В каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?

8 ответов на вопрос “В каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?”

  1. smoukers Ответить

    Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
    Это важнейшая теорема, о которой можно сказать: в учебнике нет, а на экзамене есть!
    Конечно, в учебнике тоже есть. Хорошо спрятанная и никак не выделенная.
    Не путать с определением биссектрисы!
    Мы помним, что биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам : -)
    Теперь серьезно. Биссектриса угла треугольника – это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол пополам. Это определение биссектрисы.
    А вот утверждение о том, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон, – свойство биссектрисы.
    Пусть СР – биссектриса угла ВСА треугольника АВС. Покажем, что


    Проведем АD параллельно ВС.
    Углы ВСР и АDP равны как накрест лежащие. Значит, треугольники ВРС и АРD подобны по двум углам и Треугольник АСD – равнобедренный, так как углы АСD и СDА равны. Значит, Свойство биссектрисы доказано.

  2. alex.arti2 Ответить

    Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.
    Определение. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

    Рис.1
    Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.
    На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD.
    Теорема 1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
    Доказательство. Продолжим сторону AC треугольника ABC, изображенного на рисунке 1, за точку A. Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD. Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).


    Рис.2
    Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD, поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD. Заметим также, что угол BEA равен углу DAC, поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD. Таким образом, угол EBA равен углу BEA, откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.
    Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

    что и требовалось доказать.
    Следствие 1. Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

    Рис.3
    b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.
    Тогда

    Доказательство. Поскольку

    то


    что и требовалось доказать.
    Следствие 2. Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O.


    Рис.4
    Тогда справедлива формула:

    Доказательство. Поскольку

    то


    что и требовалось доказать.
    Замечание. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
    Теорема 2. Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.


    Рис.5
    Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

    Доказательство. Из рисунка 5 следует формула
    |EB| = 2c cos α .
    Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC, получаем:


    что и требовалось доказать.
    Теорема 3. Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

    Доказательство. Рассмотрим рисунок 6


    Рис.6
    и воспользуемся теоремой косинусов:

    Теперь воспользуемся формулой «Косинус двойного угла»:


    Следовательно,

    откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

  3. GseN Ответить

    Рассмотрим свойство биссектрисы треугольника с доказательством и задачу на применение свойства.
    Теорема (Свойство биссектрисы треугольника)
    Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

    Дано: ∆АВС, АР — биссектриса.
    Доказать:

    Доказательство:
    I. Если АС=АВ, то биссектриса АР является также медианой, СР=ВР, и

    II.Если АС≠АВ.
    1) Опустим перпендикуляры BN и CF на луч AP.
    2) Прямоугольные треугольники ABN и ACF подобны по острому углу (∠BAP=∠CAP, так как AP — биссектриса ∠BAC (по условию)), следовательно,

    3) Прямоугольные треугольники BNP и CFP  подобны по острому углу (∠BPN=∠CPF (как вертикальные)), следовательно,



    Если средние члены пропорции поменять местами, пропорция останется верной, поэтому

  4. VideoAnswer Ответить

  5. VideoAnswer Ответить

Добавить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *