измеряемой величины и имеет наименьшее значение в конце шкалы прибора.
    Приведенная погрешность ?прив – это относительная погрешность, выраженная от­ношением абсолютной погрешности средства изме­рений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона, выраженная в про­центах. Выбор нормирующего значения производится в соответствии с ГОСТ 8.009-84. Это может быть верхний предел измерений СИ, диапазон измерений, длина шкалы и т.д. Для многих средств измерений по приведенной погрешности устанавливают класс точности прибора.
    ?прив = (D/Xнорм) ? 100%,
    где Хнорм – нормирующее значение, т.е. некоторое установлено значение, по отношению к которому рассчитывается погрешность.
    (((3.5)
    Основная погрешность – это погрешность в нормальных условиях эксплуатации. Она возникает из-за не идеальности собственных свойств устройства измерения и показывает отличие действительной функции преобразования в нормальных условиях от номинальной.

  8. Aurimath Ответить

    Относительная погрешность
    Абсолютное отклонение обладает одним важным недостатком – оно не позволяет оценить степень важности ошибки. Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 грамм в свою пользу. То есть абсолютная погрешность составила 50 грамм. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на нее внимания. А представьте себе, что случится, если при приготовлении лекарства произойдет подобная ошибка? Тут уже все будет намного серьезней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения. Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме нее очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение, равное отношению абсолютной погрешности к точному значению числа. Это записывается следующей формулой: δ = Δ x / x0.

    Свойства погрешностей
    Предположим, у нас есть две независимые величины: х и у. Нам требуется рассчитать отклонение приближенного значения их суммы. В этом случае мы может рассчитать абсолютную погрешность как сумму предварительно рассчитанных абсолютных отклонений каждой из них. В некоторых измерениях может произойти так, что ошибки в определении значений x и y будут друг друга компенсировать. А может случиться и такое, что в результате сложения отклонения максимально усилятся. Поэтому, когда рассчитывается суммарная абсолютная погрешность, следует учитывать наихудший из всех вариантов. То же самое справедливо и для разности ошибок нескольких величин. Данное свойство характерно лишь для абсолютной погрешности, и к относительному отклонению его применять нельзя, поскольку это неизбежно приведет к неверному результату. Рассмотрим эту ситуацию на следующем примере.
    Задача
    Предположим, измерения внутри цилиндра показали, что внутренний радиус (R1) равен 97 мм, а внешний (R2) – 100 мм. Требуется определить толщину его стенки. Вначале найдем разницу: h = R2 – R1 = 3 мм. Если в задаче не указывается чему равна абсолютная погрешность, то ее принимают за половину деления шкалы измерительного прибора. Таким образом, Δ(R2) = Δ(R1) = 0,5 мм. Суммарная абсолютная погрешность равна: Δ(h) = Δ(R2) +Δ(R1) = 1 мм. Теперь рассчитаем относительно отклонение всех величин:
    δ(R1) = 0,5/100 = 0,005,
    δ(R1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,
    δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R1).
    Как видим, погрешность измерения обоих радиусов не превышает 5,2%, а ошибка при расчете их разности – толщины стенки цилиндра – составила целых 33,(3)%!
    Следующее свойство гласит: относительное отклонение произведения нескольких числе примерно равно сумме относительных отклонений отдельных сомножителей:
    δ(ху) ≈ δ(х) + δ(у).
    Причем данное правило справедливо независимо от количества оцениваемых величин. Третье и последнее свойство относительной погрешности состоит в том, что относительная оценка числа k-й степени приближенно в | k | раз превышает относительную погрешность исходного числа:
    δ(хk) ≈ |k| x δ(х).

  9. Gazel Ответить

    Как уже говорилось ранее, когда мы сравниваем точность измерения некоторой приближенной величины, мы используем абсолютную погрешность.

    Понятие абсолютной погрешности

    Абсолютная погрешность приближенного значения – это модуль разности точного значения и приближенного значения.
    Абсолютную погрешность можно применять для сравнения точности приближений одинаковых величин, а если мы собираемся сравнивать точности приближения различных величин, тогда одной абсолютной погрешности недостаточно.
    Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.
    Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.
    При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.
    Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.

    Понятие относительной погрешности

    Здесь для оценки качества приближения вводится новое понятие относительная погрешность. Относительная погрешность – это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближенного значений измеряемой величины. Обычно, относительную погрешность выражают в процентах. В нашем примере мы получили две относительных погрешности равные 0.33% и 0.15%.
    Как вы уже догадались, относительная погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность всегда положительная величина, и мы делим её на модуль, а модуль тоже всегда положителен.

    Нужна помощь в учебе?


  10. Ironcrusher Ответить

    С приближенными числами нам приходится иметь дело при вычислениях значений каких-либо функций, либо при измерениях и обработке физических величин, получаемых в результате экспериментов. В том и другом случае нужно уметь правильно записывать значения приближенных чисел и их погрешность.
    Приближенным числом а называется число, которое незначительно отличается от точного числа А и заменяет последнее в вычислениях [6]. Если известно, что а < А, то     а называется приближенным значением числа А по недостатку; если а > А, – то по избытку. Если а есть приближенное значение числа А, то пишут а ? А.
    Под ошибкой или погрешностью А приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближенным, т.е.

    Чтобы получить точное число А, нужно к приближенному значению числа прибавить его ошибку , т.е.

    Во многих случаях знак ошибки неизвестен. Тогда целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа

    Из приведенной записи следует, что абсолютной погрешностью приближенного числа а называется модуль разности между соответствующими точным числом А и его приближенным значением а, т.е.
    (1.1)
    Точное число А чаще всего бывает неизвестно, поэтому найти ошибку или абсолютную погрешность не представляется возможным. В этом случае полезно вместо неизвестной теоретической погрешности ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.
    Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а понимается всякое число , не меньшее абсолютной погрешности этого числа, т.е.

    Если в последней записи вместо использовать формулу (1,1), то можно записать
    (1.2)
    Отсюда следует, что точное число А заключено в границах
    Следовательно, разность есть приближение числа А по недостатку, а – приближение числа А по избытку. В этом случае для краткости пользуются записью

    Ясно, что предельная абсолютная погрешность определяется неоднозначно: если некоторое число есть предельная абсолютная погрешность, то любое большее, чем положительное число, тоже есть предельная абсолютная погрешность. На практике стараются выбирать возможно меньшее и простое по записи число ,удовлетворяющее неравенству (1.2).
    Например, если в результате измерения получили длину отрезка l = 210 см ± 0,5 см., то здесь предельная абсолютная погрешность = 0,5 см, а точная величина l отрезка заключена в границах 209,5см?l?210,5см.
    Абсолютная погрешность недостаточна для характеристики точности измерения или вычисления. Так, например, если при измерении длин двух стержней получены результаты l1 = 95,6см ± 0,1см и l2 =8,3 ± 0,1 см, то, несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, точность первого измерения выше, чем второго. Отсюда видно, что для точности измерений важнее не абсолютная, а относительная погрешность, которая зависит от значений измеряемых величин.
    Относительной погрешностью ? приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа А, т.е.

    Аналогично предельной абсолютной погрешности используют также определение и для предельной относительной погрешности. Предельной относительной погрешностью данного приближенного числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа

    т.е. откуда следует
    Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа а можно принять
    (1.3)
    Так как на практике А?а,то вместо формулы (1.3) часто пользуются формулой

    1.2 Десятичная запись приближенных чисел
    Всякое положительное десятичное число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной дроби
    (1.4)
    где – десятичные цифры числа а ( = 0,1,2,…,9), причем старшая цифра а m – число разрядов в записи целой части числа а, а n – число разрядов в записи дробной части числа а. Например:
    5214,73… = 5 · 103 + 2 · 102 + 1 · 101 + 4 · 100 +7 · 10-1 + 3 · 10-2… (1.5)
    Каждая цифра , стоящая на определенном месте в числе а, написанном в виде (1.4), имеет свой вес. Так, цифра, стоящая на первом месте (т.е. ), весит 10m, на втором – 10m-1 и т.д.
    На практике мы обычно не пользуемся записью в форме (1.4), а используем сокращенную запись чисел в виде последовательности коэффициентов при соответствующих степенях 10. Так, например, в записи (1.5) мы пользуемся левой от знака равенства формой, а не правой, представляющей разложение этого числа по степеням 10.
    На практике преимущественно приходится иметь дело с приближенными числами в виде конечных десятичных дробей. Для корректного сравнения различных вычислительных и экспериментальных результатов вводят понятие значащей цифры в записи результата. Все сохраняемые десятичные значения (i = m, m-1,…, m-n+1), отличные от нуля, и нуль, если он стоит между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда в конце числа называются значащими цифрами приближенного числа а. При этом нули, связанные с множителем 10n к значащим не относятся.
    При позиционном обозначении числа а в десятичной системе счисления иногда приходится вводить лишние нули в начале или в конце числа. Например,
    а = 7·10-3 + 0·10-4 + 1·10-5 + 0·10-6 = 0,007010
    или
    b = 2·109 + 0·108 + 0·107 + 3·106 + 0·105 = 2003000000.
    Такие нули (в приведенных примерах они подчеркнуты) не считаются значащими цифрами.
    Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, а также и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения его десятичных разрядов, не причисляются к значащим числам.
    Например, в числе 0,002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат только для установления десятичных разрядов других цифр. Остальные два нуля являются значащими цифрами, так как первый из них находиться между значащими цифрами 2 и 8, а второй указывает на то, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 10-6. В случае, если в данном числе 0,002080 последняя цифра не является значащей, то это число должно быть записано в виде 0,00208. С этой точки зрения числа 0,002080 и 0,00208 не равноценны, так как первое из них содержит четыре значащих цифры, а второе лишь три.

  11. bvgonya Ответить


    Измерим длину бруска линейкой (цена
    деления 1 мм). Можно лишь утверждать, что длина бруска составляет величину
    между 22 и 23 мм. Ширина интервала “неизвестности составляет 1мм, те есть равна
    цене деления. Замена линейки более чувствительным прибором, например
    штангенциркулем снизит этот интервал, что приведет к повышению точности
    измерения. В нашем примере точность измерения не превышает 1мм.
    Поэтому измерения никогда не могут быть
    выполнены абсолютно точно. Результат любого измерения приближенный. Неопределенность
    в измерении характеризуется погрешностью – отклонением измеренного значения
    физической величины от ее истинного значения.
    Перечислим некоторые из причин,
    приводящих к появлению погрешностей.
    1. Ограниченная точность изготовления
    средств измерения.
    2. Влияние на измерение внешних условий
    (изменение температуры, колебание напряжения …).
    3. Действия экспериментатора
    (запаздывание с включением секундомера, различное положение глаза…).
    4. Приближенный характер законов,
    используемых для нахождения измеряемых величин.
    Перечисленные причины появления
    погрешностей неустранимы, хотя и могут быть сведены к минимуму. Для
    установления достоверности выводов, полученных в результате научных
    исследований существуют методы оценки данных погрешностей.
    2. Случайные и
    систематические погрешности
    Погрешности, возникаемые при измерениях
    делятся на систематические и случайные.
    Систематические погрешности- это
    погрешности, соответствующие отклонению измеренного значения от истинного
    значения физической величины всегда в одну сторону (повышения или занижения).
    При повторных измерениях погрешность остается прежней.
    Причины возникновения систематических
    погрешностей:
    1) несоответствие средств измерения
    эталону;
    2) неправильная установка измерительных
    приборов (наклон, неуравновешенность);
    3) несовпадение начальных показателей
    приборов с нулем и игнорирование поправок, которые в связи с этим возникают;
    4) несоответствие измеряемого объекта с
    предположением о его свойствах (наличие пустот и т.д).
    Случайные погрешности- это погрешности,
    которые непредсказуемым образом меняют свое численное значение. Такие
    погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на
    процесс измерения (неровности на поверхности объекта, дуновение ветра, скачки
    напряжения и т.д.). Влияние случайных погрешностей может быть уменьшено при
    многократном повторении опыта.
    3. Абсолютные
    и относительные погрешности
    Для количественной оценки качества измерений вводят
    понятия абсолютной и относительной погрешностей измерений.
    Как уже говорилось, любое измерение
    дает лишь приближенное значение физической величины, однако можно указать
    интервал, который содержит ее истинное значение:
    Апр- DА < Аист < Апр+ DА Величина DА называется абсолютной погрешностью измерения величины А. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Абсолютная погрешность равна модулю максимально возможного отклонения значения физической величины от измеренного значения. Апр- значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений. Но для оценки качества измерения необходимо определить относительную погрешность e. e= DА/Апр или e= (DА/Апр)*100%. Если при измерении получена относительная погрешность более 10%, то говорят, что произведена лишь оценка измеряемой величины. В лабораториях физического практикума рекомендуется проводить измерения с относительной погрешностью до 10%. В научных лабораториях некоторые точные измерения (например определение длины световой волны), выполняются с точностью миллионных долей процента. 4. Погрешности
    средств измерений
    Эти погрешности называют еще
    инструментальными или приборными. Они обусловлены конструкцией измерительного
    прибора, точностью его изготовления и градуировки. Обычно довольствуются о
    допустимых инструментальных погрешностях, сообщаемых заводом изготовителем в
    паспорте к данному прибору. Эти допустимые погрешности регламентируются
    ГОСТами. Это относится и к эталонам. Обычно абсолютную инструментальную
    погрешность обозначают D иА.
    Если сведений о допустимой погрешности
    не имеется (например у линейки), то в качестве этой погрешности можно принять
    половину цены деления.
    При взвешивании абсолютная
    инструментальная погрешность складывается из инструментальных погрешностей
    весов и гирь. В таблице приведены допустимые погрешности наиболее часто
    встречающихся
    в школьном эксперименте средств измерения.
    Средства измерения
    Предел
    измерения
    Цена
    деления
    Допустимая  погрешность
    линейка ученическая
    до 50 см
    1 мм
    1 мм
    линейка демонстрационная
    100 см
    1 см
    0.5 см
    лента измерительная
    150 см
    0.5 см
    0.5 см
    мензурка
    до 250 мл
    1 мл
    1 мл
    гири 10,20, 50 мг
    1 мг
    гири 100,200 мг
    2 мг
    гири 500 мг
    3 мг
    гири 1 г
    4 мг
    гири 2 г
    6 мг
    гири 5 г
    8 мг
    гири 10 г
    12 мг
    гири 20 г
    20 мг
    гири 50 г
    30 мг
    гири 100 г
    40 мг
    штангенциркуль
    150 мм
    0.1 мм
    0.05 мм
    микрометр
    25 мм
    0.01 мм
    0.005 мм
    динамометр
    4 Н
    0.1 Н
    0.05 Н
    весы учебные
    200 г
    0.1 г
    Секундомер
    0-30 мин
    0.2 с
    1с за 30 мин
    барометр-анероид
    720-780 мм рт.ст.
    1 мм рт.ст
    3 мм рт.ст
    термометр лабораторный
    0-100 градусов С
    1 градус
    1 градус
    амперметр школьный
    2 А
    0.1 А
    0.08 А
    вольтметр школьный
    6 В
    0.2 В
    0.16 В
    5. Класс
    точности электроизмерительных приборов
    Стрелочные электроизмерительные приборы
    по допустимым значениям погрешностям делятся на классы точности, которые
    обозначены на шкалах приборов числами 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс
    точности g пр
    прибора показывает, сколько процентов составляет абсолютная погрешность от всей
    шкалы прибора.
    g пр = (D иА/Амакс)*100% .
    Например
    абсолютная инструментальная погрешность прибора класса 2,5 составляет 2,5% от
    его шкалы.
    Если известен класс точности прибора и
    его шкала, то можно определить абсолютную инструментальную погрешность
    измерения
    D иА=( g пр * Амакс)/100.
    Для повышения точности измерения
    стрелочным электроизмерительным прибором надо выбирать прибор с такой шкалой,
    чтобы в процессе измерения располагались во второй половине шкалы прибора.
    6. Погрешность
    отсчета
    Погрешность отсчета получается от
    недостаточно точного отсчитывания показаний средств измерений.
    В большинстве случаев абсолютную
    погрешность отсчета принимают равной половине цены деления. Исключения
    составляют измерения стрелочными часами (стрелки передвигаются рывками).
    Абсолютную погрешность отсчета принято
    обозначать D оА
    7. Полная
    абсолютная погрешность прямых измерений
    При выполнении прямых измерений
    физической величины А нужно оценивать следующие погрешности: D иА, D оА и D сА (случайную). Конечно,
    иные источники ошибок, связанные с неправильной установкой приборов,
    несовмещение начального положения стрелки прибора с 0 и пр. должны быть
    исключены.
    Полная абсолютная погрешность прямого
    измерения должна включать в себя все три вида погрешностей.
    Если случайная погрешность мала по
    сравнению с наименьшим значением, которое может быть измерено данным средством
    измерения (по сравнению с ценой деления), то ее можно пренебречь и тогда для
    определения значения физической величины достаточно одного измерения. В
    противном случае теория вероятностей рекомендует находить результат измерения
    как среднее арифметическое значение результатов всей серии многократных
    измерений, погрешность результата вычислять методом математической статистики.
    Знание этих методов выходит за пределы школьной программы.
    8. Запись
    окончательного результата прямого измерения
    Окончательный результат измерения
    физической величины А следует записывать в такой форме;
    А=Апр+ D А,  e= (DА/Апр)*100%.
    Апр-
    значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение
    проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений. D А- полная абсолютная
    погрешность прямого измерения.
    Абсолютную погрешность обычно выражают
    одной значащей цифрой.
    Пример: L=(7,9 + 0,1) мм, e=13%.
    9. Погрешности
    косвенных измерений
    При обработке результатов косвенных
    измерений физической величины, связанной функционально с физическими величинами
    А, В и С, которые измеряются прямым способом, сначала определяют относительную
    погрешность косвенного измерения e= DХ/Хпр, пользуясь
    формулами, приведенными в таблице (без доказательств).
    Абсолютную погрешность определяется по
    формуле DХ=Хпр *e,
    где
    e выражается
    десятичной дробью, а не в процентах.
    Окончательный результат записывается
    так же, как и в случае прямых измерений.








