Как определить погрешность величин не измеряемых в ходе эксперимента?

17 ответов на вопрос “Как определить погрешность величин не измеряемых в ходе эксперимента?”

  1. Nalmenaya Ответить

    Случайным называется событие, которое при осуществлении определенного комплекса условий может произойти или может не произойти. При проведении повторных измерений из множества возможных причин отклонение результата измерения от истинного значения так же может иметь место или не иметь.
    Оценка случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок, дающей возможность с определенной гарантией вычислить действительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки. В основе теории случайных ошибок лежит предположение о том, что:
    – при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений;
    – случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
    – большие погрешности встречаются реже, чем малые;
    – появление того или иного результата измерения как случайного события описывается нормальным законом распределения.
    При анализе случайных погрешностей используется интервальная оценка с помощью доверительной вероятности. Доверительным интервалом называется интервал значений xi, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение xд измеряемой величины. Вероятность того, что истинное значение xд находится в данном доверительном интервале, называется доверительной вероятностьюизмерения Pд. Наиболее часто доверительная вероятность Pд принимается равной 0,90; 0,95; 0,99. Доверительный интервал характеризует точность измерений данной серии, а доверительная вероятность – достоверность измерений.
    Доверительная вероятность через функцию Лапласа описывается выражением

    Отношение доверительного интервала к среднеквадратичному отклонению называют гарантийным коэффициентом

    или

    При небольшом числе измерений (n<30) доверительный интервал ? рассчитывается из выражения:
    ,
    где – значение критерия Стьюдента, выбираемое в зависимости от принятой доверительной вероятности Pд и числа измерений; ?0 – среднеарифметическое значение среднеквадратичного отклонения ?, которое определяется по формуле:
    .
    Если расчетная величина доверительного интервала соизмерима с погрешностью прибора и , то границы доверительного интервала определяются из выражения:

    где t? – табличное значение критерия Стьюдента (см. Приложение 3) при заданной доверительной вероятности Pд и бесконечно большом числе измерений n = ?.
    Доверительный интервал, характеризуя точность измерений, позволяет вычислить действительное значение измеряемой величины:

    Относительная погрешность серии измерений при заданной доверительной вероятности определяется по формуле:

  2. vanishing smile Ответить

    Определение погрешностей результатов экспериментов
    В результате измерений мы всегда получаем нужную величину с некоторой погрешностью. В задачу измерений входит не только нахождение самой величины, но также и оценка допущенной при измерении погрешности.
    Основные понятия теории погрешностей.Ошибки измерения принято подразделять на систематические, случайные и промахи.
    Систематические – величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов.
    Случайные. Величина случайных ошибок различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом. Случайные ошибки обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено. Источ­ником ошибок может быть, например, колебание воздуха, воздействовавшее неодинаковым образом на чашки весов, пылинка, осевшая на одну из чашек; нагревание одной половины коромысла от приближения руки взвешиваю­щего и др.
    Промахи. Источником промахов является недо­статок внимания экспериментатора. Для устранения про­махов нужно соблюдать аккуратность и тщательность в работе и записях результатов. Иногда можно выявить промах, повторив измерение в несколько отличных усло­виях, например, перейдя на другой участок шкалы при­бора.
    Ошибкой называют неизвестное экспериментатору отклонение измеренного значения от истинного. Погрешностями называют различные меры точности, которые указывают величину возможной ошибки при измерении. Экспериментатор должен тем или иным способом определить ее величину и указать вместе с найденным значением из опыта значением измеряемой величины. Математически можно записать следующим образом

    Эту запись следует понимать как

    Оценка допущенной при измерении погрешности часто называют абсолютной величиной ошибки.
    Качество результатов изме­рений обычно удобно характеризовать не абсолютной величиной ошибки , а ее отношением к измеряемой
    величине , которое называют относительной ошиб­кой и обычно выражают в процентах

    Удобство такого представления происходит отчасти оттого, что с отвлеченными числами обычно проще иметь дело, чем с именованными. Но главным образом, применение относительной ошибки связано с тем обстоятельством, что в большинстве приложений именно эта величина играет существенную роль. Действительно, если мы измеряем с точностью до 1 см какую-либо длину, то в том случае, когда речь идет об определении длины карандаша, это будет очень скверная точность (около 10%). Если же с точностью до 1 см определить расстояние от Москвы до С-Петербурга, то это будет чрезмерно высокая точность ( ). Измерения с такой точностью производить очень трудно да и нет необходимости. Поэтому указание абсолютной ошибки измерений мало говорит о действительной точности, если не сопоставить величину ошибки и самой измеряемой величины. С этой точки зрения относительная величина ошибки дает более непосредственное представление о точности измерения.
    Следует иметь в виду, что величина ошибок, получающихся в процессе измерения, вообще говоря, зависит от значения измеряемой величины. Однако в зависимости от природы той или иной ошибки эта зависимость может быть различной.
    Систематические величины ошибок наблюдений.Основной путь для выявления систематических ошибок — тщательный анализ условий эксперимента, применяемой теории, методики измерений и т. п. Очень важно также проводить изме­рения в разных условиях, по возможности в широких пределах меняя все поддающиеся изменению параметры с тем, чтобы вызвать изменение величины систематических ошибок. Подме­чая закономерности в полученных результатах, можно в неко­торых случаях выявить эти ошибки.
    Как бы тщательно мы ни анализировали проведенный экс­перимент, всегда остается опасность, что не все источники си­стематических ошибок были учтены. При этом нет никакой воз­можности предугадать величину неучтенных ошибок и вклю­чить их оценку в погрешность. Поэтому очень важна независи­мая проверка полученного результата другими методами. Так, в классическом эксперименте Милликена по измерению заряда электрона было получено значение е = (4,770 ± 0,005) •10 -10.
    СГСЭ вместо принятого в настоящее время е = 4,803 •10-10 СГСЭ, и это значение оставалось неисправленным около 30 лет. Соответственно неверные значения имели число Авогадро, по­стоянная Больцмана и другие микроскопические константы, при определении которых использовалось значение е. Причи­ной была систематическая ошибка, допущенная в опыте Милли- кена и обнаруженная только тогда, когда был применен со­всем другой, независимый метод измерения числа Авогадро.
    Введение поправок. Если найдена причина систематической ошибки, то в некоторых случаях можно эту ошибку устранить, меняя методику эксперимента. Так, в при­мере определения сопротивления проволоки при возникновении источника ошибки мы должны были бы следить за тем, чтобы температура именно проволоки, а не комнаты оставалась постоянной.
    Если удается определить не только причину, но и величину систематической ошибки, то возможен и другой путь. Как толь­ко величина систематической ошибки становится извест­ной, эта ошибка по существу уже перестает быть ошибкой и может быть сразу устранена введением поправки в результат измерения. Исправленное значение величины определится как сумма измеренного значения и поправки :

    Так, в нашем примере можно не стремиться сохранить темпера­туру постоянной, а измерять ее при каждом опыте и в резуль­тат вводить поправку, учитывающую зависимость Я, I, Л от температуры.
    Предельная систематическая погрешность. Хотя любая си­стематическая ошибка в принципе может быть уничтожена вве­дением поправки, но в реальных случаях обнаружение и устра­нение систематических ошибок дело нелегкое. Для этого требу­ется очень тщательный анализ методики измерения и теории, применяемой при вычислении результатов, причем на практике далеко не всегда возможно устранить даже те систематические ошибки, источники которых известны. Кроме того, часто это и нерационально, так как требует слишком большого труда и не оправдывается ценностью результата. Однако во многих слу­чаях оказывается возможным, не зная точной величины систе­матической ошибки, указать ее верхний предел.
    Одним из часто встречающихся источников систематических ошибок является неполнота теоретической модели. При постро­ении теории часто приходится вводить упрощающие предполо­жения из-за сложности задачи или из-за отсутствия полной ин­формации.

  3. Nejas Ответить

    Любое число, которое выдает нам эксперимент, это результат измерения. Измерение производится прибором, и это либо непосредственные показания прибора, либо результат обработки этих показаний. И в том, и в другом случае полученный результат измерения неидеален, он содержит погрешности. И потому любой грамотный физик должен не только предъявить численный результат измерения, но и обязан указать все сопутствующие погрешности. Не будет преувеличением сказать, что численный экспериментальный результат, предъявленный без указания каких-либо погрешностей, бессмыслен.
    В физике элементарных частиц к указанию погрешностей относятся исключительно ответственно. Экспериментаторы не только сообщают погрешности, но и разделяют их на разные группы. Три основных погрешности, которые встречаются чаще всего, это статистическая, систематическая и теоретическая (или модельная) погрешности. Цель такого разделения — дать четкое понимание того, что именно ограничивает точность этого конкретного измерения, а значит, за счет чего эту точность можно улучшить в будущем.
    Статистическая погрешность связана с разбросом значений, которые выдает эксперимент после каждой попытки измерить величину.
    (Подробнее о статистической погрешности)
    Систематическая погрешность характеризует несовершенство самого измерительного инструмента или методики обработки данных, а точнее, недостаточное знание того, насколько «сбоит» инструмент или методика.
    (Подробнее о систематической погрешности)
    Теоретическая/модельная погрешность — это неопределенность результата измерения, которая возникла потому, что методика обработки данных была сложная и в чем-то опиралась на теоретические предположения или результаты моделирования, которые тоже несовершенны. Впрочем, иногда эту погрешность считают просто разновидностью систематических погрешностей.
    (Подробнее о погрешности теории и моделирования)
    Наконец, в отдельный класс, видимо, можно отнести возможные человеческие ошибки, прежде всего психологического свойства (предвзятость при анализе данных, ленность при проверке того, как результаты зависят от методики анализа). Строго говоря, они не являются погрешностью измерения, поскольку могут и должны быть устранены. Зачастую это избавление от человеческих ошибок может быть вполне формализовано. Так называемый дважды слепой эксперимент в биомедицинских науках — один тому пример. В физике частиц есть похожие приемы (см. заметку Что означает «слепой анализ» при поиске новых частиц?).

    Что означает погрешность

    Стандартный вид записи измеренной величины с погрешностью знаком всем. Например, результат взвешивания какого-то предмета может быть 100 ± 5 грамм. Это означает, что мы не знаем абсолютно точно массу, она может быть и 101 грамм, и 96 грамм, а может быть и все 108 грамм. Но уж точно не 60 и не 160 грамм. Мы говорим лишь, сколько нам показывают весы, и из каких-то соображений определяем тот примерный разброс, который измерение вполне могло бы дать.
    Тут надо подчеркнуть две вещи. Во-первых, в бытовой ситуации значение 100 ± 5 грамм часто интерпретируется так, словно истинная масса гарантированно лежит в этом диапазоне и ни в коей мере не может быть 94 или 106 грамм. Научная запись подразумевает не это. Она означает, что истинная масса скорее всего лежит в этом интервале, но в принципе может случиться и так, что она немножко выходит за его пределы. Это становится наиболее четко, когда речь идет о статистических погрешностях; см. подробности на страничке Что такое «сигма»?.
    Во-вторых, надо четко понимать, что погрешности — это не ошибки эксперимента. Наоборот, они являются показателем качества эксперимента. Погрешности характеризуют объективный уровень несовершенства прибора или неидеальности методики обработки. Их нельзя полностью устранить, но зато можно сказать, в каких рамках результату можно доверять.
    Некоторые дополнительные тонкости, связанные с тем, что именно означают погрешности, описаны на странице Тонкости анализа данных.

    Как записывают погрешности

    Указанный выше способ записи не уточняет, что это за погрешность перед нами. В физике элементарных частиц при предъявлении результатов источники погрешностей принято уточнять. В результате запись результата может иногда принять пугающий своей сложностью вид. Таких выражений не надо бояться, просто нужно внимательно посмотреть, что там указано.
    В самом простом случае экспериментально измеренное число записывается так: результат и две погрешности одна за другой:
    ? = 1,33 ± 0,14 ± 0,15.
    Тут вначале всегда идет статистическая, а за ней — систематическая погрешность. Если же измерение не прямое, а в чем-то опирается на теорию, которая тоже не идеально точна, то следом за ними приписывается теоретическая погрешность, например:
    ? = 1,33 ± 0,14 ± 0,15 ± 0,11.
    Иногда для пущей понятности явно указывают, что есть что, и тогда погрешностей может быть даже больше. Это делается вовсе не для того, чтобы запутать читателя, а с простой целью: упростить в будущем расчет уточенного результата, если какой-то один из источников погрешностей будет уменьшен. Вот пример из статьи arXiv:1205.0934 коллаборации LHCb:

    Означает эта длинная строка следующее. Тут записана измеренная детектором вероятность выписанного распада Bs-мезона, которая равна [1,83 ± четыре вида погрешностей] · 10–5. В перечислении погрешностей вначале идет статистическая погрешность, потом систематическая погрешность, затем погрешность, связанная с плохим знанием некоторой величины fs/fd (неважно, что это такое), и наконец, погрешность, связанная с плохим знанием вероятности распада B0-мезона (потому что измерение Bs-распада косвенно опирается на B0-распад).
    Нередки также случаи, когда погрешности в сторону увеличения и уменьшения разные. Тогда это тоже указывается явно (пример из статьи hep-ex/0403004):

    И наконец, совсем экзотический случай: когда величина настолько плохо определена, что погрешность пишут не к самому числу, а к показателю степени. Например, 1012 ± 2 означает, что величина вполне может лежать где-то между 10 миллиардами и 100 триллионами. В этом случае обычно нет большого смысла разделять погрешности на разные типы.
    Величина со всеми явно указанными погрешностями часто не очень удобна для работы, например при сравнении теории и эксперимента. В этом случае погрешности суммируют. Эти слова ни в коем случае нельзя воспринимать как простое сложение! Как правило, речь идет о сложении в квадратах: если все три типа погрешностей обозначить как ?xstat., ?xsys., ?xtheor., то глобальная погрешность обычно вычисляется по формуле

    Стоит еще добавить, что в других разделах физики нередко используют иную запись: вместо символа «±» погрешность просто помещают в скобках. Тогда ее понимают так: это погрешность, выраженная в единицах последней значащей цифры. Например, 100(5) означает 100 ± 5, а 1,230(15) означает 1,230 ± 0,015. В этом случае принципиально важно писать правильное число нулей в результате измерения, ведь запись 1,23(15) уже будет означать вдесятеро большую погрешность: 1,23 ± 0,15.

  4. NURIWYKUWY Ответить

    Распространенные промахи любителей и ошибки приборов.
    Цифровые мультиметры и аналогичные им цифровые щитовые приборы 3.5 и 4.5 разряда, кроме самых дорогих, переменное напряжение и ток измеряют не по среднеквадратичному значению, а косвенно, по амплитуде, причем только одной полуволны. Если форма колебаний не синусоидальна или если присутствует постоянная составляющая, многие приборы показывают чушь.
    Те же мультиметры врут, когда в них начинает садиться батарейка. Врать могут в 100 раз и более (например, показывать 700 вольт на “пальчиковой” батарейке).
    Те же мультиметры врут, если в сигнале присутствуют высокие частоты или рядом находится генератор высокочастотной помехи (генератора на одном транзисторе на 100 МГц вполне достаточно). Например, у меня цифровой индикатор тока в блоке питания на 0-3 А при питании от него лестницы Иакова показывал ток -19 А (то есть ошибся даже в направлении тока). Поведение приборов при таких помехах совершенно неадекватно, вплоть до того, что срабатывает звуковой сигнал в тех режимах измерений, в которых звуковой сигнал никогда не используется.
    Те же мультиметры часто имеют плохой контакт в переключателе пределов измерений или в проводах.
    Стрелочные мультиметры могут измерять переменное напряжение только по одной полуволне и давать чушь при наличии постоянной составляющей. Плохой контакт бывает и у них.
    Любые мультиметры неверно измеряют сопротивление, если в цепи присутствует хотя бы малейший источник напряжения. Бывает достаточно даже эффекта Зеебека в соединениях проводов или светодиода в схеме (см. ниже).
    Любые мультиметры измеряют параметры транзисторов по коллекторному току, поэтому на транзисторах с высоким Iкб0 завышают показания по h21Э в десятки раз. Измерять h21Э германиевых транзисторов (особенно старых) такими приборами вообще бесполезно.
    Транзисторы, диоды и светодиоды меняют характеристики в зависимости от температуры. Старые транзисторы со стеклянными изоляторами, диоды в стеклянном корпусе и особенно светодиоды реагируют на свет и вырабатывают при этом ЭДС. (Светодиод можно иногда даже использовать вместо фотодиода). Это может быть причиной ошибок измерений.
    Любые полупроводники меняют характеристики при нагреве, в том числе от собственного тепла.
    Конденсаторы на основе сегнетокерамики могут иметь микрофонный эффект. Те же конденсаторы имеют небольшую нелинейность. Электролитические конденсаторы имеют очень сильную температурную зависимость и большой дрейф параметров, в том числе в зависимости от напряжения и срока службы.
    Многие пленочные и бумажные конденсаторы, электролитические конденсаторы, почти все проволочные и многие непроволочные резисторы на высоких частотах резонируют. Я наблюдал амплитуду напряжения в 50 вольт на резисторе сопротивлением 0.1 Ом при небольшом высокочастотном токе.
    Любые стеклянные приборы (радиолампы, ФЭУ и др.) могут иметь микрофонный эффект. Кварцевые резонаторы, керамические резонаторы – тоже.
    Дешевые фоторезисторы могут иметь паразитный эффект фотодиода и вырабатывать небольшую ЭДС. Они же могут быть нелинейными.
    Источники питания могут создавать помехи сами (импульсные) или протаскивать их из сети (линейные).
    Переменные резисторы имеют шумы перемещения, у старых резисторов они бывают огромны.
    Радиопомехи, в том числе от вещательных радиостанций и энергосберегающих ламп, могут влиять на результат измерений. Наводки на провода приборов неожиданно велики и требуют специальных мер для подавления. Экранирования недостаточно!
    Провода, особенно экранированные, могут образовывать в схеме “земляные петли” и приводить к сильным помехам.
    Любые измерительные приборы имеют сопротивление и емкость и могут при своем подключении влиять на схему. Особенно это относится к осциллографам в высокочастотных цепях.
    Большие напряжения. Резисторы, особенно углеродистого типа, при больших (>200В) напряжениях могут понижать свое сопротивление, как варисторы. При измерении больших напряжений используются малые токи, возможна утечка по поверхности изоляции мимо деталей. При измерении высоких напряжений “по длине искры” нельзя забывать, что вторично по тому же месту искра пробивает легче из-за ионизации воздуха. Длина, до которой искра растягивается, не значит вообще ничего. Искра проскакивает тем легче, чем острее электроды, поэтому измерять ее длину можно только при пробое между гладкими шарами.
    Маленькие напряжения и токи. Необходимо помнить не только про наводки, но и про утечки по поверхности платы (применять грамотные защитные кольца) и про эффект Зеебека.
    Схемы с маленькими токами очень сильно чувствуют электрические потенциалы извне, в том числе руки экспериментатора. Это относится и к высокочастотным схемам. Обычно это бывает из-за неопытности разработчика.
    Температура. Многие дешевые спиртовые термометры врут (т.е. имеют систематическую погрешность больше, чем указано в паспорте). Почти все электронные термометры врут, включая большинство медицинских. Некоторые дешевые ртутные медицинские термометры врут. Лучше используйте только термометры с действительным поверочным сертификатом.
    Термопара мультиметров всегда очень неточна.
    При измерении температуры термометр погружается до метки. Для точных измерений необходимо учитывать расширение части столбика термометра, оставшейся снаружи.
    Длины и расстояния. Пластиковые ученические линейки часто имеют неправильную шкалу, от истинной могут отличаться на 1-2 мм на всей длине. Не пользуйтесь ими. Измеряйте с помощью стальной разметочной линейки с выгравированными делениями (из магазина слесарных инструментов) или с помощью хорошей чертежной.
    Дешевые штангенциркули, особенно цифровые, часто бывают кривыми (т.е. в прямом смысле изогнуты дугой на 1-2 мм). Пользоваться такими штангенциркулями нельзя. Вероятно, дуга возникает из-за усадки клея при приклеивании печатной платы индуктосинного датчика.
    При точных измерениях размеров усилием пальцев можно деформировать деталь на сотые доли миллиметра. Поэтому используйте не штангенциркуль, а микрометр с трещоткой, дающей одинаковое усилие при любых измерениях. Пылинки имеют размеры порядка точности измерений – будьте аккуратны.
    Изготовление точных деталей. Помните, что инструмент (сверло, резец, фреза) может слегка деформироваться. Помните про тепловое расширение и про нагрев деталей при обработке, используйте СОЖ. У конструкции, собранной из разных материалов, может быть эффект биметаллической пластинки.
    Оптика. Прозрачные пластмассы (даже упаковочная пленка) часто обладают сильнейшим двупреломлением, к тому же их толщина непостоянна. При косых отражениях свет может поляризоваться. При отражении от металла свет поляризуется эллиптически.
    При сравнении яркости света невооруженным глазом (особенно красного лазерного света) можно ошибиться примерно в 10 раз, считая две яркости “одинаковыми”. Также помните про оптические иллюзии.
    При измерении интенсивности света фотодиодами или ФЭУ следите за тем, чтобы свет правильно попадал на датчик, всегда в одно и то же место и под одним и тем же углом. Искажения сигнала из-за разного угла падения, разного отражения от стекла и т.п. могут быть очень велики, особенно если стекло неплоское. Интенсивность лазера измеряйте фотодиодами или ФЭУ с большим плоским окном, больше по размеру, чем луч лазера.
    У датчиков всегда есть спектральная характеристика чувствительности. Показания даже на близких длинах волн (630 и 650 нм, например) могут отличаться вдвое.
    Фотодиоды обычно очень чувствительны к ИК-излучению и реагируют на него даже после фильтров.
    ФЭУ очень чувствительны к напряжению питания и помехам в питании, в том числе к своим собственным.
    Цифровые фотоаппараты и видеокамеры путают инфракрасный свет с синим.
    Объективы всегда неидеальны и при резком контрасте могут давать блики, фантомные изображения, ореолы и т.д. Особенно избегайте стопок параллельных стекол – многократные отражения в них создают “волны” и “ауры” вокруг любых предметов. Не забывайте о пользе угла Брюстера.
    Короткофокусные асимметричные линзы при неправильном использовании дают очень сильные блики и посторонние отражения. Их форма специально подобрана, чтобы уменьшить блики при правильном использовании.
    Фокусирование луча лазера линзой происходит не по законам геометрической оптики, а по законам оптики гауссовых пучков. Наивный расчет из геометрической оптики иногда дает большую ошибку.
    Ультрафиолет, как известно, вызывает флюоресценцию очень многих веществ, в том числе прозрачных пластиков. Но нельзя забывать, что детали прибора тоже могут быть сделаны из таких материалов, поэтому прибор может отреагировать на ультрафиолет неадекватно. Глаз часто путает ультрафиолет с синим из-за флюоресценции предметов.
    Большинство органических красителей способны к флюоресценции, причем не только в ультрафиолете, но и в видимом свете. Светофильтр из цветного стекла случайного происхождения, особенно ярко-оранжевый или ярко-зеленый, может оказаться сильно флюоресцентным (родамин).
    Спектроскопия. На спектре иногда можно увидеть зеемановские сдвиги, в том числе нежелательные – из-за магнитов в приборе или даже из-за магнитного поля Земли.
    “Прозрачные” вещества с едва заметным цветным оттенком могут оказаться непрозрачными для какого-то узкого диапазона длин волн. Многие прозрачные вещества непрозрачны для ИК и/или УФ. Для некоторых волн непрозрачен воздух.
    В самодельном спектроскопе из CD-диска есть не только дифракция, но и преломление света в пластике диска и внутреннее отражение. Этого можно частично избежать, если использовать расщепленный DVD-диск “на просвет” как фазовую решетку.
    Химия. Некоторые качественные реакции дают ложные срабатывания на некоторые посторонние вещества. Электронные приборы вроде измерителей TDS сильно чувствительны к температуре и к загрязнениям (пыли) на поверхности жидкости. Часто эти загрязнения переносятся на самом приборе. Вода из-под крана и даже питьевая из бутылок и фильтров обычно слишком грязная для мытья химической посуды – мойте по всем правилам, может быть с хромовой смесью. При перегонке могут образовываться азеотропные смеси.
    Некоторые вещества поражаются бактериями или грибками. Это “заразно” для соседних образцов и очень коварно, потому что рядом стоящие образцы скорее всего образуют одну группу в эксперименте. Особенно к этому склонны фотоматериалы на основе желатина и, конечно, образцы в биологических экспериментах. Будьте внимательны и в сомнительных случаях используйте микроскоп.
    Расчеты. Численные расчеты на компьютере очень коварны. Суммирование большого количества чисел (особенно маленьких), численное интегрирование могут давать абсолютно неверные результаты, вплоть до неверного знака. Нельзя бездумно вводить в компьютер формулу, не понимая, как именно будут происходить вычисления. Необходимо позаботиться о численной устойчивости и должным образом преобразовать формулу на бумаге. Нельзя НИКОГДА делать моделирование во времени “по шагам”; эта ошибка известна еще с древности (“апории Зенона” – “Ахиллес и черепаха” и др.)
    Прочее. Бытовые счетчики Гейгера сильно реагируют на электромагнитные помехи и путают их с радиацией.

  5. Grojin Ответить

    Периодическая систематическая погрешность (кратко — периодическая погрешность) — погрешность, значение которой является функцией времени или функцией перемещения указателя измерительного прибора (например, наличие эксцентриситета в угломерных приборах с круговой шкалой вызывает систематическую погрешность, изменяющуюся по периодическому закону).
    Исходя из причин появления систематических погрешностей, различают инструментальные погрешности, погрешности метода, субъективные погрешности и погрешности вследствие отклонения внешних условий измерения от установленных методиками.
    Инструментальная погрешность измерения (кратко — инструментальная погрешность) является следствием ряда причин: износ деталей прибора, излишнее трение в механизме прибора, неточное нанесение штрихов на шкалу, несоответствие действительного и номинального значений меры и др.
    Погрешность метода измерений (кратко — погрешность метода) может возникнуть из-за несовершенства метода измерений или допущенных его упрощений, установленных методикой измерений. Например, такая погрешность может быть обусловлена недостаточным быстродействием применяемых средств измерений при измерении параметров быстропротекающих процессов или неучтенными примесями при определении плотности вещества по результатам измерения его массы и объема.
    Субъективная погрешность измерения (кратко — субъективная погрешность) обусловлена индивидуальными погрешностями оператора. Иногда эту погрешность называют личной разностью. Она вызывается, например, запаздыванием или опережением принятия оператором сигнала.
    Погрешность вследствие отклонения (в одну сторону) внешних условий измерения от установленных методикой измерения приводит к возникновению систематической составляющей погрешности измерения.
    Систематические погрешности искажают результат измерения, поэтому они подлежат исключению, насколько это возможно, путем введения поправок или юстировкой прибора с доведением систематических погрешностей до допустимого минимума.
    Неисключенная систематическая погрешность (кратко — неисключенная погрешность) — это погрешность результата измерений, обусловленная погрешностью вычисления и введения поправки на действие систематической погрешности, или небольшой систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие малости.
    Иногда этот вид погрешности называют неисключенными остатками систематической погрешности (кратко — неисключенные остатки). Например, при измерении длины штрихового метра в длинах волн эталонного излучения выявлено несколько неисключенных систематических погрешностей (i): из-за неточного измерения температуры — 1; из-за неточного определения показателя преломления воздуха — 2, из-за неточного значения длины волны — 3.
    Обычно учитывают сумму неисключенных систематических погрешностей (устанавливают их границы). При числе слагаемых N ≤ 3 границы неисключенных систематических погрешностей вычисляют по формуле
    (1.4)
    При числе слагаемых N ≥ 4 для вычислений используют формулу
    (1.5)
    где k — коэффициент зависимости неисключенных систематических погрешностей от выбранной доверительной вероятности Р при их равномерном распределении. При Р = 0,99, k = 1,4, при Р = 0,95, k = 1,1.
    Случайная погрешность измерения (кратко — случайная погрешность) — составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии измерений одного и того же размера физической величины. Причины случайных погрешностей: погрешности округления при отсчете показаний, вариация показаний, изменение условий измерений случайного характера и др.
    Случайные погрешности вызывают рассеяние результатов измерений в серии.
    В основе теории погрешностей лежат два положения, подтверждаемые практикой:
    1. При большом числе измерений случайные погрешности одинакового числового значения, но разного знака, встречаются одинаково часто;
    2. Большие (по абсолютному значению) погрешности встречаются реже, чем малые.
    Из первого положения следует важный для практики вывод: при увеличении числа измерений случайная погрешность результата, полученного из серии измерений, уменьшается, так как сумма погрешностей отдельных измерений данной серии стремится к нулю, т. е.
    (1.6)
    Например, в результате измерений получен ряд значений электрического сопротивления (в которые введены поправки на действия систематических погрешностей): R1 = 15,5 Ом, R2 = 15,6 Ом, R3 = 15,4 Ом, R4 = 15,6 Ом и R5 = 15,4 Ом. Отсюда R = 15,5 Ом. Отклонения от R (R1 = 0,0; R2 = +0,1 Ом, R3 = -0,1 Ом, R4 = +0,1 Ом и R5 = -0,1 Ом) представляют собой случайные погрешности отдельных измерений в данной серии. Нетрудно убедиться, что сумма Ri = 0,0. Это свидетельствует о том, что погрешности отдельных измерений данного ряда вычислены правильно.
    Несмотря на то, что с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей стремится к нулю (в данном примере она случайно получилась равной нулю), обязательно производится оценка случайной погрешности результата измерений. В теории случайных величин характеристикой рассеяния значений случайной величины служит дисперсия о2. “|/о2 = а называют средним квадратическим отклонением генеральной совокупности или стандартным отклонением.
    Оно более удобно, чем дисперсия, так как его размерность совпадает с размерностью измеряемой величины (например, значение величины получено в вольтах, среднее квадратическое отклонение тоже будет в вольтах). Так как в практике измерений имеют дело с термином «погрешность», для характеристики ряда измерений следует применять производный от него термин «средняя квадратическая погрешность». Характеристикой ряда измерений может служить средняя арифметическая погрешность или размах результатов измерений.
    Размах результатов измерений (кратко — размах) — алгебраическая разность наибольшего и наименьшего результатов отдельных измерений, образующих ряд (или выборку) из n измерений:
    Rn = Xmax – Хmin (1.7)
    где Rn — размах; Xmax и Хmin — наибольшее и наименьшее значения величины в данном ряду измерений.
    Например, из пяти измерений диаметра d отверстия значения R5 = 25,56 мм и R1 = 25,51 мм оказались максимальным и минимальным его значением. В этом случае Rn = d5 — d1= 25,56 мм — 25,51 мм = 0,05 мм. Это означает, что остальные погрешности данного ряда менее 0,05 мм.
    Средняя арифметическая погрешность отдельного измерения в серии (кратко — средняя арифметическая погрешность) — обобщенная характеристика рассеяния (вследствие случайных причин) отдельных результатов измерений (одной и той же величины), входящих в серию из n равноточных независимых измерений, вычисляется по формуле
    (1.8)
    где Хі — результат і-го измерения, входящего в серию; х — среднее арифметическое из n значений величины: |Хі – X| — абсолютное значение погрешности i-го измерения; r — средняя арифметическая погрешность.
    Истинное значение средней арифметической погрешности р определяется из соотношения
    р = lim r, (1.9)
    При числе измерений n > 30 между средней арифметической (r) и средней квадратической (s) погрешностями существуют соотношения
    s = 1,25 r; r и= 0,80 s. (1.10)
    Преимущество средней арифметической погрешности — простота ее вычисления. Но все же чаще определяют среднюю квадратическую погрешность.
    Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения в серии (кратко — средняя квадратическая погрешность) — обобщенная характеристика рассеяния (вследствие случайных причин) отдельных результатов измерений (одной и той же величины), входящих в серию из п равноточных независимых измерений, вычисляемая по формуле
    (1.11)
    Средняя квадратическая погрешность для генеральной выборки о, являющаяся статистическим пределом S, может быть вычислена при /і-мх > по формуле:
    Σ = lim S (1.12)
    В действительности число измерений всегда ограничено, поэтому вычисляется не σ, а ее приближенное значение (или оценка), которым является s. Чем больше п, тем s ближе к своему пределу σ.
    При нормальном законе распределения вероятность того, что погрешность отдельного измерения в серии не превзойдет вычисленную среднюю квадратическую погрешность, невелика: 0,68. Следовательно, в 32 случаях из 100 или 3 случаях из 10 действительная погрешность может быть больше вычисленной.

    Рисунок 1.2 Уменьшение значения случайной погрешности результата многократного измерения при увеличении числа измерений в серии
    В серии измерений существует зависимость между средней квадратической погрешностью отдельного измерения s и средней квадратической погрешностью арифметического среднего Sx:
    (1.13)
    которую нередко называют «правилом У n». Из этого правила следует, что погрешность измерений вследствие действия случайных причин может быть уменьшена в уn раз, если выполнять n измерений одного размера какой-либо величины, а за окончательный результат принимать среднее арифметическое значение (рис. 1.2).
    Выполнение не менее 5 измерений в серии дает возможность уменьшить влияние случайных погрешностей более чем в 2 раза. При 10 измерениях влияние случайной погрешности уменьшается в 3 раза. Дальнейшее увеличение числа измерений не всегда экономически целесообразно и, как правило, осуществляется лишь при ответственных измерениях, требующих высокой точности.
    Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения из ряда однородных двойных измерений Sα вычисляется по формуле
    (1.14)
    где x’i и х”i — і-ые результаты измерений одного размера величины при прямом и обратном направлениях одним средством измерений.
    При неравноточных измерениях среднюю квадратическую погрешность арифметического среднего в серии определяют по формуле
    (1.15)
    где pi — вес і-го измерения в серии неравноточных измерений.
    Среднюю квадратическую погрешность результата косвенных измерений величины Y, являющейся функцией Y = F (X1, X2, Xn), вычисляют по формуле
    (1.16)
    где S1, S2, Sn — средние квадратические погрешности результатов измерений величин X1, X2, Xn.
    Если для большей надежности получения удовлетворительного результата проводят несколько серий измерений, среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения из m серий (Sm) находят по формуле
    (1.17)
    Где n — число измерений в серии; N — общее число измерений во всех сериях; m — число серий.
    При ограниченном числе измерений часто необходимо знать погрешность средней квадратической погрешности. Для определения погрешности S, вычисляемой по формуле (2.7), и погрешности Sm, вычисляемой по формуле (2.12), можно воспользоваться следующими выражениями
    (1.18)
    (1.19)
    где S и Sm — средние квадратические погрешности соответственно S и Sm.
    Например, при обработке результатов ряда измерений длины х получены
    = 86 мм2 при n = 10,
    = 3,1 мм
    = 0,7 мм или S = ±0,7 мм
    Значение S = ±0,7 мм означает, что из-за погрешности вычисления s находится в пределах от 2,4 до 3,8 мм, следовательно, десятые доли миллиметра здесь ненадежны. В рассмотренном случае надо записать: S = ±3 мм.
    Чтобы иметь большую уверенность в оценке погрешности результата измерений, вычисляют доверительную погрешность или доверительные границы погрешности. При нормальном законе распределения доверительные границы погрешности вычисляют как ±t-s или ±t-sx, где s и sx — средние квадратические погрешности соответственно отдельного измерения в серии и среднего арифметического; t — число, зависящее от доверительной вероятности Р и числа измерений n.
    Важным понятием является надежность результата измерений (α), т.е. вероятность того, что искомое значение измеряемой величины попадет в данный доверительный интервал.
    Например, при обработке деталей на станках в устойчивом технологическом режиме распределение погрешностей подчиняется нормальному закону. Предположим, что установлен допуск на длину детали, равный 2а. В этом случае доверительным интервалом, в котором находится искомое значение длины детали а, будет (а – а, а + а).
    Если 2a = ±3s, то надежность результата a = 0,68, т. е. в 32 случаях из 100 следует ожидать выхода размера детали за допуск 2а. При оценивании качества детали по допуску 2a = ±3s надежность результата составит 0,997. В этом случае можно ожидать выхода за установленный допуск только трех деталей из 1000. Однако увеличение надежности возможно лишь при уменьшении погрешности длины детали. Так, для повышения надежности с a = 0,68 до a = 0,997 погрешность длины детали необходимо уменьшить в три раза.
    В последнее время получил широкое распространение термин «достоверность измерений». В некоторых случаях он необоснованно применяется вместо термина «точность измерений». Например, в некоторых источниках можно встретить выражение «установление единства и достоверности измерений в стране». Тогда как правильнее сказать «установление единства и требуемой точности измерений». Достоверность нами рассматривается как качественная характеристика, отражающая близость к нулю случайных погрешностей. Количественно она может быть определена через недостоверность измерений.
    Недостоверность измерений (кратко — недостоверность)— оценка несовпадения результатов в серии измерений вследствие влияния суммарного воздействия случайных погрешностей (определяемых статистическими и нестатистическими методами), характеризуемая областью значений, в которой находится истинное значение измеряемой величины.
    В соответствии с рекомендациями Международного бюро мер и весов недостоверность выражается в виде суммарной средней квадратической погрешности измерений — Su включающей среднюю квадратическую погрешность S (определяемую статистическими методами) и среднюю квадратическую погрешность u (определяемую нестатистическими методами), т.е.
    (1.20)
    Предельная погрешность измерения (кратко — предельная погрешность) — максимальная погрешность измерения (плюс, минус), вероятность которой не превышает значение Р, при этом разность 1 – Р незначительная.
    Например, при нормальном законе распределения вероятность появления случайной погрешности, равной ±3s, составляет 0,997, а разность 1-Р = 0,003 незначительна. Поэтому во многих случаях доверительную погрешность ±3s, принимают за предельную, т.е. пр = ±3s. В случае необходимости пр может иметь и другие соотношения с s при достаточно большом Р (2s, 2,5s, 4s и т.д.).
    В связи с тем, в стандартах ГСИ вместо термина «средняя квадратическая погрешность» применен термин «среднее квадратическое откланение», в дальнейших рассуждениях мы будим придерживаться именно этого термина.
    Абсолютная погрешность измерения (кратко — абсолютная погрешность) — погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины. Так, погрешность Х измерения длины детали Х, выраженная в микрометрах, представляет собой абсолютную погрешность.
    Не следует путать термины «абсолютная погрешность» и «абсолютное значение погрешности», под которым понимают значение погрешности без учета знака. Так, если абсолютная погрешность измерения равна ±2мкВ, то абсолютное значение погрешности будет 0,2 мкВ.
    Относительная погрешность измерения (кратко — относительная погрешность) — погрешность измерения, выраженная в долях значения измеряемой величины или в процентах. Относительную погрешность δ находят из отношений:
    (1.21)
    Например, имеется действительное значение длины детали х = 10,00 мм и абсолютное значение погрешности х = 0,01мм. Относительная погрешность составит

    Статическая погрешность — погрешность результата измерения, обусловленная условиями статического измерения.
    Динамическая погрешность — погрешность результата измерения, обусловленная условиями динамического измерения.
    Погрешность воспроизведения единицы — погрешность результата измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины. Так, погрешность воспроизведения единицы при помощи государственного эталона указывают в виде ее составляющих: неисключенной систематической погрешности, характеризуемой ее границей ; случайной погрешностью, характеризуемой средним квадратическим отклонением s и нестабильностью за год ν.
    Погрешность передачи размера единицы — погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы. В погрешность передачи размера единицы входят неисключенные систематические погрешности и случайные погрешности метода и средств передачи размера единицы (например, компаратора).

  6. Lain Ответить

    Определение погрешностей результатов экспериментов
    Общие сведения о погрешностях эксперимента. Показатели точности и формы представления результатов эксперимента. Оценка погрешности прямых измерений. Оценка погрешности определения величин-функций. Определение наивыгоднейших условий эксперимента.
    В результате измерений мы всегда получаем нужную величину с некоторой погрешностью. В задачу измерений входит не только нахождение самой величины, но также и оценка допущенной при измерении погрешности.
    Основные понятия теории погрешностей.Ошибки измерения принято подразделять на систематические, случайные и промахи.
    Систематические – величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов.
    Случайные. Величина случайных ошибок различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом. Случайные ошибки обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено. Источ­ником ошибок может быть, например, колебание воздуха, воздействовавшее неодинаковым образом на чашки весов, пылинка, осевшая на одну из чашек; нагревание одной половины коромысла от приближения руки взвешиваю­щего и др.
    Промахи. Источником промахов является недо­статок внимания экспериментатора. Для устранения про­махов нужно соблюдать аккуратность и тщательность в работе и записях результатов. Иногда можно выявить промах, повторив измерение в несколько отличных усло­виях, например, перейдя на другой участок шкалы при­бора.
    Ошибкой называют неизвестное экспериментатору отклонение измеренного значения от истинного. Погрешностями называют различные меры точности, которые указывают величину возможной ошибки при измерении. Экспериментатор должен тем или иным способом определить ее величину и указать вместе с найденным значением из опыта значением измеряемой величины. Математически можно записать следующим образом

    Эту запись следует понимать как

    Оценка допущенной при измерении погрешности часто называют абсолютной величиной ошибки.
    Качество результатов изме­рений обычно удобно характеризовать не абсолютной величиной ошибки , а ее отношением к измеряемой
    величине , которое называют относительной ошиб­кой и обычно выражают в процентах

    Удобство такого представления происходит отчасти оттого, что с отвлеченными числами обычно проще иметь дело, чем с именованными. Но главным образом, применение относительной ошибки связано с тем обстоятельством, что в большинстве приложений именно эта величина играет существенную роль. Действительно, если мы измеряем с точностью до 1 см какую-либо длину, то в том случае, когда речь идет об определении длины карандаша, это будет очень скверная точность (около 10%). Если же с точностью до 1 см определить расстояние от Москвы до С-Петербурга, то это будет чрезмерно высокая точность ( ). Измерения с такой точностью производить очень трудно да и нет необходимости. Поэтому указание абсолютной ошибки измерений мало говорит о действительной точности, если не сопоставить величину ошибки и самой измеряемой величины. С этой точки зрения относительная величина ошибки дает более непосредственное представление о точности измерения.

  7. GAЛАVARESS Ответить

    Промахи – ошибки (погрешности), чаще всего возникающие вследствие невнимательности человека или недостаточной его квалификации и опыта. Их можно наблюдать, например, при неправильном отсчёте измеряемого значения (неправильное определение цены деления прибора). Также к ним могут привести внезапные внешние влияния на измерительное устройство.
    Приборные погрешности – этот тип погрешностей обусловлен тем, что практически любое измерительное устройство обладает ограниченной степенью точности. Для примера, измерительной линейкой нельзя измерить длину с точностью до одного миллиметра, с ценой деления 1 см.
    3) Как определяются абсолютная и относительная ошибки отдельного результата измерения и совокупности измерений?
    Абсолютная ошибка – это разность ?х = хi – хист, где хист – это истинное значение измеряемой величины, а хi – результат измерения.
    Относительная ошибка вычисляется по формуле:
    .
    4) Описать Гауссову функцию распределения плотности случайной величины. Связать её параметры со средним значением и дисперсией выборки.
    Распределение Гаусса ( Нормальное распределение) — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

    где параметр ? — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр ? — среднеквадратическое отклонение (??? — дисперсия) распределения.
    Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение».
    Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием ? = 0 и стандартным отклонением ? = 1.
    5) Что такое дисперсии среднего значения и среднеквадратичного отклонения и как они находятся при прямых измерениях величины?
    Рассмотрим основы теории случайных погрешностей, позволяющей оценить величину погрешности для серии опытов. Закономерности, связанные со случайными величинами, изучаются теорией вероятности и математической статистикой.
    Допустим, что было произведено N независимых наблюдений некоторой физической величины х. Обозначим через xi (i=1,N) результаты этих наблюдений. Наилучшей оценкой истинного значения xis по этим результатам является их среднее арифметическое значение:
    ,
    «Разброс» величины около ее среднего значения при одинаковых для разных измерений может быть разным и характеризуется дисперсией. Она определяется средним квадратом отклонения этой величины от ее среднего значения и задается формулой
    ,
    Корень квадратный из дисперсии называется стандартным или среднеквадратичным отклонением
    ,
    Среднеквадратическое отклонение и дисперсия при данных условиях и процедуре измерений являются величинами постоянными и характеризуют степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше они, тем точнее проведены измерения. Обработка результатов серии измерений сводится к возможно более точному нахождению и ?. Смысл ? как меры приближения измеренного значения величины к истинному значению хis определяется физической сущностью измеряемой величины, а также физическими и конструктивными принципами заложенными в методику измерений. Эти принципы в рамках данной методики не зависят от экспериментатора и даже бесконечное увеличение числа измерений не даст заметного увеличения точности.
    Если «разброс» ?измеряемой величины х при большом числе измерений N есть величина статистически постоянная, то можно ожидать, что в произвольно заданный интервал ?х будет попадать более или менее постоянное число n измерений, зависящее от того, где на числовой оси х выбрать ?х.

    6) Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность и как записывается окончательный результат измерений?
    Доверительный интервал – термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.
    Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера.
    Доверительная вероятность – вероятность того, что полученная при измерении оценка абсолютно точно совпадает с истинным значением параметра, равна нулю. Однако можно поставить вопрос, например, такой. Пусть получено некоторое измеренное значение; так вот, каков должен быть интервал, чтобы истинное значение оказалось внутри него с вероятностью, скажем, 0.9. Или 0.99. Исследователь выбирает эту вероятность сам. Ясно, что чем выше вероятность, тем шире интервал. Вот эти вероятности и соответствующие им интервалы называются доверительными.
    7) Каков физический смысл ускорения свободного падения?
    Ускоре?ние свобо?дного паде?ния (ускорение силы тяжести) — ускорение, придаваемое телу силой тяжести, при исключении из рассмотрения других сил. В соответствии с уравнением движения тел в неинерциальных системах отсчёта ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.
    Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «Же») варьируется от 9,780 м/с? на экваторе до 9,832 м/с? на полюсах. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет g = 9,80665 м/с?. Стандартное значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81; 9,8 или 10 м/с?.
    Упр.1.Измерение длины математического маятника.
    N
    ?
    li (м)
    0,415
    0,414
    0,413
    0,415
    0,414
    0,416
    0,420
    0,417
    0,418
    0,415
    4,157
    (l-)2(мм)
    0,49
    2,89
    7,29
    0,49
    2,89
    0,09
    18,49
    1,69
    5,29
    0,49
    40,1
    1) Находим среднее длины по формуле


    2) Находим среднеквадратичное отклонение длины маятника, обусловленное случайными ошибками, по формуле
    ,
    где – значение коэффициента Стьюдента для реального числа измерений и надёжности 90%. = 1,8
    ?3,799мм
    3) Вычисляем среднеквадратичное отклонение, обусловленное приборной ошибкой по формуле , где f – это цена деления измерительного прибора (линейки); – значение коэффициента Стьюдента для бесконечного числа измерений и надёжности 95%.
    0,053 м = 0,000053мм
    4) Вычисляем абсолютную ошибку по формуле
    .
    = мм
    1. Так как больше более чем в два раза, то абсолютная погрешность будет равна : ? l = мм.
    2. Запишем результат измерения в виде l = ±? l:
    l = (385,6±0,053) мм.
    3. Вычислим относительную ошибку измерения:
    Е = ? х / хист. * 100%
    Е = 0,053/385,6 *100% = 0,014%
    Результат измерения , р=0,95.
    )мм
    Опыт №2
    Определение периода колебаний математического маятника.
    N
    ?
    Тi (с)
    24,5
    24,5
    (Т-)2
    0,81
    0,01
    0,01
    0,16
    0,81
    1,21
    0,16
    0,01
    0,01
    1,21
    4.4
    1) Находим среднее длины по формуле


    2) Находим среднеквадратичное отклонение длины маятника, обусловленное случайными ошибками, по формуле

    где – значение коэффициента Стьюдента для реального числа измерений и надёжности 95%.
    ?0,049 с.
    3) Вычисляем среднеквадратичное отклонение, обусловленное приборной ошибкой по формуле , где f – это цена деления измерительного прибора (линейки); – значение коэффициента Стьюдента для бесконечного числа измерений и надёжности 95%.
    вычислить нельзя, т.к измерения производились с помощью электронного секундомера.
    4) Вычисляем абсолютную ошибку по формуле
    .
    =0,049 с.
    Результат измерения: , р=0,95.
    Т= (24,1 0,049) с.

  8. Gavidwyn Ответить

    Определение погрешностей результатов экспериментов
    Общие сведения о погрешностях эксперимента. Показатели точности и формы представления результатов эксперимента. Оценка погрешности прямых измерений. Оценка погрешности определения величин-функций. Определение наивыгоднейших условий эксперимента.
    В результате измерений мы всегда получаем нужную величину с некоторой погрешностью. В задачу измерений входит не только нахождение самой величины, но также и оценка допущенной при измерении погрешности.
    Основные понятия теории погрешностей.Ошибки измерения принято подразделять на систематические, случайные и промахи.
    Систематические – величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов.
    Случайные. Величина случайных ошибок различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом. Случайные ошибки обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено. Источ­ником ошибок может быть, например, колебание воздуха, воздействовавшее неодинаковым образом на чашки весов, пылинка, осевшая на одну из чашек; нагревание одной половины коромысла от приближения руки взвешиваю­щего и др.
    Промахи. Источником промахов является недо­статок внимания экспериментатора. Для устранения про­махов нужно соблюдать аккуратность и тщательность в работе и записях результатов. Иногда можно выявить промах, повторив измерение в несколько отличных усло­виях, например, перейдя на другой участок шкалы при­бора.
    Ошибкой называют неизвестное экспериментатору отклонение измеренного значения от истинного. Погрешностями называют различные меры точности, которые указывают величину возможной ошибки при измерении. Экспериментатор должен тем или иным способом определить ее величину и указать вместе с найденным значением из опыта значением измеряемой величины. Математически можно записать следующим образом

    Эту запись следует понимать как

    Оценка допущенной при измерении погрешности часто называют абсолютной величиной ошибки.
    Качество результатов изме­рений обычно удобно характеризовать не абсолютной величиной ошибки , а ее отношением к измеряемой
    величине , которое называют относительной ошиб­кой и обычно выражают в процентах

    Удобство такого представления происходит отчасти оттого, что с отвлеченными числами обычно проще иметь дело, чем с именованными. Но главным образом, применение относительной ошибки связано с тем обстоятельством, что в большинстве приложений именно эта величина играет существенную роль. Действительно, если мы измеряем с точностью до 1 см какую-либо длину, то в том случае, когда речь идет об определении длины карандаша, это будет очень скверная точность (около 10%). Если же с точностью до 1 см определить расстояние от Москвы до С-Петербурга, то это будет чрезмерно высокая точность ( ). Измерения с такой точностью производить очень трудно да и нет необходимости. Поэтому указание абсолютной ошибки измерений мало говорит о действительной точности, если не сопоставить величину ошибки и самой измеряемой величины. С этой точки зрения относительная величина ошибки дает более непосредственное представление о точности измерения.
    Следует иметь в виду, что величина ошибок, получающихся в процессе измерения, вообще говоря, зависит от значения измеряемой величины. Однако в зависимости от природы той или иной ошибки эта зависимость может быть различной.
    Систематические величины ошибок наблюдений.Основной путь для выявления систематических ошибок — тщательный анализ условий эксперимента, применяемой теории, методики измерений и т. п. Очень важно также проводить изме­рения в разных условиях, по возможности в широких пределах меняя все поддающиеся изменению параметры с тем, чтобы вызвать изменение величины систематических ошибок. Подме­чая закономерности в полученных результатах, можно в неко­торых случаях выявить эти ошибки.
    Как бы тщательно мы ни анализировали проведенный экс­перимент, всегда остается опасность, что не все источники си­стематических ошибок были учтены. При этом нет никакой воз­можности предугадать величину неучтенных ошибок и вклю­чить их оценку в погрешность. Поэтому очень важна независи­мая проверка полученного результата другими методами. Так, в классическом эксперименте Милликена по измерению заряда электрона было получено значение е = (4,770 ± 0,005) •10 -10.
    СГСЭ вместо принятого в настоящее время е = 4,803 •10-10 СГСЭ, и это значение оставалось неисправленным около 30 лет. Соответственно неверные значения имели число Авогадро, по­стоянная Больцмана и другие микроскопические константы, при определении которых использовалось значение е. Причи­ной была систематическая ошибка, допущенная в опыте Милли- кена и обнаруженная только тогда, когда был применен со­всем другой, независимый метод измерения числа Авогадро.
    Введение поправок. Если найдена причина систематической ошибки, то в некоторых случаях можно эту ошибку устранить, меняя методику эксперимента. Так, в при­мере определения сопротивления проволоки при возникновении источника ошибки мы должны были бы следить за тем, чтобы температура именно проволоки, а не комнаты оставалась постоянной.
    Если удается определить не только причину, но и величину систематической ошибки, то возможен и другой путь. Как толь­ко величина систематической ошибки становится извест­ной, эта ошибка по существу уже перестает быть ошибкой и может быть сразу устранена введением поправки в результат измерения. Исправленное значение величины определится как сумма измеренного значения и поправки :

    Так, в нашем примере можно не стремиться сохранить темпера­туру постоянной, а измерять ее при каждом опыте и в резуль­тат вводить поправку, учитывающую зависимость Я, I, Л от температуры.
    Предельная систематическая погрешность. Хотя любая си­стематическая ошибка в принципе может быть уничтожена вве­дением поправки, но в реальных случаях обнаружение и устра­нение систематических ошибок дело нелегкое. Для этого требу­ется очень тщательный анализ методики измерения и теории, применяемой при вычислении результатов, причем на практике далеко не всегда возможно устранить даже те систематические ошибки, источники которых известны. Кроме того, часто это и нерационально, так как требует слишком большого труда и не оправдывается ценностью результата. Однако во многих слу­чаях оказывается возможным, не зная точной величины систе­матической ошибки, указать ее верхний предел.
    Одним из часто встречающихся источников систематических ошибок является неполнота теоретической модели. При постро­ении теории часто приходится вводить упрощающие предполо­жения из-за сложности задачи или из-за отсутствия полной ин­формации.
    Распространенным источником ошибок являются ошибки градуировки приборов. Неточность градуировки прибора можно устранить, если проверить его с помощью другого, более точного или эталонного, прибора и построить таблицу или график, дающие зависимость поправки от показаний проверяемго прибора. Такие графики или таблицы поправок часто приводят в паспортах приборов —это удобнее, чем изготавливать для каждого прибора индивидуальные шкалы.
    Во всех подобных случаях мы можем указать такую величину . Величина называется предельной систематической погрешностью. Знание предельной систематической погрешности не дает возможности устранить ошибку, но позволяет указать пределы, в которых лежало бы истинное значение измеряемой величины, если бы ошибка целиком определялась истинной величиной

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *