Как проверить функцию на четность и нечетность?

12 ответов на вопрос “Как проверить функцию на четность и нечетность?”

  1. karchik Ответить

    Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента. Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения. Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».
    Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:
    Область определения — D (f).
    Виды.
    Правила.
    Свойства для четных и нечетных.
    Классификация.
    Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность. Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения. Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.

    Область определения


    Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.
    D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.
    Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.

    Основные виды

    Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:
    Простые: алгебраические, трансцендентные и тригонометрические.
    Составные или сложные.
    Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел. Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной. Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.

    Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.
    Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.
    Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.

    Правила для выявления


    Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.
    Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:
    Разложить при необходимости на простые элементы.
    Определить D (z). Если ее график симметричный, то нужно переходить к следующему шагу. В противном случае результатом является функция общего вида.
    Проверить, подставив в выражение отрицательное значение аргумента w (-x).
    Выполнить сравнение: w (-x) = w (x).
    Сделать соответствующий вывод.
    Если w (-x) = w (x), то это свидетельствует о четности. При выполнении тождества w (-x) = -w (x) функция является нечетной. Важно обратить внимание на D, поскольку в некоторых точках равенства и условия могут не выполняться. Это свидетельствует о том, что искомая функция принадлежит к общему виду, то есть не является четной и нечетной.
    Одним интересным способом является графический метод (принцип). Для его реализации нужно выполнить построение графика. Если он будет симметричным относительно оси ординат ОУ, то равенство w (-x) = w (x) будет выполняться. В случае симметричности относительно начала системы координат (точка пересечения осей абсцисс и ординат), будет справедливым равенство w (-x) = -w (x).

  2. pitkin1101 Ответить

    Задание
    Используя определение исследовать на четность и нечетность следующие функции

    Решение
    1) Рассмотрим значение функции в точке :

    Для заданной функции выполняется условие , следовательно, она четная.
    2) Найдем значение функции в точке :

    Для этой функции выполняется условие , следовательно, она является нечетной.
    3) Найдем значение функции в точке :

    Таким образом, , значит, функция не является ни четной, ни нечетной.
    Ответ
    1) — четная;
    2) — нечетная;
    3) — ни четная, ни нечетная.

  3. A_Egorov Ответить


    Начало

    Поиск по сайту

    ТОПы

    Учебные заведения

    Предметы

    Проверочные работы

    Обновления

    Новости

    Переменка
    Отправить отзыв

  4. multizero Ответить

    Алгебра
    Глава 11. Основные тригонометрические формулы.
    11.3. Четность и нечетность функций.
    Определение
    Функция называется четной, если:
    1) область определения функции симметрична относительно нуля, т.е. для любого , принадлежащего области определения, также принадлежит области определения;
    2) при замене значения аргумента нa противоположное значение функции не изменится, т.е. для любого из области определения функции.
    Примеры четных функций: 1) , так как ; 2) и др.
    График четной функции симметричен относительно оси ординат (например, парабола ).
    Определение
    Функция называется нечетной, если:
    1) область определения функции симметрична относительно нуля, т.е. для любого , принадлежащего области определения, также принадлежит области определения;
    2) для любого из области определения функции.
    Примеры нечетных функций: 1) , так как при получим ; 2) , так как ; 3) , так как .
    График нечетной функции симметричен относительно начала координат (например, прямая , гипербола ).
    Замечание.
    Существуют функции, которые не являются ни чет­ными, ни нечетными, например, (при замене на у них изменяется абсолютная величина значения функции).
    (рис.21)
    Возьмем в единичном круге два угла и , равные по абсолютной величине и противоположные по знаку. Их радиус-векторы и симметричны относительно оси , абсциссы совпадают и поэтому их косинусы равны; ординаты и отличаются только знаками, поэтому
    ;
    .
    Итак, синус — нечетная, а косинус — четная функция. Тангенс и котангенс — нечетные функции:
    ;
    .
    Применим свойства четности и нечетности тригонометрических функций вместе со свойством их периодичности, по которому аргумент можно увеличить или уменьшить на любое целое число периодов и при этом значение функции не изменится.
    ;
    ;
    ;
    .

  5. elefox Ответить

    Число : Pi
    Число : E
    Бесконечность : Infinity или inf

    Основные функции


    : x^a
    модуль x: abs(x)
    : Sqrt[x]
    : x^(1/n)
    : a^x
    : Log[a, x]
    : Log[x]
    : cos[x] или Cos[x]
    : sin[x] или Sin[x]
    : tan[x] или Tan[x]
    : cot[x] или Cot[x]
    : sec[x] или Sec[x]
    : csc[x] или Csc[x]
    : ArcCos[x]
    : ArcSin[x]
    : ArcTan[x]
    : ArcCsc[x]
    : cosh[x] или Cosh[x]
    : sinh[x] или Sinh[x]
    : tanh[x] или Tanh[x]
    : coth[x] или Coth[x]
    : sech[x] или Sech[x]
    : csch[x] или Csch[е]
    : ArcCosh[x]
    : ArcSinh[x]
    : ArcTanh[x]
    : ArcCoth[x]
    : ArcSech[x]
    : ArcCsch[x]
    : ArcCot[x]
    : ArcSec[x]

  6. zamalatb Ответить

    Определения и свойства четных и нечетных функций
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ
    Функция
    \(\
    f(x)
    \) называется четной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство \(\
    f(-x)=f(x)
    \)
    Функция \(\
    f(x)
    \) называется нечетной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство \(\
    f(-x)=-f(x)
    \)
    Если ни одно из условий \(\
    f(-x)=f(x)
    \) или \(\
    f(-x)=-f(x)
    \) не выполняется, то говорят, что функция \(\
    f(x)
    \) не является ни четной, ни нечетной (или функцией общего вида)
    График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
    При исследовании функции на четность и нечетность можно использовать следующие свойства:
    1.Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных функций нечетна.
    2.Произведение двух четных функций является четной функцией, равно как и произведение двух нечетных функций. Произведение четной и нечетной функции — нечетная функция.
    3.Если функция \(\
    f(x)
    \) четная (нечетная), то и функция \(\
    \frac{1}{f(x)}
    \) четная (нечетная).
    Примеры решения задач
    ПРИМЕР 1
    Задание
    Используя определение исследовать на четность и нечетность следующие функции
    \(\
    f_{1}(x)=2 x^{4}-3 x^{2}+6 ; 2 ) f_{2}(x)=8 x^{3}-7 x ; 3 ) f_{3}(x)=x^{4}-4 x+5
    \)
    Решение
    1) Рассмотрим значение функции \(\
    f_{1}(x)=2 x^{4}-3 x^{2}+6
    \) в точке \(\
    (-x)
    \) :
    \(\
    f_{1}(x)=2 x^{4}-3 x^{2}+6
    \)
    Для заданной функции выполняется условие \(\
    f_{1}(-x)=f_{1}(x)
    \) ,следовательно, она четная.
    2) Найдем значение функции \(\
    f_{2}(x)=8 x^{3}-7 x
    \) в точке \(\
    (-x)
    \) :
    \(\
    f_{2}(-x)=8 \cdot(-x)^{3}-7 \cdot(-x)=-8 x^{3}+7 x=-\left(8 x^{3}-7 x\right)=-f_{2}(x)
    \)
    Для этой функции выполняется условие \(\
    f_{2}(-x)=-f_{2}(x)
    \),следовательно, она является нечетной.
    3) Найдем значение функции \(\
    f_{3}(x)=x^{4}-4 x+5
    \) в точке \(\
    (-x)
    \) :
    \(\
    f_{3}(-x)=(-x)^{4}-4 \cdot(-x)+5=x^{4}+4 x+5
    \)
    Таким образом, \(\
    f_{3}(-x) \neq f_{3}(x) ; f_{3}(-x) \neq-f_{3}(x)
    \) , значит, функция \(\
    f_{3}(x)=x^{4}-4 x+5
    \) не является ни четной, ни нечетной.
    Ответ
    1) \(\
    f_{1}(x)=2 x^{4}-3 x^{2}+6
    \) — четная;
    2) \(\
    f_{2}(x)=8 x^{3}-7 x
    \) — нечетная;
    3) \(\
    f_{3}(x)=x^{4}-4 x+5
    \) — ни четная, ни нечетная.
    ПРИМЕР 2
    Задание
    Исследовать функцию \(\
    f(x)=\frac{x^{2}+4}{3 x^{6}+x^{4}+7}
    \) на четность, используя свойства четных и нечетных функций.
    Решение
    Исследуем отдельно четность функции, которые находятся в числителе и знаменателе:
    \(\
    g(-x)=(-x)^{2}+4=x^{2}+4=g(x)
    \)
    то есть функция \(\
    g(x)
    \) четная; аналогично
    \(\
    h(-x)=3(-x)^{6}+(-x)^{4}+7=3 x^{6}+x^{4}+7=h(x)
    \)
    а тогда и функция \(\
    h(x)
    \) четная.
    По свойству 3, так как \(\
    h(x)
    \) — четная, то четной будет и функция \(\
    \frac{1}{h(x)}=\frac{1}{3 x^{6}+x^{4}+7}
    \) .Тогда исходную функцию \(\
    f(x)
    \) можно представить в виде произведения четных функций \(\
    f(x)=g(x) \cdot \frac{1}{h(x)}
    \) , следовательно, по свойству 2, \(\
    f(x)
    \) — четная.
    Ответ
    Исследованная функция четная.

  10. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *