Как определить угол между двумя прямыми в пространстве?

20 ответов на вопрос “Как определить угол между двумя прямыми в пространстве?”

Zhook 09-03-2020 Ответить

Начало

Поиск по сайту

ТОПы

Учебные заведения

Предметы

Проверочные работы

Обновления

Новости

Переменка
Отправить отзыв
bag05 09-03-2020 Ответить

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
,(1.1)
и
,(1.2)
где q1=(m1, p1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2) направляющий вектор прямой L2.
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).
,
Из определения скалярного произведения:
,(1.3)
где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.
Из выражения (1.3) получим:
.(1.4)
Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
.(1.5)
и
.(1.6)
Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 4), а прямая (1.6) − q2=(m2, p2)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m1, p1, m2, p2 в (1.4):
.
Упростим и решим:
.
Найдем угол φ

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Ответ.
Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
.(1.7)
Сделаем преобразования с выражением (1.7):
,
,
,
,
,
.(1.8)
Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:
.(1.9)
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
.(1.10)
и
.(1.11)
Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 3), а прямая (1.11) − q2=(m2, p2)=(−2, −2). Тогда
, .
Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
.(1.12)
Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
.(1.13)
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
(1.14)
и
.(1.15)
Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 1), а прямая (1.15) − q2=(m2, p2)=(−2, 6). Тогда
.(16)
Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
(1.17)
и
.(1.18)
Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).
.
Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:
.(1.19)
где |n1| и |n2| модули нормальных векторов n1 и n2 соответственно, φ -угол между векторами n1 и n2.
Из уравнения (19) получим
.(1.20)
Пример 4. Найти угол между прямыми
Gennadiy5 09-03-2020 Ответить

Угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол пересекающихся прямых. Поиск угла сводится к его нахождению между пересекающимися прямыми пространства. Школьные методы решения основываются на необходимости построения на основе подобия фигур или теоремах косинуса, что позволит определить синус, косинус, тангенс угла прямоугольного треугольника.
Удобным способом решения считается нахождение угла методом координат. Рассмотрим его.
Трехмерное пространство имеет прямоугольную систему координат Охуz. Имеется задача, в которой необходимой найти угол α, образованный скрещивающимися прямыми a и b с заданными уравнениями прямых в пространстве.
Для решения необходимо взять произвольную точку в трехмерном пространстве и обозначить буквой M, что дает понять, через нее проходят прямые a1 и b1, которые параллельны скрещивающимся a и b. Угол α , образованными прямыми a и b, из этого определения получится равным пересекающимся a1 и b1.
Для нахождения искомого угла между a1 и b1 необходимо использовать формулу для нахождения угла между пересекающимися прямыми, а для этого нужно знать значение координат направляющих векторов у прямых a1 и b1.
Для их получения необходимо применить определение направляющего вектора, которое говорит о том, что множества векторов совпадают. Направляющие векторы прямых обозначают a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz).
Векторы a→ и b→ имеют координаты, определяющиеся из условия по уравнению или по координатам точек пересекающихся прямых. Тогда получаем, что угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется из формулы α=arccosa→, b→a→·b→=arccosax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2, а a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) являются направляющими векторами прямых a и b.
Использование формулы для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми а и b дает выражение вида cos α=a→, b→a→·b→=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2.
При помощи основного тригонометрического тождества можно найти синус угла между этими прямыми при известном косинусе из формулы sin α=1-cos2 α.
Р·РѕСЃРёРј 09-03-2020 Ответить

Умение находить меру угла между двумя пересекающимися прямыми полезно для решения многих практических задач. Метод решения можно выбрать из нескольких вариантов.
Для начала мы можем взять геометрические методы. Если нам известно что-то о дополнительных углах, то можно связать их с нужным нам углом, используя свойства равных или подобных фигур. Например, если мы знаем стороны треугольника и нужно вычислить угол между прямыми, на которых эти стороны расположены, то для решения нам подойдет теорема косинусов. Если у нас в условии есть прямоугольный треугольник, то для подсчетов нам также пригодится знание синуса, косинуса и тангенса угла.
Координатный метод тоже весьма удобен для решения задач такого типа. Поясним, как правильно его использовать.
У нас есть прямоугольная (декартова) система координат Oxy, в которой заданы две прямые. Обозначим их буквами a и b. Прямые при этом можно описать с помощью каких-либо уравнений. Исходные прямые имеют точку пересечения M. Как определить искомый угол (обозначим его α) между этими прямыми?
Начнем с формулировки основного принципа нахождения угла в заданных условиях.
Нам известно, что с понятием прямой линии тесно связаны такие понятия, как направляющий и нормальный вектор. Если у нас есть уравнение некоторой прямой, из него можно взять координаты этих векторов. Мы можем сделать это сразу для двух пересекающихся прямых.
Угол, образуемый двумя пересекающимися прямыми, можно найти с помощью:
угла между направляющими векторами;
угла между нормальными векторами;
угла между нормальным вектором одной прямой и направляющим вектором другой.
Теперь рассмотрим каждый способ отдельно.
1. Допустим, что у нас есть прямая a с направляющим вектором a→=(ax, ay) и прямая b с направляющим вектором b→(bx, by). Теперь отложим два вектора a→ и b→ от точки пересечения. После этого мы увидим, что они будут располагаться каждый на своей прямой. Тогда у нас есть четыре варианта их взаимного расположения. См. иллюстрацию:

Если угол между двумя векторами не является тупым, то он и будет нужным нам углом между пересекающимися прямыми a и b. Если же он тупой, то искомый угол будет равен углу, смежному с углом a→, b→^. Таким образом, α=a→, b→^ в том случае, если a→, b→^≤90° , и α=180°-a→, b→^, если a→, b→^>90°.
Исходя из того, что косинусы равных углов равны, мы можем переписать получившиеся равенства так: cos α=cos a→, b→^, если a→, b→^≤90°; cos α=cos180°-a→, b→^=-cosa→, b→^, если a→, b→^>90°.
Во втором случае были использованы формулы приведения. Таким образом,
cos αcosa→, b→^, cosa→, b→^≥0-cosa→, b→^, cosa→, b→^<0⇔cos α=cosa→, b→^
Запишем последнюю формулу словами:
Определение 3
Random_Hero 09-03-2020 Ответить

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k1x + b1 и y2 = k2x + b2, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x1)/m1 = (y-y1)/n1 и (x-x2)/m2 = (y-y2)/n2, вычисляется по формуле:

Формулы определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.
Инструкция для нахождения угла между двумя прямыми. Выберите вариант задания исходных данных, нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в формате Word.
webmn 09-03-2020 Ответить

Существует множество разнообразных задач, в которых приходится находить угол между пересекающимися прямыми. В зависимости от условий этих задач подбирается подходящий метод решения.
Можно использовать методы геометрии. К примеру, если известны какие-либо дополнительные углы, то можно пробовать связать их с искомым углом между пересекающимися прямыми, отталкиваясь от равенства или подобия фигур. Если известны стороны треугольника и требуется найти угол между пересекающимися прямыми, на которых лежат стороны треугольника, то можно использовать теорему косинусов. При наличии прямоугольных треугольников отыскать угол между пересекающимися прямыми помогают определения синуса, косинуса и тангенса угла. Много подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе.
Для нахождения углов между пересекающимися прямыми также прекрасно подходит метод координат. Давайте детально разберем его.
Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy, заданы две прямые a и b уравнениями прямых некоторого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости), которые пересекаются в точке М, и требуется определить угол между пересекающимися прямыми a и b. Обозначим искомый угол между пересекающимися прямыми как .
Решим поставленную задачу.
Для начала опишем принцип нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости в заданной системе координат Oxy.
Мы знаем, что от прямой линии на плоскости в прямоугольной системе координат неотделим направляющий вектор прямой и нормальный вектор прямой, и мы можем по заданному уравнению прямой на плоскости определить координаты ее направляющего и нормального вектора. Таким образом, у нас есть возможность получить координаты направляющих и нормальных векторов заданных пересекающихся прямых.
Угол между заданными пересекающимися прямыми может быть найден через
угол между направляющими векторами этих прямых;
угол между нормальными векторами прямых;
угол между направляющим вектором одной прямой и нормальным вектором другой прямой.
Разберем каждый случай.
Пусть – направляющий вектор прямой a, – направляющий вектор прямой b. Если отложить векторы и от точки пересечения прямых, то они будут лежать на прямых a и b соответственно, и возможны четыре варианта их расположения относительно пересекающихся прямых a и b, изображенные на рисунке ниже.

Очевидно, если угол между векторами и не тупой, то он равен углу между пересекающимися прямыми a и b. Если же угол между направляющими векторами прямых a и b тупой, то угол между пересекающимися прямыми a и b равен углу, смежному с углом . То есть, , если , а , если .
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде: , если , а (в последнем переходе мы использовали формулы приведения), если . Следовательно, , то есть, косинус угла между пересекающимися прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами пересекающихся прямых.
Формула для вычисления косинуса угла между векторами и имеет вид .
Тогда косинус угла между двумя пересекающимися прямыми a и b мы можем найти по формуле ,
а сам угол между пересекающимися прямыми – по формуле ,
где и – направляющие векторы прямых а и b соответственно.
Разберем решение примера.
timeokradio 09-03-2020 Ответить

Угол между пересекающимися прямыми

Углом между пересекающимися прямыми, называется наименьший из углов, образованных при пересечении этих прямых (если при пересечении образовались четыре равных угла, то прямые перпендикулярны).

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.
(Одну из прямых можно вполне и не переносить параллельно самой себе, а ограничиться только параллельным переносом одной из прямых до пересечения со второй).

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на плоскость

Угол между плоскостями

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.
Этот угол не зависит от выбора такой плоскости.
Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю.
sauree 09-03-2020 Ответить

Скрещивающиеся прямые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях, и поместить их в одну плоскость невозможно.

Часто в задачах требуется найти угол между скрещивающимися прямыми. Как это сделать?
Угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, найти нетрудно. Можно измерить его транспортиром. Можно найти из какого-нибудь треугольника по теореме синусов или косинусов.
Пусть скрещивающиеся прямые a и b лежат в параллельных плоскостях ? и ?. Проведем в плоскости ? прямую с, параллельную прямой а. Угол между прямыми а и b равен углу между прямыми b и с.

Можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми — это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Другими словами, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат.
Дадим еще два полезных определения.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из любой точки этой прямой.
Заметим, что расстояние от точки до плоскости или угол между скрещивающимися прямыми иногда проще найти с помощью координатно-векторного метода.
Читаем дальше: Теорема о трех перпендикулярах.
ghostw32 09-03-2020 Ответить

Так как угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол между пересекающимися прямым, то нахождение угла между скрещивающимися прямыми сводится к нахождению угла между соответствующими пересекающимися прямыми в трехмерном пространстве.
Несомненно, для нахождения угла между скрещивающимися прямыми подходят методы, изучаемые на уроках геометрии в средней школе. То есть, выполнив необходимые построения, можно связать искомый угол с каким-либо известным из условия углом, основываясь на равенстве или подобии фигур, в некоторых случаях поможет теорема косинусов, а иногда к результату приводит определение синуса, косинуса и тангенса угла прямоугольного треугольника.
Однако очень удобно решать задачу нахождения угла между скрещивающимися прямыми методом координат. Именно его и рассмотрим.
Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz (правда, во многих задачах ее приходится вводить самостоятельно).
Поставим перед собой задачу: найти угол между скрещивающимися прямыми a и b, которым соответствуют в прямоугольной системе координат Oxyz некоторые уравнения прямой в пространстве.
Решим ее.
Возьмем произвольную точку трехмерного пространства М и будем считать, что через нее проходят прямые a1 и b1, параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно. Тогда искомый угол между скрещивающимися прямыми a и b равен углу между пересекающимися прямыми a1 и b1 по определению.
Таким образом, нам осталось найти угол между пересекающимися прямыми a1 и b1. Чтобы применить формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве нам нужно знать координаты направляющих векторов прямых a1 и b1.
Как же мы их можем получить? А очень просто. Определение направляющего вектора прямой позволяет утверждать, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Следовательно, в качестве направляющих векторов прямых a1 и b1 можно принять направляющие векторы и прямых a и b соответственно.
Координаты векторов и определяются либо по известным из условия уравнениям прямых a и b (смотрите раздел координаты направляющего вектора прямой), либо по известным из условия координатам двух точек прямых a и b (здесь может быть полезна теория раздела координаты вектора через координаты точек его начала и конца).
Итак, угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется по формуле , где и – направляющие векторы прямых a и b соответственно.
Формула для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми a и b имеет вид .
Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла между скрещивающимися прямыми, если известен косинус: .
Осталось разобрать решения примеров.
dx23 09-03-2020 Ответить

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Итак, пусть прямая l проходит через точку М1(x1, y1, z1), лежащую
на прямой параллельно вектору .
Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z)
на прямой. Из рисунка видно, что .
Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что ,
где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М1 и
М соответственно через и ,
получаем .
Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно
показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор
некоторой точки М, лежащей на прямой.
Запишем это уравнение в координатной форме.
Заметим, что ,
и отсюда
Полученные уравнения называются параметрическими
уравнениями прямой.
При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М1(x1, y1, z1) – точка,
лежащая на прямой l, и –
её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .
Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты
должны быть пропорциональны, следовательно,
– канонические
уравнения прямой.
Замечание 1. Заметим, что канонические
уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем или .
Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.
Обозначим ,
отсюда x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Замечание 2. Пусть прямая
перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда
направляющий вектор прямой перпендикулярен
Ox,
следовательно, m=0. Следовательно,
параметрические уравнения прямой примут вид
Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально
записывать канонические уравнения прямой в виде.
Таким образом, еслив знаменателе одной
из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая
перпендикулярна соответствующей координатной оси.
Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz.
Примеры.
Составить канонические и параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку М1(1;0;-2) параллельно вектору .
Канонические уравнения: .
Параметрические уравнения:
Составить уравнения прямой,
проходящей через две точки М1(-2;1;3), М2(-1;3;0).
Составим канонические уравнения прямой. Для
этого найдем направляющий вектор . Тогда l: .
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые
две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения
любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой
уравнения этой прямой.
Idimmu 09-03-2020 Ответить

Методические материалы

Номер
Название
Описание
1.
Технологическая карта

Теория

Номер
Название
Описание
1.
Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
Теоретический материал.

Задания

Номер
Название
Вид
Сложность
Баллы
Описание
1.
Bзаимноe расположение рёбер куба
1 вид – рецептивный
лёгкое
1 Б.
Определяет взаимное расположение прямых в пространстве, используя куб и рёбра куба.
2.
Bзаимноe расположениe прямых и плоскостей в пирамиде
1 вид – рецептивный
среднее
5 Б.
Умеет определить взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, используя свойства правильной четырёхугольной пирамиды.
3.
Построение рисунка с данным расположением прямых
1 вид – рецептивный
лёгкое
1 Б.
Умеет преобразовать информацию из данного текста на соответствующий рисунок и определить взаимное расположение прямых в пространстве.
4.
Bзаимноe расположениe прямых
2 вид – интерпретация
среднее
1 Б.
Определяет взаимное расположение прямых в пространстве.
5.
Квадрат и прямая вне плоскости квадрата
2 вид – интерпретация
среднее
2 Б.
Определяет угол между пересекающимися и скрещивающимися прямыми, используя свойства квадрата.
6.
Bзаимноe расположениe прямых в призме шестиугольника
2 вид – интерпретация
среднее
3 Б.
Умеет определить взаимное расположение прямых в пространстве, используя свойства правильной шестиугольной призмы.
7.
Угoл между диагоналями граней куба
3 вид – анализ
сложное
1 Б.
Определяет угол между пересекающимися и скрещивающимися прямыми в кубе.
8.
Угoл между прямыми в кубе
3 вид – анализ
сложное
1 Б.
Умеет определить и рассчитать угол между прямыми, используя свойства куба.
9.
Угoл между прямыми в призме треугольника
3 вид – анализ
сложное
2 Б.
Умеет определить и рассчитать угол между прямыми в пространстве, используя свойства правильной треугольной призмы.

Тесты

Номер
Название
Рекомендованное время:
Сложность
Баллы
Описание
1.
Тренировка по теме Взаимное расположение прямых в пространстве, угол между прямыми
00:15:00
среднее
3 Б.

Проверочные тесты (скрыты от учеников)

Номер
Название
Рекомендованное время:
Сложность
Баллы
Описание
1.
Домашняя работа по теме Взаимное расположение прямых в пространстве, угол между прямыми
00:20:00
среднее
8 Б.
Проверяет умение определять взаимное расположение прямых в пространстве, определить и рассчитать угол между прямыми в пространстве и преобразовать информацию с данного текста на соответствующий рисунок.
2.
Проверочная работа по теме Взаимное расположение прямых в пространстве, угол между прямыми
00:25:00
среднее
15 Б.
Проверяет знание всех случаев взаимного расположения прямых в пространстве — определение, название, свойства. Умение определить взаимное расположение прямых в пространстве, определить и рассчитать угол между прямыми в пространстве.
vglta551 09-03-2020 Ответить

Продолжаем рассматривать эти бесконечные-бесконечные прямые. На уроке Уравнение прямой на плоскости мы познакомились с основными видами уравнений, направляющим вектором прямой и её вектором нормали. Данная статья является логическим продолжением темы, и в ней будут разобраны следующие типовые задачи, для опытных путешественников сразу кликабельное оглавление:
Как определить взаимное расположение двух прямых?
Как построить прямую, параллельную данной?
Как найти точку пересечения двух прямых?
Как построить прямую, перпендикулярную данной?
Как найти расстояние от точки до прямой?
Как построить точку, симметричную относительно прямой?
Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?
Как найти угол между двумя прямыми?
О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.

Взаимное расположение двух прямых

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут:
1) совпадать;
2) быть параллельными: ;
3) или пересекаться в единственной точке: .
Справка для чайников: пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .

Как определить взаимное расположение двух прямых?

Начнём с первого случая:
Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства
Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.
Действительно, если все коэффициенты уравнения умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .
Второй случай, когда прямые параллельны:
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но .
В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :

Однако совершенно очевидно, что .
Вывод:
И третий случай, когда прямые пересекаются:
Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства
Так, для прямых составим систему:

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.
Вывод: прямые пересекаются
В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов. Но существует более цивилизованная упаковка:
Пример 1
Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:
а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: .
Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.
На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:
1) Если мало что понятно, начните со статьи Векторы для чайников.
2) Если не понятно, как находить направляющие векторы прямых, прошу посетить урок Уравнение прямой на плоскости.
3) Если неясно, причём тут определитель, вам сюда – Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов.
Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)
б) Найдем направляющие векторы прямых :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.
Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .
Выясним, справедливо ли равенство :

Таким образом,
в) Найдем направляющие векторы прямых :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.
Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: .
Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).
Таким образом, прямые совпадают.
Ответ:
Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент:

Как построить прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.
Пример 2
Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .
Решение: Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».
Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ:
Геометрия примера выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:
1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .
Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.
Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.
Пример 3
Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если
Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.
С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:

Как найти точку пересечения двух прямых?

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений
Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.
Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.
Пример 4
Найти точку пересечения прямых
Решение: Существуют два способа решения – графический и аналитический.
Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:

Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений с двумя уравнениями, двумя неизвестными.
Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.
Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:

Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?
Ответ:
Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.
Пример 5
Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.
Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.
Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.
Полное решение и ответ в конце урока:
Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока:

Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми

Начнём с типовой и очень важной задачи. В первой части мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, а сейчас избушка на курьих ножках развернётся на 90 градусов:

Как построить прямую, перпендикулярную данной?

Пример 6
Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .
Решение: По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:
Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .
Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ:
Развернём геометрический этюд:

М-да… Оранжевое небо, оранжевое море, оранжевый верблюд.
Аналитическая проверка решения:
1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения векторов приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .
Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .
Проверку, опять же, легко выполнить устно.
Пример 7
Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение и точка .
Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.
Наше увлекательное путешествие продолжается:

Расстояние от точки до прямой

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.
Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».
Расстояние от точки до прямой выражается формулой

Пример 8
Найти расстояние от точки до прямой
Решение: всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ:
Выполним чертёж:

Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.
Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:

Как построить точку, симметричную относительно прямой?

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой . Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:
1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .
2) Находим точку пересечения прямых: .
Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока.
3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим .
Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам.
Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова.

Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?

Пример 9
Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать.

Угол между двумя прямыми

Что ни угол, то косяк:

В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный «малиновый» угол .
Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4 углов.
Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .
Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).
Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы:
Пример 10
Найти угол между прямыми
Решение и Способ первый
Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Если прямые не перпендикулярны, то ориентированный угол между ними можно вычислить с помощью формулы:

Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение направляющих векторов прямых:

Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.
Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:
1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Угол между прямыми найдём по формуле:

С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций):

Ответ:
В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.
Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.
Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения , а коэффициенты взять из первого уравнения . Короче говоря, начать необходимо с прямой .
Утаивать не буду, сам подбираю прямые в том порядке, чтобы угол получился положительным. Так красивее, но не более того.
Для проверки решения можно взять транспортир и измерить угол.
Способ второй
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом и не перпендикулярны, то ориентированный угол между ними можно найти с помощью формулы:

Условие перпендикулярности прямых выражается равенством , откуда, кстати, следует очень полезная взаимосвязь угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: , которая используется, в частности при нахождении уравнения нормали.
Алгоритм решения похож на предыдущий пункт. Но сначала перепишем наши прямые в нужном виде:

Таким образом, угловые коэффициенты:
1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Используем формулу:

Ответ:
Второй способ уместно использовать тогда, когда уравнения прямых изначально заданы с угловым коэффициентом. Следует отметить, что если хотя бы одна прямая параллельна оси ординат, то формула не применима вообще, поскольку для таких прямых угловой коэффициент не определён (см. статью Уравнение прямой на плоскости).
Есть и третий способ решения. Идея состоит в том, чтобы вычислить угол между направляющими векторами прямых с помощью формулы, рассмотренной на уроке Скалярное произведение векторов:

Здесь уже речь идёт не об ориентированном угле, а «просто об угле», то есть результат заведомо будет положительным. Загвоздка состоит в том, что может получиться тупой угол (не тот, который нужен). В этом случае придётся делать оговорку, что угол между прямыми – это меньший угол, и из «пи» радиан (180 градусов) вычитать получившийся арккосинус.
Желающие могут прорешать задачу третьим способом. Но я рекомендую всё-таки придерживаться первого подхода с ориентированным углом, по той причине, что он широко распространён.
Пример 11
Найти угол между прямыми .
Это пример для самостоятельного решения. Попробуйте решить его двумя способами.
Как-то заглохла по ходу дела сказка…. Потому что нет никакого Кащея Бессмертного. Есть я, причём, не особо запаренный. Если честно, думал, статья значительно длиннее выйдет. Но все равно возьму недавно приобретенную шапочку с очками и пойду купаться в сентябрьской озёрной воде. Отлично снимает усталость и негативную энергетику.
До скорых встреч!
И помните, Бабу-Ягу никто не отменял =)
Решения и ответы:
Пример 3: Решение: Найдём направляющий вектор прямой :

Уравнение искомой прямой составим по точке и направляющему вектору . Так как одна из координат направляющего вектора нулевая, уравнение перепишем в виде:

Ответ:
Пример 5: Решение:
1) Уравнение прямой составим по двум точкам :

2) Уравнение прямой составим по двум точкам :

3) Соответствующие коэффициенты при переменных не пропорциональны: , значит, прямые пересекаются.
4) Найдём точку :

Примечание: здесь первое уравнение системы умножено на 5, затем из 1-го уравнения почленно вычтено 2-е.
Ответ:
Пример 7: Решение:
1) Найдём нормальный вектор прямой: .
2) Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

3) Найдём точку пересечения прямых :

Примечание: второе уравнение умножено на 4, затем уравнения сложены почленно.
Ответ:
Пример 9: Решение: Расстояние между параллельными прямыми найдём как расстояние от точки до прямой. Для этого достаточно найти одну точку, принадлежащую любой из прямых. В целях удобного подбора точки перепишем уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом: . Точка . Вычислим расстояние:

Последним действием числитель и знаменатель умножен на – чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.
Ответ:
Пример 11: Решение:
Способ первый
1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Угол между прямыми найдём с помощью формулы:

Таким образом:

Ответ:
Способ второй применить нельзя, так как прямая параллельна оси ординат, и её угловой коэффициент не определён.
Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
Как можно отблагодарить автора?
Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com
Ckolis 09-03-2020 Ответить

Об угле между прямыми в пространстве можно говорить в двух случаях: если прямые пересекаются и если они скрещиваются.

Пересекающиеся прямые l и l1 образуют две пары вертикальных углов. В этом случае углом между прямыми называют один из пары меньших вертикальных углов.
Если прямые скрещиваются (l2 и l3 ), то в углом между прямыми называется угол между пересекающимися прямыми (l2 и m ), который получается в результате параллельного переноса одной из прямых ( l3 ) так, чтобы она пересекала вторую прямую.
В обоих случаях, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых или 1800 – .
Пусть направляющие вектора прямых заданы своими координатами и .
Тогда для вычисления величины угла между прямыми получаем формулу:

(21)
setrus 09-03-2020 Ответить

тогда угол между двумя прямыми находится по формуле:
$\tan \theta = {\text{tan}}\left( {{\alpha _2} — {\alpha _1}} \right) =$
$\frac{{tan{\alpha _2} — tan{\alpha _1}}}{{1 + tan{\alpha _2}tan{\alpha _1}}} = \frac{{{k_2} — {k_1}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}$
таким образом, конечная формула угла между двумя прямыми равна:

Это выражение даёт угол, на который надо повернуть первую прямую L1, чтобы она стала параллельной второй прямой L2
Примечание 1
Если хотя бы одна из прямых L1, L2 параллельна оси OY, то выше написанная формула неприменима.
В этом случае угол θ определяется следующим образом:
1. Если прямая L2 параллельна оси OY, а прямая L1 не параллельна, то применяется формула

2. Если прямая L1 параллельно оси OY, а прямая L2 не параллельна, то применяется формула

3. Если прямая L1 и прямая L2 параллельны оси OY, то они и параллельны друг другом, так что
tgθ = 0
Примечание 2
Угол между прямыми, заданными уравнениями
A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0
можно найти по формуле

В случае, если A1A2+B1B2=0, то угол θ=±90
Примечание 3
Если прямые перпендикулярны (θ=±90), то выражение 1+k1k2, находящиеся в знаменателе, равно в нулю и тогда θ надо считать равным ±90
Пример 1
Найти угол между прямыми y=3x-2 и y=-2x+3.
Решение
Здесь k1=3, k2=-2
$\tan \theta = \frac{{{k_2} — {k_1}}}{{1 + {k_1}{k_2}}} =$
$\frac{{ — 2 — 3}}{{1 + 3\cdot\left( { — 2} \right)}} = 1$
Отсюда θ=+450
Пример 2
Найти угол между прямыми y=2x−1 и y=−1/2x+5
Решение
Здесь k1=2, k2=−1/2
$\tan\theta = \frac{{{k_2} — {k_1}}}{{1 + {k_1}{k_2}}} = $
$\frac{{ — \frac{1}{2} — 2}}{{1 + \left( { — \frac{1}{2}} \right)\cdot2}} = \frac{{ — 2\frac{1}{2}}}{0}$
Отсюда из примечания 3 следует, что θ=±900
VideoAnswer 09-03-2020 Ответить
VideoAnswer 09-03-2020 Ответить
VideoAnswer 09-03-2020 Ответить
VideoAnswer 09-03-2020 Ответить

Как определить угол между двумя прямыми в пространстве?

20 ответов на вопрос “Как определить угол между двумя прямыми в пространстве?”

Добавить ответ Отменить ответ