           
    Вид функции
    Формула
    Х=А+В+С
    ?=?A+?B+?CA+B+C

    Х=А-В

    ?=?A+?BA-B

    Х=А*В*С

    ?=?AA+?BB+?CC


    Х=Аn
    ?=n*?AA

    Х=А/В
    ?=?AA+?BB

    Х=
    nA

    ?=?AnA




    Пример:    Вычислим погрешность измерения коэффициента
    трения с помощью динамометра. Опыт заключается в том, что брусок равномерно
    тянут по горизонтальной поверхности и измеряют прикладываемую силу: она равна
    силе трения скольжения.
    ?=FтрN    N=mg

    С помощью динамометра взвесим
    брусок с грузами: 1,8 Н. Fтр=0,6 Н
    ?=0,33.  Инструментальная погрешность динамометра
    (находим по таблице) составляет ? и  =0,05Н, Погрешность отсчета (половина цены
    деления)
    ? о =0,05Н  .
    Абсолютная погрешность измерения веса и силы трения 0,1 Н.
    Относительная погрешность
    измерения (в таблице 5-я строчка)
    ?=0,11,8+0,10,6=0,22
     , следовательно
    абсолютная погрешность косвенного измерения ? составляет   0,22*0,33=0,074
    Ответ:  ?=0,33
    –+ 0,074   ?=22%

  12. Sagar Ответить

    Под погрешностью измерения подразу­мевают отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.
    Абсолютная погрешность измерения – это разность между результатом измерения и действительным (истинным) значением физической величины. ?Xi = | Xi ? Xист | Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
    Относительная погрешность измерения – это отношение абсолютной погрешности к действительному (истинному) значению измеряемой величины (часто выраженное в процентах). ?Xi = ?Xi/Xд (либо еще * 100%)
    Приведенная погрешность – это выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению – условно принятому значению физической величины, постоянному во всем диапазоне измерений. ?x = ?x/Xn, где Xn — нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:
    — если шкала прибора односторонняя, то есть нижний предел измерений равен нулю, то Xn определяется равным верхнему пределу измерений;
    — если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.
    Приведённая погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
    Классификация погрешностей по форме числового выражения
    Абсолютная погрешность измерения – это разность между результатом измерения и действительным (истинным) значением физической величины. ?Xi = | Xi ? Xист | Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
    Относительная погрешность измерения – это отношение абсолютной погрешности к действительному (истинному) значению измеряемой величины (часто выраженное в процентах). ?Xi = ?Xi/Xд (либо еще ? 100%)
    Приведенная погрешность – это выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению – условно принятому значению физической величины, постоянному во всем диапазоне измерений. ?x = ?x/Xn, где Xn — нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:
    — если шкала прибора односторонняя, то есть нижний предел измерений равен нулю, то Xn определяется равным верхнему пределу измерений;
    — если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.
    Приведённая погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

  15. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *