Как установить равны два треугольника или нет?

27 ответов на вопрос “Как установить равны два треугольника или нет?”

  1. in_memory Ответить

    В этом случае ? ABC=? C1B1A1.
    Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон и соответствующих углов.
    Получается, что
    1)?A =?С1;               3) AB =C1B1;         
    2)?B =?B1;               4) BC =B1A1;                  
    3)?C =?A1;                5) AC =C1A1.
    Но эти равенства не верны! (точнее, не все верны). Значит, треугольники ABC и C1B1A1 не равны.
    В этом легко убедиться опытным путем. Вырежьте из бумаги два одинаковых разносторонних треугольника. Подпишите их углы A, B, C и A1, B1,C1 таким образом, чтобы ?A=?A1, ?B=?B1, ?C=?C1. Совместив треугольники, убедитесь, что при наложении они совпадают, а значит, равны. Теперь приложите к углу A угол B1 , к углу C — угол A1. Эти треугольники уже не совпадут.
    В именах людей место каждой буквы важно. К примеру, имена «Аня» и «Яна» состоят из одинаковых букв, но никто не станет называть Аню Яной, и наоборот.
    В «имени» треугольников позиция каждой  буквы не менее значима.
    Когда нужно доказать, что два треугольника равны, первый треугольник называем произвольно. А вот название второго треугольника уже нужно продумывать и подбирать правильно, чтобы равные углы и равные стороны стояли на одинаковых позициях.

  2. Graniath Ответить

    Из школьного курса геометрии хорошо известен признак
    равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а именно:

    Если две стороны и угол между ними одного треугольника
    соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то
    такие треугольники равны (рис. 1).
    Естественно поставить вопрос о том, будут ли равны
    треугольники, если соответствующие равные углы в треугольниках не заключены
    между равными сторонами. Верно ли, что если две стороны и угол одного
    треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то
    такие треугольники равны.
    Оказывается это неверно. Приведем пример. Рассмотрим
    окружность и ее хорду AB (рис. 2). С центром в
    точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых
    точках C и C1. Тогда в треугольниках ABC и ABC1 AB — общая
    сторона, AC = AC1,     С
    =     С1,
    однако треугольники ABC и ABC1 не равны.

    В формулировки признаков равенства треугольников можно
    включать не только стороны и углы, но и другие элементы треугольников.
    Рассмотрим несколько формулировок признаков равенства треугольников по трем
    элементам, включающим стороны, углы, высоты, биссектрисы и медианы
    треугольников. Выясним справедливость соответствующих признаков.
    Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота,
    опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу,
    стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 С = С1, AB = A1B1, высота AH равна высоте A1H1 (рис. 3). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
    Прямоугольные треугольники ABH и A1B1H1
    равны по катету и гипотенузе. Значит, B
    = B1.
    Учитывая, что С
    = С1,
    имеем равенство A
    = A1.
    Таким образом, в треугольниках ABC и A1B1C1
    AB = A1B1,
    A
    = A1,
    B
    = B1.
    Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум
    прилежащим к ней углам.

    Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота,
    опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника
    соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника (рис. 4).

    Приведем пример, показывающий, что равенства указанных
    элементов треугольников не достаточно для равенства самих треугольников.
    Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A1B1H1
    (H
    = H1
    = 90o), в которых
    AB = A1B1,
    B
    = B1,
    AH = A1H1
    (рис. 5). На продолжениях сторон BH и B1H1
    отложим неравные отрезки HC и H1C1.
    Тогда в треугольниках ABC и A1B1C1
    AB = A1B1,
    B
    = B1,
    высоты AH и A1H1
    равны, однако сами треугольники не равны.




    Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного
    треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника,
    то такие треугольники равны.

    Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1
    AC = A1C1, BC =
    B1C1,
    медиана СM равна медиане С1M1
    (рис. 6). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1
    равны.
    Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и
    M1D1 = C1M1
    (рис. 6).
    Четырехугольники ACBD и A1С1B1D1 —
    параллелограммы. Треугольники ACD и A1C1D1
    равны по трем сторонам. Следовательно,
    ACD
    = A1C1D1.
    Аналогично, треугольники BCD и B1C1D1
    равны по трем сторонам. Следовательно,
    BCD =
    B1C1D1.
    Значит, С
    = С1
    и треугольники ABC и A1B1C1
    равны по двум сторонам и углу между ними.

    Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана,
    проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу,
    стороне и медиане другого треугольника (рис. 7).


    Приведем пример, показывающий, что равенства указанных
    элементов не достаточно для равенства самих треугольников.
    Рассмотрим окружность с центром в точке M (рис. 8).
    Проведем два диаметра AB и A1B1.
    Через точки A, A1, M проведем еще одну
    окружность и выберем на ней точку C, как показано на рисунке. В
    треугольниках ABC и A1B1C
    AB = A1B1,
    A
    = A1,
    медиана СM — общая. Однако треугольники ABC и
    A1B1C не равны.



    Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим
    сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам
    другого треугольника, то такие треугольники равны.
    Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1AB
    = A1B1, медиана AM равна медиане A1M1,
    медиана BK равна медиане B1K1 (рис.
    9). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1
    равны.
    Точки O и O1 пересечения медиан
    данных треугольников делят медианы в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит,
    треугольники ABO и A1B1O1
    равны по трем сторонам. Следовательно,
    BAO =
    B1A1O1,
    значит, треугольники ABM и A1B1M1
    равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому
    ABC =
    A1B1C1.
    Аналогично доказывается, что
    BAC
    = B1A1C1.
    Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1
    равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

    Пусть угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного
    треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника
    (рис. 10).

    Приведем пример, показывающий, что равенства указанных
    элементов не достаточно для равенства самих треугольников.
    Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в
    точках O1 и O2, касающиеся друг друга в
    точке M (рис. 11).

    Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM,
    пересекающую вторую окружность в некоторой точке C. Проведем отрезок
    BC    . Получим треугольник ABC. Проведем в нем медиану CK и
    обозначим O точку, делящую ее в отношении 2 : 1, считая от вершины C.
    Проведем окружность с центром в точке O, радиуса OC, пересекающую
    вторую окружность в точке C1. Проведем прямую C1M
    и обозначим A1 ее точку пересечения с первой окружностью.
    Обозначим K1 точку пересечения хорды A1B
    и прямой C1O. В треугольниках ABC и A1BC1
    A
    = A1,
    медианы CK и C1K1 равны, медиана
    BM     — общая. Однако треугольники ABC и A1BC1
    не равны.
    Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного
    треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого
    треугольника, то такие треугольники равны.
    Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1
    AC = A1C1, BC =
    B1C1,
    биссектриса CD равна биссектрисе С1D1.
    Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1
    равны.
    Продолжим стороны AC и A1C1
    и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C1E1
    = B1C1 (рис. 12). Тогда
    Треугольники BCE и B1C1E1
    равны по трем сторонам. Значит, E
    = E1
    и BE = B1E1. Треугольники ABE
    и A1B1E1 равны по двум
    сторонам и углу между ними. Значит, AB = A1B1.
    Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1
    равны по трем сторонам.

    Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса,
    проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника
    соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника (рис. 13).

    Пример треугольников ABC и ABC1,
    изображенных на рисунке 14, показывает, что равенства указанных элементов не
    достаточно для равенства самих треугольников.
    Действительно, в треугольниках ABC и ABC1
    B —
    общий, AB — общая сторона, биссектрисы AD и AD1
    равны. Однако треугольники ABC и ABC1 не равны.



    Пусть сторона, медиана и высота, проведенные к двум другим
    сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте
    другого треугольника (рис. 15).

    Приведем пример, показывающий, что равенства указанных
    элементов не достаточно для равенства самих треугольников.
    Для этого рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре
    A     этой окружности (рис. 16). Отложим на его стороне отрезок AB,
    больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную
    другой стороне угла, и пересекающую окружность в некоторых точках M и
    M    1. Проведем прямые BM, BM1 и точки их
    пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и C1.
    Тогда в треугольниках ABC и ABC1 сторона AB —
    общая, высота BH — общая, медианы AM и AM1
    равны, однако треугольники ABC и ABC1 не равны.

    Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота,
    проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне,
    медиане и высоте другого треугольника.

    Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1
    AC = A1C1, медианы CM и C1M1
    равны, высоты CH и C1H1 равны (рис.
    17). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1
    равны.
    Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A1C1H1
    равны по гипотенузе и катету. Следовательно,
    F A
    = F A1
    и AH = A1H1. Прямоугольные
    треугольники CMH и C1M1H1
    равны по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M1H1,
    откуда AM = A1M1, значит, AB =
    A1B1. Таким образом, треугольники ABC
    и A1B1C1 равны по двум
    сторонам и углу между ними.

    Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника
    соответственно равны трем медианам другого треугольника.
    Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1
    соответственно равны медианы AK и A1K1,
    BL и B1L1, CM и C1M1
    (рис. 18). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1
    равны.
    Пусть O и O1 — точки пересечения
    медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O1M1
    треугольников ABO и A1B1O1
    равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных
    треугольников.
    По признаку равенства треугольников, доказанному нами под
    номером 3, треугольники ABO и A1B1O1
    равны, значит, AB = A1B1.
    Аналогично доказывается, что BC = B1C1
    и AC = A1C1. Таким образом,
    треугольники ABC и A1B1C1
    равны по трем сторонам.

    Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника
    соответственно равны трем высотам другого треугольника.
    Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1
    соответственно равны высоты AH и A1H1,
    BG и B1G1, CF и C1F1
    (рис. 19). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1
    равны.
    Обозначим стороны треугольников соответственно a, b,
    c и a1, b1, c1, а
    соответствующие высоты ha, bb, hc
    и h1a, h1b, h1c.
    Имеют место равенства aha = bhb = chc
    и a1h1a = b1h1b
    = c1h1c. Разделив почленно первые
    равенства на вторые, получим равенства из которых следует, что треугольники
    ABC     и A1B1C1 подобны.
    Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только
    подобны, но и равны.

    Смирнов В., Смирнова И.

  3. Shalirus Ответить

    Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек,
    не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

    Если треугольники АВС и А
    1В
    1С
    1 можно совместить наложением,
    то они являются равными. У равных треугольников равны и их
    соответствующие элементы.
    Первый признак равенства треугольников:
    треугольники равны, если у них равны две стороны и угол между ними.

    Второй признак равенства треугольников:
    треугольники равны, если у них равны два угла и сторона между ними.

    Третий признак равенства треугольников:
    треугольники равны, если у них равны три стороны.

  4. Kyki Ответить

    Планиметрия
    Глава 1. Треугольники
    1.3. Три признака равенства треугольников
    Определение
    Два треугольника, которые можно совместить наложением, называются равными.
    Из определения непосредственно следует: в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и обратно — против равных углов лежат равные стороны.
    Теорема 1 (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)
    Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
    Дано: треугольник и треугольник , , , =.
    Требуется доказать: треугольник равен треугольнику .
    Доказательство:
    Доказывается наложением одного из треугольников на другой. Треугольники полностью совместятся, следовательно, по определению они равны.

    Теорема 2 (второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам)
    Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
    Сделайте чертеж, запишите, что дано и что требуется доказать, и докажите наложением треугольников.
    Теорема 3 (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)
    Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
    Запишите сокращенно условие и заключение теоремы.
    Доказательство:
    Для доказательства приложим треугольники большими сторонами. Треугольник займет положение . Треугольник и треугольник — равнобедренные. Из равенства углов при основании получаем, что . Используем первый признак равенства треугольников.

  5. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *