Как найти радиус окружности вписанной в правильный треугольник?

13 ответов на вопрос “Как найти радиус окружности вписанной в правильный треугольник?”

  1. Dr.Akula Ответить

    Напомним определение биссектрисы угла.
    Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.
    Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

    Рис. 1
    Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
    DF = DE,
    что и требовалось доказать.
    Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

    Рис. 2
    Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    что и требовалось доказать.
    Определение 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается касается сторон этого угла.
    Теорема 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.
    Доказательство. Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

    Рис.3
    Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно
    AF = AE,
    что и требовалось доказать.
    Замечание. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
    Напомним определение биссектрисы треугольника.
    Определение 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
    Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
    Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

    Рис. 4
    Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
    OD = OE,
    Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
    OD = OF,
    Следовательно, справедливо равенство:
    OE = OF,
    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать
    Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

    Рис. 5
    Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

    Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

  2. Лучше умереть стоя чем жить на коленях Ответить

    Программа
    предназначена для определения радиуса
    окружности вписанной в правильный треугольник.
    Окружность вписана в правильный треугольник, если она
    лежит внутри правильного треугольника и касается всех его сторон.
    В правильный треугольник можно вписать лишь одну окружность.

    Радиус
    вписанной в правильный треугольник
    окружности вычисляется по формуле:
    ,
    где
    p = 1/2 (a+a+a),
    a – сторона треугольника;
    Окончательный
    вид формула приобретет после ряда
    преобразований и будет иметь следующий вид:

    Чтобы
    найти радиус вписанной в правильный
    треугольник
    окружности, введите значение стороны треугольника a и
    нажмите
    кнопку “ВЫЧИСЛИТЬ”.
    Результатом вычислений будет радиус
    вписанной в правильный треугольник окружности.
    Исходные
    данные и
    результат вычислений можно скопировать в буфер обмена для дальнейшего
    использования в других приложениях.

  3. Moogukus Ответить

    Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по одной общей формуле.
    Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.
    Радиус вписанной в треугольник окружности для произвольного треугольника
    Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:

    где S — площадь треугольника, p — его полупериметр.
    Для треугольника со сторонами a, b, c полупериметр

    и формулу можно записать так:

    Если нужно найти радиус вписанной в треугольник окружности по его сторонам, то площадь треугольника ищут по формуле Герона, соответственно, формула для нахождения радиуса треугольника по трем сторонам имеет вид:

    Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

  4. Gardabar Ответить

    1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

    a – сторона ромба
    D – большая диагональ
    d – меньшая диагональ
    ? – острый угол
    О – центр вписанной окружности
    r – радиус вписанной окружности
    Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

    Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

    Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :


    Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :


    2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

    a – сторона ромба
    h – высота
    О – центр вписанной окружности
    r – радиус вписанной окружности
    Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

  5. TheFantaPlay Ответить

    Задание
    Высота правильного треугольника равна см. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

    Решение
    В правильном треугольнике опустим высоту см. Для того, чтобы найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник, нужно найти длину его стороны.
    Рассмотрим прямоугольный треугольник . Пусть , тогда (т.к. – правильный и – медиана). Тогда теорема Пифагора для треугольника запишется в виде:


    Найдем радиус вписанной окружности

    Ответ
    см

  6. ЁжЫк_в_ТуМаНе Ответить

    Правильным (или равносторонним) треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны. Все углы в правильном треугольнике равны \(60^\circ\).

    В правильном треугольнике высота, биссектриса,
    медиана и серединный перпендикуляр,
    опущенные из любой вершины, совпадают между собой.
    Соотношение между высотой (медианой, биссектрисой или серединным перпендикуляром) и стороной
    в правильном треугольнике
    \(h = \large\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\normalsize\)
    Радиус описанной окружности правильного треугольника
    \(R = \large\frac{{2h}}{3}\normalsize = \large\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\normalsize\)
    Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник
    \(r = \large\frac{{h}}{3}\normalsize = \large\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\normalsize\)
    Соотношение между радиусами описанной и вписанной окружности
    \(R = 2r\)
    Периметр правильного треугольника
    \(P = 3a = 6\sqrt 3 r = 3\sqrt 3 R\)
    Площадь правильного треугольника
    \(S = \large\frac{{ah}}{2}\normalsize = \large\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\normalsize = \large\frac{{3{R^2}\sqrt 3 }}{4}\normalsize = 3\sqrt 3 {r^2}\)

  7. Celфи_DeByшKa Ответить

    Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус вписанной в треугольник и в многоугольник окружности, размещены на одной странице.
    Радиус вписанной в многоугольник окружности
    Если в многоугольник можно вписать окружность, то формула для вычисления радиуса вписанной окружности:

    где p — полупериметр, то есть полусумма длин всех сторон этого многоугольника.
    Например, для пятиугольника со сторонами a, b, c, d, e радиус вписанной окружности находится по формуле


    откуда

    По этой же формуле ищут радиус вписанной в треугольник окружности.
    Радиус вписанной в треугольник окружности

    Формула для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности (верна для треугольника любого вида)

    где p — полупериметр,

    где a, b, c — стороны треугольника.
    Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
    Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

    где a и b — катеты, c — гипотенуза.
    Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник
    Формула радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности

  8. PoZiTif4iK Ответить

    Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник
    Для начала рассмотрим, какой треугольник называют правильным.
    Правильный треугольник (другое его название — равносторонний) — это треугольник со всеми равными сторонами. Соответственно, все углы такого треугольника равны друг другу и равны по 60 градусов.

    Все три высоты правильного треугольника являются также его биссектрисами и медианами.
    Для правильного треугольника центры описанных и вписанных окружностей совпадают.
    Формула радиуса вписанной в правильный треугольник окружности выглядит следующим образом:

    Рассмотрим примеры решения задач на нахождение радиуса вписанной окружности.
    Задача 1.
    Правильный треугольник имеет сторону, равную 17 см. Найти радиус вписанной в заданный треугольник окружности.
    Решение.
    Используем формулу для радиуса окружности, описанную выше:

    (см).
    Ответ. (см).
    Задача 2.
    Высота правильного треугольника равна 93 см. Найти радиус вписанной окружности.
    Решение.
    Поскольку радиус вписанной в правильный треугольник окружности численно равен его высоте, поделенной на 3, то можно записать:
    (см).
    Ответ. 31 см.

  9. QITEMYZ Ответить


    Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
    Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
    В любой треугольник можно вписать окружность, причем, только одну.
    Если окружность вписана в правильный треугольник (в тот, у которого все стороны равны между собой), то ее радиус вычисляется по формуле

    где – площадь треугольника, а – его полупериметр; или его можно выразить через сторону следующим образом:

    Примеры решения задач

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *