Сколько существует различных наборов значений логических переменных?

8 ответов на вопрос “Сколько существует различных наборов значений логических переменных?”

  1. Salas Ответить

    Решение.Будем обозначать набор входных переменных уравнения кортежем из четырёх чисел .
    Рассмотрим первое уравнение. Переберём все 16 наборов переменных, подойдут 7 из них: Так как в следующем уравнении встречаются посчитаем, какие пары и сколько раз вошли в наборы, удовлетворяющие первому уравнению: (0, 0) – 1, (0, 1) – 2, (1, 0) – 2, (1, 1) – 2.Будем подставлять эти на место во второе уравнение. Так как оно эквивалентно первому уравнению, то можно просто брать и находить среди решений первого уравнения кортежи, которые начинаются так же.То есть (0, 0) даст решения (0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0). (0, 1) – (0, 1, 0, 1). (1, 0) – (1, 0, 1, 0). (1, 1) – (1, 1, 1, 1).Посчитаем, сколько каких пар получилось среди всех решений системы из первых двух уравнений. Получилось (0, 0) – 1, (0, 1) – 3, (1, 0) – 3, (1, 1) – 3.Перейдя к следующему уравнению, получим (0, 0) – 1, (0, 1) – 4, (1, 0) – 4, (1, 1) – 4.И так далее, с каждым уравнением количество решений будет увеличиваться на 3.Изначально было 7 решений, плюс ещё 7 уравнений, каждое из которых добавляет по 3 решения. Итого

  2. Bloodconjuror Ответить

    Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, … x10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям:
    ¬((¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x2 ∧ x3) ∨ (x1 ∧ ¬x2 ∧ ¬x3)) = 1,¬((¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x3 ∧ x4) ∨ (x2 ∧ ¬x3 ∧ ¬x4)) = 1,…¬((¬x8 ∧ x9 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x9 ∧ x10) ∨ (x8 ∧ ¬x9 ∧ ¬x10)) = 1.
    В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

  3. Taulabar Ответить

    Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, … x12, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменны x1, x2, … x12, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

  4. Whisperkiller Ответить

    Поскольку в скобках одинаковые действия, и скобки повторяются в разных уравнениях, то введем обозначения. Обозначим латинскими буквами в алфавитном порядке скобки с переменными согласно их номерам:
    1-a
    2-b
    3-c
    4-d
    5-e
    6-f
    7-g
    8-h
    После замены получим следующие выражения:
    ¬((a ≡ c) > b)
    ¬((b ≡ d) > ¬c)
    ¬((c ≡ e) > d)
    ¬((d ≡ f) > ¬e)
    ¬((e ≡ g) > f)
    ¬((f ≡ h) > ¬g)
    Используя законы алгебры логики, преобразуем одно из условий (первое). Потом по аналогии выполним преобразования для остальных условий:
    Избавимся от импликации:
    было: ¬((a ≡ c) > b)
    стало: ¬(¬(a ≡ c) ∨ b)
    По закону Де Моргана избавимся от отрицания над общей внешней скобкой:
    было: ¬(¬(a ≡ c) ∨ b)
    стало: (a ≡ c) ∧ ¬b
    По аналогии преобразуем остальные условия, учитывая, что двойное отрицание просто аннулирует отрицание:
    (a ≡ c) ∧ ¬b
    (b ≡ d) ∧ c
    (c ≡ e) ∧ ¬d
    (d ≡ f) ∧ e
    (e ≡ g) ∧ ¬f
    (f ≡ h) ∧ g
    Рассмотрим, в каких случаях условия будут возвращать истину. Внешняя операция конъюнкция: каждое из условий будет истинно только в том случае, если оба операнда истинны:
    например:
    (a ≡ c) ∧ ¬b возвратит истину, если:
    (a ≡ c) = 1 и ¬b = 1
    Это означает, что все операнды, стоящие после знака конъюнкции, должны быть истинны.
    Составим битовую маску для наших уравнений с учетом указанного требования:
    цеп.1
    a ?
    b 0
    c 1
    d 0
    e 1
    f 0
    g 1
    h ?
    Значение для переменной a найдем из условия (a ≡ c) ∧ b. В битовой маске с=1, значит, чтобы условие a ≡ c было истинным, а должно тоже равняться 1 (таблица истинности эквивалентности).
    Значение для переменной h найдем из условия (f ≡ h) ∧ ¬g. В битовой маске f=0, значит, чтобы условие f ≡ h было истинным, h должно тоже равняться 0 (таблица истинности эквивалентности).
    Получим итоговую битовую маску:
    цеп.1
    a 1
    b 0
    c 1
    d 0
    e 1
    f 0
    g 1
    h 0
    Теперь вспомним, что каждая из переменных от a до h представляет собой скобку, внутри которой две переменные, связанные конъюнкцией. Конъюнкция двух переменных истинна в одном случае, а ложна — в трех. Т.е., к примеру:
    x1 ∧ y1 = 0 тогда, когда: либо 0 ∧ 1, либо 1 ∧ 0, либо 0 ∧ 0
    x1 ∧ y1 = 1 тогда и только тогда, когда 1 ∧ 1
    Это говорит о том, что на каждый 0 в цепочке приходится три варианта значений, а на каждую 1 — один. Т.о., получаем:
    34 * 14 = 81 набор значений
    Результат: 81

  5. Nejora Ответить

    Решение.Построим древо решений для первого уравнения.Таким образом, первое уравнение имеет 12 решений.
    Второе уравнение связано с первым только через переменные x3 и x4. На основании древа решений для первого уравнения выпишем пары значений переменных x3 и x4, которые удовлетворяют первому уравнению и укажем количество таких пар значений. Количество пар значенийx3x4?211?200?410?401
    Поскольку уравнения идентичны с точностью до индексов переменных, древо решений второго уравнения аналогично первому (см. рис.). Следовательно, пара значений x3 = 1 и x4 = 1 порождает четыре набора переменных x3, …, x6, удовлетворяющих второму уравнению. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар две, всего получаем 4 · 2 = 8 наборов переменных x1, …, x6, удовлетворяющих системе из двух уравнений. Рассуждая аналогично для пары значений x3 = 0 и x4 = 0, получаем 8 наборов переменных x1, …, x6. Пара x3 = 1 и x4 = 0 порождает два решения второго уравнения. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар четыре, получаем 2 · 4 = 8 наборов переменных x1, …, x6, удовлетворяющих системе из двух уравнений. Аналогично для x3 = 0 и x4 = 1 — 8 наборов решений. Всего система из двух уравнений имеет 8 + 8 + 8 + 8 = 32 решения.
    Третье уравнение связано со вторым только через переменные x5 и x6. Древо решений аналогичное. Тогда для системы из трёх уравнений каждая пара значений x5 и x6 будет порождать количество решений в соответствии с древом (см. рис.): пара (1, 0) породит 2 решения, пара (1, 1) породит 4 решения, и т. д.Из решения первого уравнения мы знаем, что пара значений x3, x4 (1, 1) встречается в решениях два раза. Следовательно, для системы из трёх уравнений количество решений для пары x3, x4 (1, 1) равно 2 · (2 + 4 + 4 + 2) = 24 (см. рис.). Воспользовавшись таблицей выше, вычислим количество решений для оставшихся пар x3, x4:
    4 · (2 + 2) = 162 · (2 + 4 + 4 + 2) = 244 · (2 + 2) = 16
    Таким образом, для системы из трёх уравнений имеем 24 + 16 + 24 + 16 = 80 наборов переменных x1, …, x8, удовлетворяющих системе. Для системы из четырёх уравнений существует 192 набора переменных x1, …, x10, удовлетворяющих системе.
    Ответ: 192.

  6. Silverwarden Ответить

    Решение.Рассмотрим первое уравнение. Ему удовлетворяют следующие наборы переменных x1, x2, x3, x4: 1111, 0111, 0011, 0001, 0000.Рассмотрим оставшиеся уравнения для первого набора x1, x2, x3, x4: 1111. Во втором уравнении первая скобка будет равна 0. Из второй и третьей скобок ясно, что переменные y1 и z1 могут принимать значения 01 или 10. Имеем два набора решений второго уравнения. Аналогично для третьего, четвёртого и пятого уравнений. Таким образом, для набора x1, x2, x3, x4: 1111, получаем 16 наборов переменных y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 (см. рис).Рассмотрим второй набор переменных x1, x2, x3, x4: 0111. В этом случае из второго уравнения ясно, что переменные y1 и z1 могут принимать значения 11. Для оставшихся уравнений ситуация аналогична первому набору. Таким образом, для набора x1, x2, x3, x4: 0111, получаем 8 наборов переменных y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 (см. рис). Проведя аналогичные рассуждения для наборов 0011, 0001 и 0000, получаем, соответственно 4, 2 и 1 набор переменных y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 соответственно.Всего имеем 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 набор переменных x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4, которые удовлетворяют всем уравнениям.
    Ответ: 31.

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *