В каких четвертях имеют одинаковые знаки sin и cos?

7 ответов на вопрос “В каких четвертях имеют одинаковые знаки sin и cos?”

  1. Миша Провод Ответить

    В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
    Первое свойство – знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол ?. Второе свойство – периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах ? и -?.

    Знаки тригонометрических функций по четвертям

    Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: “угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти”. Что это такое?
    Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A0(1, 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол ?, попадем в точку A1(x, y). В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A1(x, y), угол ? будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.
    Для наглядности приведем иллюстрацию.

    Угол ?=30° лежит в первой четверти. Угол -210° является углом второй четверти. Угол 585° – угол третьей четверти. Угол -45° –  это угол четвертой четверти.
    При этом углы ±90°, ±180°, ±270°, ±360° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.
    Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.
    Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус – это ордината точки A1(x, y). Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной – отрицательна.
    Косинус – это абсцисса точки A1(x, y). В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

    Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс – отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки – отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.

    Важно помнить!

  2. SUPER Car Ответить

    5 ноября 2011
    Материалы к уроку

    Знаки триг. функций
    Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
    Синус угла ? — это ордината (координата
    y
    ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол ?.
    Косинус угла ? — это абсцисса (координата
    x
    ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол ?.
    Тангенс угла ? — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты
    y
    к координате
    x
    .
    Обозначение: sin ? =
    y
    ; cos ? =
    x
    ; tg ? =
    y
    :
    x
    .
    Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

    Синим цветом обозначено положительное направление оси
    OY
    (ось ординат), красным — положительное направление оси
    OX
    (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
    sin ? > 0, если угол ? лежит в
    I
    или
    II
    координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата
    y
    ). А координата
    y
    будет положительной именно в
    I
    и
    II
    координатных четвертях;
    cos ? > 0, если угол ? лежит в
    I
    или
    IV
    координатной четверти. Потому что только там координата
    x
    (она же — абсцисса) будет больше нуля;
    tg ? > 0, если угол ? лежит в
    I
    или
    III
    координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg ? =
    y
    :
    x
    , поэтому он положителен лишь там, где знаки
    x
    и
    y
    совпадают. Это происходит в
    I
    координатной четверти (здесь
    x
    > 0,
    y
    > 0) и
    III
    координатной четверти (
    x
    < 0, y < 0). Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:
    Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.
    Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.
    Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):
    sin (3?/4);
    cos (7?/6);
    tg (5?/3);
    sin (3?/4) · cos (5?/6);
    cos (2?/3) · tg (?/4);
    sin (5?/6) · cos (7?/4);
    tg (3?/4) · cos (5?/3);
    ctg (4?/3) · tg (?/6).
    План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (? > 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:
    sin (3?/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ? [90°; 180°], это угол из
    II
    координатной четверти. Но синус во
    II
    четверти положителен, поэтому sin (3?/4) > 0;
    cos (7?/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ? [180°; 270°], это угол из
    III
    координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7?/6) < 0; tg (5?/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ? [270°; 360°], мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5?/3) < 0; sin (3?/4) · cos (5?/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ? [90°; 180°], это II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3?/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ? [90°; 180°] — снова
    II
    четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5?/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3?/4) · cos (5?/6) < 0; cos (2?/3) · tg (?/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ? [90°; 180°] — это II координатная четверть, поэтому cos (2?/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ? [0°; 90°] — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (?/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2?/3) · tg (?/4) < 0; sin (5?/6) · cos (7?/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ? [90°; 180°], речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5?/6) > 0. Аналогично, 315° ? [270°; 360°] — это
    IV
    координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7?/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5?/6) · cos (7?/4) > 0;
    tg (3?/4) · cos (5?/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ? [90°; 180°] — это
    II
    четверть, т.е. tg (3?/4) < 0. Аналогично, угол 300° ? [270°; 360°] — это IV четверть, т.е. cos (5?/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3?/4) · cos (5?/3) < 0; ctg (4?/3) · tg (?/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ? [180°; 270°] — это III координатная четверть, поэтому ctg (4?/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ? [0; 90°] — это
    I
    координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (?/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4?/3) · tg (?/6) > 0.
    В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
    Задача. Найдите sin ?, если sin2 ? = 0,64 и ? ? [?/2; ?].
    Поскольку sin2 ? = 0,64, имеем: sin ? = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол ? ? [?/2; ?] — это
    II
    координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin ? = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.
    Задача. Найдите cos ?, если cos2 ? = 0,04 и ? ? [?; 3?/2].
    Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos2 ? = 0,04 ? cos ? = ±0,2. По условию, угол ? ? [?; 3?/2], т.е. речь идет о
    III
    координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos ? = ?0,2.
    Задача. Найдите sin ?, если sin2 ? = 0,25 и ? ? [3?/2; 2?].
    Имеем: sin2 ? = 0,25 ? sin ? = ±0,5. Снова смотрим на угол: ? ? [3?/2; 2?] — это
    IV
    координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin ? = ?0,5.
    Задача. Найдите tg ?, если tg2 ? = 9 и ? ? [0; ?/2].
    Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg2 ? = 9 ? tg ? = ±3. Но по условию угол ? ? [0; ?/2] — это
    I
    координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg ? = 3. Все!

  3. Felothris Ответить

    Синус, косинус, тангенс, котангенс



    Прежде чем перейти к этому разделу, напомним определения синуса и косинуса, изложенные в учебнике геометрии 7-9 классов.
    – Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):
    sin t = b/c.
    – Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1):
    cos t = a/c.
    Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.
    Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).

    Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).
    Таким образом, наши формулы обретают иной вид.
    Так как b = y, a = x, c = R, то:
    y x
    sin t = —— , cos t = ——.
    R R
    Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.
    Так как tg t = b/a, ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:
    tg t = y/x,
    ctg = x/y.
    Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:
    y
    sin t = —— = y,
    1
    x
    cos t = —— = x.
    1
    Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.
    Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому).
    Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.
    Косинусом числа t числовой окружности называют абсциссу этого числа:
    cos t = x
    Синус числа t – это его ордината:
    sin t = y
    Тангенс числа t – это отношение синуса к косинусу:
    sin t ?
    tg t = ———, где t ? — + ?k
    cos t 2
    Котангенс числа t – это отношение косинуса к синусу:
    cos t
    ctg t = ———,     где t ? ?k
     sin t
    Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:
    sin t cos t ?k
    tg t · ctg t = ——— · ——— = 1, при t ? ——
    cos t sin t 2
    Уравнения числовой окружности.
    Из предыдущего раздела мы знаем одно уравнение числовой окружности:
    x2 + y2 = 1
    Но поскольку x = cos t, а y = sin t, то получается новое уравнение:
    cos2 t + sin2 t = 1
    Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:

    1-я четверть
    2-я четверть
    3-я четверть
    4-я четверть
    cos t
    +
    –
    –
    +
    sin t
    +
    +
    –
    –
    tg t, ctg t
    +
    –
    +
    –
    Косинус и синус основных точек числовой окружности:

    Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.
    Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.
    1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):
    1 v2 v3
    0; —; ——; ——; 1.
    2 2 2
    Сделайте для себя это «открытие» – и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.
    2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.
    Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.
    На концах оси косинусов (оси х), разумеется, косинусы равны модулю 1, а синусы равны 0.
    На концах оси синусов (оси у) синусы равны модулю 1, а косинусы равны 0.
    Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса 7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.
    3) Теперь перейдем к дробным значениям.
    – Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.
    – В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: v2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.
    – Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (v3/2; 1/2).
    – Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; v3/2).
    Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).
    Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.
    Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.
    Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.
    – Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки ?/3 и 4?/3:
    cos ?/3 = 1/2, sin ?/3 = v3/2
    cos 4?/3 = -1/2, sin 4?/3 = -v3/2
    Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки.
    Важно знать:
    Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» – впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).
    В порядке убывания получается такое чередование значений:
    v3 v2 1 1 v2 v3
    1; ——; ——; —; 0; – —; – ——; – ——; –1
    2 2 2 2 2 2
    Возрастают они строго в обратном порядке.
    Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.
    Тангенс и котангенс основных точек числовой окружности.
    Зная косинус и синус точек числовой окружности, легко можно вычислить их тангенс и котангенс. Делим синус на косинус – получаем тангенс. Делим косинус на синус – получаем котангенс. Результаты этого деления – на рисунке.

    ПРИМЕЧАНИЕ: В некоторых таблицах значения тангенса и котангенса, равные модулю v3/3, указаны как 1/v3. Ошибки тут нет, так как это равнозначные числа. Если числитель и знаменатель числа 1/v3 умножить на v3, то получим v3/3.

    Как запомнить значение тангенсов и котангенсов основных точек числовой окружности.
    Здесь такие же закономерности, что и с синусами и косинусами. И чисел тут всего четыре (в модуле): 0, v3/3, 1, v3.
    На концах осей координат – прочерки и нули. Прочерки означают, что в данных точках тангенс или котангенс не имеют смысла.
    Как запомнить, где прочерки, а где нули? Поможет правило.
    Тангенс – это отношение синуса к косинусу. На концах оси синусов (ось у) тангенс не существует.
    Котангенс – это отношение косинуса к синусу. На концах оси косинусов (ось х) котангенс не существует.
    В остальных точках идет чередование всего лишь трех чисел: 1, v3 и v3/3 со знаками плюс или минус. Как с ними разобраться? Запомните (а лучше представьте) три обстоятельства:
    1) тангенсы и котангенсы всех середин четвертей имеют в модуле 1.
    2) тангенсы и котангенсы ближайших к оси х точек имеют в модуле v3/3; v3.
    3) тангенсы и котангенсы ближайших к оси у точек имеют в модуле v3; v3/3.
    Не ошибитесь со знаками – и вы большой знаток.
    Нелишне будет запомнить, как возрастают и убывают тангенс и котангенс на числовой окружности (см.числовую окружность выше или раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций»). Тогда еще лучше будет понятен и порядок чередования значений тангенса и котангенса.
    Тригонометрические свойства чисел числовой окружности.
    Представим, что определенная точка М имеет значение t.
    Свойство 1:

    sin (–    t) = –sin t


    cos (–    t) = cos t


    tg (–    t) = –tg t


    ctg (–    t) = –ctg t

    Пояснение. Пусть t = –60? и t = –210?.
    cos –60? равен 1/2. Но cos 60? тоже равен 1/2. То есть косинусы –60? и 60? равны как по модулю, так и по знаку: cos –60? = cos 60?.
    cos –210? равен –v3/2. Но cos 210? тоже равен –v3/2. То есть: cos –210? = cos 210?.
    Таким образом, мы доказали, что cos (–t) = cos t.
    sin –60? равен –v3/2. А sin 60? равен v3/2. То есть sin –60? и sin 60? равны по модулю, но противоположны по знаку.
    sin –210? равен 1/2. А sin 210? равен –1/2. То есть sin –210? и sin 210? равны по модулю, но противоположны по знаку.
    Таким образом, мы доказали, что sin (–t) = –sin t.
    Посмотрите, что происходит с тангенсами и котангенсами этих углов – и вы сами легко докажете себе верность двух других тождеств, приведенных в таблице.
    Вывод: косинус – четная функция, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.
    Свойство 2: Так как t = t + 2?k, то:

    sin (t + 2?    k) = sin t


    cos (t + 2?    k) = cos t
    Пояснение: t и t + 2?k – это одна и та же точка на числовой окружности. Просто в случае с 2?k мы совершаем определенное количество полных оборотов по окружности, прежде чем приходим к точке t. Значит, и равенства, изложенные в этой таблице, очевидны.
    Свойство 3: Если две точки окружности находятся друг против друга относительно центра О, то их синусы и косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку, а их тангенсы и котангенсы одинаковы как по модулю, так и по знаку.

    sin (t + ?    ) = –sin t


    cos (t + ?    ) = –cos t

    tg (t + ?    ) = tg t

    ctg (t + ?    ) = ctg t
    Пояснение: Пусть точка М находится в первой четверти. Она имеет положительное значение синуса и косинуса. Проведем от этой точки диаметр – то есть отрезок, проходящий через центр оси координат и заканчивающийся в точке окружности напротив. Обозначим эту точку буквой N. Как видите, дуга MN равна половине окружности. Вы уже знаете, что половина окружности – это величина, равная ?. Значит, точка N находится на расстоянии ? от точки М. Говоря иначе, если к точке М прибавить расстояние ?, то мы получим точку N, находящуюся напротив. Она находится в третьей четверти. Проверьте, и увидите: косинус и синус точки N – со знаком «минус» (x и y имеют отрицательные значения).
    Тангенс и котангенс точки М имеют положительное значение. А тангенс и котангенс точки N? Ответ простой: ведь тангенс и котангенс – это отношение синуса и косинуса. В нашем примере синус и косинус точки N – со знаком «минус». Значит:
    –sin t
    tg (t + ?) = ———— = tg t
    –cos t
    –cos t
    ctg (t + ?) = ———— = ctg t
    –sin t
    Мы доказали, что тангенс и котангенс диаметрально противоположных точек окружности имеют не только одинаковое значение, но и одинаковый знак.
    Свойство 4: Если две точки окружности находятся в соседних четвертях, а расстояние между точками равно одной четверти окружности, то синус одной точки равен косинусу другой с тем же знаком, а косинус одной точки равен синусу второй с противоположным знаком.
    ?
     sin (t + —) = cos t
     2
    ?
    cos (t + —) = –sin t
     2

  4. MixMax Ответить

    3ГОНОМЕТРИЯ В НАЧАЛО
    ИЗМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
    Изменение функций sin φ и cos φ
    Изменение функций tg φ и ctg φ
    Изменение функций sin φ и cos φ
    Используя тригонометрический круг, выясним, как с изменением аргумента φ изменяются функции sin φ и cos φ.
    Изменение функции sin φ
    Пусть угол φ непрерывно возрастает от 0° до 90°. Тогда ордината соответствующего вектора будет непрерывно возрастать от 0 до 1. Следовательно, при увеличении угла от 0° до 90° синус его возрастает от 0 до 1.
    Если угол φ непрерывно возрастает от 90° до 180°, то ордината соответствующего вектора будет непрерывно уменьшаться от 1 до 0. Следовательно, при увеличении угла φ от 90° до 180° синус его уменьшается от 1 до 0.
    Точно так же можно установить, что при возрастании угла φ от 180° до 270° синус его уменьшается от 0 до —1 , а при возрастании угла φ от 270° до 360° синус его увеличивается от —1 до 0 .

    Если угол φ оканчивается в 1-й или во 2-й четверти , то ордината соответствующего вектора положительна. Поэтому синусы углов, оканчивающихся в 1-й и во 2-й четвертях, положительны.
    Если же угол φ оканчивается в 3-й или в 4-й четверти , то ордината соответствующего вектора отрицательна. Поэтому и синусы этих углов отрицательны.
    Схематично поведение функции sin φ при изменении угла φ в интервале от 0° до 360° представлено сплошной линией . Пунктирная линия схематично показывает изменение функции sin φ в других интервалах. Она получена посредством периодического продолжения сплошной линии влево и вправо.

    Из отмеченных выше свойств следует особо подчеркнуть следующее Свойство острых углов: чем больше острый угол, тем больше его синус. Так, sin 55° > sin 54°; sin 13° 56′ > sin 13°54′ и т. д.
    Это утверждение, верное для острых углов, не распространяется на произвольные углы. Например, угол в 180° больше угла в 0°. Однако sin 180° = sin 0° = 0.
    Аналогично тому, как мы изучили функцию sin φ, может быть рассмотрена и функция cos φ.
    Изменение функции cos φ
    При увеличении угла от 0° до 90° косинус его уменьшается от 1 до 0; при увеличении угла от 90° до 180° косинус его уменьшается от 0 до —1; при увеличении угла от 180° до 270° косинус его увеличивается от —1 до 0; при увеличении угла от 270° до 360° косинус его увеличивается от 0 до 1.
    Косинусы углов, оканчивающихся в 1-й или в 4-й четвертях, положительны; косинусы углов, оканчивающихся во 2-й или в 3-й четвертях, отрицательны.

    Схематично поведение функции у = cos x при изменении аргумента φ в интервале от 0° до 360° представлено сплошной линией . Пунктирная линия схематично показывает изменение φ функции cos φ в других интервалах. Такая картина обусловлена периодичностью косинуса.

    Следует особо подчеркнуть следующее свойство косинусов острых углов: чем больше острый угол, тем меньше его косинус. Так, cos 55° < cos 54°; cos 13° 56' cos 180° (0 > —1).
    Упражнения
    1. Определить знаки следующих выражений:
    1) sin 153°; 4) sin (—402°); 7) cos (— 1230°);
    2) sin 273°; 5) cos 73°; 8) cos 140°;
    3) sin 301°; 6) sin 910°; 9) sin 1000° · cos 1000°.
    2. Доказать неравенства:
    1) sin 61° > sin 60°; 5) cos 79° < cos 78°; 2) sin 92° cos 150° ; 3) sin 196° > sin 201°; 7) cos 190° < cos 200° ; 4) sin 353° < sin 359°; 8) cos 290° < cos 310°. 3. Какое число больше:
    а) sin 735° или sin (—1066°);
    б) sin (—313°) или sin 790°;
    в) cos 860° или cos 510°;
    r) cos (—20°) или cos (—10°)?
    4. В каких четвертях может оканчиваться угол φ, если:
    a) sin φ cos φ > 0; б) sin φ cos φ < 0? 5. В каких четвертях может оканчиваться угол φ, если:
    a) cos 2φ > 0, sin 2φ < 0; б) cos 2φ < 0, sin 2φ > 0?
    6. В каких четвертях может оканчиваться угол а, если:
    а) |sin а| = —sin а;
    б) |cos а| = cos а;
    в) |sin (—а)| = —sin а ?
    7. Расположить в порядке возрастания величины;
    а) sin (—55°); sin 600°; sin 1295°;
    б) cos 654°; cos (—67°); cos 295°.
    8.Как изменяется sin 2φ при изменении угла φ:
    а) от 0° до 45°; и) от 135° до 180°;
    б) от 90° до 135° ; г) от 5760° до 5805°?
    9. Как изменяется cos 3φ при изменении угла φ от 3660° до 3690°?
    Изменение функций tg φ и ctg φ
    Изменение функций tg φ
    Для полного исследования функции tg φ достаточно изучить ее лишь в интервале от —90° до 90°.
    При φ = ±90° tg φ не определен. Но если угол φ, оставаясь в пределах от —90° до 90°, хоть немного отличается от ±90°, то выражение tg φ уже определено. Посмотрим, как же ведет себя функция tg φ, когда ее аргумент φ близок к ± 90°.
    По мере того как угол φ приближается к 90°, оставаясь меньше 90°, ордината соответствующей точки на оси тангенсов неограниченно возрастает.

    Какое бы большое число N мы ни взяли, всегда можно указать такой угол φ0 , что для всех острых углов φ, больших φ0, будет: tg φ > N. Этосвойство тангенсов условно записывается так:
    lim tg φ = + ∞
    φ —>90°
    (φ<90°)
    (читается: предел тангенса φ, когда φ стремится к 90°, оставаясь при этом меньше 90°, равен плюс бесконечности).

    По мере того как угол φ приближается к—90°, оставаясь при этом больше—90°, ордината соответствующей точки на оси тангенсов, будучи отрицательной, неограниченно возрастает по абсолютной величине .

    Какое бы большое число N мы ни взяли, всегда можно указать такой угол φ0 , что для всех углов φ, меньших φ0, но больших— 90°, будет: | tg φ| > N, причем tg φ <0.
    Это свойство тангенса условно записывается так:
    lim tg φ = — ∞
    φ —> —90°
    (φ > —90°)
    (читается: предел тангенса φ, когда φ стремится к —90°, оставаясь при этом больше — 90°, равен минус бесконечности).

    Мы исследовали поведение функции tg φ вблизи конечных точек интервала (—90°, 90°). Исследовать tg φ внутри этого интервала весьма просто. Как уже указывалось, tg φ может принимать любые числовые значения.
    Из рисунка легко понять, что, чем больше значение аргумента φ в интервале (—90°, 90°), тем больше будет ордината соответствующей точки на оси тангенсов. Следовательно, из двух произвольных углов этого интервала большему соответствует больший тангенс.
    Углам, оканчивающимся в 1-й и 3-й четвертях, соответствуют точки на оси тангенсов с положительными ординатами . Поэтому тангенсы этих углов положительны.
    Углам, оканчивающимся во 2-й и 4-й четвертях, соответствуют точки на оси тангенсов с отрицательными ординатами . Поэтому тангенсы этих углов отрицательны.

    Принято говорить, что
    при увеличении угла от —90° до + 90° тангенс его возрастает от —∞ до+    ∞
    Схематично поведение функций tg φ в интервале—90° < φ < 90° изображено сплошной линией на рисунке. Пунктирные линии на том же рисунке дают представление об изменении функции tg φ в других интервалах изменения аргумента φ. Такая картина объясняется периодичностью тангенса.

    Необходимо особо отметить следующее. Если угол φ приближается к 90°, оставаясь при этом меньше 90°, то tg φ неограниченно возрастает. Если же угол φ приближается к 90°, оставаясь при этом больше 90° , то tg φ неограниченно убывает. Аналогично можно сформулировать и закон изменения функции tg φ, когда φ —> — 90°.
    Изменение функций ctg φ
    Аналогично можно исследовать и функцию ctg φ.
    Нетрудно видеть , что
    lim ctg φ = + ∞
    φ —>0°
    (φ > 0°)
    lim ctg φ = — ∞
    φ —> 180°
    (φ < 180°) Из двух углов, заключенных в интервале (0°, 180°), большему соответствует меньший котангенс. Котангенсы углов, оканчивающихся в 1-й и 3-й четвертях, положительны; котангенсы углов, оканчивающихся во 2-й и 4-й четвертях, отрицательны.
    Принято говорить, что при увеличении угла от 0° до 180° котангенс его уменьшается от +∞ до — ∞
    Схематично поведение функции ctgφ представлено на рисунке.

    Упражнения
    1. Определить знаки следующих выражений:
    1) tg 153°; 4) ctg (- 402°) • tg 1°; 7) tg (-1230°);
    2) ctg 270°; 5) tg 73°; 8) tg 140° • ctg 240°;
    3) tg
    301°; 6) ctg (-910°); 9) tg 546° – 1.
    2. Какое число больше:
    1) tg 92° или tg 91°; 5) ctg 102° или ctg 150°;
    2) tg 61° или tg 60°; 6) ctg (—313°) или ctg 790°;
    3) tg 353° или tg 359°; 7) ctg (—20°) или ctg (—10°);
    4)
    ctg 290° или ctg 310°, 8) tg 407° или ctg -497°?
    3. В каких четвертях может оканчиваться угол φ, если:
    а) |tg φ| = tg φ; в) tg 2φ > 0;
    б) |ctg (—φ)| = —ctg φ; г) ctg 2φ < 0? 4. В каких четвертях имеют одинаковые знаки:
    а) sin φ и tg φ; в) cos φ и tg φ;
    б) cos φ и ctg φ; г) tg φ и ctg φ?
    5. Какие пары тригонометрических функций имеют одинаковые знаки во всех четвертях?
    6. Данные выражения расположить в порядке возрастания:
    а) tg (—55°); tg 600°; tg 1295°;
    б) ctg 295°; ctg (—67°); ctg 654°.
    7. Какие тригонометрические функции внутреннего угла треугольника могут принимать отрицательные значения и когда именно?
    8. Могут ли быть отрицательными значения тригонометрических функций:
    а) половины внутреннего угла треугольника;
    б) полусуммы двух внутренних углов треугольника;
    в) полуразности двух внутренних углов треугольника?

  5. FASTIK-_nPO_-2017 Ответить

    фокусник выбирает из колоды карт все “картинки”(Валет,Дама,Король,Туз)различных мастей,перемешивает их и в случайном порядке выкладывает на стол.Найдите вероятность того,что последней выложенной картой будет валет
    биология 7 клас лабороторная работа строение пшеницы: рассмотрите соцветие пшеницы.Как оно называется?С помощью лупы рассмотрите цветок.Найдите тычинки и пестики.Сосчитайте их. помогите пожалуйста
    Состав кислоты что это такое?
    помогите написать по литературе сочинение на тему ,,Моё любимое стихотворение Лермонтова”))) зарание спасибо
    1) Знак элемента, образующего простое вещество – неметалл:
    А.Mg       Б.S         В.Ca      Г.Cu
    2) Простое вещество – металл:
    А. Водород  Б. Натрий  В. Азот   Г. Кремний
    3)Агрегатное состояние простого вещества водорода Н2 при…
    реки которые попадают в тихий океан
    доклад про гранит:1) его месторождения где его добывают 2)что люди из него делают 3) как он появился 4)из чего состоит.
    1)В 0,1 л раствора содержится 0,62 г CuSO4 при
    температуре 19 °C.
    Осмотическое давление этого раствора при данной температуре равно 162·103
    Па. Вычислите кажущуюся степень диссоциации соли.
    2)Выразите
    в мольных процентах со…
    кто впервые назвал экономику естественной наукой?
    Кто был первым губернатором Санкт-Петербурга? Почему у губернатора дворец был каменным, а у Петра1 деревянным?

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *