Как определить лежат ли в одной плоскости точки?

15 ответов на вопрос “Как определить лежат ли в одной плоскости точки?”

  1. youngchill Ответить

    Смешанное произведение векторов, заданных своими декартовыми координатами
    Три вектора , , заданы своими декартовыми координатами. Разложим их по ортам : , , .
    Известно, что векторное произведение векторов и находится по формуле:
    .
    Найдем скалярное произведение вектора векторного произведения и вектора , как векторов, декартовые координаты которых известны:
    – это есть разложение по третьей строке определителя 3-го порядка:
    – формула для вычисления смешанного произведения векторов, заданных своими декартовыми координатами
    Условие принадлежности четырех точек одной плоскости
    Задача. Даны 4 точки , , , .
    Доказать, что данные точки лежат в одной плоскости .
    Доказательство.
    Составим три вектора: такие, что , , .
    Из 2-го свойства смешанного произведения следует, что три вектора компланарны только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:
    – условие принадлежности четырех точек одной плоскости.

  2. Vliax Ответить

    Проверить, лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости: A(-1,-1,0), B(1,1,-8), C(-2,0,-1), D(0,1,2).
    Решение: Точки будут лежать в одной плоскости, если векторы компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю.
    Найдем координаты векторов: .
    Найдем смешанное произведение полученных векторов:
    ,
    Таким образом, полученные выше векторы не компланарны, следовательно, точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.
    Ответ: точки не лежат в одной плоскости
    ЗАДАНИЕ 5. Пирамида ABCD задана координатами своих вершин. Найти: а) объем пирамиды; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра l и две вершины; в) высоту, опущенную из указанной вершины.
    1. А (2,-1,1), B(5,5,4), C(3,2,3), D(4,1,3); б) l=AC, B и D; в) высота из вершины D.
    2. A(3,-2,2), B(1,-3,1), C(2,0,4), D(6,-4,6); б) l=AB, C и D; в) высота из вершины A.
    3. A(2,-1,1), B(-4,2,4), C(2,4,0), D(-1,-3,4); б) l=AC, B и D; в) высота из вершины B.
    4. A (3,5,4), B(5,8,3), C(1,9,9), D(6,4,8); б) l=BC, A и D; в) высота из вершины A.
    5. A(2,1,3) , B(1,3,5), C(6,2,5), D(3 ,2, 5); б) l=AD, C и D; в) высота из вершины C.
    6. A(1,1,2) , B(2,3,-1), C(2,-2,4), D(-1,1,3); б) l=AB, C и D; в) высота из вершины B.
    7. А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2), D(3,4,-3) ; б) l=BC, A и D; в) высота из вершины C.
    8. А(2,2,2), В(4,3,3), С(4,5,4), D(5,5,6) ; б) l=AC, B и D; в) высота из вершины D.
    9. А (8,4,1) , B (7,7,3), C (6,5,8), D (3,5,8); б) l=AD, C и D; в) высота из вершины D.
    10. A(0,0,1), B(2,3,5), C(6,2,3), D(3,7,2) ; б) l=BC, A и D; в) высота из вершины А.
    11. B (8,6,4), C (1,5,5), D (5,6,8), А (-2,1,7); б) l=AB, C и D; в) высота из вершины А.
    12. А (7,2,2), C (5,7,7), D (5,3,1), А (2,3,7) ; б) l=AC, B и D; в) высота из вершины B.
    13. B (6,6,5), C (4,9,5), D (4,6,11), А (6,9,3); б) l=BC, A и D; в) высота из вершины B.
    14. B (1,8,2), C (5,2,6), D (5,7,4), А (4,10,9); б) l=AB, C и D; в) высота из вершины C.
    15. B (1,6,6), C (-2,8,2), D (6,8,9), А (3,-1,3); б) l=AC, B и D; в) высота из вершины D.
    16. B (3,5,4), C (8,7,4), D (5,10,4), А (4,7,8) ; б) l=AB, C и D; в) высота из вершины C.
    17. А (4,6,5), C (1,9,4), D (2,3,10), B (7,5,9); б) l=AD, C и D; в) высота из вершины В.
    18. А (4,4,10), C (4,10,2), D (2,8,4), B (9,6,4) б) l=AC, B и D; в) высота из вершины В.
    19. А (4,2,5), C (0,7,2), D (0,2,7), B (1,5,0) б) l=BC, A и D; в) высота из вершины D.
    20. А(1,8,2), C(4,-1,2), D(-1,5,3), B(3,3,-3) б) l=AD, C и D; в) высота из вершины D.
    21. А(1,4,-2), C(-3,0,3), D(8,0,1), B(1,-4,0) б) l=AB, C и D; в) высота из вершины C.
    22. А(6,-2,0), C(6,2,-1), D(2,-1,4), B(-2,7,4) б) l=AD, C и D; в) высота из вершины A.

  3. zekaded Ответить

    Другие темы раздела
    Геометрия Угол между вектором и осью
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2276892.html
    Поверхность П (красная окружность) находится по углом 75градусов к плоскости ХоY. Синий вектор исходит из начала системы координат.
    Найти угол Гамма между синим вектором и осью Х, если известны…
    Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми Геометрия
    y=x
    y=\sqrt{3}x
    x^2+y^2=4
    x^2+y^2=9
    Найти уравнение прямой, которая делит площадь сектора на две равные части Геометрия
    Из круга радиуса R с центром в начале координат выделен сектор двумя радиусами, от угла ф1 до ф2 с положительным направлением оси Ox.
    Из конца дуги, определяемой углом ф1 , проведена прямая, делящая…
    Геометрия Определить вид кривой и сделать ее эскиз
    y^2-2x-2=0
    Добавлено через 8 минут
    Вторая кривая: x^2-y^2+2x+2y=0
    P.S. подскажите пожалуйста, как вставлять формулы в текст?
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2275086.html
    Геометрия Лежат ли прямые в одной плоскости
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2274969.html
    Лежат ли прямые l1 и l2 в одной плоскости, если:
    l1: x=y=z
    l2: x=1; y=t; z=2t
    Геометрия Длина параллели в зависимости от широты
    Собственно, сабж.
    За основу вычислений взял из википедии такие формулы:
    При длине окружности земли 40 000 км, имеем:
    r = 6366.1977237
    h = r*cos(градус_широты) ;; для программы градус…
    Растеризация текста и кривые Безье Геометрия
    Добрый день.
    Ищу информацию по методам растеризации векторной графики, состоящей из кривых Безье. Конечная цель – освоение растеризации текста. Интересует именно математика подобных вычислений. Ну…
    Геометрия Получить точку на окружности, зная исходную точку и длину дуги
    Есть окружность с известными координатами центра и радиусом. Известна точка на этой окружности и длина дуги, которую нужно отложить от этой точки, чтобы получить искомую. Каким образом это сделать?…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272245.html
    Геометрия Вывести формулу функции x=1.25, y=0.4.1
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272092.html
    Нужна функция для расчёта урона в игре. Уже пробовал арктангенс, параболу и гиперболу. Хочу получить фукнцию, которая резко уходила бы вверх при x = 25. Получается приблизительно, то не то, как…
    Геометрия Покрывающие 6-ти угольники (новый с 1918)
    Добрый день!
    На данный момет в мире известно 3 покрывающих плоскость шестиугольника. Все три в аттачменте (розовые). Они были найдены в 1918 году и с тех пор новых не было.
    Еще в аттачменте…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2271146.html

  4. ShumAleks Ответить

    Другие темы раздела
    Геометрия Угол между вектором и осью
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2276892.html
    Поверхность П (красная окружность) находится по углом 75градусов к плоскости ХоY. Синий вектор исходит из начала системы координат.
    Найти угол Гамма между синим вектором и осью Х, если известны…
    Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми Геометрия
    y=x
    y=\sqrt{3}x
    x^2+y^2=4
    x^2+y^2=9
    Найти уравнение прямой, которая делит площадь сектора на две равные части Геометрия
    Из круга радиуса R с центром в начале координат выделен сектор двумя радиусами, от угла ф1 до ф2 с положительным направлением оси Ox.
    Из конца дуги, определяемой углом ф1 , проведена прямая, делящая…
    Геометрия Определить вид кривой и сделать ее эскиз
    y^2-2x-2=0
    Добавлено через 8 минут
    Вторая кривая: x^2-y^2+2x+2y=0
    P.S. подскажите пожалуйста, как вставлять формулы в текст?
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2275086.html
    Геометрия Лежат ли прямые в одной плоскости
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2274969.html
    Лежат ли прямые l1 и l2 в одной плоскости, если:
    l1: x=y=z
    l2: x=1; y=t; z=2t
    Геометрия Длина параллели в зависимости от широты
    Собственно, сабж.
    За основу вычислений взял из википедии такие формулы:
    При длине окружности земли 40 000 км, имеем:
    r = 6366.1977237
    h = r*cos(градус_широты) ;; для программы градус…
    Растеризация текста и кривые Безье Геометрия
    Добрый день.
    Ищу информацию по методам растеризации векторной графики, состоящей из кривых Безье. Конечная цель – освоение растеризации текста. Интересует именно математика подобных вычислений. Ну…
    Геометрия Получить точку на окружности, зная исходную точку и длину дуги
    Есть окружность с известными координатами центра и радиусом. Известна точка на этой окружности и длина дуги, которую нужно отложить от этой точки, чтобы получить искомую. Каким образом это сделать?…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272245.html
    Геометрия Вывести формулу функции x=1.25, y=0.4.1
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272092.html
    Нужна функция для расчёта урона в игре. Уже пробовал арктангенс, параболу и гиперболу. Хочу получить фукнцию, которая резко уходила бы вверх при x = 25. Получается приблизительно, то не то, как…
    Геометрия Покрывающие 6-ти угольники (новый с 1918)
    Добрый день!
    На данный момет в мире известно 3 покрывающих плоскость шестиугольника. Все три в аттачменте (розовые). Они были найдены в 1918 году и с тех пор новых не было.
    Еще в аттачменте…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2271146.html

  5. TaLLIkeHt Ответить

    Другие темы раздела
    Геометрия Угол между вектором и осью
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2276892.html
    Поверхность П (красная окружность) находится по углом 75градусов к плоскости ХоY. Синий вектор исходит из начала системы координат.
    Найти угол Гамма между синим вектором и осью Х, если известны…
    Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми Геометрия
    y=x
    y=\sqrt{3}x
    x^2+y^2=4
    x^2+y^2=9
    Найти уравнение прямой, которая делит площадь сектора на две равные части Геометрия
    Из круга радиуса R с центром в начале координат выделен сектор двумя радиусами, от угла ф1 до ф2 с положительным направлением оси Ox.
    Из конца дуги, определяемой углом ф1 , проведена прямая, делящая…
    Геометрия Определить вид кривой и сделать ее эскиз
    y^2-2x-2=0
    Добавлено через 8 минут
    Вторая кривая: x^2-y^2+2x+2y=0
    P.S. подскажите пожалуйста, как вставлять формулы в текст?
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2275086.html
    Геометрия Лежат ли прямые в одной плоскости
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2274969.html
    Лежат ли прямые l1 и l2 в одной плоскости, если:
    l1: x=y=z
    l2: x=1; y=t; z=2t
    Геометрия Длина параллели в зависимости от широты
    Собственно, сабж.
    За основу вычислений взял из википедии такие формулы:
    При длине окружности земли 40 000 км, имеем:
    r = 6366.1977237
    h = r*cos(градус_широты) ;; для программы градус…
    Растеризация текста и кривые Безье Геометрия
    Добрый день.
    Ищу информацию по методам растеризации векторной графики, состоящей из кривых Безье. Конечная цель – освоение растеризации текста. Интересует именно математика подобных вычислений. Ну…
    Геометрия Получить точку на окружности, зная исходную точку и длину дуги
    Есть окружность с известными координатами центра и радиусом. Известна точка на этой окружности и длина дуги, которую нужно отложить от этой точки, чтобы получить искомую. Каким образом это сделать?…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272245.html
    Геометрия Вывести формулу функции x=1.25, y=0.4.1
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272092.html
    Нужна функция для расчёта урона в игре. Уже пробовал арктангенс, параболу и гиперболу. Хочу получить фукнцию, которая резко уходила бы вверх при x = 25. Получается приблизительно, то не то, как…
    Геометрия Покрывающие 6-ти угольники (новый с 1918)
    Добрый день!
    На данный момет в мире известно 3 покрывающих плоскость шестиугольника. Все три в аттачменте (розовые). Они были найдены в 1918 году и с тех пор новых не было.
    Еще в аттачменте…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2271146.html

  6. cs14 Ответить

    Другие темы раздела
    Геометрия Угол между вектором и осью
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2276892.html
    Поверхность П (красная окружность) находится по углом 75градусов к плоскости ХоY. Синий вектор исходит из начала системы координат.
    Найти угол Гамма между синим вектором и осью Х, если известны…
    Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми Геометрия
    y=x
    y=\sqrt{3}x
    x^2+y^2=4
    x^2+y^2=9
    Найти уравнение прямой, которая делит площадь сектора на две равные части Геометрия
    Из круга радиуса R с центром в начале координат выделен сектор двумя радиусами, от угла ф1 до ф2 с положительным направлением оси Ox.
    Из конца дуги, определяемой углом ф1 , проведена прямая, делящая…
    Геометрия Определить вид кривой и сделать ее эскиз
    y^2-2x-2=0
    Добавлено через 8 минут
    Вторая кривая: x^2-y^2+2x+2y=0
    P.S. подскажите пожалуйста, как вставлять формулы в текст?
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2275086.html
    Геометрия Лежат ли прямые в одной плоскости
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2274969.html
    Лежат ли прямые l1 и l2 в одной плоскости, если:
    l1: x=y=z
    l2: x=1; y=t; z=2t
    Геометрия Длина параллели в зависимости от широты
    Собственно, сабж.
    За основу вычислений взял из википедии такие формулы:
    При длине окружности земли 40 000 км, имеем:
    r = 6366.1977237
    h = r*cos(градус_широты) ;; для программы градус…
    Растеризация текста и кривые Безье Геометрия
    Добрый день.
    Ищу информацию по методам растеризации векторной графики, состоящей из кривых Безье. Конечная цель – освоение растеризации текста. Интересует именно математика подобных вычислений. Ну…
    Геометрия Получить точку на окружности, зная исходную точку и длину дуги
    Есть окружность с известными координатами центра и радиусом. Известна точка на этой окружности и длина дуги, которую нужно отложить от этой точки, чтобы получить искомую. Каким образом это сделать?…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272245.html
    Геометрия Вывести формулу функции x=1.25, y=0.4.1
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272092.html
    Нужна функция для расчёта урона в игре. Уже пробовал арктангенс, параболу и гиперболу. Хочу получить фукнцию, которая резко уходила бы вверх при x = 25. Получается приблизительно, то не то, как…
    Геометрия Покрывающие 6-ти угольники (новый с 1918)
    Добрый день!
    На данный момет в мире известно 3 покрывающих плоскость шестиугольника. Все три в аттачменте (розовые). Они были найдены в 1918 году и с тех пор новых не было.
    Еще в аттачменте…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2271146.html

  7. AlanNNN Ответить

    Другие темы раздела
    Геометрия Угол между вектором и осью
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2276892.html
    Поверхность П (красная окружность) находится по углом 75градусов к плоскости ХоY. Синий вектор исходит из начала системы координат.
    Найти угол Гамма между синим вектором и осью Х, если известны…
    Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми Геометрия
    y=x
    y=\sqrt{3}x
    x^2+y^2=4
    x^2+y^2=9
    Найти уравнение прямой, которая делит площадь сектора на две равные части Геометрия
    Из круга радиуса R с центром в начале координат выделен сектор двумя радиусами, от угла ф1 до ф2 с положительным направлением оси Ox.
    Из конца дуги, определяемой углом ф1 , проведена прямая, делящая…
    Геометрия Определить вид кривой и сделать ее эскиз
    y^2-2x-2=0
    Добавлено через 8 минут
    Вторая кривая: x^2-y^2+2x+2y=0
    P.S. подскажите пожалуйста, как вставлять формулы в текст?
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2275086.html
    Геометрия Лежат ли прямые в одной плоскости
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2274969.html
    Лежат ли прямые l1 и l2 в одной плоскости, если:
    l1: x=y=z
    l2: x=1; y=t; z=2t
    Геометрия Длина параллели в зависимости от широты
    Собственно, сабж.
    За основу вычислений взял из википедии такие формулы:
    При длине окружности земли 40 000 км, имеем:
    r = 6366.1977237
    h = r*cos(градус_широты) ;; для программы градус…
    Растеризация текста и кривые Безье Геометрия
    Добрый день.
    Ищу информацию по методам растеризации векторной графики, состоящей из кривых Безье. Конечная цель – освоение растеризации текста. Интересует именно математика подобных вычислений. Ну…
    Геометрия Получить точку на окружности, зная исходную точку и длину дуги
    Есть окружность с известными координатами центра и радиусом. Известна точка на этой окружности и длина дуги, которую нужно отложить от этой точки, чтобы получить искомую. Каким образом это сделать?…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272245.html
    Геометрия Вывести формулу функции x=1.25, y=0.4.1
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272092.html
    Нужна функция для расчёта урона в игре. Уже пробовал арктангенс, параболу и гиперболу. Хочу получить фукнцию, которая резко уходила бы вверх при x = 25. Получается приблизительно, то не то, как…
    Геометрия Покрывающие 6-ти угольники (новый с 1918)
    Добрый день!
    На данный момет в мире известно 3 покрывающих плоскость шестиугольника. Все три в аттачменте (розовые). Они были найдены в 1918 году и с тех пор новых не было.
    Еще в аттачменте…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2271146.html

  8. Mairus Ответить

    Другие темы раздела
    Геометрия Угол между вектором и осью
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2276892.html
    Поверхность П (красная окружность) находится по углом 75градусов к плоскости ХоY. Синий вектор исходит из начала системы координат.
    Найти угол Гамма между синим вектором и осью Х, если известны…
    Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми Геометрия
    y=x
    y=\sqrt{3}x
    x^2+y^2=4
    x^2+y^2=9
    Найти уравнение прямой, которая делит площадь сектора на две равные части Геометрия
    Из круга радиуса R с центром в начале координат выделен сектор двумя радиусами, от угла ф1 до ф2 с положительным направлением оси Ox.
    Из конца дуги, определяемой углом ф1 , проведена прямая, делящая…
    Геометрия Определить вид кривой и сделать ее эскиз
    y^2-2x-2=0
    Добавлено через 8 минут
    Вторая кривая: x^2-y^2+2x+2y=0
    P.S. подскажите пожалуйста, как вставлять формулы в текст?
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2275086.html
    Геометрия Лежат ли прямые в одной плоскости
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2274969.html
    Лежат ли прямые l1 и l2 в одной плоскости, если:
    l1: x=y=z
    l2: x=1; y=t; z=2t
    Геометрия Длина параллели в зависимости от широты
    Собственно, сабж.
    За основу вычислений взял из википедии такие формулы:
    При длине окружности земли 40 000 км, имеем:
    r = 6366.1977237
    h = r*cos(градус_широты) ;; для программы градус…
    Растеризация текста и кривые Безье Геометрия
    Добрый день.
    Ищу информацию по методам растеризации векторной графики, состоящей из кривых Безье. Конечная цель – освоение растеризации текста. Интересует именно математика подобных вычислений. Ну…
    Геометрия Получить точку на окружности, зная исходную точку и длину дуги
    Есть окружность с известными координатами центра и радиусом. Известна точка на этой окружности и длина дуги, которую нужно отложить от этой точки, чтобы получить искомую. Каким образом это сделать?…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272245.html
    Геометрия Вывести формулу функции x=1.25, y=0.4.1
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2272092.html
    Нужна функция для расчёта урона в игре. Уже пробовал арктангенс, параболу и гиперболу. Хочу получить фукнцию, которая резко уходила бы вверх при x = 25. Получается приблизительно, то не то, как…
    Геометрия Покрывающие 6-ти угольники (новый с 1918)
    Добрый день!
    На данный момет в мире известно 3 покрывающих плоскость шестиугольника. Все три в аттачменте (розовые). Они были найдены в 1918 году и с тех пор новых не было.
    Еще в аттачменте…
    https://www.cyberforum.ru/geometry/thread2271146.html

  9. partveon Ответить

    Вступление

    Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.
    Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.
    Задача №1
    Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.
    Решение
    Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.

    Задача №2
    Определить принадлежит ли точка лучу.
    Решение
    Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

    Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
    1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
    2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)
    Задача №3
    Определить принадлежит ли точка отрезку.
    Решение
    Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

    Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
    1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
    2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)
    Задача №4
    Взаимное расположение двух точек относительно прямой.
    Решение
    В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

    Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
    Итак:
    1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] < 0 – точки лежат по разные стороны. 2. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] > 0 – точки лежат по одну сторону.
    3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.
    Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.
    Задача №5
    Определить пересекаются ли две прямые.
    Решение
    Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
    Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0.
    Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

    В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.
    Задача №6
    Определить пересекаются ли два отрезка.
    Решение
    Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

    Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] < 0. Аналогично [M1M2, M1P1] * [M1M2, M1P2] < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:
    Поэтому нам необходимо сделать еще одну проверку, а именно: принадлежит ли хотя бы один конец каждого отрезка другому (принадлежность точки отрезку). Эту задачу мы уже решали.
    Итак, для того чтобы отрезки имели общие точки необходимо и достаточно:
    1. Концы отрезков лежат по разные стороны относительно другого отрезка.
    2. Хотя бы один из концов одного отрезка принадлежит другому отрезку.
    Задача №7
    Расстояние от точки до прямой.
    Решение
    Пусть прямая задана двумя точками P1(x1, y1) и P2(x2, y2).

    В предыдущей статье мы говорили о том, что геометрически косое произведение — это ориентированная площадь параллелограмма, поэтому SP1P2M = 0,5*[P1P2, P1M]. С другой стороны каждому школьнику известна формула для нахождения площади треугольника: половина основание на высоту.
    SP1P2M = 0,5*h*P1P2.
    Приравнивая эти площади, находим
    По модулю взяли потому, что первая площадь ориентированная.
    Если же прямая задана уравнением ax + by + c = 0, то уравнение прямой проходящей через точку M перпендикулярной заданной прямой есть: a(y — y0) – b(x — x0) = 0. Теперь спокойно можно решить систему из полученных уравнений, найти их точку пересечения и вычислить расстояние от исходной точки до найденной: оно будет ровно ρ = (ax0 + by0 + c)/√(a2 + b2).
    Задача №8
    Расстояние от точки до луча.
    Решение
    Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

    В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.
    Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP1P2 – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
    1. (P1M, P1P2) < 0 перпендикуляр не попадает на луч 2. (P1M, P1P2) ≥ 0 перпендикуляр попадает на луч Задача №9 Расстояние от точки до отрезка. Решение
    Рассуждаем аналогично предыдущей задаче. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то ответом будет минимальное из расстояний от данной точки до концов отрезка.

    Чтобы определить попадает ли перпендикуляр на отрезок нужно по аналогии с предыдущей задачей использовать скалярное произведение векторов. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то либо угол MP1P2 либо угол MP2P1 будут тупыми. Поэтому по знаку скалярных произведений мы можем определить попадает ли перпендикуляр на отрезок или нет:
    Если (P1M, P1P2) < 0 или (P2M, P2P1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок. Задача №10 Определить количество точек прямой и окружности. Решение
    Прямая и окружность может иметь нуль, одну или две точки пересечения. Давайте посмотрим на рисунки:

    Здесь из рисунков и так все понятно. Мы имеем две точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности. Одну точку касания, если расстояние от центра до прямой равно радиусу. И наконец, ни одной точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности. Поскольку задача нахождения расстояние от точки до прямой была уже нами решена, то и эта задача тоже решена.
    Задача №11
    Взаимное расположение двух окружностей.
    Решение
    Возможные случаи расположения окружностей: пересекаются, касаются, не пересекаются.

    Рассмотрим случай, когда окружности пересекаются, и найдем площадь их пересечения. Эту задачу я очень люблю, так как потратил на ее решение изрядное количество времени (было это давно — на первом курсе).


    Вспомним теперь, что такое сектор и сегмент.

    Пересечение кругов состоит из двух сегментов O1AB и O2AB.

    Казалось бы необходимо сложить площади этих сегментов и все. Однако, все не так просто. Необходимо еще определить всегда ли эти формулы верны. Оказывается, нет!
    Рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 совпадает с точкой C. В этом случае d2 = 0 и за значение α примем α = π. В этом случае имеем полукруг с площадью 1/2 πR22.
    Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

    ЗаключениеНу вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.
    Надеюсь, Вам понравилось.

  10. m5n Ответить

    Все четыре точки (A, B, C и D) будут лежать в одной плоскости тогда и только тогда, когда объем тетраэдра с вершинами в этих четырех точках будет равен 0. Так что все, что нам нужно – это уметь вычислять объем тетраэдра по длинам его сторон.
    Это можно сделать через определитель Кэли-Менгера
    | 0 1 1 1 1 |
    | 1 0 d2(A,B) d2(A,C) d2(A,D) |
    V = sqrt ( | 1 d2(A,B) 0 d2(B,C) d2(B,D) | / 288 )
    | 1 d2(A,C) d2(B,C) 0 d2(C,D) |
    | 1 d2(A,D) d2(B,D) d2(C,D) 0 |
    где d2(A, B) – квадраты соответствующих длин сторон.
    Это фактически трехмерная версия известной формулы Герона для площади треугольника.
    В качестве более “осязаемого”/”конструктивного” решения задачи можно предложить рассмотреть треугольники ABC и ABD. Если эти треугольники лежат в одной плоскости, то расстояние CD может равняться только одному из двух значений: одно значение расстояния для ситуации, когда С и D лежат по одну сторону от AB, другое – когда С и D лежат по разные стороны от AB.
    Не составит труда построить треугольники ABC и ABD на плоскости (например, положив точку A в начало координат, а точку B на ось абсцисс), вычислить конкретные координаты точек C и D и узнать искомые расстояния для планарного случая. После этого остается лишь сравнить найденные расстояния с данным в условии расстоянием CD.
    Вопрос о большем количестве точек не совсем понятен. Речь идет об N точек в N-1-мерном пространстве? Или речь идет об N точек в трехмерном пространстве? В последнем случае задача сводится просто к применению одного из вышеприведенных решений к четверкам точек среди данных N. Лучше всего, наверное, действовать иерархически: проверить на планарность независимые четверки, а затем уже проверять планарность между четверками.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *