Думай как математик как решать любые проблемы быстрее и эффективнее?

14 ответов на вопрос “Думай как математик как решать любые проблемы быстрее и эффективнее?”

  1. Auririus Ответить

    Книга в высшей степени интересная и полезная. Ставлю твердую «пятерку»! Одна из немногих, которая оставляет после прочтения чувство удовлетворения (тем, что лично я получил то, ради чего ее и покупал), а не горький осадок из-за напрасно потраченных денег и времени.
    Книга призвана помочь студентам, изучающим математику и естественные науки, а еще шире – всем, кто вообще занимается самообразованием в любой области, постичь эффективные способы усвоения и запоминания информации. Методы успешного решения задач приводятся на примере математики, но носят универсальный характер. Скажем, мне, условному «гуманитарию», все было понятно, и я много раз обдумывал, как в других сферах жизни применить те или иные советы Б. Оакли. Кроме того, в процессе чтения приходит осознание, что зачастую мы сами ограничиваем свои возможности, ставя на себе клеймо «гуманитарий» или «технарь» и не пытаясь достичь каких-либо успехов в сложных областях (таких как математика). Скажем, в средней школе мне давались неплохо алгебра и геометрия, но в какой-то момент я потерял смысл и мотивацию по их изучению. После этого результаты по предметам значительно ухудшились, и мне проще было найти причину плохих оценок в том, что я «гуманитарий», а не в том, что ленюсь и мало занимаюсь)))
    Кстати, Барбара Оакли и рассказывает о том, как она, изначальный «гуманитарий», которому были чужды «технические» предметы, превратилась в доктора наук по математике и профессора по машиностроению!
    Достоинства книги:
    1. Полное отсутствие «воды» и многостраничных «пустых» рассуждений ни о чем, преследующих единственную цель раздуть книгу как пакет из под чипсов. Этим грешат почти все издания такой направленности: одна или две главных мысли «обмусоливаются» по нескольку раз на сотнях страниц текста, а смыслового содержания – ноль.
    2. Математическая четкость понятий. Имеется в виду, что присутствует структура и системность изложения, где каждая часть связана по смыслу с предыдущей, а не набор «разношерстных» советов, когда между собой они могут даже «не биться» (как, например, некоторые авторы пишут: «живи одним днем и не думай о будущем», а потом – «планируй свою жизнь на годы вперед и копи на пенсию» – и в итоге непонятно, какое мировоззрение они все-таки предлагают).
    3. Логичность.
    4. Автор неоднократно повторяет по ходу книги материал, что способствует лучшему запоминанию и усвоению. После каждой главы приводятся обобщения пройденного, есть контрольные вопросы и задания. В конце книги также содержится краткая памятка по всему содержанию, что меня очень сильно порадовало, поскольку позволило «освежить» прочитанное.
    Конечно, кто-то скажет, что и так все знает, и читал об этом раньше. В принципе, сложно найти книгу с какими-то абсолютно уникальными и неизвестными советами, если это только не магическая литература с экзотическими методами обретения «всего что хочешь». Эта книга понравилась грамотным обобщением способов обучения и хорошей структурой. Еще раз прочесть о полезных способах, помогающих запоминать материал или бороться с прокрастинацией, никогда не помешает.

  2. Ingardia Ответить

    Математика бывает ласковой матерью. Она логично и величаво поднимается от сложения к вычитанию, умножению и делению, затем взмывает к небесам математических красот. Однако бывает и злобной мачехой, которая не прощает ни малейшего сбоя в этой логичной последовательности – а ведь сбиться и пропустить шаг так легко! Семейные сложности, усталый учитель, некстати затянувшаяся болезнь – даже неделя-другая, если она пришлась на ключевой период, может выбить вас из игры навсегда.
    Или, как было в моем случае, все может решить простое отсутствие интереса либо уверенность в недостатке способностей.
    В седьмом классе нашу семью постигло несчастье. Отец потерял работу из-за серьезной травмы позвоночника, и мы переехали жить в захудалый район, где в школе преподавал математику брюзга, часами заставлявший учеников механически складывать и умножать в духоту и зной. При этом он ничего не объяснял. Казалось, ему нравилось видеть, как мы страдаем.
    К тому времени я не просто считала математику бесполезной – я ее ненавидела. А что касалось естественных наук… да их ничего и не касалось. Во время первого же химического опыта учитель дал мне и моей соседке по парте совсем не те вещества, что получил весь класс, а потом высмеял нас за попытку подогнать ответ под результаты, полученные другими учениками. Когда мои родители, искренне озабоченные моей неуспеваемостью, посоветовали мне попросить учителя о дополнительных занятиях в учебное время, я решила, что мне лучше знать, что делать. Математика и естественные науки бесполезны, а непререкаемые Демиурги Школьной Программы вознамерились их в меня воткнуть насильно. Победить я могла только одним – отказом понимать материал и яростным проваливанием всех экзаменов. Противостоять такой стратегии мои противники были не в состоянии.
    У меня, правда, были и другие интересы. Я любила историю и общественные науки, с удовольствием изучала культуру и особенно языки. За счет этих предметов средний балл держался на приемлемом уровне.
    Сразу после школы я записалась в армию – там мне собирались платить за то, чтобы я выучила иностранный язык. Я изучала русский (выбранный мной ни с того ни с сего) так успешно, что Служба вневойсковой подготовки офицеров запаса (ROTC) стала платить мне стипендию. Затем я перешла в Вашингтонский университет в Сиэтле, где получила степень бакалавра по славянским языкам и литературе с отличием. Русский язык лился из меня легко, как теплая патока: произношение было настолько хорошим, что меня порой принимали за русскую. Времени на совершенствование навыков я не жалела: чем лучше я владела языком, тем больше мне нравилось им заниматься, а чем больше я занималась, тем больше времени этому посвящала. Успехи только укрепляли желание практиковаться дальше, и это приводило к новым успехам.
    Однако через некоторое время случилось неожиданное: меня произвели в офицеры, теперь я была вторым лейтенантом войск связи США. Передо мной вдруг замаячила необходимость стать экспертом по телеграфной, телефонной и радиосвязи. Представляете? Я – уверенный в себе специалист по филологии, строящий судьбу собственными руками, – оказалась выброшена в новый для меня мир техники и технологий, в котором была пень пнем.
    Вот так поворот!
    После курса по электронике, в основе которого лежала математика (по успеваемости я была последней в группе), меня с моими шаткими знаниями отправили в Западную Германию командиром отделения связистов. Там я увидела, что технически грамотные офицеры и рядовые здесь нарасхват: к ним обращались за помощью в первую очередь: именно от них зависело успешное выполнение поставленных задач.
    Поразмыслив о своей карьере, я поняла, что раньше следовала внутренним привычным пристрастиям, не оставляя места для новых, и в результате незаметно для себя оказалась в тупике. Если я останусь в армии, из-за технической беспомощности всегда буду специалистом второго сорта. Если же уйти из армии – что мне делать с дипломом по славянским языкам и литературе? Мест, где требуется знание русского языка, не так уж много, я неизбежно окажусь в миллионной толпе таких же обладателей степени бакалавра, годных лишь для малоквалифицированной секретарской работы. Пурист, возможно, заявил бы, что с моими учебными и служебными достижениями я могла претендовать и на более заметную работу, однако такой пурист вряд ли знает, как жесток порой рынок трудоустройства.
    К счастью, был еще один нестандартный выход. Мне, как военнослужащей, закон гарантировал деньги на дальнейшее обучение после службы в армии. Что, если использовать эту сумму на немыслимый эксперимент – на изменение самой себя? Сумею ли я перестроить свое сознание и из математикофоба превратиться в математикофила? Из технофоба в техногения?
    Я прежде не слышала о подобных перерождениях, тем более в случаях такой запущенной фобии, как у меня. Математика и я – более несовместимых вещей я себе не представляла. Однако на примере сослуживцев видела, какую пользу может принести такая перемена.
    Это стало для меня вызовом, неудержимым соблазном.
    И я решила перестроить свое сознание.
    Мне приходилось нелегко. Первые семестры меня то и дело переполняли страх и отчаяние, словно я шла на ощупь с завязанными глазами. Мои более молодые сокурсники казались мне прирожденными математиками, которым легко открывалось нужное решение, я же то и дело натыкалась на глухие стены.

  3. Moditius Ответить

    Как решать любые проблемы быстрее и эффективнее? Осваивать и запоминать сложные понятия могут все. Перед математикой и естественными науками часто испытывают безотчетный страх. Многим кажется, что они органически неспособны воспринимать сложные математические концепции. На самом деле на это способны все без исключения. Тому пример – автор этой книги, Барбара Оакли, филолог по образованию, которая когда-то до дрожи боялась математики, а теперь преподает технические дисциплины, она доктор наук, инженер-консультант, член совета Американского института медицинского и биологического машиностроения, вице-президент Общества технического машиностроения для медицины и биологии Института инженеров электротехники и электроники. Оакли уверена, что если вы хотите добиться успеха в постижении точных наук, достаточно научиться правильно использовать различные типы мышления, задействовать нужные механизмы памяти и объявить борьбу прокрастинации. Автор описывает множество приемов обучения и самосовершенствования. Свои утверждения она иллюстрирует примерами из жизни выдающихся людей, сопровождая их экскурсами в психологию, физиологию и историю, интересными упражнениями и вопросами для самопроверки. Важно то, что все описанные Оакли техники подходят для усвоения не только математических, но и любых других концепций. Рекомендую это содержательное и простое для понимания пособие в первую очередь студентам, а также всем, кто хочет расширить границы своих возможностей в самых разных областях знаний.

    Сфокусированное и рассеянное мышление. В повседневной жизни человеческий мозг постоянно переключается между двумя режимами – сфокусированным и рассеянным. Первый характеризуется повышенным вниманием, концентрацией на предмете, второй – расслаблением и покоем. Оба режима играют важную роль в обучении.
    Сфокусированное мышление связано с префронтальным участком коры головного мозга, который отвечает за логику, аналитические процессы, последовательность действий. Рассеянное мышление задействует разные участки мозга. Поэтому в рассеянном состоянии наши мысли способны “гулять” там, где им захочется. Итогом таких “прогулок” может стать неожиданное решение, открытие, озарение. Сфокусированный режим – это движение по проторенной тропе. Обычно наше мышление начинает работать в таком режиме, когда необходимо сосредоточиться на взаимосвязанных фрагментах информации, например, умножении чисел или спряжении глаголов по известным правилам. Рассеянный режим включается, когда мы получаем новые знания или когда нам требуется увидеть общую картину. Оба режима можно сравнить с ручным фонариком. В сфокусированном режиме его луч ярко освещает небольшой участок, в рассеянном – гораздо большее пространство.
    “Если вы откладываете занятия на потом, то оставляете себе время только на поверхностное изучение материала в сфокусированном режиме”.
    Переключение режимов мышления
    Сфокусированное мышление требует большего напряжения при изучении точных наук, чем при занятих общественными и гуманитарными дисциплинами. Математические идеи абстрактны, а каждый из символов может иметь множество значений и участвовать во множестве операций. Изучение математики и естественных наук также затруднено “эффектом установки”, при котором уже известные концепции и готовые решения препятствуют выработке новых. Лучший способ его преодолеть – подключить рассеянное мышление. Оно позволит вырваться за рамки известного и взглянуть на изучаемый предмет более широко.
    “Рассеянное мышление помогает постигать материал на глубоком и творческом уровне”.
    Чтобы успешно решать задачи и изучать новый материал, необходимо научиться регулярно переключаться между сфокусированным и рассеянным мышлением. Для этого требуется лишь на какое-то время отвлечься от предмета. Иногда достаточно пойти прогуляться или немного вздремнуть. Вернувшись затем к задаче, вы удивитесь тому, как просто, оказывается, она решалась. Если задача трудная, то может потребоваться несколько таких переключений.
    Запоминание информации
    Существуют две основные системы памяти – рабочая и долговременная. Рабочая память отвечает за ту информацию, которая сознательно обрабатывается нами в данный момент. Раньше считалось, что в ней можно удержать лишь семь объектов или порций информации, сегодня считается, что только четыре. Занести информацию в рабочую память можно путем повторения или закрыв глаза и сосредоточившись.
    “Если вспоминать материал (извлекать из памяти информацию), а не перечитывать его пассивно, то вы будете более сосредоточенны и потратите время более эффективно”.
    В долговременной памяти объекты хранятся очень долго, и их может быть огромное количество. Возникает проблема как найти нужный объект на этом гигантском “складе” информации. Для этого можно использовать следующий прием повторить информацию несколько раз, пока она находится в рабочей памяти. Тогда ее будет намного легче извлечь из памяти долговоременной. Другой прием – “интервальное повторение” на протяжении многих дней. Им широко пользуются при изучении математики, точных наук и иностранных языков. Частое повторение с короткими промежутками малоэффективно.
    “При освоении математики и естественных наук один из главных шагов – создание понятийных порций, то есть ментальных связок, объединяющих отдельные фрагменты информации через общий смысл”.
    Огромную роль в запоминании играет сон. Если разобрать новый материал прямо перед сном, а на следующее утро повторить его, он усвоится намного лучше.
    Как сформировать порцию информации
    Для усвоения знаний очень важно научиться правильно формировать “понятийные порции”, устанавливать смысловые связи между фрагментами информации. Что такое порции информации? Возьмем слово “боб”. “Боб” – это порция, а составляющие его буквы – это элементы. Такой подход помогает мозгу работать эффективнее. Если вызвать в памяти общее представление о предмете, обо всей порции информации, то отдельные элементы можно уже не вспоминать – они вспомнятся автоматически. Так, простой мысли “надо одеться”, возникающей в голове после утреннего пробуждения, достаточно, чтобы запустить сложный, состоящий из множества этапов процесс. Чтобы создать порцию информации, нужно сделать следующее
    “Процесс извлечения сведений из памяти сам по себе способствует более глубокому усвоению материала и помогает приступить к формированию порций информации”.
    * Сконцентрировать внимание на фрагментах, которые нужно объединить в порцию.
    * Понять главную идею. Ухватить суть обрабатываемой информации поможет чередование сфокусированного и рассеянного мышления.
    * Сформировать контекст, который помогает понять, в каких ситуациях или на каком этапе решения задач данная порция применима. Если контекст сформирован, вы сможете лучше запоминать и быстро находить нужную вам информацию. Однако для этого потребуется практика и повторение.
    “Интерливинг, или чередование, – это вид деятельности, при котором вы имеете дело с разными типами задач, решение которых требует разных стратегий”.
    Интерливинг и избыточное обучение
    Интерливинг – это освоение новых приемов в процессе решения разных типов задач. Если вы научились новому способу решения, постарайтесь избежать искушения применять его во всех возможных случаях. Используйте разнообразные методы. Старайтесь разобраться не только в механизме нового способа решения, но и в том, когда его лучше применять.
    Если вы уже хорошо усвоили и поняли новый материал, но продолжаете его изучать, то это называется “избыточное обучение”. Оно может быть полезно, когда требуется довести какое-то умение до автоматизма – например, теннисную подачу или игру на музыкальном инструменте. Но, когда речь идет о математике, “избыточное обучение” может сослужить плохую службу – “это почти то же самое, что при изучении плотницкого дела учиться только забивать гвозди”.
    “Нежелание начинать работу – вполне естественное чувство. Вопрос в том, как вы с ним справляетесь”.
    Как справиться с прокрастинацией
    Добиться успеха в точных и естественных науках невозможно, если оставлять изучение материала на последнюю минуту. Но так чаще всего и происходит. Причина прокрастинация – в психологии склонность к постоянному откладыванию даже важных и срочных дел, приводящая к жизненным проблемам и болезненным психологическим эффектам. Чаще всего она возникает из-за нежелания заниматься чем-то малоприятным, неинтересным, тем, что вызывает дискомфорт. Исследования показали, что у тех, кто не любит математику, при мысли о ней могут даже активизироваться болевые центры мозга.
    “Повторение материала вдалеке от привычного места занятий помогает укрепить знания, поскольку позволяет взглянуть на них с другой точки зрения”.

  4. rokaton Ответить

    Принято считать, что математики — это люди, наделенные недюжинными интеллектуальными способностями, которые необходимо развивать с самого детства. И большинству точность и логичность математического мышления недоступна. Барбара Оакли, доктор наук, доказывает, что каждый может изменить способ своего мышления и овладеть приемами, которые используют все специалисты по точным наукам.

    Практика – путь к надежным знаниям
    Я уже упоминала, что простого понимания принципа обычно недостаточно для формирования порции информации. Схематическое изображение мозга поможет вам лучше это понять. Порции (замкнутые петли) на рисунке – всего лишь расширенные следы памяти, которые появились из-за того, что вы связали воедино факты и достигли понимания. Порция информации, стало быть, – это просто более сложный вид следов памяти. В верхней части рисунка – слабая порция, которая начинает формироваться после того, как вы поняли материал и раз-другой в нем попрактиковались. В центре линия темнее: это более мощный нейронный паттерн, появившийся после более обширной практики и применения порции к разным контекстам.
    Кстати, очень важно закрепить изначальный паттерн через день после формирования, иначе он может быстро стереться (о важности периодических повторений мы поговорим позже). А если решать однотипные задачи одним и тем же неправильным способом, то в памяти отпечатается неверный процесс. Вот почему так необходимо перепроверять то, что вы делаете. Даже верный ответ может временами увести вас в ненужную сторону, если он получен в результате некорректной процедуры.
    Решение математических и естественно-научных задач похоже на исполнение фортепианной пьесы. Чем больше практикуетесь, тем надежнее, четче и сильнее становятся ментальные паттерны.
    О важности формирования порций
    «Математика порой оказывается удивительно компактной: вы можете долго, шаг за шагом биться над задачей, подходить к идее или процессу с разных сторон, но, как только пришло понимание и вы увидели масштаб явления на фоне целого, материал становится более компактным: вы можете его отложить в сторону, при необходимости вспомнить его быстро и в полном объеме, использовать его как рядовой этап в других мыслительных процессах. То озарение, которое приходит вместе с таким “сжатием” материала до компактного, и составляет одну из главных радостей изучения математики»{77}.
    Уильям Терстон, лауреат Филдсовской премии (высшей награды в математике)
    Повторение и упражнения, существенные для формирования надежных порций информации, могут быть слишком скучны – и потому неприятны. Еще хуже, когда в руках плохого учителя (как в моей школе) они становятся безжалостным орудием пыток. Однако даже при всех своих отрицательных сторонах повторение и практика совершенно необходимы при обучении. Всем известно: без повторения невозможно научиться ничему – ни шахматам, ни языку, ни музыке, ни танцам. И хорошие преподаватели всегда сумеют объяснить, почему повторение и упражнения стоят затраченных на них усилий.
    Кроме того, для овладения материалом требуются оба вышеописанных подхода – и «снизу вверх» (формирование порций), и «сверху вниз» (получение более широкой картины). Нам всем нравится творческий подход и мысль о том, что взгляд на более широкую картину – способ выучить материал. Однако математике и наукам невозможно научиться без нужного количества практики и повторений, формирующих порции информации, на которых держится ваше мастерство{78}. Исследование, опубликованное в журнале Science, четко подтвердило это{79}. Студенты читали научный текст, а потом пытались вспомнить как можно больше содержащейся в нем информации. Затем они еще раз читали текст и вспоминали сведения из него (т.е. пытались припомнить ключевые идеи).
    И каков же был результат?
    Практика и воспроизведение материала по памяти давали студентам больше знаний и на более глубоком уровне, чем любые другие подходы, включая многократное перечитывание текста или вычерчивание блок-схем с основными понятиями, которые предположительно должны помогать усвоению материала. Улучшенный процесс обучения сказывается на результатах и формального тестирования, и неформальных самопроверок студентов.
    Этот опыт – хорошее подспорье недавно упомянутому тезису. Когда мы вспоминаем выученное, мы не просто механически, как роботы, повторяем материал: процесс извлечения сведений из памяти сам по себе способствует более глубокому усвоению материала и помогает приступить к формированию порций информации{80}. Для исследователей стал сюрпризом тот факт, что сами студенты считали, будто чтение и вспоминание не лучший способ изучать предмет. Они думали, что рисование диаграмм или блок-схем быстрее приведет к цели. Однако попытки выстроить связи между порциями раньше, чем первичные порции укоренятся в мозгу, ни к чему не приводят. Они похожи на попытки выучиться сложным шахматным стратегиям прежде, чем вы запомните, как ходят фигуры{81}.
    Практика повторения математических и естественно-научных понятий и решения задач помогает формированию порций информации – надежных нейронных паттернов, богатых контекстами{82}. В сущности, освоение любых навыков или учебных дисциплин требует большого количества упражнений с разными контекстами: это помогает создавать нейронные паттерны, необходимые для того, чтобы новый навык хорошо вписался в ваш стиль мышления.
    Держите знания наготове
    «Мне в жизни довелось применять многие из описанных в этой книге техник обучения. В студенчестве я занялся физической химией, вывод формул меня завораживал. Я взял себе за привычку решать все до одной задачи в учебнике. В результате я так натренировал свой мозг, что к концу семестра мне стоило только взглянуть на задачу – и я уже знал, как ее решать. Рекомендую этот способ и своим ученикам, занимающимся естественными науками, и студентам других специальностей. Я также не устаю напоминать о пользе ежедневных занятий, необязательно долгих, но достаточно продолжительных для того, чтобы держать знания наготове. Я всегда привожу в пример свой опыт владения двумя языками. Когда я уезжаю работать во Францию, в первые несколько дней я говорю по-французски не совсем свободно, но затем язык приходит в норму. Когда я возвращаюсь в Америку и студенты или коллеги меня о чем-то спрашивают в первый или второй день после возвращения, то мне приходится искать нужные английские слова! Когда вы практикуетесь каждый день – информация всегда под рукой, вам не приходится ее искать».
    Роберт Гамаш, помощник вице-президента по учебным вопросам, студенческим делам и международным связям (Массачусетский университет в Лоуэлле)
    Повторяйте материал не за учебным столом: о пользе прогулок
    В случае если вам сложно понять ключевую идею изучаемого материала, физическая активность особо полезна. Как мы упоминали ранее, существует огромное количество рассказов о научных открытиях, случившихся во время прогулок{83}.
    К тому же повторение материала вдалеке от привычного места занятий помогает укрепить знания, поскольку позволяет взглянуть на них с другой точки зрения. Когда мы сдаем экзамен не в нашем обычном классе, а в ином помещении, порой теряются подсознательные подсказки и точки опоры. Когда мы повторяем учебный материал в разнообразных условиях, подсознательные точки опоры уже не относятся исключительно к одному и тому же месту и экзамен в новой аудитории не выбьет вас из колеи{84}.
    Усвоение математических и естественно-научных понятий может быть легче, чем запоминание китайских слов или гитарных аккордов. Ведь математическая задача сама ведет вас вперед, показывая следующий шаг. В этом смысле решение математических и естественно-научных задач похоже на танец. Во время танца вы чувствуете, как тело подсказывает вам следующий шаг.
    Разные виды задач предполагают разный режим повторения, зависящий от того, с какой скоростью и какими способами вы овладеваете материалом{85}. К тому же у вас, разумеется, есть другие обязательства в жизни, кроме изучения конкретной темы. Вам приходится определять для себя объем материала, который нужно изучить в данный момент, и не забыть о рассеянном режиме, на который тоже нужно оставить время. С какой скоростью усваивается материал? У всех по-разному. Однако прелесть решения математических и естественно-научных задач состоит в том, что чем больше задач вы решаете, тем легче и полезнее становится процесс.
    Упорядочить записи и сформировать порции информации – вот путь к успеху
    «Когда студенты плохо справляются с заданиями, я в первую очередь стараюсь взглянуть на то, как они записывают лекции и делают выписки из учебников. На первых занятиях я часто предпочитаю не переходить сразу к объяснению материала, а предварительно поговорить о том, как упорядочивать записи и формировать порции информации. На следующие занятия студенты приходят с уже хорошо структурированными записями и с изумлением отмечают, как много материала отложилось в мозгу».
    Джейсон Дечант, доктор наук, руководитель программ по рекламе и развитию здравоохранения (Школа медицинских сестер в Питсбургском университете, Пенсильвания)
    Интерливинг (чередование разных типов задач) – или избыточное обучение?
    Последний важный шаг к тому, чтобы стать укротителем уравнений, – научиться интерливингу{86}. Интерливинг, или чередование, – это вид деятельности, при котором вы имеете дело с разными типами задач, решение которых требует разных стратегий. Когда вы узнаете (от преподавателя или из учебника) о новом подходе к решению задач, вы обычно изучаете этот новый способ и затем интенсивно практикуетесь в нем на протяжении определенного периода занятий. Продолжение обучения или практики после того, как вы уже поняли материал, называется избыточным обучением. Избыточное обучение может быть полезным: оно помогает довести навык до автоматизма, что может пригодиться при отработке теннисной подачи или для мастерского исполнения фортепианного концерта. Однако регулярные избыточные повторения в ходе одного и того же занятия по математике или естественным наукам порой вредны: исследования показывают, что они могут стать неплодотворной тратой учебного времени{87}. (Чередование же разных подходов во время одного занятия как раз полезно.)
    Если не практиковаться с растущими порциями информации, то выстроить общую картину будет сложнее: фрагменты слишком расплывчаты
    Стало быть, когда во время занятия вы поняли основную идею, усердное ее повторение в течение того же занятия отнюдь не обязательно усиливает те связи с долговременной памятью, которые вы хотите укрепить. Хуже того: если вы сосредотачиваетесь только на одной тактике – это почти то же самое, что при изучении плотницкого дела учиться только забивать гвозди: через некоторое время вам начнет казаться, будто единственный способ починить какой-нибудь предмет – стукнуть по нему молотком{88}.
    На самом же деле усвоение нового учебного предмета предполагает тренировку умения выбирать и применять нужный способ решения задачи, и научиться этому можно, только работая над задачами, решающимися разными способами. Когда во время занятия вы поняли основной принцип того или иного способа решения (как если бы вы научились ездить на велосипеде с дополнительными поддерживающими колесами), начинайте чередовать соответствующие задачи с задачами других типов{89}. Порой это не так просто сделать. Например, в каждом разделе учебника часто описывается определенный способ решения, и когда вы обращаетесь к этому разделу – вам уже понятно, какой способ использовать{90}. Тем не менее старайтесь разнообразить методы решения. Можно пролистать учебник дальше и найти подборки разных задач, которые иногда даются в конце главы. При этом полезно специально останавливаться на том, почему, например, эта задача требует одного способа решения, а та – другого. Ваш мозг должен привыкнуть к мысли, что простое умение использовать конкретный способ решения – лишь часть успеха. Вы, помимо прочего, еще должны знать, когда его использовать. Можно сделать набор карточек, где на одной стороне написано условие задачи, а на другой условие и решение. Такие карточки можно перетасовывать, и таким образом вы будете каждый раз сталкиваться со случайно попавшимся приемом, в котором можно попрактиковаться. Когда вы перебираете карточки впервые, сядьте за стол и проследите, какую часть решения вы можете записать на бумаге, не заглядывая в ответ на обратной стороне карточки. Когда же вы натренируетесь с карточками, их можно перебирать где угодно, даже на прогулке. Используйте условие задачи как отправную точку для запоминания этапов решения и переворачивайте карточку только для проверки того, все ли шаги вы помните. Тем самым вы укрепите соответствующую порцию информации. Другой способ: откройте учебник на любой странице и решайте попавшуюся на глаза задачу, по возможности закрывая весь текст, кроме условия задачи.
    Почему чередование лучше избыточного обучения
    Психолог Дуг Рорер из Университета Южной Флориды провел обширные исследования по чередованию и избыточному обучению применительно к математике и естественным наукам. Он отмечает:
    «Многие считают, что избыточное обучение – это изучение материала или оттачивание навыков до победного конца. Однако исследователи связывают избыточное обучение с учебной стратегией, при которой студент продолжает изучать материал или отрабатывать навыки непосредственно после того, как нужный уровень уже достигнут. Например, после успешного решения задачи определенного типа вы немедленно решаете еще несколько задач того же типа. Хотя решение большего (а не меньшего) числа задач одного и того же типа часто способствует успеху на ближайшем экзамене, решение сразу слишком большого числа одинаковых задач приводит к отрицательным результатам.
    В учебной аудитории (и где угодно еще) студенты должны наращивать количество выученного материала на единицу времени, потраченного на изучение или практику, – т.е. полезную отдачу от обучения. Как этого можно добиться? Научная литература дает однозначный ответ: вместо продолжительного совершенствования одного и того же навыка или понятия до степени избыточного обучения студенты должны разделить усилия на несколько более коротких сеансов. Это не значит, что долгие занятия обязательно плохи. Длительные занятия хороши при условии, если студенты не уделяют слишком много времени одному и тому же навыку или понятию. Как только они усвоили “икс”, нужно перейти к другому материалу, а к “иксу” вернуться в другой день»{91}.
    Пример изначального решения, диаграмму или понятие лучше записывать от руки. По некоторым свидетельствам, это помогает усвоению материала больше, чем запись с помощью компьютера{92}. Более того, символы вроде ? или ? намного проще писать от руки, чем искать их в таблице символов (если вы, конечно, не используете эти символы настолько интенсивно, что запомнили соответствующие им кнопки на клавиатуре){93}. Однако если вы хотите сфотографировать или отсканировать вопрос и написанное от руки решение, чтобы скопировать их в смартфон или ноутбук, то это не повредит. Будьте осторожны: иллюзия компетентности будет диктовать вам продолжать работать с уже знакомыми способами решения – просто потому, что так легче, и к тому же успешное решение задач поднимает настроение. Порой может показаться, что чередование практикуемых способов (например, при повторении материала к экзамену, когда вы повторяете сразу много задач в разных главах и разделах) только затрудняет процесс, однако на самом деле такой способ помогает глубже усваивать материал.
    Не копируйте решения – переключайте режимы мышления
    «При выполнении домашних заданий порой приходится решать по десять одинаковых задач сразу. После второй или третьей студент уже не думает, он просто копирует решение предыдущей задачи. Я всегда советую следующее: делая домашнюю работу, решите несколько задач, например, из раздела 9.4, вернитесь назад и займитесь задачей из раздела 9.3, потом решите еще одну-другую задачу из 9.4, после этого решите одну из раздела 9.1. Это позволит переключить режимы мышления примерно таким же образом, каким потребуется это сделать на экзамене.
    Кроме того, мне кажется, что слишком многие делают домашние уроки просто для того, чтобы их сделать. Они решают задачу, сверяют результат с ответом, данным в конце учебника, потом улыбаются и переходят к следующей задаче. Я всегда говорю, что между улыбкой и переходом к другой задаче полезно вставить еще один этап – спросить себя: “Если я увижу такую задачу среди задач другого типа и не буду знать, из какого раздела учебника она взята, то каким образом я определю нужный способ ее решения?” К каждой задаче, решаемой дома, нужно относиться не как к части задания, которое нужно сейчас выполнить, а как к части подготовки к контрольным и экзаменам».
    Майк Розенталь, старший преподаватель математики, Международный университет Флориды
    Обобщение
    • Практические упражнения помогают создавать стойкие нейронные паттерны – т.е. понятийные порции информации.
    • Практические упражнения делают сознание более живым и гибким, как и требуется для экзаменов.
    • Порции информации лучше всего создаются при помощи:
    – сфокусированного внимания;
    – понимания общей идеи;
    – практики, помогающей увидеть широкий контекст.
    • Простое вспоминание – когда вы вызываете в памяти ключевые пункты материала, не глядя в текст, – один из лучших методов, способствующих формированию порций информации.
    В некотором смысле вспоминание помогает формировать нейронные зацепки – «крючки», которые можно использовать в качестве опоры для мышления
    ОСТАНОВИТЕСЬ И ВСПОМНИТЕ
    В следующий раз, проводя время с родственником, другом или однокурсником, перескажите ему суть того, что вы изучали (из этой книги или из материала, относящегося к учебным предметам). Пересказ изучаемого материала не только подпитывает ваш энтузиазм и делает его заразительным, но также проясняет и укрепляет в сознании нужные понятия и идеи – так вы лучше будете их помнить в ближайшие недели и месяцы. Даже если вы изучаете очень сложные дисциплины, их упрощенное изложение тем, кто имеет другую специальность, может укрепить ваше собственное понимание предмета.
    Проверьте свои знания
    1. Как порция информации соотносится со следом памяти?
    2. Выберите тему, которая вам интересна. Опишите относящуюся к этой теме порцию информации, которая вначале была сложной для вашего понимания, а сейчас кажется простой.
    3. Какова разница между подходом «снизу вверх» и подходом «сверху вниз» при изучении учебного материала? Является ли какой-то один из этих подходов более предпочтительным, чем другой?
    4. Достаточно ли понимания для формирования порции информации? Поясните, почему «да» или «нет».
    5. Какова ваша самая привычная иллюзия компетентности? Какая стратегия поможет вам избегать этой иллюзии в будущем?
    Преодолеть травму мозга и научиться учиться в режиме ограниченного времени. История Пола Кручко
    Пол Кручко с женой и дочерью, которые помогли ему найти мотивацию для жизненных перемен
    «Я рос в бедной, неблагополучной семье, с трудом окончил школу. После этого я ушел в армию, и меня отправили пехотинцем в Ирак. Восемь раз из двенадцати обстрелов в нашу машину попадали снаряды из придорожных засад.
    По счастливой случайности в одной из поездок я встретил свою чудесную жену. Встреча с ней убедила меня оставить службу и завести семью. Однако я не знал, что делать. Хуже того, после возвращения домой у меня начались проблемы с вниманием и пониманием, появилась несвойственная мне раздражительность. Иногда я даже не мог закончить фразу. Лишь позже я прочел о том, что солдаты, вернувшиеся из Ирака и Афганистана, часто страдают недиагностированным травматическим повреждением мозга (TBI).
    Я начал изучать компьютерную технику и электронику. Болезнь была настолько сильна, что я даже с трудом понимал дроби.
    Однако это обернулось во благо. Учиться значило для меня делать что-то осознанно. Попытки сосредоточиться, пусть и нелегкие, перестраивали мозг и помогали ему исцеляться. Мне это напоминало тренировки в спортзале: я прилагаю усилия, и кровь бежит в мышцы, делая их сильнее. Со временем мозг вылечился – я с отличием окончил колледж и получил работу, стал техническим специалистом по электронике.
    Я решил вновь пойти учиться, в этот раз на инженера. Математика, особенно математический анализ, еще более важна для инженера, чем для простого техника. На этом этапе стало ясно, что мне не хватает математических знаний – они оставались на уровне средних классов школы.
    К этому времени я женился, у меня родилась дочь, я работал полный рабочий день. Мне приходилось не только работать, но и пытаться выкраивать время на образование. У меня были считаные часы в день на изучение сложных математических понятий на более глубоком уровне, чем когда-либо в жизни. После нескольких крупных неудач (я заработал неуд по дифференциальным уравнениям – вот так провал!) я решил применить более стратегический подход.
    Каждый семестр я получаю от преподавателей программу курса и начинаю читать учебники за две-три недели до занятий, а то и раньше. Я стараюсь опережать сокурсников как минимум на одну главу, хотя часто в середине семестра это бывает невыполнимо. Главное здесь – практика решения задач, т.е. формирование порций информации. За время учебы я выработал для себя правила, которые позволили мне удовлетворительно закончить учебу. Моя цель сейчас – сделать хорошую карьеру, чтобы содержать семью, и эти правила помогают мне двигаться в нужном направлении».
    Правила Пола для обучения в условиях ограниченного времени
    1. Прочтите (но пока не решайте) домашние задания и практические задачи для экзаменов / зачетов. Этот шаг помогает настроить «мыслительный насос» на изучение новых понятий, т.е. на новые порции информации.
    2. Перечитайте конспект лекции (по возможности не пропускайте лекций). Один час лекции стоит двух часов чтения учебника. Если я хожу на лекции и пишу подробные конспекты (а не просто смотрю на часы и жду, когда все закончится), то учусь более эффективно. Я перечитываю конспект на следующий день, по свежим следам. Я также обнаружил, что полчаса, проведенные с преподавателем за работой над вопросами и ответами, стоят трех часов чтения учебника.
    3. Заново решите задачи, приводившиеся на лекции в качестве примера. Мне всегда было мало толку от задач, которые не снабжены готовыми ответами. Задачи, представляемые на лекциях, уже содержат пошаговое решение, и заново их решать – значит укреплять порции информации. В процессе учебы пишу ручками разных цветов: не только черными, но и синими, зелеными, красными. Я обнаружил, что это помогает мне лучше сосредоточиться на чтении конспектов: нужные фрагменты выделяются цветом, тогда они не сливаются в непонятную хаотическую массу.
    4. Сделайте домашнее задание и попрактикуйтесь в ответах на вопросы для экзаменов и зачетов. Так формируется «мышечная память» мозга – порции информации, необходимые ему для решения определенных видов задач.
    http://iknigi.net/avtor-barbara-oakli/103678-dumay-kak-matematik-kak-reshat-lyubye-zadachi-bystree-i-effektivnee-barbara-oakli/read/page-6.htm

  5. БаЛдЕю От СвОеЙ ОбАлДеНнОсТи Ответить

    центрального принципа человеческой психологии может быть определен как поток информации между: 1) правым и левым полушариями и 2) «доминантными» [левополушарными] и периферийными эффекторными механизмами, используемыми для вербального общения» (Cook 1989: 15). Однако также стоит отметить, что разница между полушариями часто становилась основой для бесчисленных необоснованных экстраполяций и неверных выводов (Efron 1990).
    9
    Согласно исследованиям занятости студентов (2012), учащиеся вузов, изучавшие инженерные специальности, проводили больше всего времени за занятиями: старшекурсники в среднем тратили на подготовку к занятиям 18 часов в неделю, старшекурсники педагогических специальностей – 15 часов, старшекурсники, изучающие общественные науки и бизнес, – около 14 часов. В статье, опубликованной в The New York Times под заголовком «Почему студенты-естественники меняют специальность (потому что сложно учиться)», преподаватель инженерных наук Дэвид Голдберг отмечает, что серьезные требования по математике, физике и химии могут привести к тому, что студенты будут выбывать из «гонки на выживание под знаменем математики и естественных наук» (Drew 2011).
    10
    Об эволюционных аспектах математического мышления см. в: Geary 2005, chap. 6.
    Разумеется, многие абстрактные термины не связаны с математикой. Однако поразительное количество таких типов абстрактных идей относится к эмоциям. Мы можем не видеть эти термины, но чувствуем их или по меньшей мере их важные стороны.
    Терренс Дикон, автор книги «Символический вид» (The Symbolic Species), отмечает неотъемлемую сложность проблемы кодирования/декодирования в математике:
    «Вообразите, что вы впервые сталкиваетесь с новым видом математических понятий – например, рекурсивным вычитанием (т. е. делением). Когда детям преподают это абстрактное понятие, чаще всего их заставляют выучить набор правил обращения с действиями и числами. а потом эти правила снова и снова отрабатываются с разными числами в надежде, что такая практика поможет детям “увидеть” параллели с определенными физическими проявлениями. Мы часто описываем это как обучение математическим действиям путем механического заучивания (что в моих терминах называется индексальным обучением), а затем, когда действия уже могут совершаться почти бессознательно, мы надеемся, что дети осознают, как математика соотносится с процессами физического мира. На определенном этапе, если все идет как нужно, дети “понимают” общий абстрактный принцип, объединяющий эти связанные с символами и формулами операции. Так они могут реорганизовать то, что уже заучили механически, в соответствии с мнемоническими принципами более высокого уровня, касающимися комбинаторных возможностей и их абстрактной соотнесенности с манипулированием объектами. Такой шаг к абстракции для многих детей зачастую сложен. Однако вспомните, что та же трансформация на еще более высоком уровне абстракции требуется для понимания высшей математики. Дифференциалы связаны с рекурсивным делением, интегралы – с рекурсивным умножением, в каждом случае до бесконечности, т. е. до предельных величин (это возможно потому, что они зависят от сходящихся рядов, которые сами по себе плод умозаключений, а не прямого наблюдения). Эта способность видеть, что будет, если операцию повторять бесчисленное количество раз, и является ключевой для того, чтобы разрешить парадокс Зенона (который, кажется, невозможно осмыслить, когда он описан словами). Однако вдобавок к этой сложности используемый сейчас нами лейбницевский формализм сводит эту бесконечную рекурсию к одному символу (dx/dt) или знаку интеграла, поскольку никто не в состоянии писать такие операции бесконечно. Из-за этого манипулирование математическими символами еще больше теряет связь с соответствующими физическими величинами.
    Поэтому смысл операции, выраженный математически, по сути содержит двойную кодировку. Да, у нас развиты мыслительные способности, позволяющие манипулировать с физическими объектами, и, разумеется, это сложно. Однако математика есть форма «кодирования», а не только воспроизведения, и декодирование является чрезвычайно трудным процессом именно из-за комбинаторных сложностей. Вот почему кодирование и шифрование осложняют восстановление и получение изначальной информации. По моему мнению, это является неотъемлемым свойством математики, независимо от развитых у нас способностей. Математика сложна по той же причине, по которой сложна расшифровка закодированного послания.
    К моему удивлению, мы все знаем, что математические уравнения – это по сути зашифрованные послания, для расшифровки которых нужен ключ. Однако мы почему-то изумляемся, что высшая математика так сложна для преподавания, и часто виним систему образования или преподавателей. Мне кажется, что с тем же успехом можно обвинять всю эволюцию» (личная переписка с автором, 11 июля 2013 г.).
    11
    Bilalic et al. 2008.
    12
    Geary 2011. См. также документальный фильм «Частная вселенная» (A Private Universe) по адресу http://www.learner.org/resources/series28.html?pop=yes&pid=9 (http://www.learner.org/resources/series28.html?pop=yes&pid=9), который обусловил дальнейшее изучение природы ошибочного понимания естественно-научных концепций.
    13
    Алан Шёнфилд (Alan Schoenfeld 1992) замечает, что более сотни имеющихся в его распоряжении видеороликов, на которых старшеклассники и студенты решают незнакомые задачи, свидетельствуют: примерно в 60 % случаев решения основываются на подходе «прочти, быстро выбери способ и не отступайся от него ни под каким видом». Это характерный пример того, как работает сфокусированное мышление.
    14
    Голдакр, 2010.
    15
    Gerardi et al. 2013.
    16
    Различия между полушариями головного мозга могут быть важны, однако, как уже упоминалось, все утверждения в этой области нужно принимать с осторожностью. Лучше всего сказал об этом Норман Кук: «Многие идеи, высказанные в ходе дебатов 1970-х годов, ощутимо выходили за пределы фактических знаний: разницей между полушариями объяснялись сразу все загадки человеческой психологии, включая подсознание, природу творчества и парапсихологические феномены, – однако неизбежное отклонение маятника в обратную сторону было также чрезмерным» (Cook 2002: 9).
    17
    Demaree et al. 2005; Gainotti 2012.
    18
    McGilchrist 2010; Mihov et al. 2010.
    19
    Nielsen et al. 2013.
    20
    Immordino-Yang et al. 2012.
    21
    Другой вариант задачи см. у де Боно (де Боно, 2012) – это дало толчок к созданию приведенной здесь задачи. Классическая книга де Боно содержит огромное количество таких задач и может служить отличным чтением.
    22
    Я говорю о чередовании сфокусированного и рассеянного мышления, хотя аналогичный процесс происходит и при перемещении информации между полушариями мозга. Примерное представление о том, как информация переходит от одного полушария к другому и обратно, дают эксперименты над курами. Научиться не клевать горькие зерна – процесс сложной обработки следов памяти, передающихся от полушария к полушарию в течение нескольких часов (G?nt?rk?n 2003).
    Анке Баума отмечает: «Наблюдаемый шаблон латерализации не означает, что на всех стадиях, требуемых определенной задачей, превалирует одно

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *